ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NINH THỊ LƯU BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG HERMITE–HADAMARD–FEJÉR CHO HÀM P LỒI THÁI NGUYÊN – 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NINH THỊ LƯU BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG HERMITE–HADAMARD–FEJÉR CHO HÀM P -LỒI THÁI NGUYÊN – 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NINH THỊ LƯU BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG HERMITE–HADAMARD–FEJÉR CHO HÀM P -LỒI CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN THỊ THU THỦY THÁI NGUYÊN – 2019 i Mục lục Bảng ký hiệu Mở đầu Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite–Hadamard–Féjer cho hàm lồi 1.1 1.2 Hàm lồi Hàm đối xứng 1.1.1 Hàm lồi 1.1.2 Hàm đối xứng Bất đẳng thức Hermite–Hadamard–Féjer 1.2.1 Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite–Hadamard–Féjer 1.2.2 Ví dụ áp dụng 17 Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite–Hadamard–Féjer cho hàm p-lồi 2.1 2.2 19 Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite–Hadamard–Féjer cho hàm p-lồi 19 2.1.1 Hàm p-lồi 19 2.1.2 Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite–Hadamard–Féjer 21 Áp dụng 35 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 Bảng ký hiệu R Rn I I◦ L[a, b] tập số thực không gian Euclid n-chiều tập tập số thực R phần tập I khơng gian hàm khả tích đoạn [a, b] Mở đầu Cho f : C ⊂ R → R hàm lồi xác định tập C tập số thực R a, b ∈ C với a 6= b Bất đẳng thức f a + b ≤ b−a Z b f (x)dx ≤ a f (a) + f (b) (1) tiếng biết tên gọi bất đẳng thức Hermite–Hadamard (xem [4]) Hầu hết bất đẳng thức tiếng liên quan đến giá trị trung bình tích phân hàm lồi f dạng bất đẳng thức Hermite–Hadamard dạng trọng số nó, bất đẳng thức Hermite–Hadamard–Féjer Trong [3], Fejér xây dựng bất đẳng thức, mang tên ông Fejér, mở rộng bất đẳng thức Hermite–Hadamard (1): Z Z b a+b f w(x)dx ≤ a a b f (a) + f (b) f (x)w(x)dx ≤ Z b w(x)dx, (2) a a+b Trong trường hợp hàm f : C ⊂ (0; ∞) → R hàm p-lồi, p ∈ R \ {0}, a, b ∈ C với w : [a, b] → R hàm không âm, khả tích đối xứng ứng với a < b, bất đẳng thức Hermite–Hadamard xây dựng dạng f h ap + bp i1/p p ≤ p b − ap Z a b f (x) f (a) + f (b) dx ≤ , 1−p x (3) hàm f khả tích đoạn [a, b] Nhiều tác giả xây dựng bất đẳng thức dạng Hermite–Hadamard–Féjer cho số lớp hàm lồi khác đưa ứng dụng đánh giá số giá trị trung bình đặc biệt từ bất đẳng thức Mục tiêu đề tài luận văn tìm hiểu trình bày lại số bất đẳng thức dạng Hermite–Hadamard–Féjer cho hàm p-lồi [6] [7] cơng bố năm 2016 2017 3 Luận văn ngồi phần mở đầu, kết luận, nội dung gồm chương với bố cục cụ thể sau: Chương Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite–Hadamard–Féjer cho hàm lồi Chương giới thiệu số kiến thức hàm lồi, hàm đối xứng số bất đẳng thức dạng Hermite–Hadamard–Féjer cho hàm lồi số ví dụ áp dụng Nội dung chương tổng hợp từ tài liệu [1]–[8] Chương Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite–Hadamard–Féjer cho hàm p-lồi Chương