ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - PHẠM THỊ PHƢƠNG ANH QUY TẮC SIMPSON VÀ BẤT ĐẲNG THỨC HERMITE - HADAMARD CHO HÀM KHÔNG LỒI Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trịnh Ngọc Hải THÁI NGUYÊN - 2022 ✸ ▼ö❝ ❧ö❝ ▼ö❝ ❧ö❝ ✷ ❇↔♥❣ ỵ ữỡ ỗ t tự rt r ỗ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ủ ỗ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ỗ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✶✳✸ ▼ët sè t➼♥❤ t ỗ t tự rtr ỗ ✳ ✶✳✷✳✶ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❍❡r♠✐t❡✕❍❛❞❛♠❛r❞ ❝❤♦ ❤➔♠ ✶✳✷✳✷ ▼ët sè ✈➼ ❞ö →♣ ❞ö♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ỗ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼ ✼ ✶✵ ✶✷ ✶✻ ✶✻ ✶✽ ❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ◗✉② t➢❝ ❙✐♠♣s♦♥ ✈➔ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❍❡r♠✐t❡ ✕ r ổ ỗ t ❙✐♠♣s♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✶✳✶ ◗✉② t➢❝ ❙✐♠♣s♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✶✳✷ ▼ët sè →♣ ❞ö♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❇➜t tự rt r ổ ỗ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✷✳✶ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ♠ỵ✐ ❞↕♥❣ ❍❡r♠✐t❡ ✕ ❍❛❞❛♠❛r❞ ổ ỗ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✷✳✷ ▼ët sè →♣ ❞ö♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✼ ❤➔♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✽ ỵ R R+ Rn I C (n) [a, b] t➟♣ sè t❤ü❝ t➟♣ sè t❤ü❝ ❦❤æ♥❣ ➙♠ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❊✉❝❧✐❞ n✲ ❝❤✐➲✉ t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ t➟♣ sè t❤ü❝ R ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤➔♠ ❦❤↔ ✈✐ ❝➜♣ n tr➯♥ [a, b] ✺ ▼ð ✤➛✉ ❈❤♦ f : I ⊂ R → R ởt ỗ tr t I ❝õ❛ t➟♣ sè t❤ü❝ R ✈➔ a, b ∈ I ✈ỵ✐ a ̸= b✳ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ♥ê✐ t✐➳♥❣ Z b a + b f (a) + f (b) f ✭❍❍✮ f (x)dx ≤ ≤ b−a a ữủ t ữợ t t tự rt ❍❛❞❛♠❛r❞ ❬✺❪✳ ❍➛✉ ❤➳t ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ q✉❡♥ t❤✉ë❝ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❣✐→ trà tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ❝õ❛ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ỗ f t tự ❍❡r♠✐t❡ ✕ ❍❛❞❛♠❛r❞ ✈➔ ♠ët sè ❜✐➳♥ t❤➸ ❝õ❛ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ♥➔②✳ ◆➳✉ ❤➔♠ f ❧ã♠ t❤➻ ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr♦♥❣ ✭❍❍✮ ✤ê✐ ❝❤✐➲✉✱ tù❝ ❧➔ Z b f (a) + f (b) a+b ≤ f (x)dx ≤ f ✭✶✮ b−a a ▲✉➟♥ ✈➠♥ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠ỵ✐ ✤➙② tr♦♥❣ ❬✼❪ ✈➔ ♠ët sè t➔✐ ❧✐➺✉ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✈➲ ♠ët ❞↕♥❣ ❝õ❛ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❍❡r♠✐t❡ ✕ ❍❛❞❛♠❛r❞ ✤è✐ ✈ỵ✐ số ổ ỗ ụ ữ ổ ó ❧➔ ♠ët ❜✐➳♥ t❤➸ ❝õ❛ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ❍❡r♠✐t❡ ✕ ❍❛❞❛♠❛r❞ ❝❤♦ ❝→❝ ❤➔♠ ❦❤↔ ✈✐ ❝➜♣ ❤❛✐✱ ỗ tớ ởt t t tự tr trữớ ủ ỗó r ✈➠♥ ❝á♥ ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❦➨♣ ✤è✐ ✈ỵ✐ q✉② t➢❝ ❙✐♠♣s♦♥ ✈➔ ♠ët sè ♠ð rë♥❣✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷đ❝ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❤❛✐ ❝❤÷ì♥❣✳ ❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ✤➛✉ t✐➯♥✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët số tự ỡ s t ỗ ụ ữ ợ t t tự rt r ❝ị♥❣ ❝→❝ ù♥❣ ❞ư♥❣✳ ❈❤÷ì♥❣ ✷ tr➻♥❤ ❜➔② ✈➲ q✉② t➢❝ ❙✐♠♣s♦♥ ❝ì ❜↔♥ ✈➔ ♣❤ù❝ ❤đ♣ tr♦♥❣ ✈✐➺❝ t➼♥❤ ①➜♣ ①➾ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ①→❝ ✤à♥❤ ❝ò♥❣ ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❦➨♣ ✤→♥❤ ❣✐→ ✤ë ❝❤➼♥❤ ①→❝ ❝õ❛ ❝→❝ q✉② t➢❝ ♥➔②✳ P❤➛♥ ❝✉è✐ ❝õ❛ ❈❤÷ì♥❣ ✷ tr➻♥❤ ❜➔② ✈➲ ♠ët sè ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❍❡r♠✐t❡ ✕ ❍❛❞❛♠❛r❞ ❝❤♦ ❧ỵ♣ ổ ỗ ụ ữ ổ ó ữ tử n ợ n ữủt ✷✱ ✸✱ ✹ ✈➔ ✻✳ ❳✉②➯♥ s✉èt ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❧➔ ❤➺ t❤è♥❣ ❝→❝ ✈➼ ❞ö ✈➲ ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝â t❤➸ ♣❤ö❝ ✈ö tr♦♥❣ ✈✐➺❝ ❣✐↔♥❣ ❞↕② t♦→♥ ❤å❝ ð ❜➟❝ ♣❤ê t❤ỉ♥❣✳ ❈→❝ ✈➼ ❞ư ♥➔② ❧➔ ❤➺ q✉↔ trü❝ t✐➳♣ tø ♥❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ ❝❤➼♥❤ ✤➣ ✤÷đ❝ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷đ❝ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ t↕✐ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❑❤♦❛ ❤å❝✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✳ ▲í✐ ✤➛✉ t✐➯♥ t→❝ ❣✐↔ ①✐♥ ✤÷đ❝ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ tỵ✐ ❚❙✳ ❚rà♥❤ ◆❣å❝ ❍↔✐✳ ❚❤➛② tớ ữợ ụ ữ ✤→♣ ❝→❝ t❤➢❝ ♠➢❝ ❝õ❛ tæ✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❧➔♠ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳ ❊♠ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙♥ s➢❝ tỵ✐ t❤➛②✳ ❚→❝ ❣✐↔ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ t♦➔♥ t❤➸ ❝→❝ t❤➛② ❝æ tr♦♥❣ ❑❤♦❛ ❚♦→♥ ✲ ❚✐♥✱ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❦❤♦❛ ❤å❝ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ t t ữợ tr t tự tr♦♥❣ s✉èt t❤í✐ ❣✐❛♥ t❤❡♦ ❤å❝✱ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳ ❈↔♠ ì♥ sü ❣✐ó♣ ✤ï ❝õ❛ ❜↕♥ ữớ t ỗ tr tớ ❧➔♠ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ t❤→♥❣ ✶✵ ♥➠♠ ✷✵✷✷ ❚→❝ ❣✐↔ ❧➔♠ ❧✉➟♥ ✈➠♥ P❤↕♠ ❚❤à P❤÷ì♥❣ ❆♥❤ ✼ ❈❤÷ì♥❣ ỗ t tự rt r ữỡ ợ t ỗ ởt số t t ỗ t tự rt r ỗó ởt ❝→❝ ❣✐→ trà tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ✤➦❝ ❜✐➺t✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ✤÷đ❝ ✈✐➳t tr➯♥ ❝ì sð tê♥❣ ❤đ♣ ❦✐➳♥ t❤ù❝ tứ ỗ ủ ỗ a b ❤❛✐ ✤✐➸♠ ✭✈➨❝✲tì✮ tr♦♥❣ Rn✳ ✣÷í♥❣ t❤➥♥❣ ✤✐ q✉❛ ❤❛✐ ✤✐➸♠ a, b ❧➔ t➟♣ ❤ñ♣ ∆ := {λa + (1 − λ)b ∈ Rn | λ ∈ R} ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✷✳ ❈❤♦ u✱ v ❧➔ ❤❛✐ ✤✐➸♠ ✭✈❡❝t♦r✮ tr♦♥❣ Rn✳ ✣♦↕♥ t❤➥♥❣ ♥è✐ ❤❛✐ ✤✐➸♠ u, v ❧➔ t➟♣ ❤ñ♣ δ := {λu + (1 − λ)v ∈ Rn | λ ∈ [0, 1]} ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✸✳ ❚➟♣ X ⊂ Rn ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ t➟♣ ❛❢✐♥ ♥➳✉ ♥â ❝❤ù❛ ♠å✐ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ✤✐ q✉❛ ❤❛✐ ✤✐➸♠ ❜➜t ❦ý ❝õ❛ ♥â✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✹✳ ❚➟♣ X ⊂ Rn ữủ t ỗ õ ự t❤➥♥❣ ♥è✐ ❤❛✐ ✤✐➸♠ ❝õ❛ t➟♣ ✤â✳ ✽ ▼ët sè t ỗ tữớ tr R2 trỏ ❝➛✉✱ ❤➻♥❤ ✈✉ỉ♥❣✳ ✳ ✳ ❚r♦♥❣ ❦❤✐ ✤â✱ ✤÷í♥❣ trá♥✱ t ổ ỗ r Rm t s ỗ ♣❤➥♥❣ H := {x ∈ Rm | ⟨a, x⟩ = b}✱ tr♦♥❣ ✤â a ∈ Rm \ {0}✱ b ∈ R❀ ¯ r) := {x ∈ Rm | ∥x − a∥ ≤ r}❀ ❼ ❍➻♥❤ ❝➛✉ ✤â♥❣ B(a, ❼ ❍➻♥❤ ❝➛✉ ♠ð B(a, r) := {x ∈ Rm | ∥x − a∥ < r}❀ ❼ ❍➻♥❤ ❤ë♣ C := {x = (x1 , , xm ) ∈ Rm | ≤ xi ≤ bi ∀i = 1, , m}✳ ❍➻♥❤ ✶✳✶✿ ❛✮ ❚➟♣ ❦❤æ♥❣ ỗ ỗ tỡ {x1, x2, , xn} ⊂ Rn✳ ❚ê ủ ỗ tỡ tr tỡ x ❜ð✐ x= n X λi v i , i=1 tr♦♥❣ ✤â Pn i=1 λi = 1, λi ∈ [0, 1] ✈ỵ✐ ♠å✐ i = 1, , n✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✼ ✭①❡♠ ❬✷✱ ✽❪✮✳ ❚➟♣ X ⊂ Rn t ỗ õ ự tờ ủ ỗ tở t ủ õ t ỗ t ý ởt t ỗ ủ t ỗ õ t ổ t ỗ r s t ❧✐➺t ❦➯ ♠ët sè ♣❤➨♣ t♦→♥ ❜↔♦ t♦➔♥ t➼♥❤ ❝❤➜t ỗ t ủ ✽❪✮✳ ❈❤♦ A, B ⊂ Rn✱ C ⊂ Rm ❧➔ t ỗ R õ t s ụ t ỗ A + B := {a + b | a ∈ A, b ∈ B}❀ ❼ αA := {αa | a ∈ A}❀ ❼ A × C := {(a, c) | a ∈ A, c ∈ C} ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✾✳ ❈❤♦ C ⊂ Rn✳ t ỗ ự C ữủ ỗ C ỵ coC õ t ỗ ọ t ự C ❝→❝ t➟♣ ❛❢✐♥ ❝❤ù❛ C ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❜❛♦ ❛❢✐♥ ❝õ❛ C ✱ ❦➼ ❤✐➺✉ af f C ✱ ✤â ❧➔ t➟♣ af in ♥❤ä ♥❤➜t ❝❤ù❛ C ✳ ❱➼ ỗ ổ t A, B, C ∈ R2 ❧➔ t❛♠ ❣✐→❝ ¯ 1)✳ △ABC ỗ ữớ trỏ E := {x R2 | ∥x∥ = 1} ❧➔ ❤➻♥❤ trá♥ B(0, ▼➺♥❤ ✤➲ s❛✉ ❣✐ó♣ t❛ ❤➻♥❤ ❞✉♥❣ ✤÷đ❝ ❝➜✉ tró❝ ❝õ❛ ❝→❝ t➟♣ coC ✈➔ af f C ✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✶✵✳ ✭①❡♠ ❬✷❪✮ ❈❤♦ C ⊂ Rn✳ ❑❤✐ ✤â✿ ❼ ỗ C t ủ tờ ủ ỗ tr C ❇❛♦ ❛❢✐♥ ❝õ❛ C ❝❤➼♥❤ ❧➔ t➟♣ ❤ñ♣ ❝→❝ ✤✐➸♠ x ❝â ❞↕♥❣ x= n X λi x i , i=1 tr♦♥❣ ✤â xi ❧➔ ❝→❝ ✤✐➸♠ t❤✉ë❝ C ✱ λi ❧➔ ❝→❝ sè t❤ü❝ t❤ä❛ ♠➣♥ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✶✳ ❈❤♦ t➟♣ C ⊂ Rn✱ x ∈ C ✳ Pn i=1 λi = ❼ x ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤✐➸♠ tr C tỗ t ởt U (x) ❝õ❛ x s❛♦ ❝❤♦ U (x) ⊂ C ✳ ❼ x ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤✐➸♠ tr♦♥❣ t÷ì♥❣ ✤è✐ ❝õ❛ C tỗ t ởt U (x) x s❛♦ ❝❤♦ U (x) ∩ af f (C) ⊂ C ✳ ❚➟♣ ❤đ♣ ❝→❝ ✤✐➸♠ tr♦♥❣ ❝õ❛ C ✤÷đ❝ tr C ỵ intC ✳ ❚➟♣ ❤đ♣ ❝→❝ ✤✐➸♠ tr♦♥❣ t÷ì♥❣ ✤è✐ ❝õ❛ C ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠✐➲♥ tr♦♥❣ t÷ì♥❣ ✤è✐ ❝õ❛ C ỵ riC intC riC ✱ ♥❤÷♥❣ ❜❛♦ ❤➔♠ t❤ù❝ ♥❣÷đ❝ ❧↕✐ ❦❤ỉ♥❣ ✤ó♥❣✳ ❳➨t ✈➼ ❞ö s❛✉✳ ❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✶✷✳ C := {A(1, 0); B(0, 1)} ⊂ R2✳ ❉➵ t❤➜② ❦❤✐ ✤â intC = ∅ ♥❤÷♥❣ riC ❧➔ ❦❤♦↔♥❣ AB = {λA + (1 − λ)B | λ ∈ (0, 1)}✳ ✶✵ ✶✳✶✳✷ ❍➔♠ ỗ C R {+} Rn t ỗ rộ f : C f ữủ tỹ ỗ tr➯♥ C ♥➳✉ f (λx + (1 − λ)y) ≤ max{f (x); f (y)} ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] f ữủ ỗ tr C ♥➳✉ f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ✭❝✮ ❍➔♠ f ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ỗ t tr C f (x + (1 λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y) ∀x ̸= y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1) ✭❞✮ ❍➔♠ f ữủ ỗ tr C ợ sè γ > ♥➳✉ ✈ỵ✐ ♠å✐ x, y ∈ C ✱ ∀λ ∈ [0, 1]✱ f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − γλ(1 − λ)∥x − y∥2 ❉➵ t f ữủ tỹ ỗ tr C ♥➳✉ t➟♣ ♠ù❝ ❝õ❛ ♥â Lλ := {x ∈ C | f (x) } ỗ ợ f ỗ t ố t ý tở ỗ t tr ỗ t số õ ♥❤✐➯♥✱ tr♦♥❣ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tr➯♥ (d) =⇒ (c) =⇒ (b) = (a) ỡ ỳ f ỗ ♠↕♥❤ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ❤➔♠ γ g(.) := f (.) .2 ỗ f ữủ ❣å✐ ❧➔ ❧ã♠ ✭tü❛ ❧ã♠✱ ❧ã♠ ♠↕♥❤✱ ❧ã♠ ❝❤➦t✮ ♥➳✉ f ỗ tỹ ỗ ỗ ỗ t ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✹✳ ❈❤♦ t➟♣ C ⊂ Rn ✈➔ ❤➔♠ f : C → R ∪ {+∞}✳ ❈→❝ t➟♣ ❼ domf := {x ∈ C |f (x) < +∞}✳ ❼ epif := {(x, y) ∈ C × R | f (x) ≤ y}✳ ❧➛♥ ❧÷đt ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠✐➲♥ ❤ú✉ tr ỗ t f ỗ t ởt tỹ ỗ ữ ổ ỗ ỗ t ởt ổ tỹ ỗ f (x) = + ♥➳✉ x ∈ / C ✱ t❛ ❝â t❤➸ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❝→❝ domf ✈➔ epif ♥❤÷ s❛✉✿ ❼ domf := {x ∈ Rn | f (x) < +∞}✳ ❼ epif := {(x, y) ∈ Rn × R | f (x) y} f ỗ tr ỗ t õ t ỗ tr Rn+1 ✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ t➟♣ ❤ú✉ ❞ư♥❣ ❝õ❛ ♠ët ❤➔♠ ỗ ởt t ỗ domf ❝❤✐➳✉ ❝õ❛ epif tr➯♥ Rn ✳ ❚✐➳♣ t❤❡♦✱ t❛ s➩ t ởt số ỗ tữớ ❛❢✐♥✿ f (x) = ⟨a, x⟩ + α✱ tr♦♥❣ ✤â a ∈ Rn ✱ α ∈ R✳ ❍➔♠ ❛❢✐♥ ✈ø❛ ỗ ứ ó C t ỗ C ữủ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐ δC (x) := ❍➔♠ δC ❧➔ ❤➔♠ ỗ x C; x ∈ / C ✸✳ ❍➔♠ tü❛✿ ❝❤♦ C ❧➔ t➟♣ ỗ õ tr Rn tỹ C ữủ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ a + b ≤ L(b − a)2 f (x)dx − (b − a) f (a) + 4f + f (b) 36 a ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✭✷✳✹✮ ✣➦t w(x) := ( x− x− x ∈ a, a+b a+b x ∈ ,b 5a+b , a+5b , ⑩♣ ❞ư♥❣ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ t➼❝❤ ♣❤➙♥ tø♥❣ ♣❤➛♥✱ t❛ ❝â Z b a h w(x)df (x) = (b − a) f (a) + 4f a+b i + f (b) − Z b f (x)dx a ✭✷✳✺✮ ❚❛ ❝❤✐❛ ✤♦↕♥ [a, b] t❤➔♥❤ n ✤♦↕♥ ❜ð✐ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❝❤✐❛ a = x0 < x1 < x2 < < xn = b s❛♦ ❝❤♦ ✤ë ❞➔✐ ♠é✐ ✤♦↕♥ ❝❤✐❛ t✐➳♥ ✈➲ ❦❤✐ n t✐➳♥ r❛ ✈ỉ ❝ị♥❣✳ ❚r➯♥ ♠é✐ ✤♦↕♥ ❝❤✐❛✱ ❝❤å♥ ♠ët ✤✐➸♠ ✤↕✐ ❞✐➺♥ ξi ∈ [xi−1, xi]✱ i = 1, 2, , n✳ ❚❛ ❝â Z b n X