ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– TRẦN HUYỀN THƯƠNG BẤT ĐẲNG THỨC SẮP XẾP LẠI VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG THÁI NGUYÊN 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o————[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– TRẦN HUYỀN THƯƠNG BẤT ĐẲNG THỨC SẮP XẾP LẠI VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– TRẦN HUYỀN THƯƠNG BẤT ĐẲNG THỨC SẮP XẾP LẠI VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 84 60 113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS TRỊNH THANH HẢI THÁI NGUYÊN - 2018 i Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Định nghĩa số tính chất bất đẳng thức 1.2 Một số phương pháp giải tốn bất đẳng thức thường gặp phổ thơng Chương Bất đẳng thức xếp lại số ứng dụng 2.1 Bất đẳng thức xếp lại 2.1.1 Khái niệm bất đẳng thức xếp lại 2.1.2 Ý tưởng vận dụng bất đẳng thức xếp lại vào giải toán bất đẳng thức 2.2 Ứng dụng bất đẳng thức xếp lại vào giải số toán bất đẳng thức 2.2.1 Sử dụng bất đẳng thức xếp lại để chứng minh số bất đẳng thức quen thuộc 2.2.2 Sử dụng bất đẳng thức xếp lại vào giải số toán bất đẳng thức dành cho học sinh khá, giỏi Tài liệu tham khảo 20 20 20 22 23 23 29 48 Lời nói đầu Bất đẳng thức xếp lại (hay gọi bất đẳng thức hoán vị) bất đẳng thức sơ cấp mạnh Sử dụng bất đẳng thức xếp lại cho ta lời giải bất đẳng thức thú vị Trên tạp chí tốn quốc tế Mathematical Excalibur (Vol 4, No 3, tháng 3/1999), Kin Yin Li (công tác Khoa Tốn Đại học Khoa học Cơng nghệ Hồng Kông) viết báo với tiêu đề “Rearrangement Inequality” nhằm giới thiệu bất đẳng thức này, từ có nhiều tác giả ngồi nước quan tâm, trao đổi bất đẳng thức xếp lại Với mong muốn làm rõ sở toán học, ý tưởng việc sử dụng bất đẳng thức xếp lại để chứng minh bất đẳng thức, chọn hướng nghiên cứu sử dụng bất đẳng thức xếp lại việc đưa lời giải cho số bất đẳng thức đề thi học sinh giỏi quốc gia quốc tế làm hướng nghiên cứu luận văn thạc sĩ với tên đề tài “Bất đẳng thức xếp lại số ứng dụng” Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn trình bày chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày định nghĩa, tính chất bất đẳng thức liệt kê vài hướng giải tốn bất đẳng thức thường gặp chương trình tốn phổ thơng đề thi chọn học sinh giỏi Chương Bất đẳng thức xếp lại số ứng dụng Nội dung Chương trình bày bất đẳng thức xếp lại ý tưởng việc vận dụng bất đẳng thức xếp lại vào việc giải số toán liên quan đến bất đẳng thức, trình bày cụ thể số ví dụ minh họa cho việc vận dụng bất đẳng thức xếp lại vào việc chứng minh số bất đẳng thức quen thuộc chương trình phổ thơng Cuối chương sưu tầm, chọn lọc đưa số tốn kỳ thi học sinh giỏi có liên quan đến bất đẳng thức xếp lại 2 Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Lời tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS TS Trịnh Thanh Hải Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy Em xin chân thành cảm ơn toàn thể thầy Khoa