Thể tích của thể lồi trong rn

MỤC LỤC Trang I LỜI MỞ ĐẦU Bảng ký hiệu II Nội dung luân văn Chương Hàm đánh giá họ tập hợp 1.1 Một số khái niệm 1.2 Hàm đánh giá Chương THỂ TÍCH CỦA THỂ LỒI 16 2.1 Thể tích sơ cấp độ đo Jordan hộp, đa hộp 16 2.2 Thể tích độ đo Jordan thể lồi 17 2.3 Một số tính chất đặc trƣng thể tích 21 2.4 Bất đẳng thức Brunn- Minkowski 29 2.5 Một số ứng dụng bất đẳng thức Brunn- 35 Minkowski III KẾT LUẬN 38 IV TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 LỜI MỞ ĐẦU “Hình học lồi” hƣớng quan trọng hình học, đƣợc nhiều nhà tốn học quan tâm, nghiên cứu Tập lồi khái niệm tốn học có nhiều ứng dụng hình học, giải tích nhiều ngành khoa học khác Các kết tổng quan tập lồi đƣợc nhà toán học nhƣ Frederick A Valentine, L Klee, C.Caratheodory, H Minkowski trình bày ([1], [2], [3], [7]) Các vấn đề định tính nhƣ: cấu trúc tập lồi, quan hệ chúng, giao tập lồi, tính hội tụ dãy tập lồi đƣợc nhiều tài liệu giáo trình sở đề cập đến Song song với lý thuyết định tính tập lồi, vấn đề định lƣợng tập lồi đƣợc quan tâm Trong lĩnh vực lý thuyết định lƣợng tập lồi có vấn đề có ý nghĩa quan trọng phƣơng diện độ đo, vấn đề thể tích thể lồi Cách thức xây dựng khái niệm tính chất thể tích thể lồi đƣợc xuất phát từ khái niệm tính chất thể tích hộp đa diện lồi Trên sở tham khảo tài liệu tham khảo có đƣợc điều kiện nay, tài liệu tham khảo [6], luận văn trình bày số vấn đề hàm đánh giá họ thể lồi không gian Euclide Ed, trình bày cách xây dựng khái niệm thể tích thể lồi, tính chất thể tích thể lồi số bất đẳng thức cổ điển thể tích thể lồi Các kết có tài liệu tham khảo theo mức độ khác nhau, có nhiều tính chất, định lý, hệ khơng đƣợc chứng minh đƣợc chứng minh sơ lƣợc Nội dung luận văn gồm chƣơng Chƣơng Trình bày vấn đề hàm đánh giá, nhƣ ý tƣởng chung độ đo Nội dung Chƣơng 1, phần thứ nhất, trình bày khái niệm, số tính chất hàm đánh giá không gian hộp không gian đa diện lồi Chƣơng Trình bày vấn đề thể tích thể lồi Đầu tiên, luận văn trình bày vấn đề thể tích đa hộp, thể tích đa diện lồi Cuối luận văn trình bày bất đẳng thức cổ điển Brunn- Minkowski thể tích thể lồi, mở rộng bất đẳng thức cho tập không lồi số ứng dụng Luận văn đƣợc hồn thành Khoa Sau đại học Trƣờng Đại học Vinh, dƣới hƣớng dẫn khoa học, tận tình, chu đáo thầy giáo PGS.TS Phạm Ngọc Bội Nhân dịp hoàn thành luận văn, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo tổ Hình học giảng dạy dẫn tận tình trình học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy giáo Khoa Tốn, Phịng Sau đại học, Trƣờng Đại học Vinh, bạn bè gia đình tạo điều kiện cho tác giả hồn thành luận văn Mặc dù có cố gắng song luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận đƣợc góp ý q thầy bạn để luận văn đƣợc hồn thiện Chúng xin chân thành cảm ơn! Vinh, tháng năm 2012 Tác giả BẢNG CÁC KÝ HIỆU Ed: không gian