giới thiệu khái niệm hàm p-lồi, trình bày mối liên hệ hàm p-lồi hàm lồi trình bày số bất đẳng thức dạng Hermite–Hadamard–Féjer cho hàm p-lồi số áp dụng đánh giá số bất đẳng thức khác Nội dung chương tham khảo từ hai báo [6] [7] công bố năm 2016 2017 Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Lời tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy Cô dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt q trình làm luận văn Em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới cô Tác giả xin chân thành cảm ơn tồn thể thầy Khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tận tình hướng dẫn, truyền đạt kiến thức suốt thời gian theo học, thực hoàn thành luận văn Cảm ơn giúp đỡ bạn bè, người thân đồng nghiệp thời gian làm luận văn Thái Nguyên, tháng 11 năm 2019 Tác giả luận văn Ninh Thị Lưu Chương Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite–Hadamard–Féjer cho hàm lồi Chương trình bày số bất đẳng thức cho hàm lồi, hàm đối xứng kết nối với bất đẳng thức tích phân dạng Hermite–Hadamard–Féjer Nội dung chương viết sở tổng hợp từ tài liệu [1]–[8] 1.1 1.1.1 Hàm lồi Hàm đối xứng Hàm lồi Cho hai điểm a, b ∈ Rn Tập tất điểm x = (1 − λ)a + λb với ≤ λ ≤ gọi đoạn thẳng (đóng) nối a b, ký hiệu [a, b] Định nghĩa 1.1.1 (xem [1]) Tập C ⊂ Rn gọi tập lồi chứa đoạn thẳng nối hai điểm thuộc nó; nói cách khác, (1 − λ)a + λb ∈ C với a, b ∈ C ≤ λ ≤ Ví dụ 1.1.2 Các tập sau tập lồi: (a) Các tập afin, siêu phẳng, nửa khơng gian đóng, nửa khơng gian mở (b) Hình cầu đóng tâm a bán kính r > 0: B(a, r) = x ∈ R : kx − ak ≤ r , hình cầu mở tâm a bán kính r > 0: B(a, r) = x ∈ R : kx − ak > r Định nghĩa 1.1.3 (xem [1]) Hàm f : C → R xác định tập hợp lồi C ⊆ Rn gọi hàm lồi C với x1 , x2 ∈ C số thực λ ∈ [0, 1] ta có 2 ≤ (1 − λ)f (x ) + λf (x ) f (1 − λ)x + λx Hàm f gọi hàm lồi chặt C với x1 , x2 ∈ C , x1 6= x2 λ ∈ (0, 1) ta có f (1 − λ)x1 + λx2 < (1 − λ)f (x1 ) + λf (x2 ) Hiển nhiên hàm lồi chặt hàm lồi, điều ngược lại nói chung khơng Định nghĩa 1.1.4 (xem [1]) Hàm f gọi hàm lõm (lõm chặt) C −f hàm lồi (lồi chặt) C Nếu n = 1, Định nghĩa 1.1.3 cho ta định nghĩa hàm lồi biến R Định nghĩa 1.1.5 (xem [1]) Hàm f : [a, b] ⊂ R → R gọi hàm lồi với x1 , x2 ∈ [a, b] λ ∈ [0, 1] f λx1 + (1 − λ)x2 ≤ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ) (1.1) Tính chất 1.1.6 Một số phép tốn bảo toàn hàm lồi: (a) Nếu fi : Rn → R, i = 1, , m, hàm lồi α1 f1 + · · · + αm fm hàm lồi với αi ≥ hàm lồi chặt hàm fi lồi chặt với αi > 0, i = 1, , m (b) Nếu fi : Rn → R, i ∈ I , hàm lồi f (x) = supi∈I fi (x) hàm lồi, I tập số (c) Nếu A : Rn → Rm ánh xạ tuyến tính g : Rm → R hàm lồi hàm hợp f (x) = g(Ax) hàm lồi Định lý 1.1.7 (xem [1]) Cho C tập lồi, khác rỗng Rn f : Rn → R hàm lồi Khi đó, điểm cực tiểu địa phương f C cực tiểu toàn cục Chứng minh Giả sử x0 ∈ C điểm cực tiểu địa phương hàm f C U (x0 ) lân cận x0 cho f (x0 ) ≤ f (x) với x ∈ C ∩ U (x0 ) Khi đó, với x ∈ C ta có xλ = λx + (1 − λ)x0 ∈ C ∩ U (x0 ) với λ > đủ bé 6 Suy ra, f (x0 ) ≤ f (xλ ) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (x0 ) hay f (x0 ) ≤ λf (x) Do λ > nên f (x0 ) ≤ f (x) Vì x ∈ C chọn tùy ý nên x0 điểm cực tiểu toàn cục f C Định lý 1.1.8 (xem [1]) Một hàm lồi chặt f tập lồi C có nhiều điểm cực tiểu C Chứng minh Nếu f có hai điểm cực tiểu khác x1 , x2 ∈ C tính lồi chặt f , 1 f x + x2 < f (x1 ) = f (x2 ), 2 điều vơ lý Ví dụ 1.1.9 Hàm lồi chặt biến f (x) = x2 có điểm cực tiểu x0 = Hàm lồi chặt f (x) = ex , x ∈ R khơng có điểm cực tiểu 1.1.2 Hàm đối xứng Định nghĩa 1.1.10 (xem [7]) Một hàm w : [a, b] ⊂ R → R gọi đối xứng ứng với a+b w(x) = w(a + b − x) ∀x ∈ [a, b] (1.2) Ví dụ 1.1.11 Các hàm w1 , w2 : [a, b] ⊂ R → R xác định a+b w1 (x) = c, c ∈ R, w2 (x) = x − hàm đối xứng ứng với a+b Định nghĩa 1.1.12 (xem [5]) Cho I ⊂ R\{0} khoảng thực Hàm f : I → R gọi hàm lồi điều hòa f xy tx + (1 − t)y ≤ tf (y) + (1 − t)f (x) (1.3) với x, y ∈ I t ∈ [0, 1] Nếu bất đẳng thức (1.3) đổi chiều hàm f gọi hàm lõm điều hịa Ví dụ 1.1.13 Cho f : (0, ∞) → R, f (x) = x g : (−∞, 0) → R, g(x) = x f hàm lồi điều hòa g hàm lõm điều hòa 7 Định nghĩa 1.1.14 (xem [7]) Hàm w : [a, b] ⊂ R\{0} → R gọi hàm đối xứng điều hòa ứng với 2ab a+b w(x) = w a + b − x ∀x ∈ [a, b] , (1.4) Ví dụ 1.1.15 Các hàm w1 , w2 : [a, b] ⊂ R → R xác định a + b 2 w1 (x) = c, c ∈ R, w2 (x) = − x hàm đối xứng đối điều hòa ứng với 1.2 1.2.1 2ab 2ab a+b Bất đẳng thức Hermite–Hadamard–Féjer Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite–Hadamard–Féjer Cho f : C ⊂ R → R hàm lồi xác định tập C tập số thực R a, b ∈ C với a < b Bất đẳng thức f a + b ≤ b−a Z b f (x)dx ≤ a f (a) + f (b) (1.5) tiếng biết tên gọi bất đẳng thức Hermite–Hadamard (xem [4]) Trong trường hợp hàm f hàm khả vi lồi, bất đẳng thức dạng Hermite–Hadamard xây dựng sau Bổ đề 1.2.1 (xem [6]) Cho f : I ◦ ⊂ R → R ánh xạ khả vi I ◦ a, b ∈ I ◦ với a < b Nếu hàm f khả tích [a, b] bất đẳng thức sau thỏa mãn f (a) + f (b) − b−a b Z a b−a f (x)dx = Z (1 − 2t)f (ta + (1 − t)b)dt (1.6) Sử dụng Bổ đề 1.2.1, Dragomir [6] thu hai bất đẳng thức Hermite–Hadamard cho hàm lồi trình bày định lý Định lý 1.2.2 (xem [6]) Cho f : I ◦ ⊂ R → R ánh xạ khả vi I ◦ a, b ∈ I ◦ với a < b Nếu |f | lồi [a, b] bất đẳng thức sau thỏa mãn Z b f (a) + f (b) (b − a)(|f (a)| + |f (b)|) − f (x)dx ≤ b−a a (1.7) ... [1]–[8] Chương Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite–Hadamard–Féjer cho hàm p- lồi Chương giới thiệu khái niệm hàm p- lồi, trình bày mối liên hệ hàm p- lồi hàm lồi trình bày số bất đẳng thức dạng Hermite–Hadamard–Féjer...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NINH THỊ LƯU BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG HERMITE–HADAMARD–FEJÉR CHO HÀM P -LỒI CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PH? ?P TOÁN SƠ C? ?P MÃ SỐ: 46 01 13 LUẬN VĂN... luận văn Thái Nguyên, tháng 11 năm 2019 Tác giả luận văn Ninh Thị Lưu Chương Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite–Hadamard–Féjer cho hàm lồi Chương trình bày số bất đẳng thức cho hàm lồi, hàm