Tốn Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tận tình hướng dẫn, truyền đạt kiến thức suốt thời gian theo học, thực hoàn thành luận văn Luận văn tác giả đầu tư nghiên cứu hướng dẫn PGS.TS Trịnh Thanh Hải nhiều lí do, luận văn cịn thiếu sót định Em hy vọng nhận nhiều đóng góp q Thầy cơ, anh chị em đồng nghiệp để luận văn hoàn chỉnh Thái Nguyên, tháng năm 2018 Tác giả luận văn Trần Huyền Thương Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức số kết lý thuyết bất đẳng thức, kết kiến thức bổ trợ cho việc trình bày kết chương Nội dung chương tổng hợp từ tài liệu [1] [2] 1.1 Định nghĩa số tính chất bất đẳng thức Trong toán học, bất đẳng thức phát biểu quan hệ thứ tự hai đối tượng Ký hiệu a < b có nghĩa a nhỏ b ký hiệu a > b có nghĩa a lớn b Những quan hệ nói gọi bất đẳng thức nghiêm ngặt; ngồi ta cịn có bất đẳng thức khơng ngặt: a ≤ b có nghĩa a nhỏ b và; a ≥ b có nghĩa a lớn b Sau số tính chất quen thuộc bất đẳng thức thường dùng Tính chất 1.1.1 (Tính chất bắc cầu) Nếu a > b b > c a > c Tính chất 1.1.2 a > b ⇔ a + c > b + c Hệ 1.1.3 a > b ⇔ a − c > b − c Hệ 1.1.4 a + c > b ⇔ a > b − c Tính chất 1.1.5 a > b c > d ⇒ a + c > b + d c > : a > b ⇔ ac > bc, Tính chất 1.1.6 c < : a > b ⇔ ac < bc 4 Tính chất 1.1.7 a > b ⇔ −a < −b a b c > : a > b ⇔ > ; c c Tính chất 1.1.8 a b c < : a > b ⇔ < c c a > b > Tính chất 1.1.9 ⇒ ac > bd c > d > Tính chất 1.1.10 a > b > ⇔ < 1 < a b Tính chất 1.1.11 a > b > 0, n ∈ N∗ ⇒ an > bn √ √ Tính chất 1.1.12 a > b > 0, n ∈ N∗ ⇒ n a > n b Hệ 1.1.13 (i) Nếu a b hai số dương a > b ⇔ a2 > b2 (ii) Nếu a b hai số khơng âm a ≥ b ⇔ a2 ≥ b2 Tính chất 1.1.14 Với a, b ∈ R ta có: (i) |a + b| ≤ |a| + |b| (ii) |a − b| ≤ |a| + |b| (iii) |a + b| = |a| + |b| ⇔ a.b ≥ (iv) |a − b| = |a| + |b| ⇔ a.b ≤ 1.2 Một số phương pháp giải toán bất đẳng thức thường gặp phổ thơng Trong chương trình phổ thơng, học sinh tiếp cận với số hướng để giải toán bất đẳng thức như: - Định nghĩa; - Phép biến đổi tương đương; - Một số bất đẳng thức kinh điển, chẳng hạn bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacopski, Chebyshev, Bernouli; - Tính chất bắc cầu; - Tính chất tỉ số; - Làm trội; - Bất đẳng thức tam giác; - Tam thức bậc hai; - Quy nạp toán học; - Chứng minh phản chứng; - Biến đổi lượng giác; - Khai triển nhị thức Newton; - Tích phân Sau số ví dụ minh họa Ví dụ 1.2.1 Chứng minh với m, n, p, q ta có: m2 + n2 + p2 + q + ≥ m(n + p + q + 1) Chứng minh: Đối với ví dụ ta sử dụng phương pháp biến đổi tương đương sau m2 + n2 + p2 + q + ≥ m(n + p + q + 1) m m ⇔ − mn + n2 + − mp + p2 4 m m + − mq + q + −m+1 ≥0 4 2 m 2 m 2 m 2 m ⇔ −n + −p + −q + − ≥ 2 2 Ta thấy bất đẳng thức cuối hiển nhiên 6 Dấu xảy m −n=0 m −p=0 2 ⇔ m −q =0 m −1=0 m n = m p= m q= m=2 m = ⇔ n = p = q = Ví dụ 1.2.2 Cho xy ≥ Chứng minh rằng: 1 + ≥ 2 1+x 1+y + xy Chứng minh: Đối với ví dụ ta sử dụng phương pháp biến đổi tương đương sau: 1 + ≥ 2 1+x 1+y + xy 1 1 ⇔ − + − ≥0 + x2 + xy + y + xy xy − y xy − x2 + ≥0 ⇔ (1 + x2 ) (1 + xy) (1 + y ) (1 + xy) x(y − x) y(x − y) ⇔ + ≥0 (1 + x2 ) (1 + xy) (1 + y ) (1 + xy) (y − x)2 (xy − 1) ⇔ ≥ (1 + x2 ) (1 + y ) (1 + xy) Bất đẳng thức cuối xy ≥ Ví dụ 1.2.3 Chứng minh rằng: (a10 + b10 )(a2 + b2 ) ≥ (a8 + b8 )(a4 + b4 ) Chứng minh: Đối với ví dụ ta sử dụng phương pháp biến đổi tương đương sau: (a10 + b10 )(a2 + b2 ) ≥ (a8 + b8 )(a4 + b4 ) ⇔ a12 + a10 b2 + a2 b10 + b12 ≥ a12 + a8 b4 + a4 b8 + b12 ⇔ a8 b2 (a2 − b2 ) + a2 b8 (b2 − a2 ) ≥ ⇔ a2 b2 (a2 − b2 )(a6 − b6 ) ≥ ⇔ a2 b2 (a2 − b2 )2 (a4 + a2 b2 + b4 ) ≥ Bất đẳng thức cuối Ví dụ 1.2.4 Cho a, b, c số đo ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c + + ≥ (1.1) b+c−a c+a−b a+b−c Chứng minh: Theo bất đẳng thức Cauchy: s a b c abc + + ≥33 b+c−a c+a−b a+b−c (b + c − a)(c + a − b)(a + b − c) (1.2) Cũng theo bất đẳng thức Cauchy: p (b + c − a)(c + a − b) ≤ (b + c − a + c + a − b) = c (1.3) Viết tiếp hai bất đẳng thức tương tự (1.3) nhân với (b + c − a)(c + a − b)(a + b − c) ≤ abc Suy abc ≥ (b + c − a)(c + a − b)(a + b − c) (1.4) Từ (1.2), (1.4) suy (1.1) Dấu “=” xảy a = b = c hay tam giác tam giác Ví dụ 1.2.5 Cho ≤ n ∈ Z Chứng minh nn+1 > (n + 1)n Chứng minh: Theo bất đẳng thức Bernoulli: n+1 n−1 2 n n = 1− n+1 n+1 n+1 2 n−1 n > 1− n+1 n+1 2n 1 ≥ − + (n + 1) n+1 n+1 (n + 1)2 − 1 ≥ + > , ∀n ≥ (n + 1)2 n+1 n+1 Nên n n+1 n+1 > ⇔ nn+1 > (n + 1)n n+1 a2 + a2 + · · · + a2 = 3, n Ví dụ 1.2.6 Cho Chứng minh rằng: n ∈ Z, n ≥ a1 a2 √ a n + < + · · · + n + Chứng minh: Với k ∈ N∗ ta có: 1 1 1 < = ⇒ < − 1 1 k2 k k2 − k− k+ k− k+ 2 2 Suy 1 1 1 1 1 + + · · · + < − + − + ··· 5 7 22 32 n2 2 2 = − < 1 3 n− n+ n+ 2 2 Do theo bất đẳng thức Bunhiacopski: r q a1 a2 a n + < a2 + a2 + · · · + a2n + + · · · + + ··· + 2 n + 22 32 n2 r √ √ < < + − Ví dụ 1.2.7 Chứng minh với x ∈ R, ta có sin8 x + cos8 x ≥ Chứng minh: Ta có sin2 x + cos2 x = 1, ∀x ∈ R Theo bất đẳng thức Bunhiacopski, = (sin2 x.1 + cos2 x.1) ≤ (sin4 x + cos4 x)(12 + 12 ) ⇔ ≤ sin4 x + cos4 x ⇔ ≤ (sin4 x + cos4 x)2 Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski lần nữa: ≤ (sin4 x.1 + cos4 x.1)2 ⇔ ≤ (sin8 x + cos8 x)(12 + 12 ) ⇔ (sin4 x + cos4 x) ≥ Ví dụ 1.2.8 Cho 4ABC có góc nhọn nội tiếp đường trịn bán kính R = sin A sin 2A + sin B sin 2B + sin C sin 2C 2S = , sin A + sin B + sin C S diện tích tam giác Chứng minh ABC tam giác Chứng minh: Khơng giảm tính tổng qt ta giả sử < A ≤ B ≤ C < π Suy ra: sin A ≤ sin B ≤ sin C, sin 2A ≤ sin 2B ≤ sin 2C Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev ta được: (sin A + sin B + sin C)(sin 2A + sin 2B + sin 2C) ≥ 3(sin A sin 2A + sin B sin 2B + sin C sin 2C) Bất đẳng thức tương đương với sin A sin 2A + sin B sin 2B + sin C sin 2C sin A + sin B + sin C ≤ (sin 2A + sin 2B + sin 2C) (1.5) 10 " Dấu ‘=’ xảy sin A = sin B = sin C ⇔ 4ABC sin 2A = sin 2B = sin 2C Mặt khác: sin 2A + sin 2B + sin 2C = sin(A + B) cos(A − B) + sin 2C = sin C[cos(A − B) + cos C] = sin