Euclide d - chiều ℝ : tích vơ hƣớng E d B(Ed): khơng gian tất hộp E d int A: phần tập hợp A lin {a, b, ,c}: khơng gian tuyến tính sinh a, b, ,c convA: bao lồi tập A Sd-1: mặt cầu đơn vị Ed Bd-1: hình cầu Ed [a, b]d: = [a, b]  [a, b]: hộp Ed V(C): Thể tích C S(C): Diện tích bề mặt C II NỘI DUNG LUẬN VĂN CHƢƠNG I HÀM ĐÁNH GIÁ TRÊN MỘT HỌ CÁC TẬP HỢP 1.1 Một số khái niệm 1.1.1 Định nghĩa Cho tập hợp L Giả sử L có quan hệ thứ tự ≤ Với A, B thuộc L, ký hiệu AB = inf{A, B}, AB = sup{A, B} Nếu tập L có tính chất với hai phần tử A, B thuộc L, AB AB thuộc L ta nói L dàn ký hiệu dàn (L, , ) Xét họ tập hợp L với quan hệ thứ tự L quan hệ bao hàm, ta xây dựng đƣợc dàn tập hợp mà phép tốn dàn giao hợp Có thể định nghĩa trực tiếp nhƣ sau: Nếu với hai phần tử A, B mà AB AB thuộc L L đƣợc gọi dàn, ký hiệu (L, , ) Giả sử S họ tập hợp Nếu tồn họ L(S) chứa S cho (L(S), , ) lập thành dàn, ta gọi L(S) dàn sinh S 1.1.2 Định nghĩa Cho không gian Euclide d chiều Ed Một tập hợp C Ed đƣợc gọi tập lồi với hai điểm x, y  C, x ≠ y, đoạn thẳng [ x, y ] = {x + (1 -  )y | ≤  ≤ 1} chứa C Cho tập S  Ed Tập lồi nhỏ Ed chứa S đƣợc gọi bao lồi S Tập C  Ed đƣợc gọi tập affine với hai điểm x, y  C, x ≠ y, kéo theo x + (1-)y  C ,   ℝ Cho tập S  Ed, tập affine bé chứa S đƣợc gọi bao affine S, ký hiệu aff(S) Số chiều aff(A) đƣợc định nghĩa số chiều A, ký hiệu dim(A) 1.1.3 Định nghĩa Một tập lồi, compact Ed đƣợc gọi thể lồi (convex body) Ta ký hiệu C(Ed), C tập hợp tất thể lồi Ed Một tập Ed đƣợc gọi chân (proper) phần khác rỗng Ta ký hiệu Cp(Ed), Cp tập hợp tất thể lồi chân Ed 1.1.4 Định nghĩa Giả sử S họ tập hợp, S đƣợc gọi có tính chất giao C , D  S C  D  S 1.1.5 Ví dụ Khơng gian C gồm tập hợp tất tập lồi E d có tính giao 1.1.6 Định nghĩa Trong Ed, với hệ toạ độ cho Tập hợp H gồm điểm x Ed đƣợc gọi siêu phẳng toạ độ (x1, , xd) x thoả mãn phƣơng trình b1x1 + + bdxd = ,   ℝ b1, , bd không đồng thời 0, thuộc ℝ Tập hợp điểm x Ed thoả mãn: b1x1 + + bdxd  , đƣợc gọi nửa khơng gian đóng H+, tập hợp điểm x Ed thoả mãn: b1x1 + + bdxd ≤  đƣợc gọi nửa khơng gian đóng H- Siêu phẳng H đƣợc gọi tách hai tập A, B A  H+ B  H- B  H+ A  H1.1.7 Định nghĩa Siêu phẳng H đƣợc gọi siêu phẳng tựa tập lồi C HC   C  H+ C  H- Nếu C  H+ (tƣơng ứng C  H-) H+ (tƣơng ứng C  H-) đƣợc gọi không gian tựa C Cho C thể lồi Ed, hàm số xác định nhƣ sau: hC(u) = sup{ | y C}, với u Ed\0 đƣợc gọi hàm tựa 1.1.8 Định nghĩa a) Giao số hữu hạn nửa không gian đóng đƣợc gọi tập lồi đa diện Một tập lồi đa diện vừa nón đƣợc gọi nón lồi đa diện b) Bao lồi hữu hạn điểm đƣợc gọi đa diện lồi c) Bao lồi k+1 điểm độc lập affine a0, ,ak Ed đƣợc gọi k-đơn hình (k-simplex) đơn hình; điểm a0, ,ak đƣợc gọi đỉnh (vertex) đơn hình 1.1.9 Định nghĩa d) Với hệ toạ độ trực chuẩn cho Ed, tập hợp B gồm điểm x Ed đƣợc gọi hộp (x1, , xd) thoả mãn: ≤ xi ≤ bi, với ≤ bi, i = 1, , d Độ dài cạnh  i -  i , i  1, , d Ký hiệu d a) B(E ), vắn tắt hơn: B không gian tất hộp E d b) P(Ed), vắn tắt hơn: P không gian tất các đa diện lồi E d Dễ thấy B vµ P họ có tính chất giao Dàn sinh B đƣợc gọi dàn đa hộp ký hiệu L(B), ta gọi không gian L(B) Mỗi phần tử L(B) đƣợc gọi đa hộp Dàn sinh P đƣợc gọi dàn đa diện lồi ký hiệu L(P) hay không gian L(P) 1.1.10 Định nghĩa Đường kính thể lồi C Ed đƣợc ký hiệu diam(C), định nghĩa nhƣ sau: diam(C) = sup {|| x – y || | x, y C}, || || hàm chuẩn Ed Metric Hausdorff dH Ed đƣợc định nghĩa nhƣ sau:  H ( C , D )  m a x { m a x m in x  y , m a x m in x  y } , x C y D x D yC với C, D  Ed 1.1.11 Định nghĩa C, D  Ed tổng Minkowski C D tập: C  D  x  y : x  C , y  D 1.1.12 Định nghĩa Một phép biến đổi E d , bảo tồn khoảng cách hai điểm đƣợc gọi phép đẳng cự Một phép phép đẳng cự mà ma trận biểu diễn có định thức đƣợc gọi phép dời 1.1.13 nh ngha H cỏc hp A1, Ak đ-ợc gäi lµ phân hoạch tập hợp A A hợp tập A1, Ak hai tập số tập A1, Ak khơng có chung điểm 1.1.14 Định nghĩa Cho tập lồi C  En, hàm số hàm số lồi f ( (1 )x y) (1 ) f (x ) f (y ) , với x , y f :C C, đƣợc gọi Hàm số f đƣợc gọi hàm số lõm –f hàm số lồi 1.2 Hàm đánh giá 1.2.1 Định nghĩa Giả sử S họ tập hợp Một hàm thực  S đƣợc gọi hàm đánh giá S nếu:  (C  D )   (C  D )   (C )   ( D ) S C , D ,C  D ,C  D  S Với  (  )  1.2.2 Công thức bao hàm - loại trừ Giả sử (L, , ) là dàn phép toán dàn giao hợp Ta gọi ánh xạ : L  hàm đánh giá  thỏa mãn:  (C  D )   (C  D )   (C )   ( D ) với C,D  L Từ định nghĩa trên, dễ thấy tính chất sau: (1)  ( C  C m )     C i     (C i  C i j i   ( C i  C j  C k )   (  1) m 1 j   ( C   C m ) , với C , C m  L, i j k số tổng chạy từ tới m Ta viết (1) dạng khác Ta gọi I k số    { ii , i k }  {1, , m } , với k  1, m ,1  i1  i   i k  m , đặt C  C i   C i , i  k k Khi (1) đƣợc viết dƣới dạng nhƣ sau: (2)  ( C  C m  (  1) l 1  ( C ) với C 1, ,C m  L Công thức (1) (2) đƣợc gọi công thức bao hàm - loại trừ (Inclusion Exclusion fomula), viết tắt công thức (Inc-Exc) Hàm  có tính chất (1) (2) đƣợc gọi thỏa mãn công thức bao hàm loại trừ ℝ 1.2.3 Sự thác triển hàm đánh giá 1.2.3.1 Điều kiện cần để thác triển hàm đánh giá Giả sử L họ tập có tính chất giao  :S  hàm đánh giá Vấn đặt  mở rộng dàn L(S) sinh S Vì S có tính chất giao nên L(S) bao gồm giao có đƣợc hữu hạn tập S Nếu  mở rộng thành hàm đánh giá L(S) mở rộng thỏa mãn công thức bao hàm - loại trừ (Inc –Exc) L Suy hàm đánh giá  S phải thỏa mãn công thúc họ có tính chất giao S  ( C  C m )  (3)    C     (C i   i C j  i j i  (C i  C j  C k )     i j k (  1) l 1  (C l )  l với C C m , C   C m  S Vậy (3) điều kiên cần để hàm đánh giá S mở rộng đƣợc thành hàm đánh giá L(S) 1.2.3.2 Định lý Giả sử S họ tập có tính chất giao :S→ ℝ hàm đánh giá Khi khẳng định sau tương đương: (i)  thỏa mãn