(Luận văn) bất đẳng thức biến phân trong không gian hữu hạn chiều và bài toán cực trị lồi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NHỮ VĂN HUẤN lu an va BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN n TRONG KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU tn to p ie gh VÀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ LỒI d oa nl w nf va an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu Thái Nguyên - 2015 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NHỮ VĂN HUẤN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU lu VÀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ LỒI an n va tn to Chuyên ngành: Toán ứng dụng gh 60 46 01 12 p ie Mã số: nl w d oa LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC nf va an lu lm ul NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC z at nh oi TS NGUYỄN THỊ THU THỦY z m co l gm @ an Lu n va Thái Nguyên - 2015 ac th si Mục lục Mở đầu Bảng ký hiệu lu Bất đẳng thức biến phân không gian hữu hạn chiều an n va 6 1.1.2 Tập nghiệm bất đẳng thức biến phân 1.1.3 Bất đẳng thức biến phân đối ngẫu 8 1.2 Sự tồn nghiệm bất đẳng thức biến phân 11 1.2.1 Phép chiếu mêtric 11 p ie gh tn to 1.1 Bất đẳng thức biến phân không gian Euclid 1.1.1 Định nghĩa ví dụ w oa nl 1.2.2 Định lý tồn nghiệm 19 d Bất đẳng thức biến phân toán cực trị lồi 12 lu nf va an 2.1 Bất đẳng thức biến phân toán cực trị 2.1.1 Bài toán cực trị 19 19 lm ul 2.1.2 Mối liên hệ toán cực trị bất đẳng thức 22 bù toán điểm bất động 2.2.1 Hệ phương trình 24 24 z at nh oi biến phân 2.2 Bất đẳng thức biến phân với hệ phương trình, tốn z @ 25 26 2.2.4 Bài toán cân kinh tế dạng bất đẳng thức biến phân 29 m co l gm 2.2.2 Bài toán bù 2.2.3 Bài toán điểm bất động an Lu n va ac th si Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Bài toán cân cổ điển (hay cịn gọi tốn cân vơ hướng) đóng vai trị quan trọng nhiều lĩnh vực khác toán học lý thuyết ứng dụng Từ tốn suy lu toán khác lý thuyết tối ưu: toán tối ưu, toán cân Nash, toán bù, toán bất đẳng thức biến phân an va n Bài toán bất đẳng thức biến phân Stampacchia đề xuất nghiên cứu từ đầu năm 60 kỉ trước (xem [11]) gh tn to Những nghiên cứu Stampacchia bất đẳng thức biến phân liên p ie quan đến việc giải tốn biên phương trình đạo hàm riêng Năm 1979, Smith [10] đưa tốn cân mạng giao thơng năm 1980 d oa nl w Dafermos [2] điểm cân toán nghiệm bất đẳng thức biến phân Cho tới nay, có nhiều toán quan nf va an lu trọng thực tế thiết lập nghiên cứu dạng bất đẳng thức biến phân Chẳng hạn, toán cân mạng giao thơng, lm ul tốn cân thị trường độc quyền, tốn cân tài tốn cân di cư (xem [7]) Ngồi ra, bất đẳng thức biến phân z at nh oi công cụ hữu hiệu để nghiên cứu xây dựng phương pháp giải số cho nhiều lớp toán cân kỹ thuật, vận tải, lý thuyết trò chơi Do việc nghiên cứu tồn nghiệm, z xây dựng phương pháp giải bất đẳng thức biến phân đề tài thời thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều gm @ m co l nhà toán học Luận văn nhằm trình bày tổng quan bất đẳng thức biến phân an Lu không gian hữu hạn chiều toán cực trị lồi Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương giới thiệu n va ac th si tốn bất đẳng thức biến phân khơng gian hữu hạn chiều nghiên cứu điều kiện tồn nghiệm toán Chương trình bày mối quan hệ bất đẳng thức biến phân hữu hạn chiều với toán cực trị lồi Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên Tác giả xin cảm ơn sâu sắc tới người hướng dẫn luận văn cao học mình, TS Nguyễn Thị Thu Thủy, giảng viên trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, người dành nhiều thời gian tâm huyết để hướng dẫn giải thắc mắc cho suốt q trình tơi làm luận văn Tơi xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới thầy cô hội đồng chấm luận văn thạc sĩ, thầy cô lu an giảng dạy lớp Cao học tốn K7D, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thiện khóa học va n luận văn to gh tn Thái Nguyên, tháng 12 năm 2015 Học viên p ie w d oa nl Nhữ Văn Huấn nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Bảng ký hiệu lu an không gian Euclide n chiều D(A) miền xác định toán tử A R(A) miền giá trị tốn tử A C tập lồi đóng Rn I ánh xạ đơn vị PC phép chiếu mêtrix Rn lên tập lồi đóng C Rn n va Rn ie gh tn to tập điểm bất động ánh xạ T p Fix(T ) d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Bất đẳng thức biến phân không gian hữu hạn chiều lu an va n Chương trình bày cách sơ lược bất đẳng thức biến phân gh tn to không gian hữu hạn chiều số tính chất tồn nghiệm bất đẳng thức biến phân Mục 1.1 giới thiệu tổng p ie quan bất đẳng thức biến phân khơng gian Euclid Rn số tính chất tập nghiệm tốn Trong Mục 1.2 trình bày điều w d oa nl kiện tồn nghiệm bất đẳng thức biến phân Các kiến thức chương viết sở tài liệu [1]–[11] Bất đẳng thức biến phân không gian Euclid nf va lm ul 1.1.1 an lu 1.1 Định nghĩa ví dụ z at nh oi Trong mục ta giả thiết Rn không gian Euclid với tích vơ hướng chuẩn ký hiệu h., i k.k z Định nghĩa 1.1 Cho C tập lồi đóng Rn F : C → Rn ánh xạ đơn trị Bài toán bất đẳng thức biến phân hữu hạn chiều với gm @ m co l ánh xạ phi tuyến đơn trị F , ký hiệu VI(F, C) (variational inequality), phát biểu sau: hF (x∗ ), x − x∗ i ≥ ∀x ∈ C (1.1) an Lu Tìm x∗ ∈ C cho n va ac th si Ví dụ 1.1 Cho hàm biến thực f khả vi [a, b] ⊂ R Tìm phần tử x0 ∈ [a, b] thỏa mãn f (x0 ) = f (x) x∈[a,b] Ba tình sau xảy ra: (i) Nếu x0 ∈ (a, b) f (x0 ) = 0; (ii) Nếu x0 = a f (x0 ) ≥ 0; (iii) Nếu x0 = b f (x0 ) ≤ Những phát biểu tổng hợp thành lu an n va f (x0 )(x − x0 ) ≥ ∀x ∈ [a, b], Ví dụ 1.2 Cho f hàm số thực khả vi tập lồi đóng C khơng gian Euclid n chiều Rn Tìm phần tử x∗ ∈ C thỏa mãn p ie gh tn to bất đẳng thức biến phân nl w f (x∗ ) = f (x) x∈C oa d Giả sử x0 điểm cực tiểu cần tìm x phần tử tùy ý thuộc C Vì C tập hợp lồi nên nf va an lu (1 − t)x0 + tx = x0 + t(x − x0 ) ∈ C, ≤ t ≤ lm ul z at nh oi Hàm Φ(t) = f (x0 + t(x − x0 )), 0≤t≤1 đạt cực tiểu t = Do đó, từ Ví dụ 1.1 z gm @ Φ0 (0) = f (x0 )(x − x0 ) ≥ ∀x ∈ C f (x0 )(x − x0 ) ≥ ∀x ∈ C an Lu Nếu tập C bị chặn điểm x0 tồn m x0 ∈ C : co l Như điểm x0 thỏa mãn bất đẳng thức biến phân n va ac th si 1.1.2 Tập nghiệm bất đẳng thức biến phân Cho C 6= ∅ tập lồi đóng Rn x∗ ∈ C Nón chuẩn tắc tới C x∗ tập n o n NC (x∗ ) = d ∈ R : hd, x − x∗ i ≤ ∀x ∈ C Véctơ d ∈ NC (x∗ ) gọi véctơ chuẩn tắc tới C x∗ Dễ thấy, (1.1) ⇔ h−F (x∗ ), x − x∗ i ≤ ∀x ∈ C ⇔ −F (x∗ ) vec tơ chuẩn tắc tới C x∗ ⇔ −F (x∗ ) ∈ NC (x∗ ) lu an hay va n ∈ F (x∗ ) + NC (x∗ ) p ie gh tn to Định nghĩa 1.2 Tập hợp điểm x∗ ∈ C thỏa mãn (1.1) gọi tập nghiệm bất đẳng thức biến phân, ký hiệu S w Các giả thiết thường đặt lên toán VI(F, C) là: d oa nl (A1) Tập C 6= ∅ tập lồi đóng Rn ; an lu (A2) Ánh xạ F ánh xạ liên tục (trên tập mở chứa C) nf va Khi C tập lồi đóng Rn F ánh xạ liên tục tập S tập hợp đóng Rn lm ul Bất đẳng thức biến phân đối ngẫu z at nh oi 1.1.3 Nghiệm bất đẳng thức biến phân (1.1) có mối liên hệ với @ hF (x), x − x∗ i ≥ ∀x ∈ C (1.2) l gm Tìm điểm x∗ ∈ C thỏa mãn z toán: Bài toán (1.2) gọi bất đẳng thức biến phân đối ngẫu VI(F, C), co m ký hiệu DVI(F, C) (dual variational inequality) với tập nghiệm ký hiệu S ∗ Để khảo sát mối liên hệ S S ∗ ta cần thêm giả an Lu thiết tính đơn điệu cho ánh xạ F n va ac th si 20 Cho C tập lồi đóng Rn hàm f khả vi liên tục tập mở U ⊂ Rn chứa C Bài toán cực trị, ký hiệu OP(f, C) (optimization problem), phát biểu sau: Tìm điểm x∗ ∈ C thỏa mãn f (x∗ ) ≤ f (x) ∀x ∈ C, hay dạng ngắn gọn → {f (x) | x ∈ C} (2.1) Kí hiệu S † tập nghiệm tốn (2.1) Tính lồi hàm f (2.1) đóng vai trị quan trọng việc nghiên cứu tính chất tập lu S † Điều tương tự tính đơn điệu ta xét đến tính chất tập nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân Ta nhắc lại số an n va định nghĩa tính chất lồi hàm số sau ie gh tn to Định nghĩa 2.1 Cho W V tập lồi Rn , W ⊆ V cho hàm f : V → R hàm khả vi Hàm f gọi p (a) lồi mạnh W với số τ > 0, với cặp u, v ∈ W nl w α ∈ [0, 1] ta có d oa f (αu + (1 − α)v) ≤ αf (u) + (1 − α)ϕ(v) − 0.5α(1 − α)τ ku − vk2 ; lu nf va an (b) lồi chặt W với u, v ∈ W, u 6= v α ∈ (0, 1), lm ul f (αu + (1 − α)v) < αf (u) + (1 − α)ϕ(v); z at nh oi (c) lồi W với cặp u, v ∈ W α ∈ [0, 1] ta có f (αu + (1 − α)v) ≤ αf (u) + (1 − α)ϕ(v) z (a) ⇒ (b) ⇒ (c) co l gm @ Khẳng định sau suy trực tiếp từ định nghĩa trên: m Các khẳng định ngược lại nói chung không Sau mối liên hệ tính lồi hàm số tính đơn điệu an Lu gradient chúng n va ac th si 21 Mệnh đề 2.1 [9] Cho W tập lồi mở V Rn Hàm khả vi f : V → R lồi mạnh với số τ (tương ứng, lồi chặt lồi) W ánh xạ gradient 5f : U → Rn đơn điệu mạnh với số τ (tương ứng, đơn điệu chặt đơn điệu) W Một số tính chất hàm lồi khả vi trình bày mệnh đề sau Mệnh đề 2.2 [9] Cho U tập mở tập C Rn Hàm f : C → R hàm lồi khả vi U với x ∈ U ta có f (y) ≥ f (x) + h5f (x), y − xi ∀y ∈ U lu an Ta có nguyên lý cực tiểu cho toán cực trị