BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐẶNG THỊ NHƯ Ý THỂ LỒI TRONG KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU Chuyên ngành Toán Giải Tích Mã số 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán bộ hướng dẫn khoa học PGS TS HUỲNH THẾ PHÙNG Huế, năm 2013 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác Tác giả ii.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐẶNG THỊ NHƯ Ý THỂ LỒI TRONG KHƠNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học PGS.TS HUỲNH THẾ PHÙNG Huế, năm 2013 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tôi, số liệu kết nghiên cứu nêu luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả ii LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học Tôi xin chân thành cảm ơn để hồn thành cơng việc học tập, nghiên cứu Cuối cùng, tơi xin chân thành cảm ơn Trân trọng chân thành cảm ơn! Tác giả iii Mục lục Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục Lời nói đầu Chương Mặt cực tiểu Rn 1.1 Mặt qui R3 Rn 1.2 Dạng thứ nhất, dạng thứ hai, vector độ cong trung bình Mặt cực tiểu 1.3 Chương Bất đẳng thức đẳng chu không gian Euclid 2.1 Bất đẳng thức đẳng chu mặt phẳng Euclid 2.2 Bất đẳng thức đẳng chu kiểu Bonnesen 2.2.1 2.3 Bất đẳng thức đẳng chu kiểu Bonnesen miền phẳng Bất đẳng thức đẳng chu không gian nhiều chiều Chương Bất đẳng thức đẳng chu mặt cực tiểu 3.1 Bất đẳng thức đẳng chu mặt cực tiểu 3.2 Phương pháp nón chứng minh bất đẳng thức đẳng chu 3.3 Phương pháp dạng cỡ chứng minh bất đẳng thức đẳng chu 10 3.4 Bất đẳng thức đẳng chu yếu mặt cực tiểu 11 Kết luận 12 Tài liệu tham khảo 13 LỜI NĨI ĐẦU Dựa thơng tin đó, hướng nghiên cứu luận văn nghiên cứu số đặc trưng thể lồi, bất đẳng thức thể tích tập lồi luận văn chia làm ba chương Chương 1: Nhắc lại số khái niệm liên quan đến không gian Euclide hữu hạn chiều, thể tích tập lồi giới thiệu khái niệm thể lồi Chương 2: Giới thiệu định lí Fritz John số trường hợp đặc biệt Chương 3: Giới thiệu số kết mở rộng ứng dụng định lí Fritz John Chương MẶT CỰC TIỂU TRONG Rn 1.1 Mặt qui R3 Rn • Điều kiện (i) t đạo hàm riêng liên tục • Điều kiện (ii) .tục X −1 liên tục Điều kiện nhằm đảm bảo mặt S không tự cắt X −1 liên tục nhằm tránh khó khăn mặt kĩ thuật • Điều kiện (iii) điểm p ∈ S Điều kiện tương đương với điều kiện sau điểm p ∈ S ∂X ∂u1 ∂X ∂u2 vectơ độc lập Ma trận Jacobi M tạo thành vectơ cột hạng ∃i, j : ≤ i < j ≤ n cho ∂X ∂u1 ∧ ∂X ∂u2 ∂(Xi ,Xj ) ∂(u1 ,u2 ) ∂X ∂u1 ∂X ∂u2 có = = det G > 0, G = (gij ) với gij = ∂X ∂X ∂ui ∂uj 1.2 Dạng thứ nhất, dạng thứ hai, vector độ cong trung bình 1.3 Mặt cực tiểu Chương BẤT ĐẲNG THỨC ĐẲNG CHU TRONG KHÔNG GIAN EUCLID Ở ta xé.