công thức bao hàm- loại trừ (Inc – Exc) S (ii)  có mở rộng thành hàm đánh giá L(S) Chứng minh (ii)=>(i) hiển nhiên, xem lập luận trƣớc phát biểu Định lý 1.2.3.2 (i)=>(ii) Trƣớc hết ta rằng: (4)  l lúc (  1) l 1   C1    (  1) l 1  D j C   C m  D   D n j  với C C m , D   D n  S  I 1    1  (C )   I  (  1) I 1  ( C  ( D   D n ) ) I  (  1) I 1  ( ( C I  D I )   ( C I  D n ) ) (  1) l 1  I   l   (  1) J 1  (C l  D J ) j (  1) J 1  J (  1) I 1  ( D J  C I )   I  (  1) J 1  ( D j ), J Suy (4) đƣợc chứng minh Ta xác định hàm : L   ( C   C m )  (5) nhƣ sau  (  1) I 1  (C1 ) với C , ., C m  S , I ở vế phải theo nghĩa hàm đánh giá xác định Ta rằng: (6)  hàm đánh giá  cho S Do (4) nên hàm  L (S ) Để chứng minh (6) trƣớc hết chứng minh mệnh đề sau: (7) Giả sử L tập hợp hữu hạn khơng rỗng  (  1) J  K L   (  1) J ,K  j K  L Để cho đơn giản cách viết, tất tổng ta bỏ qua chứng minh cách quy nạp theo Với L L  = 1, (7) hiển nhiên Giả sử L = l >1 (7) cho l – Ta giả sử l = {1,2,…,l} Ta có:  J ,K  j K  L Chú ý 10   I J ,K j K  L   I  J , K j K  L   I  J , K j K  L (  1) J  k Ta f ( v )  m a x  f ( v ), 0 , f  f  f    f  ( v )  m a x   f ( v ), 0 , v S với d 1 đó:  hc (u )  S u v f  (v )d  (v )  d 1  S Dễ kiểm tra biến đổi cosin C u v f  (v )d  (v ) u  S d 1 d 1 f  ,C f  dƣơng cấp hàm lồi Do tính chất hàm tựa (xem [4]), cho thấy lồi Y, Z cho h Y  C f  , h Z  C f  h C  h y  h z , tức là: C  Y  Z Tổng Riemam tham số tích phân hàm tựa hY   Cf , hZ   C f tổ hợp tuyến tính hàm tựa đoạn thẳng tổng hàm kiểu hình hộp xiên Vì tổng Riemam hội tụ tới h y h z Y Z kiểu hình hộp xiên 2.3.6 Bồ đề Nếu S d-đơn hình S phân hoạch thành hữu hạn hình đa diện lồi, đa diện lồi đối xứng qua siêu phẳng Chứng minh Giả sử F1, , Fd+1 mặt S giả sử c  S tâm hình cầu nội tiếp, có bán kính cực đại S Giả sử pi tiếp điểm hình cầu nội tiếp với Fi Pi j  c o n v  c , p i , p j , Fi  F j  Với i < j giả sử diện lồi, đối xứng qua siêu phẳng qua c F i  F j , P 12 , , Pd Pij d 1 hình đa  phân chia S thoả mãn Bổ đề Chứng minh Định lý 2.3.4 Bƣớc chứng minh chứng minh mệnh đề sau: (8) Giả sử  đánh giá liên tục C, có tính đơn, bất biến việc phép dời  (  ,1  d )   Ta chứng minh (8) phép quy nạp theo d Nếu d = 1, từ tính đơn bất biến với phép tịnh tiến   (  ,1  )  kéo theo     ( 0, 1 )  n  , với n = 1, ,… Điều kéo theo tính chất  triệt tiêu tất đoạn thẳng với điểm mút hữu tỷ Do tính liên tục suy  triệt tiêu tất 25 đoạn thẳng, tức  triệt tiêu C (E ) Do (8) đƣợc chứng minh trƣờng hợp d=1 Giả thiết d >1 (8) thỏa mãn với số chiều d-1 Để chứng minh (8) cho d đƣợc ta chia thành số bƣớc Bƣớc đầu tiên, ta thấy hình đa diện mở rộng, áp dụng Định lý 1.2.2.4 cho hàm đánh giá  , chứng tỏ  thõa mãn công thức bao hàm - loại trừ P P nhƣ  có tính đơn cộng tính P  (9) Bƣớc thứ hai, ta chứng minh: cho đơn hình S  (S )   ( S ) (10) Nếu d chẵn , S biến thành -S phép dời (9) thỏa mãn cách tầm thƣờng Nếu d lẻ chia S thành phần  P1 , P, n  khơng có chung điểm trong, Bổ đề 2.3.6, xứng siêu phẳng tƣơng ứng Do Pi Pi hình đa diện lồi đối biến thành – Pi phép dời Theo giả thiết (8),  bất biến với phép dời Kết hợp điều với (9) ta có (10) Một tập hợp W đƣợc gọi hình trụ W= C+L, C ∈ C(Ed-1), L đoạn thẳng không thuộc Ed-1 C đ-ợc gọi ỏy ca hỡnh tr, L đ-ợc gọi lµ đƣờng sinh Nếu L vng góc với C, ta gọi W hình trụ đứng Bƣớc thứ ba, ta chứng minh: Nhúng  : C (E cho hình trụ đứng  (W )  (11) d 1 E d 1 vào E d  E d 1  R nhƣ thƣờng lệ định nghĩa hàm nhƣ sau: )  ( C )   ( C   ,1  ) , với C  C (E d 1 )  C (E ) Dễ dàng thấy u có tính đơn, liên tục phép dời 26 W  C E d 1     ,1    d 1 d C (E d 1 ) bất biến Theo giả thiết quy nạp đứng N dạng   C ( E W  C   ,1   E d 1 d 1 )  R  E Do  d (w)  với đáy cho tất trụ C  C (E d 1 ) Từ  bất biến phép tịnh tiến Ed, ta có (11) cho hình trụ đứng có chiều cao Từ  có tính đơn bất biến phép tịnh tiến,  (w)  hình trụ đứng có chiều cao , n = 1, 2, …, nhƣ n tính chất nói  hình trụ đứng có chiều cao hữu tỷ Do tính liên tục  nên (11) thỏa mãn Bƣớc thứ tƣ ta chứng minh: (12)  (X )  cho trụ nghiêng X C với đáy hình đa diện Nếu X dài mỏng, cắt X thành hai mẩu siêu phẳng trực giao đƣờng sinh mặt trụ gắn mẩu với để có đƣợc trụ đứng W Do  bất biến phép tịnh tiến, (9) (11) cho thấy (X)= (W)=0 Nếu X khơng dài mảnh, ta chia thành nhiều trụ nghiêng X , , X n Từ (9),  ( X )   ( X )    ( X n )  Điều kết luận (12) đƣợc chứng minh Bƣớc thứ năm, ta chứng minh: (13)  ( P  L )   ( P ) cho P ∈ P L đoạn thẳng Giả sử L=[0,s] với s  E d Nếu dim P  d  , P + L trụ có số chiều khơng vƣợt q d - Dùng (12) với ý  có tính đơn, ta thấy  ( P  L ) Rõ ràng  ( P )  Giả thiết dimP = d Gỉa sử F1 F n mặt P vectơ pháp tuyến đơn vị hƣớng Fi ui Nếu cần thiết, ta đánh số lại cho s u i >0, với i = 1,… , m (m < n) Khi P , F1  L , ., F m  L tạo thành phân hoạch P+L Từ (9) (12) cho ta:  ( P  L )   ( p )   ( F1  L )    ( F m  L )   ( p ) , (13) đƣợc chứng minh Do hình hộp xiên tổng hữu hạn đoạn thẳng, phép quy nạp, (13) cho thấy  ( P  Z )   ( P ),  ( Z )  hình hộp xiên Theo giả thiết,  liên tục, đó: 27 với P ∈ P  ( C  Z )   ( P )   ( F1  L )    ( F m  L )   ( P ) (14) C C , với hình hộp xiên Bƣớc thứ sáu, ta chứng minh:  (C )  (15) S d 1 thuộc lớp , với thể lồi đối xứng, C  C C cho hạn chế hc Do Bồ đề 2.3.5 có hình hộp xiên Y Z cho C+Y=Z từ (14) ta có  ( C )   (C  Y )   (Z )  Vậy (15) đƣợc chứng minh Do thể lồi C đối xứng với hc S d 1 thuộc lớp C  trù mật họ tất thể lồi đối xứng tâm, với (15) tính liên tục  suy rằng:  (C )  (16) , với tất tập đố xứng tâm C C Bƣớc thứ bảy, ta chứng minh:  ( S )  với (17) đơn hình S Do  có tính đơn, (17) thỏa mãn dim S  d  Giả thiết dim S=d đỉnh S Giả sử v , v d đỉnh lại S, gọi v  v   v d Giả