OP(f, C) sau: va n Mệnh đề 2.3 Nếu x∗ cực tiểu địa phương hàm f C to (2.2) gh tn h5f (x∗ ), x − x∗ i ≥ ∀x ∈ C p ie Chứng minh Thật vậy, đặt ϕ(t) = f (x∗ ) + t(x − x∗ ) với t ∈ [0, 1] Khi đó, ϕ đạt cực tiểu t = 0: w oa nl ϕ0 (0) ≥ ⇔ h5f (x∗ ), x − x∗ i ≥ d Do đó, x∗ thỏa mãn điều kiện (2.2) an lu nf va z at nh oi lm ul Chú ý 2.1 Nếu f hàm lồi cực tiểu địa phương x∗ trở thành cực tiểu toàn cục f C Chứng minh Thật vậy, f hàm lồi nên ta có f (x) ≥ f (x∗ ) + h5f (x∗ ), x − x∗ i ∀x ∈ C z @ Mà h5f (x∗ ), x − x∗ i ≥ x∗ nghiệm địa phương OP(f, C) l gm Suy ra: f (x) ≥ f (x∗ ) ∀x ∈ C Vậy x∗ cực tiểu toàn cục hàm f C m co kiện để x∗ cực tiểu địa phương hàm f an Lu Mệnh đề sau đây, gọi nguyên lý cực tiểu, cho ta điều n va ac th si 22 Mệnh đề 2.4 Nếu x∗ cực tiểu địa phương hàm f tập C h5f (x∗ ), x − x∗ i ≥ ∀x ∈ C 2.1.2 (2.3) Mối liên hệ toán cực trị bất đẳng thức biến phân Hai mệnh đề sau cho ta mối quan hệ toán tối ưu (2.1) bất đẳng thức biến phân (1.1) Mệnh đề 2.5 Giả sử x∗ nghiệm toán tối ưu (2.1) với f lu hàm khả vi liên tục C tập lồi đóng Rn Khi x∗ nghiệm bất đẳng thức biến phân (1.1) với an (2.4) n va F (x) = 5f (x) ie gh tn to Chứng minh Đặt φ(t) = f (x∗ + t(x − x∗ )) với t ∈ [0, 1] Khi φ(t) đạt cực tiểu t = 0, p ≤ φ0 (0) = h5f (x∗ ), x − x∗ i , w oa nl hay x∗ bất đẳng thức biến phân (1.1) với F (x∗ ) = 5f (x∗ ) d an lu nf va Mệnh đề 2.6 Nếu f (x) hàm lồi x∗ nghiệm bất đẳng thức lm ul biến phân VI(5f, C) thì, x∗ nghiệm toán tối ưu (2.1) z at nh oi Chứng minh Do f (x) hàm lồi nên ta có f (x) ≥ f (x∗ ) + h5f (x∗ ), x − x∗ i ∀x ∈ C (2.5) z Mặt khác h5f (x∗ ), x − x∗ i ≥ x∗ nghiệm VI(5f, C) Do đó, từ (2.5) ta suy gm @ m hay x∗ nghiệm tốn (2.1) co l f (x) ≥ f (x∗ ) ∀x ∈ C, an Lu n va ac th si 23 Trong trường hợp C = Rn tốn (2.1) trở thành tốn khơng ràng buộc ta đưa tốn bất đẳng thức biến phân Khi đó, ta có định lý sau mối quan hệ toán OP(f, C) VI(F, C) Định lý 2.1 [5] Giả sử hàm f : C → R hàm khả vi Khi đó: (i) S † ⊆ S tức là, nghiệm toán (2.1) nghiệm toán (1.1) với F (x) = 5f (x); (2.6) lu (ii) f hàm lồi F xác định (2.6), S ⊆ S † Khi đó, S = S † an n va Chứng minh Khẳng định (ii) suy trực tiếp từ Mệnh đề 2.2 Ta chứng minh khẳng định (i) Giả sử ngược lại, tồn điểm gh tn to x∗ ∈ S † \ S, tức tồn điểm y ∈ C cho p ie h5f (x∗ ), y − x∗ i < oa nl w Khi đó, với α > đủ bé ta có yα = x∗ + α(y − x∗ ) = αy + (1 − α)x∗ ∈ C d f (yα ) = f (x∗ ) + α h5f (x∗ ), y − x∗ i + o(α) ≤ f (x∗ ), an lu nf va điều có nghĩa x∗ khơng phải nghiệm toán cực trị (2.1), điều mâu thuẫn với giả thiết (i) lm ul z at nh oi Từ Định lý 2.1 suy ra, toán cực trị lồi OP(f, C) tương đương với z toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu VI(F, C) với F = 5f Tuy nhiên, bất đẳng thức biến phân thể điều kiện tối ưu toán @ hàm số khả vi hF (y + τ (x − y)), x − yi dτ f (x) = an Lu Z m co l gm cực trị có thêm vài tính chất so với bất đẳng thức biến phân thông thường Cụ thể, ma trận 5F đối xứng, với v cố