ếp xúc miền để thu miền lồi có chu vi với miền cho diện tích lớn Ở trên, ta Năm 1920, Bonnesen chứng minh chuỗi bất đẳng thức mạnh bất đẳng thức đẳng chu cổ điển trên, mà ta gọi bất đẳng thức đẳng chu kiểu Bonnesen, có dạng L2 − 4πA ≥ B, 2.1 Bất đẳng thức đẳng chu mặt phẳng Euclid Trong phần phát biểu giới thiệu số chứng minh bất đẳng thức đẳng chu mặt phẳng Euclid (xem [1], [2]) Chứng minh Gọi E, E hai đường thẳng song song không cắt C Di chuyển chúng theo hướng cho chúng tiếp xúc với C (chúng song song) Ta thu hai tiếp tuyến song song C T T Xét đường tròn α(s) = (x(s), y(s)) = (x(s), y(s)), s ∈ [0, L] Gọi 2r khoảng cách T T , A diện tích miền bao S Ta có L A= xy ds, L A = πr2 = − yx ds Suy L L (xy − yx )2 ds (xy − yx )ds ≤ A + πr = 0 L (x2 + y )((x )2 + (y )2 )ds ≤ L (2.1.1) L (x2 + y )ds = = rds = Lr 0 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy (2.1.1) ta có √ √ 1 A πr2 ≤ (A + πr2 ) ≤ Lr, 2 (2.1.2) hay L2 − 4πA ≥ (2.1.3) Đẳng thức xảy (xy − yx )2 = (x2 + y )((x )2 + (y )2 ), hay xx + yy = 0, suy (x2 + y ) y x =− =± = ±r, y x (x )2 + (y )2 hay x = ±ry Do r khơng phụ thuộc phương T nên ta hốn đổi vị trí x y thu kết tương tự y = ±rx Suy x2 + y = r2 ((x )2 + (y )2 ) = r2 Vậy C đường tròn Điều ngược lại, C đường tròn ta ln có đẳng thức L2 = 4πA 2.2 Bất đẳng thức đẳng chu kiểu Bonnesen Năm 1920, Bonnesen B không âm; B triệt tiêu C đường trịn; B có ý nghĩa hình học Các bất đẳng thức gọi bất đẳng thức đẳng chu kiểu Bonnesen (xem [10]) Ta nhận C đường trịn Và tính chất có tác dụng đưa số đo độ lệch đường cong so với đường tròn Sau ta giới thiệu số kết mà Bonnesen tìm miền phẳng miền mặt 2.2.1 Bất đẳng thức đẳng chu kiểu Bonnesen miền phẳng Chú ý rằ g tròn nằm D ∪ C lại xác định bán kính D 2.3 Bất đẳng thức đẳng chu không gian nhiều chiều Trong Rn , ta kí hiệu độ đo Lebesgue tiêu chuẩn dvn (x) Khi xét miền Ω có biên thuộc lớp C , ta kí hiệu độ đo Lebesgue Ω dV độ đo diện tích mặt ∂Ω dA Khi n = ta thay dA dL dV dA Hệ tọa độ t [1]) Chương BẤT ĐẲNG THỨC ĐẲNG CHU CỦA CÁC MẶT CỰC TIỂU 3.1 Bất đẳng thức đẳng chu mặt cực tiểu Như .c tiểu, compact, k-chiều M ⊂ Rn thoả bất đẳng thức: Xét mặ ta có kết quả: 4πA ≤ 4π(A1 + · · · + An ) ≤ L21 + · · · + L2n ≤ L2 Như vậy, công thức (??) mặt cực tiểu diện tích Rn Nhưng mặt cực tiểu khơng cực tiểu diện tích, tốn mở phát biểu mặt cực tiểu Ý tưởng Li, Schoen Yau đưa khái niệm ∂S liên thơng yếu ta t Định lý 3.1.1 Nếu S mặt cực tiểu Rn với biên ∂S liên thơng yếu S thoả mãn bất đẳng thức đẳng chu 4πA ≤ L2 Áp dụng 3.2 Phương pháp nón chứng minh bất đẳng thức đẳng chu Điều cho ta thấy có so sánh diện tích S diện