C[cos(A − B) − cos(A + B)] (1.6) = sin C.2 sin A sin B = sin A sin B sin C = (2R sin A)(2R sin B) sin C = a.b sin C = 2S Thay (1.5) vào (1.6) ta có sin A sin 2A + sin B sin 2B + sin C sin 2C 2S ≤ sin A + sin B + sin C Dấu ‘=’ xảy ⇔ 4ABC Ví dụ 1.2.9 Cho a, b, c, d > abcd = Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + d2 + a(b + c) + b(c + d) + d(c + a) ≥ 10 Chứng minh: Đối với ví dụ ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có lời giải sau: a2 + b2 ≥ 2ab; c2 + d2 ≥ 2cd Do abcd = nên cd = ab Ta có a2 + b2 + c2 + d2 ≥ 2(ab + cd) = 2(ab + ) ≥ ab Mặt khác: a(b + c) + b(c + d) + d(c + a) = (ab + cd) + (ac + bd) + (bc + ad) 1 + ac + + bc + ≥ + + ab + ab ac bc Vậy a2 + b2 + c2 + d2 + a(b + c) + b(c + d) + d(c + a) ≥ 10 Ví dụ 1.2.10 Cho ≤ x, y, z ≤ Chứng minh (2x + 2y + 2z )(2−x + 2−y + 2−z ) ≤ 81 11 Chứng minh: Đặt a = 2x , b = 2y , c = 2z (1 ≤ a, b, c ≤ 2) Vì ≤ a ≤ ⇒ (a − 1)(a − 2) ≤ ⇒ a2 − 3a + ≤ Suy ≤ a (1.7) b+ ≤3 b (1.8) c+ ≤ c (1.9) a+ Chứng minh tương tự ta được: Cộng vế với vế bất đẳng thức (1.7), (1.8), (1.9) áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta s 1 1 1 ≥ (a + b + c) + + + ≥ (a + b + c)2 + + a b c a b c Bất đẳng thức tương đương với 81 1 ≥ (a + b + c) + + a b c Chú ý 1.2.11 Bài toán tổng quát dạng sau: Cho n số x1 , x2 , , xn thuộc đoạn [a, b], c > Khi đó, (cx1 + cx2 + · · · + cxn )(c−x1 + c−x2 + · · · + c−xn ) ≤ [n(ca + cb )]2 4ca+b Ví dụ 1.2.12 Cho a, b, c số đo ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: 1< b c a + + < b+c c+a a+b Chứng minh: Đối với ví dụ ta sử dụng tính chất dãy tỉ số sau: 12 Vì a, b, c số đo ba cạnh tam giác nên a, b, c > a < b + c; b < a + c; c < a + b, suy a a+a 2a < = b+c a+b+c a+b+c Mặt khác a a > b+c a+b+c Nên a a 2a < < a+b+c b+c a+b+c Tương tự ta có: b 2b b < < a+b+c a+c a+b+c c c 2c < < a+b+c a+b a+b+c Cộng vế ba bất đẳng thức ta nhận được: 1< a b c + + < b+c c+a a+b Ví dụ 1.2.13 Cho a, b, c, d > Chứng minh rằng: 1< b c d a + + + < a+b+c b+c+d c+d+a d+a+b Chứng minh: Theo tính chất tỉ lệ thức ta có a a a+d a+b+c a+b+c+d (1.11) Mặt khác: Từ (1.10) (1.11) suy a a a+d < < a+b+c+d a+b+c a+b+c+d (1.12) Tương tự ta có b b b+a < < , a+b+c+d b+c+d a+b+c+d (1.13) 13 c c b+c < < , a+b+c+d c+d+a a+b+c+d (1.14) d d d+c < < a+b+c+d d+a+b a+b+c+d (1.15) Cộng vế với vế (1.12)-(1.15) ta nhận 1< a b c d + + + < a+b+c b+c+d c+d+a d+a+b Ví dụ 1.2.14 Chứng minh rằng: √ 1 n+1−1 + √ + √ + ··· + √ > n (với n số nguyên) Chứng minh: Đối với ví dụ ta sử dụng phương pháp làm trội sau: Ta có √ √ 2 √ = √ >√ =2 k+1− k √ k k k+ k+1 Cho k chạy từ đến n ta √ 1>2 2−1 √ √ √ >2 3− √ √ √ >2 n+1− n n Cộng vế bất đẳng thức ta có √ 1 1 + √ + √ + ··· + √ > n+1−1 n Ví dụ 1.2.15 Chứng minh n X < ∀n ∈ Z k2 k=1 14 Chứng minh: Đối với ví dụ ta sử dụng phương pháp làm trội sau: Ta có 1 1 < = − k2 k(k − 1) k − k Cho k chạy từ đến n ta có 1 Nhân vế bất đẳng thức ta a2 b2 c2 ≥ a2 − (b − c)2 b2 − (c − a)2 c2 − (a − b)2 Bất đẳng thức tương đương với a2 b2 c2 ≥ (a + b − c)2 (b + c − a)2 (c + a − b)2 Hay abc ≥ (a + b − c).