định, tồn n va ac th si 24 cho (2.6) thỏa mãn (xem [5]) Mà ma trận Jacobian 5F hàm F (1.1) nói chung khơng đối xứng Do vậy, tốn bất đẳng thức biến phân bao hàm toán cực trị bất đẳng thức biến phân biểu diễn dạng toán cực trị điều kiện đối xứng nửa xác định dương đặt lên ma trận Jacobian 5F (x) thỏa mãn Vậy khẳng định bất đẳng thức biến phân toán tổng quát tốn cực trị theo nghĩa bao gồm trường hợp ma trận Jacobian F (x) bất đối xứng 2.2 lu an n va 2.2.1 Bất đẳng thức biến phân với hệ phương trình, tốn bù tốn điểm bất động Hệ phương trình gh tn to Nhiều toán cân kinh tế cổ điển thiết lập dạng hệ phương trình chẳng hạn toán cân cung-cầu thị p ie trường Dễ thấy, (1.1) C = Rn , F : Rn → Rn VI(F, C) w tương đương với tốn tìm x∗ ∈ Rn thỏa mãn (2.7) d oa nl F (x∗ ) = ta có nf va an lu Thật vậy, F (x∗ ) = bất đẳng thức (1.1) thỏa mãn với ràng buộc đẳng thức Ngược lại x∗ nghiệm (1.1), đặt x = x∗ − F (x∗ ), lm ul hF (x∗ ), −F (x∗ )i ≥ z at nh oi hay −kF (x∗ )k2 ≥ 0, z F (x∗ ) = gm @ m co l Nếu F ánh xạ affine, tức F = M x + q, tốn tương đương với lớp tốn hệ phương trình tuyến tính (2.8) an Lu M x∗ = −q n va ac th si 25 Tuy nhiên cần ý tốn hệ phương trình biểu diễn dạng bất đẳng thức biến phân, chẳng hạn trường hợp giả thiết không âm đặt lên số biến xác định thí dụ giá 2.2.2 Bài tốn bù Cho C tập không gian Euclid Rn Tập C gọi nón với x ∈ C số λ > 0, ta có λx ∈ C Nón C gọi nón lồi tập hợp lồi lu Giả sử C nón lồi đóng Rn F : C → Rn ánh xạ liên tục Bài toán bù phi tuyến, ký hiệu NCP(F, C) (nonlinear an complementary problem), phát biểu sau: va n Tìm điểm x∗ ∈ C cho F (x∗ ) ∈ C ∗ , hF (x∗ ), x∗ i = 0, (2.9) p ie gh tn to C ∗ nón đối ngẫu nón C xác định n o n ∗ C = y ∈ R : hy, xi ≥ ∀x ∈ C w nl Khi F ánh xạ affine, tức F = M x + q với M ma trận vuông cấp d oa n q ma trận cỡ n × toán (2.9) trở thành toán bù tuyến nf va an lu tính, viết tắt LCP(F, C) (linear complementary problem) Bài tốn bù coi trường hợp đặc biệt bất đẳng thức biến phân khẳng định mệnh đề sau lm ul z at nh oi Mệnh đề 2.7 [3] Cho C nón lồi đóng Rn F : C → Rn Khi đó, tốn VI(F, C) tương đương với toán NCP(F, C) z Chứng minh Trước tiên ta x∗ nghiệm VI(F, C) x∗ thỏa mãn (2.9) Thật vậy, dễ thấy x∗ ∈ C an Lu hF (x∗ ), −x∗ i ≥ m Bây ta thay x = (1.1), ta có (2.10) co hF (x∗ ), x∗ i ≥ l gm @ Tiếp theo, thay x = 2x∗ bất đẳng thức biến phân (1.1), ta thu (2.11) n va ac th si 26 Từ (2.10) (2.11), ta suy hF (x∗ ), x∗ i = (2.12) Mặt khác, ≤ hF (x∗ ), x − x∗ i = hF (x∗ ), xi − hF (x∗ ), x∗ i = hF (x∗ ), xi (do (2.12)) Suy F (x∗ ) ∈ C ∗ Do đó, x∗ nghiệm toán NCP(F, C) Ngược lại, x∗ nghiệm toán bù NCP(F, C), nghĩa x∗ thỏa mãn (2.9), hF (x∗ ), x − x∗ i = hF (x∗ ), xi − hF (x∗ ), x∗ i ≥ lu an F (x∗ ) ∈ C ∗ (2.12) n va Bài toán điểm bất động ie gh tn to 2.2.3 p Giả sử C tập lồi khơng gian Rn T : C → C ánh xạ liên tục Bài toán điểm bất động, ký hiệu FP(T, C) (fixed w d oa nl point problem), phát biểu sau: tìm x∗ ∈ C thỏa mãn Tìm