Một số vấn đề về thể tích hỗn tạp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN ĐĂNG KHOA Mét sè vÊn ®Ị vỊ thĨ tÝch hỗn tạp LUN VN THC S TON HC VINH - 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN ĐĂNG KHOA Mét sè vÊn ®Ị vỊ thể tích hỗn tạp LUN VN THC S TON HC Chun ngành: Hình học - Tơpơ Mã số: 60.46.10 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS PHẠM NGỌC BỘI VINH - 2011 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU Chương Tập lồi không gian Euclid E d 1.1 Tập lồi hàm lồi 12 1.2 Siêu phẳng tựa hàm tựa 13 1.3 Đa diện lồi 14 Chương Thể tích hỗn tạp Quermassintegrals…………………… 17 2.1 Tổng Minkowski tính chất…………………………………… 17 2.2 Mêtric Hausdorff………………………………………………… 19 2.3 Thể tích hỗn tạp số tính chất 23 2.4 Quermassintegrals thể tích trong……………………………… 38 KẾT LUẬN……………………………………………………… 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………… 47 MỞ ĐẦU “Hình học lồi” hướng quan trọng hình học, nhiều nhà tốn học quan tâm, nghiên cứu Các vấn đề “Hình học lồi” có mối liên hệ với lĩnh vực khác toán học bao gồm: Giải tích, Đại số tuyến tính, Thống kê, Lý thuyết số Tổ hợp Nội dung “Hình học lồi” chứa vấn đề có ý nghĩa phương diện độ đo, thể tích hỗn tạp thể lồi Khi nghiên cứu thể tích thể lồi, xuất phát từ không gian Euclid (hữu hạn chiều), sau trang bị mêtric Hausdorff cho không gian thể lồi Trong không gian Euclid, để tính thể tích tổ hợp tuyến tính thể lồi, người ta biểu biễn thể tích dạng đa thức mà biến hệ số tổ hợp tuyến tính Các hệ số đa thức gọi thể tích hỗn tạp thể lồi Việc xây dựng cơng thức thể tích hỗn tạp thể lồi xuất phát từ việc xấp xỉ thể tích hỗn tạp đa diện lồi Tiếp theo xuất vấn đề xây dựng cơng thức diện tích bề mặt, thể tích quermassintegrals thể lồi Mục đích luận văn trình bày cách có hệ thống vấn đề thể tích hỗn tạp, thể tích trong, diện tích bề mặt, quermassintegrals Trên sở tham khảo tài liệu tham khảo có điều kiện nay, chúng tơi tìm hiểu, hệ thống số vấn đề thể tích hỗn tạp Với mục đích luận văn chia làm hai chương sau: Chƣơng Tập lồi không gian Euclid E d Chương trình bày theo đề mục sau 1.1 Tập lồi hàm lồi Trong mục chúng tơi trình bày khái niệm tập lồi, thể lồi, bao lồi tập không gian Euclid hữu hạn chiều, trình bày chứng minh số tính chất chúng, trình bày khái niệm hàm lồi, hàm lõm 1.2 Siêu phẳng tựa hàm tựa Trong mục chúng tơi trình bày khái niệm siêu phẳng tựa, hàm tựa, trình bày chứng minh số tính chất siêu phẳng tựa, hàm tựa 1.3 Đa diện lồi Trong mục chúng tơi trình bày khái niệm đa diện lồi, trình bày chứng minh số tính chất chúng Chƣơng Thể tích hỗn tạp Quermassintegrals Chương trình bày theo đề mục sau 2.1 Tổng Minkowski tính chất Trong mục chúng tơi trình bày khái niệm tổng Minkowski thể lồi số tính chất chúng 2.2 Mêtric Hausdorff Trong mục trình bày khái niệm mêtric Hausdorff hai thể lồi số tính chất dãy thể lồi 2.3 Thể tích hỗn tạp số tính chất Trong mục chúng tơi trình bày chi tiết khái niệm thể tích hỗn tạp, chứng minh đầy đủ tính chất thể tích hỗn tạp nêu định lý 2.4 Quermassintegrals thể tích Trong mục chúng tơi trình bày khái niệm Quermassintegrals thể lồi, thể tích trong, số tính chất chúng Luận văn hồn thành Khoa Sau đại học Trường Đại học Vinh, hướng dẫn khoa học, tận tình chu đáo Thầy giáo PGS.TS.Phạm Ngọc Bội Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy giáo tổ Hình học giảng dạy dẫn tận tình trình học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô Khoa Toán, Khoa Sau đại học, bạn bè gia đình tạo điều kiện cho tác giả hồn thành luận văn Mặc dù có cố gắng song luận văn tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý quý thầy cô bạn để luận văn hồn thiện Chúng tơi xin chân thành cảm ơn! Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả CHƢƠNG TẬP LỒI TRONG KHÔNG GIAN EUCLID E d Trong luận văn xét không gian Euclid E d có số chiều d trường số thực ¡ 1.1 Tập lồi hàm lồi 1.1.1 Định nghĩa (i) Giả sử x , y Ỵ E d , đoạn thẳng nối x y định nghĩa sau éx , y ù= z = l x + (1 - l )y £ l £ êë ú û { } (ii) Giả sử A Ð Ed Tập A gọi tập lồi với x , y Ỵ A kéo theo éx , y ùÐ A êë ú û 1.1.2 Ví dụ a, Với x , y Ỵ E d éêx , y ùú tập lồi ë û b, Tập Ỉ, E d , hình cầu tâm x, bán kính r, ký hiệu B (x , r ) E d tập lồi c, Hình trịn, hình tam giác mặt phẳng tập lồi 1.1.3 Định nghĩa (i) Tập hợp C Ð Ed gọi tập lồi chặt C tập đóng l x + (1 - l )y Ỵ intC vi mi x , y ẻ C v x y, < l < (ii) Tập lồi compact C E d gọi thể lồi (iii) Thể lồi C E d gọi th li chõn chớnh nu intC ặ Ta kớ hiệu C = C ( E d ) tập tất thể lồi E d Cp = Cp ( E d ) tập tất thể lồi chân E d 1.1.4 Định nghĩa Tổ hợp lồi hữu hạn điểm x 1, , x n Ỵ Ed , n Î ¥ * n å n l i x i , l i ³ 0, i = 1, , n i= å l i = i= 1.1.5 Mệnh đề Tập A Ð Ed tập lồi chứa tổ hợp lồi phần tử thuộc A Chứng minh Nếu A chứa tổ hợp lồi phần tử thuộc A ta xét trường hợp n = , với x 1, x Î A; l 1, l ³ l + l = ta có x = l 1x + l 2x Ỵ A , theo Định nghĩa 1.1.1 suy A tập lồi n Ngược lại, A tập lồi, xét x = å l i x i với x i Î A, l i ³ , i= n i = 1, , n , å l i = Ta chứng minh x Ỵ A , phương pháp quy nạp theo n i=  Với n = theo Định nghĩa 1.1.1 suy mệnh đề  Giả sử mệnh đề với n = k ³ , tức x = k å l i x i Ỵ A với i= k x i Ỵ A, l i ³ , i = 1, , k å l i = Ta cần chứng minh mệnh đề với i= n = k + k+1 Thật vậy, giả sử x = å k+1 l i x i , với x i Ỵ A, l i ³ , i = 1, , k + i= å l i = 1, i= k+1 ta phải chứng minh x = å l ix i Ỵ A i= k+1 Do å l i = k + ³ nên tồn l j ¹ với j Î {1, 2, , k + 1}, i= không tính tổng qt giả thiết l k + ¹ k Khi ¹ - l k + = l + + l k å i= k Theo giả thiết quy nạp y = å ( i= li li = 1; ³ 1- l k+1 1- l k+1 li )x Ỵ A 