(b + c − a).(c + a − b) Ví dụ 1.2.17 Chứng minh rằng: f (x; y) = x2 y + 2(x2 + 2).y + 4xy + x2 > 4xy Chứng minh: Dùng tam thức bậc hai bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với x2 y + 2(x2 + 2)y + 4xy + x2 − 4xy > ⇔ (y + 1)2 x2 + 4y(1 − y)2 x + 4y > Ta có 40 = 4y (1 − y )2 − 4y (y + 1)2 = −16y < Vì a = (y + 1)2 > Vậy f (x, y) > Ví dụ 1.2.18 Chứng minh f (x, y) = x2 + 5y − 4xy + 2x − 6y + > Chứng minh: Dùng tam thức bậc hai Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với x2 − 2x(2y − 1) + 5y − 6y + > 16 40 = (2y−1)2 −5y +6y−3 = 4y −4y+1−5y +6y−3 = −(y−1)2 −1 < Vậy f (x, y) > với x, y Ví dụ 1.2.19 Chứng minh rằng: 1 1 + + · · · + < − , 12 22 n2 n ∀n ∈ N; n > (1.16) Chứng minh: Đối với ví dụ ta sử dụng phương pháp quy nạp sau: 1 Với n = ta có + < − (đúng) Vậy bất đẳng thức (1.16) với n = Giả sử bất đẳng thức (1.16) với n = k ta phải chứng minh bất đẳng thức (1.16) với n = k + Thật n = k + bất đẳng thức (1.16) tương đương với 1 1 + + · · · + + < − 12 22 k (k + 1)2 k+1 Theo giả thiết quy nạp bất đẳng thức tương đương với 1 1 1 + + · · · + + < − + < − 12 22 k (k + 1)2 k (k + 1)2 k+1 1 1 < + < ⇔ + ··· + (k + 1)2 k + (k + 1)2 k 1 k+1+1 + < ⇔ < ⇔ k(k + 2) < (k + 1)2 2 k + (k + 1) k (k + 1) k 2 ⇔ k + 2k < k + 2k + Điều Ta có: Ví dụ 1.2.20 Cho n ∈ N a + b > Chứng minh n an + bn a+b ≤ 2 (1.17) Chứng minh: Đối với ví dụ ta sử dụng phương pháp quy nạp sau: Ta thấy bất đẳng thức (1.17) với n = Giả sử bất đẳng thức (1.17) với n = k ta phải chứng minh bất đẳng thức (1.17) với n = k + 17 Với n = k + bất đẳng thức (1.17) tương đương với k+1 a+b ak+1 + bk+1 ≤ 2 Hay a+b k a+b ak+1 + bk+1 ≤ 2 (1.18) Ta phải chứng minh bất đẳng thức (1.18) Thật vậy, theo giả thiết quy nạp, k a+b a+b ak + bk a + b ak+1 + abk + ak b + bk+1 ≤ = 2 2 Ta chứng minh ak+1 + bk+1 ak+1 + abk + ak b + bk+1 − ≥0 Hay, ta phải chứng minh ak − bk (a − b) ≥ (1.19) Thật vậy: - Giả sử a ≥ b giả thiết cho a ≥ −b nên a ≥ |b| ⇒ ak ≥ |b|k ≥ bk ⇒ ak − bk (a − b) ≥ - Giả sử a < b theo giả thiết −a < b nên |a|k < bk ⇔ ak < bk ⇔ ak − bk (a − b) ≥ Vậy bất đẳng thức (1.19) ln √ √ Ví dụ 1.2.21 Cho a, b ≥ Chứng minh a b − 1+b a − ≤ ab Chứng minh: Đối với ví dụ ta sử dụng phương pháp biến đổi lượng giác sau: Đặt a = h i cos2 α , α, β ∈ 0, π b = cos2 β ... vận dụng bất đẳng thức xếp lại vào giải toán bất đẳng thức 2.2 Ứng dụng bất đẳng thức xếp lại vào giải số toán bất đẳng thức 2.2.1 Sử dụng bất đẳng thức xếp lại. .. bất đẳng thức xếp lại ý tưởng việc vận dụng bất đẳng thức xếp lại vào việc giải số toán liên quan đến bất đẳng thức, trình bày cụ thể số ví dụ minh họa cho việc vận dụng bất đẳng thức xếp lại vào... rõ sở toán học, ý tưởng việc sử dụng bất đẳng thức xếp lại để chứng minh bất đẳng thức, chọn hướng nghiên cứu sử dụng bất đẳng thức xếp lại việc đưa lời giải cho số bất đẳng thức đề thi học sinh