tích p× ×∂S Mà p × ×∂S dẹt nên trải cách địa phương miền phẳng sau (xem [4]) Nếu Bổ đề 3.2.1 (Xem [4]) Hàm log r hàm điều hoà mặt cực tiểu S Rn Cụ thể hơn, ta có bất đẳng thức 2π log r ≥ δp , (3.2.1) với δp hàm Dirac delta với tính kì dị p Trên đa tạp cực tiểu m-chiều N ⊂ Rn , m ≥ ta có r2−m ≤ mωm δp (3.2.2) bất đ thu miền D ⊂ R2 từ ta suy bất đẳng thức đẳng chu S Chi tiết thể nội dung định lí ?? Trước hết ta nhắc lại định nghĩa liên thơng tỏa trịn từ điểm theo Jaigyoung Choe Định nghĩa 3.2.1 Một tập Γ ⊂ Rn gọi liên thơng tỏa trịn từ điểm p ∈ Rn tập I = {r : r = dist(p, q), q ∈ Γ} khoảng liên thơng Chứng minh Cho đường cong khơng đóng Λ Rn điểm p ∈ Rn , nón p × ×Λ dẹt nên trải Λ lên đường cong phẳng Λ 2−phẳng Π chứa p bảo toàn khoảng cách từ p góc nhìn từ p Đồng thời, việc trải bảo toàn độ dài cung Λ Λ bảo tồn diện tích p × ×Λ p × ×Λ Hơn nữa, ta trải Λ cho qua tham số hóa thích hợp Λ Λ quay quanh p theo chiều ngược kim đồng hồ (không lùi lại) tất điểm thuộc Λ trừ tập hợp điểm mà Λ tập tập tia xuất phát từ p (có thể tập ∅) Với đường cong đóng Ci ta chọn điểm qi ∈ Ci cho dist(p, qi ) = dist(p, Ci ), sau trải đường cong khơng đóng Ci \ {qi } lên đường cong Ci 2-phẳng Π chứa điểm p Từ giả thiết ta có dist(p, Ci ) > 0, ∀i Thật vậy, gọi qi1 qi2 hai đầu mút Ci Vì Ci đóng nên ta có dist(p, qi1 ) = dist(p, qi2 ) = dist(p, Ci ) (3.2.3) Khơng tính tổng qt ta giả sử dist(p, qi0 ) ≤ dist(p, qi1 ) ≤ · · · ≤ dist(p, qim ) Do C liên thông tỏa tròn từ p nên với i, ≤ i ≤ m, tồn điểm qi3 ∈ Ck(i) , k(i) ∈ {0, · · · , i − 1} cho Chú ý Ci (θ) đoạn thẳng với giá trị θ cách xây dựng xác định Tương tự, gọi C2 (θ) tham số hóa C2 góc θ, với a2 ≤ θ ≤ b2 Do C liên thông tỏa tròn từ p nên tồn x2 ∈ [a0 , b0 + b1 − a1 ] cho dist(p, C (x2 )) = dist(p, q2 ) (3.2.4) (bi − )] → Π xác định Ta lại dựng đường cong C (θ) : [a0 , b0 + i=1 sau ] Angle(C m , p) ≥ 2π Do áp dụng bổ đề ?? ta suy điều phải chứng minh định lí ?? Từ định lí ?? bổ đề ?? ta suy hệ sau Hệ 3.2.2 Nếu C hợp đường cong đóng Rn liên thơng tỏa trịn từ điểm p ∈ C ta có bất đẳng thức 4πA(p × ×C) ≤ L(C)2 Một số ghi toán mở • Đối ngẫu với liên thơng tỏa trịn liên thông cầu Tập X ⊂ Rn gọi liên thông cầu từ p ảnh X qua phép chiếu tâm Rn \ {p}, từ p lên mặt cầu Sn−1 liên thơng • Cả phương pháp trải mặt nón lên miền phẳng phương pháp "cắt, chèn dán" trường hợp 2-chiều Vì lý mà mở rộng lập luận trường hợp đa tạp cực tiểu với số chiều cao Hơn nữa, theo nguyên lý bắc cầu Smake, tồn đa tạp cực tiểu 3-chiều M ⊂ R4 cho V(p × ×∂M ) lớn V(M ) cách tùy ý Do khơng thể chứng minh bất đẳng thức đẳng chu nón p × ×∂M định lí ?? • Cho C ⊂ Rn đường cong đóng Lúc