x∗ ∈ C thỏa mãn x∗ = T (x∗ ) an lu (2.13) nf va Việc tìm nghiệm toán điểm bất động (2.13) tương đương với lm ul việc giải phương trình tốn tử: T (x∗ ) − x∗ = z at nh oi (2.14) Định lý điểm bất động Banach đưa luận án Banach z vào năm 1992 sau: @ gm Định lý 2.2 Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ T : X → X an Lu với n ≥ 0, hội tụ mạnh tới q m co l ánh xạ co Khi đó, T có điểm bất động q X với xấp xỉ ban đầu tùy ý x0 ∈ X, dãy lặp {xn } định nghĩa xn+1 = T (xn ), n va ac th si 27 Chứng minh Sự tồn tại: Với x0 tùy ý thuộc X, đặt xn+1 = T (xn ) với n ≥ Do T ánh xạ co không gian mêtric X nên tồn số k ∈ [0, 1) cho d(T (x), T (y)) ≤ kd(x, y) Xét: d(xn , xn+1 ) = d(T (xn−1 ), T (xn )) ≤ kd(xn−1 , xn ) ≤ k d(xn−2 , xn−1 ) ≤ ≤ k n d(x0 , x1 ) Lấy m > n ta có: lu d(xn , xm ) ≤ d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + + d(xm−1 , xm ) an ≤ (k n + k n+1 + + k m−1 )d(x0 , x1 ) va n ≤ k n (1 + k + + k m−n−1 )d(x0 , x1 ) ≤ kn d(x0 , x1 ) → n → ∞ 1−k ie gh tn to p Vậy {xn } dãy Cauchy không gian mêtric đầy đủ X Do dãy {xn } hội tụ tới phần tử q ∈ X Với n ≥ ta có oa nl w ≤ d(q, T (q)) ≤ d(q, xn ) + d(xn , T (q)) d = d(q, xn ) + d(T (xn−1 ), T (q)) lu nf va an ≤ d(q, xn ) + kd(xn−1 , q) lm ul Vì dãy {xn } hội tụ phần tử q ∈ X nên d(q, xn ) + kd(xn−1 , q) → z at nh oi n → ∞ Từ ≤ d(q, T (q)) ≤ suy d(q, T (q)) = hay T (q) = q Vậy q điểm bất động ánh xạ T Tính nhất: Giả sử tồn p ∈ X cho T (p) = p Khi z d(q, p) = d(T (q), T (p)) ≤ kd(q, p) @ l gm Với k ∈ [0, 1) từ đẳng thức suy d(q, p) = q = p Vậy q m co an Lu Bài toán điểm bất động sử dụng để xây dựng, phân tích tính tốn nghiệm cho toán cân kinh tế Bài toán điểm bất động n va ac th si 28 (2.13) viết dạng bất đẳng thức biến phân VI(F, C) nội dung mệnh đề sau Mệnh đề 2.8 [5] Nếu ánh xạ F xác định F (x) = x − T (x) (2.15) nghiệm toán VI(F, C) nghiệm toán điểm bất động FP(T, C) ngược lại Chứng minh Nếu x∗ thỏa mãn (2.13) hiển nhiên F (x∗ ) = x∗ ∈ SOL-VI(F, C) Ngược lại x∗ ∈ SOL-VI(F, C) x∗ thỏa lu mãn (2.15) T (x∗ ) ∈ C ⊂ Rn đặt x = T (x∗ ) (1.1) ta có an n va ≤ hx∗ − T (x∗ ), T (x∗ ) − x∗ i = −kx∗ − T (x∗ )k2 ≤ gh tn to Từ suy x∗ = T (x∗ ), tức x∗ thỏa mãn (2.13) p ie w Ngược lại, bất đẳng thức biến phân biểu diễn d oa nl dạng toán điểm bất động dựa phép chiếu mêtric Mối quan hệ toán điểm bất động (2.13) bất đẳng thức biến phân VI(F, C) nf va an lu phát biểu định lý sau Định lý 2.3 [7] Giả sử C tập khác rỗng lồi đóng Rn lm ul Khi x∗ nghiệm bất đẳng thức biến phân VI(F, C) z at nh oi với γ > 0, x∗ điểm bất động ánh xạ PC (I − γF ) : C → C, z tức @ x∗ = PC (x∗ − γF (x∗ )) (2.16) l gm m co Chứng minh Giả sử x∗ nghiệm bất đẳng thức biến phân VI(F, C), tức ta có an Lu hF (x∗ ), x − x∗ i ≥ ∀x ∈ C n va ac th si 29 Nhân hai vế bất đẳng thức với −γ < cộng hai vế bất đẳng thức thu với hx∗ , x − x∗ i, ta có hx∗ , x − x∗ i ≥ hx∗ − γF (x∗ ), x − x∗ i (2.17) Từ Định lý 1.1, ta có x∗ thỏa mãn (2.16) Ngược lại, giả