sử P    v1    d v d :   i  1 v  v , , v  v d Các siêu phẳng qua Từ (16), (9), (16) (10) suy ra:   ( P )   ( S )   ( Q )   ( v  S )  2 ( S ) 28 tƣơng ứng, phân hoạch P thành ba phần: S, hình đa diện lồi đối xứng tâm Q v-S Do đó v , v d (S )  , suy (17) Hình vẽ cho chứng minh mệnh đề (17) Cuối cùng, P ∈ P đƣợc phân hoạch thành đơn hình, kết hợp với (9) (17) cho ta  (P)  với P ∈ P Tính liên tục  (C )  với C C  dẫn tới: Vậy (8) đƣợc chứng minh Cuối cùng, để hoàn thành chứng minh Định lý, ta gỉa sử: định nghĩa   (C ) =  (C )  c V (C ) , với C C , c   :C  R   ,1   d đƣợc Khi hàm đánh giá thỏa mãn giả thiết (8) Do vậy = 0, tức  = cV Định lý đƣợc chứng minh 2.4 Bất đẳng thức Brunn- Minkowski 2.4.1 Bất đẳng thức Brunn- Minkowski cho thể lồi Bất đẳng thức Brunn-Minkowski, phản ánh mối quan hệ thể tích V(C+D) tổng Minkowski C  D   x  y : x  C , y  D  hai thể lồi C, D với thể tích V(C), V(D) C D Bất đẳng thức lý thuyết cổ điển với nhiều ứng dụng, đƣợc quan tâm, phát triển suốt kỷ XX Trong phần này, trình bày phiên bất đẳng thức Brunn- Mimkowski, sau mở rộng tới tập khơng lồi, toán đẳng chu, 29 2.4.2 Định lý Giả sử C,D  C V (C  D ) (1) d  V (C )  V (D ) d d Chứng minh Bất đẳng thức sau đƣợc sử dụng để chứng minh Định lý: 1 1 d 1 d W  V d  d  d d (v  w )  W ) ,    (V w   v (2) với v, w, V, W số dƣơng; đẳng thức xảy nếu: v d 1 V d  w d 1 W d Để chứng minh (2) cố định V, W lƣu ý tia góc phần tử dƣơng,  ( v , w : v , w   , xuất phát vế trái bất đẳng thức (2) số Do đó, để xác định cực tiểu vế trái, ta cần xác định cực tiểu đoạn thẳng mở  ( v ,1  v ) :  v  1 Bằng tính tốn sơ cấp ta có (2) Trƣờng hợp hai thể lồi C, D có số chiều nhỏ d, có V(C) = 0, V(D) = hai, dễ thấy bất đẳng thức thỏa mãn V Do vậy, từ kết thúc chứng minh, ta giả thiết ( C ), V ( D )  Khi d = 1, (1) cách tầm thƣờng Tiếp theo ta dùng phƣơng pháp quy nạp Giả sử d >1 ta giả thiết (1) thỏa mãn với d-1 Ta phải chứng minh (1) thỏa mãn với d Giả sử u  S d  t số thực Đặt  H ( t )   x : u x  t  H ( t )   x : u x  t  Chọn  C   C cho H (  C ) H ( C ) phẳng giá C Làm tƣơng tự cho D Ta có: (3) H ( C   D ) H ( B C  B D ) siêu phẳng tựa C+D Kí hiệu v(.) (d-1) – thể tích đặt:  v C ( t )  v ( C  H ( t )), V C ( t )  V ( C  H ( t )) , (4) với C  t  C Làm tƣơng tự cho D Hàm hàm 30 t  V C ( t ) / V ( C ) , với  C  t   C liên tục tăng ngặt , nhận giá trị 0,1 với C  t  C t  C ,C , Đạo hàm V ' C ( t ) / V ( C )  v C ( t ) / V (C )  s  tC ( s ) (5) với C  t  C Gọi hàm ngƣợc , ta có: t C ( ) định, liên tục với  s  1, t C ( )   C , t C (1)   c , t ' C V (C ) (s)   với  s  đƣợc xác định với  s  1, vC  tC ( s )  Làm tƣơng tự cho D Do đó, hàm: t C  D ( )  t C ( )  t D ( ) (6) tC  D t CD (.) t C  D ( )  s  1, khả vi liên tục V (C ) ' (7)   C   D , tC  D (l )   C   D , liên tục với tC  D ( s )  Từ (0) vC  tC ( s )  V (D )   với 0< s