đó, Angle(C, p) ≥ 2π, với p ∈ H(C), bao lồi C đường cong đóng nằm mặt cầu đơn vị Rn có chiều dài < 2π chứa bán cầu mở Từ cách nhìn nhận mệnh đề ?? đưa đến đoán S ⊂ Rn mặt cực tiểu với biên, compac Angle(∂S, p) ≥ 2π, với p ∈ H(∂S) Nếu đốn chứng minh bất đẳng thức đẳng chu số mặt cực tiểu có biên gồm thành phần liên thơng Thật vậy, ta chọn điểm p1 , · · · , pj , j = 4, điểm thuộc thành phần liên thơng ∂S cho điểm p có khoảng cách đến p1 , · · · , pj , nằm ∂S, đó, bất đẳng thức đẳng chu suy từ định lý ?? ∂S liên thơng tỏa trịn từ p Đặc biệt, tồn điểm nằm ∂S cho điểm thuộc thành phần liên thông ∂S chúng tạo thành tam giác nhọn trực tâm tam giác nằm H(∂S), bao lồi ∂S ∂S liên thơng tỏa trịn từ trực tâm • Cho đa tạp k-chiều N k ⊂ Rn , làm ta tìm điểm p ∈ Rn cho V(p × ×N ) = minn V(p ì ìN ) qR ã Lm th ta tìm điểm p ∈ Rn cho Angle(N k , p) = maxn Angle(N k , p) q∈R • Có số mặt cực tiểu không liên thông yếu không liên thông toả tròn 3.3 Phương pháp dạng cỡ chứng minh bất đẳng thức đẳng chu Có nhiều chứng minh bất đẳng thức đẳng chu Năm 1994, Helein đưa chứng minh cách sử dụng phương pháp dạng cỡ Chứng minh ông đường cong mặt cầu mặt phẳng hyperbolic Kết thể định lí sau: Định lý 3.3.1 Cho S mặt với độ cong Gauss K (K = K = −1) Nếu đường cong đóng C S có chiều dài L bao miền có diện tích A ta có bất đẳng thức 4πA ≤ L2 + KA2 , đẳng thức xảy C đường tròn trắc địa Trước hết ta nhắc lại dạng cỡ Cho N đa tạp Riemann S đa tạp p-chiều N Giả sử tồn p-dạng vi phân α N cho (1) |α| ≤ N ; (2) |α|S = S; (3) dα = 0, α gọi dạng cỡ ta nói α định cỡ S Điều quan trọng đáng ý tồn dạng cỡ α định cỡ S S cực tiểu diện tích đa tạp S N cho đồng luân với S ta có |S | ≥ α = |S| α= S S Ta hình dung cụ thể điều sau Gọi S, S hai đa tạp lớp đồng điều, biên N α p-dạng vi phân đóng N thoả |α| = S |α| ≤ S Lúc ta có V(S) = α= 1; S S 1≥ V(S ) = S α S Từ ta có V(S ) − V(S) ≥ α− S α= S 10 α= S \S dα = 0, M M đa tạp có số chiều cao số chiều S S đơn vị theo định nghĩa hai đa tạp lớp đồng điều Từ ta suy V(S) ≤ V(S ) Nói cách khác, S cực tiểu diện tích, S thoả mãn bất đẳng thức đẳng chu (??) Sử dụng phương pháp có điều thuận lợi chứng minh thường ngắn Tuy nhiên, khuyết điểm đáng kể khó tìm tình thế, hồn cảnh để sử dụng nguyên tắc này, khó tìm dạng cỡ α, ví dụ biết đến tìm cách thủ công = 4πδ(y − x)dy ∧ dy Vậy cuối ta thu bất dy det(x−y,d(y−x)) |x−y|2 đẳng thức đẳng chu 4πA ≤ L2 miền phẳng Ω 3.4 Bất đẳng thức đẳng chu yếu mặt cực tiểu Chú ý rằng, Stone thu kết (xem [15]) 11 KẾT LUẬN Luận văn bao gồm phần: Mở đầu, nội dung kết luận Phần nội dung trình Kết luận văn nằm chương chương ất luận văn nằm chương Trong chương 