sử x∗ thỏa mãn (2.16) với γ > Khi đó, hx∗ , x − x∗ i ≥ hx∗ − γF (x∗ ), x − x∗ i Suy x∗ thỏa mãn bất đẳng thức biến phân VI(F, C) lu an 2.2.4 Bài toán cân kinh tế dạng bất đẳng thức va n biến phân ie gh tn to Mục trình bày toán thực tế lĩnh vực kinh tế mơ hình hóa dạng tốn bất đẳng thức biến phân số p toán liên quan trình bày mục trước Các kiến thức trình oa nl w bày mục tham khảo từ tài liệu [7] Một số mô hình kinh tế xây dựng để khảo sát điều kiện cân d nguồn cung cầu loại hàng hóa đó, mơ hình thực chất mơ hình tốn cân Khái niệm cân an lu nf va kinh tế biểu thị dạng mối quan hệ bổ sung giá nguồn cầu bị vượt loại hàng hóa Do đó, hầu hết mơ lm ul z at nh oi hình cân kinh tế viết dạng toán bù bất đẳng thức biến phân Để minh họa cho khẳng định này, mô tả mơ hình kinh tế tổng qt Walras đưa z gm @ Trước tiên ta xét tốn cân thị trường mơ tả dạng co l toán hệ phương trình Một sở sản xuất phân phối n mặt hàng ký hiệu i, i = 1, 2, , n cho m đại lý tiêu thụ đại lý m ký hiệu j, j = 1, 2, , m Ký hiệu p vec tơ n-chiều biểu thị giá mặt hàng gồm thành phần p = (p1 , p2 , , pn ) Giả sử an Lu lượng cầu mặt hàng thứ i tất đại lý di Nói chung n va ac th si 30 di phụ thuộc vào giá tất mặt hàng, tức di = di (p) Khi ta có m X di (p) = dij (p), j=1 dj (p) nhu cầu mặt hàng thứ i đại lý thứ j Tương tự ta có lượng cung mặt hàng thứ i cho tất đại lý, ký hiệu si , nói chung, phụ thuộc vào giá tất mặt hàng, tức si (p) = m X sij (p), j=1 sij (p) lượng cung mặt hàng thứ i cho đại lý thứ j với lu vec tơ giá p Ta tổng hợp lượng cầu tất mặt hàng thành an va n vec tơ cột n-chiều d với thành phần sau: {d1 , d2 , , dn } ie gh tn to lượng cung n mặt hàng thành vec tơ cột n-chiều s với thành phần sau: {s1 , s2 , , sn } p Điều kiện cân thị trường yêu cầu lượng cung mặt hàng phải lượng cầu mặt hàng với vec tơ giá p∗ , tương w oa nl đương với hệ phương trình sau: d s(p∗ ) = d(p∗ ) lu nf va an Hiển nhiên hệ phương trình biểu diễn dạng tổng quát hệ phương trình ta xác định vec tơ x ≡ p F (x) ≡ z at nh oi lm ul s(p) − d(p) Tuy nhiên cần ý lớp toán hệ phương trình chưa đủ tổng quát để bảo đảm cho toán xét chẳng hạn p∗ ≤ thỏa mãn Tiếp theo, chúng tơi trình bày toán bù phi tuyến cho toán z cân thị trường Xét trường hợp hàm cầu cho trước hàm cung Khi đó, thay điều kiện cân thị trường xét gm @ l trường hợp hệ phương trình, ta xét điều kiện cân sau: Với m co mặt hàng thứ i, i = 1, 2, , n,  = p∗ > i ∗ ∗ s(p ) − d(p ) ≥ p∗ = i an Lu n va ac th si 31 Điều kiện cân có nghĩa giá mặt hàng dương trạng thái cân lượng cung mặt hàng phải lượng cầu mặt hàng Mặt khác, giá mặt hàng trạng thái cân lượng cung mặt hàng vượt lượng cầu mặt hàng, tức s(p∗ ) − d(p∗ ) > 0, hay thị trường ngừng hoạt động Hơn nữa, hệ phương trình hệ bất phương trình bảo đảm giá mặt hàng không lấy giá trị âm trường hợp điều kiện cân thị trường trường hợp hệ phương trình xét Khi đó, mơ hình tốn dạng tốn bù phi tuyến cho toán xét biểu diễn sau Xác định p∗ ∈ Rn+ thỏa mãn lu an s(p∗ ) − d(p∗ ) ≥ hs(p∗ ) − d(p∗ ), p∗ i = n va gh tn to Hơn nữa, ta biết toán bù phi tuyến trường hợp đặc biệt bất đẳng thức biến phân Do đó, ta viết lại toán bù p ie phi tuyến dạng bất đẳng thức biến phân sau: Tìm điểm p∗ ∈ Rn+ thỏa mãn w d oa nl hs(p∗ ) − d(p∗ ), p − p∗ i ≥ ∀p ∈ Rn+ nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 32 Kết luận Trong luận văn chúng tơi trình bày số vấn đề sau: Trong Chương 1, chúng tơi trình bày tổng qt bất đẳng thức biến lu phân hữu hạn chiều không gian Rn với tồn nghiệm tính chất tập nghiệm tốn với giả an n va thiết tính chất đơn điệu liên tục đặt lên toán tử F tính chất lồi đóng compact tập ràng buộc bất đẳng thức Chương dành cho việc trình bày mối quan hệ tốn bất đẳng thức biến phân với số toán giải tích tốn hệ p ie gh tn to biến phân oa nl w phương trình, toán bù, toán tối ưu, toán điểm bất động Ngồi ra, chương chúng tơi cịn trình bày tốn cân d kinh tế mơ hình hóa dạng bất đẳng thức biến phân Nội dung luận văn giúp cho tác giả có hiểu biết định an lu nf va bất đẳng thức biến phân vai trò bất đẳng thức biến phân việc nghiên cứu tốn quan trọng giải tích phi tuyến lm ul tốn thực tế Đóng góp tác giả tìm hiểu, nghiên z at nh oi cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức để hoàn thành luận văn z m co l gm @ an Lu n va ac th si 33 Tài liệu tham khảo [1] Baiocchi C., Capelo A (1984), Variational and Quasivariational Inequalities: Applications to Free Boundary Problems, J Wiley and Sons, New York [2] Dafermos S (1980), Traffic equilibrium and variational inequalities, lu Transportation Science, 14, 42-54 an n va [3] Kinderlehrer K., Stampacchia G (1980), An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications, Acad Press, New York Inequalities, Springer Verlag, Berlin, Germany p ie gh tn to [4] Konnov I.V (2001), Combined Relaxation Methods for Variational w [5] Konnov I.V (2007), Equilibrium Models and Variational Inequali- d oa nl ties, Mathematics in Science and Engineering, Volume 210, Elsevier nf va an lu [6] Lions J.L., and Stampacchia G (1967), Variational inequalities, Comm Pure Appl Math., 20, 493–519 z at nh oi lm ul [7] Nagurney A (1993), Network Economics: A Variational Inequality Approach Advances in Computational Economics, Kluwer Academic Publishers, Springer Netherlands [8] Ortega J.M., Rheinboldt W.C (1970), Iterative solutions of nonlin- z ear equations in several variables, Acad Press, New York, 141–143 gm @ m co l [9] Polyak B.T (1983), Introduction to Optimization, Nauka, Moscow, English translation in Optimization Software, New York [10] Smith M (1979), Existence, uniqueness, and stability of traffic equi- an Lu libria, Transportation Research, 13B, 295–304 n va ac th si 34 [11] Stampacchia G (1964), Formes bilineares coercitives sur les ensembles convexes, C R Acad Sci Paris, 258, 4413–4416 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si