3, c đẳng thức có dạng bất đẳng thức đẳng chu "yếu hơn" (theo nghĩa hệ số bé hơn) lại với tất mặt cực tiểu Chúng t ấn đề cịn tốn mở, Từ giúp tác giả u thích vấn đề tiếp tục nghiên cứu sâu thời gian Tác giả cố g Tác giả xin chân thành cảm ơn! 12 Tài liệu tham khảo Tiếng Anh B Bollobas, W.Fulton, A.Katok, F.Kirwan, P.Sarnak (2001), Isoperimetric Inequalities, Cambridge University M P Carmo (1976), Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice Hall Professional Technical Reference J Choe (2003), Isoperimetric Inequalities of Minimal Submanifolds, Clay Mathematics Proceedings Vol J Choe (1990), The isoperimetric inequalities for a minimal surface with radially connected boundary, Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, Classe di Scienze, 583-593 J Choe (2003), Relative isoperimetric inequality for domains outside a convex set, Archives Inequalities Appl 1, 241-250 J Choe (1990), Index, vision number and stability of complete minimal surfaces, Arch Rat Mech Anal 109, No 3, 195-212 J Choe and R Gulliver (1992), Isoperimetric Inequalities on Minimal Submanifolds of Space Forms, Manuscripta math 77, 169 - 189 R J Gardner (1990), The Brunn-Minkowski Inequality, Bull Amer Math Soc (N.S), Vol 39, 355-405 J C C Nitsche (1965), The Isoperimetric Inequality for MultiplyConnected Minimal Surfaces, Nitsche, J C C Math Annalen 160, 370375 10 R Osserman (1979), Bonnesen-style Isoperimetric Inequalities, The American Mathematical Monthly, Vol 86, 1-29 11 R Osserman (1978), The Isoperimetric Inequality, Bulletin of the American Mathe matical Society, Vol 84, Number 6, November 13 12 R Osserman (1975), Isoperimetric and related inequalities, Proc.Symposia Pure Math Vol 27, Amer Math Soc Providence, 207-215 13 R Osserman (1978), The isoperimetric inequality, Bull Amer Math Soc 84, 1182-1238 14 R Osserman and M Schiffer (1975), Doubly connected minimal surfaces, Arch Rational Mech Anal 58, 285-307 15 A Stone, On the isoperimetric inequality on a minimal surface, Preprint 14 ... thể lồi, bất đẳng thức thể tích tập lồi luận văn chia làm ba chương Chương 1: Nhắc lại số khái niệm liên quan đến không gian Euclide hữu hạn chiều, thể tích tập lồi giới thiệu khái niệm thể lồi. .. vector độ cong trung bình 1.3 Mặt cực tiểu Chương BẤT ĐẲNG THỨC ĐẲNG CHU TRONG KHÔNG GIAN EUCLID Ở ta xé.ếp xúc miền để thu miền lồi có chu vi với miền cho diện tích lớn Ở trên, ta Năm 1920, Bonnesen... phẳng Chú ý rằ g tròn nằm D ∪ C lại xác định bán kính D 2.3 Bất đẳng thức đẳng chu không gian nhiều chiều Trong Rn , ta kí hiệu độ đo Lebesgue tiêu chuẩn dvn (x) Khi xét miền Ω có biên thuộc