1- l k+1 i k+1 Từ Định nghĩa 1.1.1 suy x = å l i x i = (1 - l k + )y + l k + 1x k + Ỵ A W i= 1.1.6 Định lý (i) Giao họ tùy ý tập hợp lồi tập hợp lồi (ii) Tổ hợp tuyến tính hữu hạn tập hợp lồi tập hợp lồi (iii) Ảnh nghịch ảnh toàn phần tập hợp lồi qua ánh xạ tuyến tính tập lồi Chứng minh (i) Giả sử {Ai } iỴ I họ tùy ý tập hợp lồi E d , ta phải chứng minh A = Ç Ai tập lồi iỴ I Thật , lấy x , y Ỵ A , x , y Ỵ Ai , " i Ỵ I Do với l Ỵ éêë0;1ù ú Ai tập û lồi " i Ỵ I nên l x + (1 - l )y Ỵ Ai , " i Î I Þ l x + (1 - l )y Î A Vậy A = Ç Ai tập lồi iỴ I (ii) Giả sử Ai Ð E d , i = 1, n tập hợp lồi l i Ỵ ¡ , i = 1, n , ta chứng minh tập hợp A = l 1A1 + + l n An tập lồi Thật vậy, lấy x , y Ỵ A l Î éêë0;1ù ú û, giả sử x = n l x + (1 - l )y = l å i= n å i= n l ix i , y = å l iy i x i , y i Ỵ Ai , i = 1, n Khi i= n l i x i + (1 - l )å l iy i = i= n å l i (l x i + (1 - l )y i ) i= Vì tập Ai lồi nên l x i + (1 - l )y i Ỵ Ai , " i = 1, n Þ l x + (1 - l )y Ỵ A Như A = l 1A1 + + l n An tập lồi (iii) Giả sử V không gian vectơ ¡ f : Ed ® V ánh xạ tuyến tính - Giả sử A Ð Ed tập lồi, ta phải chứng minh f (A ) tập lồi V Lấy x , y Ỵ f (A ) l Ỵ éêë0;1ù ú û, tồn a, b Ỵ A : x = f (a ), y = f (b) Mặt khác f ánh xạ tuyến tính nên l x + (1 - l )y = l f (a ) + (1 - l ) f (b) = = f (l a ) + f ((1 - l )b) = f (l a + (1 - l )b) Ỵ f (A ) , (vì A tập lồi) Như l x + (1 - l )y Î f (A ) , với x , y Î f (A ) l Î éêë0;1ù ú û, hay f (A ) tập lồi V - Giả sử B Ð V tập lồi, ta phải chứng minh f - 1(B ) lồi E d - Với l Ỵ éêë0;1ù ú, x , y Ỵ f (B ) f (x ), f (y ) Ỵ B l f (x ) + (1 - l ) f (y ) Î B û Do f ánh xạ tuyến tính nên f (l x + (1 - l )y ) = l f (x ) + (1 - l ) f (y ) Suy f (l x + (1 - l )y ) ẻ B ị l x + (1 - l )y Ỵ f - 1(B ) Vậy f - 1(B ) tập lồi E d W 1.1.7 Định nghĩa Cho A Ð Ed , tập lồi nhỏ E d chứa A gọi bao lồi A , kí hiệu co(A ) 1.1.8 Nhận xét (i) co(A ) giao tất tập lồi chứa A E d (ii) A Ð Ed tập lồi co(A ) = A 10 Bây áp đụng Định lý Minkowski ý a12 dn = V (C 1n , ,C dn ) a12 d = V (C 1, ,C d ) ta có V (C 1n , ,C dn ) ® V (C 1, , C d ) n đ Ơ W Mt tớnh cht quan trọng thể tích hỗn tạp tính đơn điệu, diễn tả Định lý sau 2.3.11 Định lý Giả sử C 1, ,C d , D1, , Dd Ỵ C cho C Ð D1, ,C d Ð Dd Khi V (C 1, ,C d ) £ V (D1, , Dd ) Chứng minh Để chứng minh Định lý ta dựa vào số bổ đề sau 2.3.12 Bổ đề Giả sử C Î C P Î Ã Với mặt F P giả sử u F vectơ pháp tuyến đơn vị ngồi F Khi (1) V (C , P , , P ) = å hC (u F ) v(F ) , d tổng lấy theo tất mặt F P Chứng minh Trước hết ra: (2) Giả sử G mặt P với dim G £ d - Khi V (G + eB d ) = O ( e2 ) e ® + Chúng ta giả sử G Ð Ed - , E d biểu diễn dạng Ed = Ed- ´ E Giả sử B d - 2, B hình cầu đơn vị tương ứng E d - E Chọn d > đủ lớn cho G + eB d - Ð dB d - , với < e £ Khi G + eB d Ð (G + eB d - ) ´ eB Ð dB d - ´ eB V (G + eB d ) = O ( e2 ) e ® + Theo định lý Minkowski ta có: 35 V ( eC + P ) = V (P , , P ) + dV (C , P , , P ) e + + dV (C , , C , P ) ed - + + V (C , ,C ) ed = V (P ) + dV (C , P , , P ) e + + V (C ) ed Vì (3) V (C , P , , P ) = V ( eC + P ) - V (P ) lim d x® + e Tiếp theo ta xét hai trường hợp Trường hợp thứ vectơ o Ỵ C , chọn d > cho C Ð dB d Thể lồi e C + P chia thành P , hình trụ (có thể xiên, với đáy mặt) phần lại eC + P Các hình trụ mô tả sau: với mặt F P với vectơ pháp tuyến đơn vị u F chọn mt im p ẻ C ầ HC (u F ) Khi hình trụ tương ứng F + e éêëo, p ù ú Phần lại û eC + P nằm hợp tập hợp có dạng eC + G Ð edB d + G , G phủ khắp mặt P với dim G £ d - ta tích O ( e2 ) (2) Như (4) V ( eC + P ) = V (P ) + e å hC (u F ) v(F ) + O ( e2 ) e ® + Vì (3) (4) kéo theo (1), Bổ đề chứng minh trường hợp vectơ o Ỵ C Trường hợp thứ hai vectơ o Ï C Chọn t Ỵ Ed cho vectơ o Ỵ C + t Khi å hC + t (u F ) v(F ) d hC (u F ) v(F ) + å t u F v(F ) d V (C , P , , P ) = V (C + t , P , , P ) = = å d 36 Chú ý å t u F v(F ) = t å t u F v(F ) = , tổng cuối t tổng diện tích hình chiếu mặt P lên mặt phẳng qua o trực giao với t Mỗi số hạng tổng xuất hai lần, lần với dấu + lần với dấu - Như Bổ đề chứng minh trường hợp o Ï C 2.3.13 Bổ đề Giả sử C Î C, P2, , Pd Î Ã U  S d - tập hữu hạn chứa vectơ pháp tuyến đơn vị mặt đa diện lồi l 2P2 + + l d Pd với l 2, , l d ³ Giả sử v(., ,.) biểu thị thể tích hỗn tạp (d - 1) - chiều Khi (1) å h (u ) v(P2 Ç H P2 (u ), , Pd Ç H Pd (u )) d U C V (C , P2, , Pd ) = Chứng minh Trước U tồn Bổ đề 2.3.3 Giả sử P = l 2P2 + + l d Pd Theo Bổ đề 2.3.3 2.1.4 Định lý 2.3.2 cho trường hợp (d - 1) - chiều, ta biểu diễn (2) V (C , P , , P ) = å h (u ) v(P Ç H P (u )) d U C å h (u ) v(l 2(P2 Ç H P2 (u )) + + l d (Pd Ç H Pd (u ))) d U C d = å hC (u ) å v(Pi Ç H P (u ), , Pi Ç H P (u ))l i l i i2 d id d d U i2 , ,id = = Mặt khác ta có d (3) V (C , P , , P ) = å V (C , Pi , , Pi )l i l i i2 , ,id = 2 d d Cuối so sánh hệ số l l d (2) (3) ta có (1) Bây chứng minh Định lý phương pháp quy nạp theo d Với d = ta thấy hiển nhiên 37 Giả sử d > kết Định lý đến d - Tiếp theo chứng minh sau: (4) Lấy C , D, D2, , Dd Ỵ C cho C Ð D Khi V (C , D2, , Dd ) £ V (D, D2, , Dd ) Vì thể tích hỗn tạp liên tục nên để chứng minh (4), ta cần chứng minh trường hợp đặc biệt sau (4): (5) Lấy C , D Ỵ C cho C Ð D P2, , Pd Ỵ Ã Khi V (C , P2, , Pd ) £ V (D, P2, , Pd ) Do C Ð D suy hC £ hD Biểu diễn V (C , P2, , Pd ) V (D, P2, , Pd ) Bổ đề 2.3.13 Vì hC £ hD phép quy nạp ta có v(P2 Ç H P (u ), , Pd Ç H P (u )) ³ v({o}, ,{o}) = d Từ suy bất đẳng thức V (C , P2, , Pd ) £ V (D, P2, , Pd ) Điều chứng minh (5) (4) kéo theo Định lý chứng minh W 2.3.14 Hệ Giả sử C 1, ,C d Ỵ C Khi V (C 1, ,C d ) ³ Chứng minh Không tính tổng qt, ta giả sử o Ỵ C 1, ,C d Khi theo Định lý 2.3.11 ta có V (C 1, ,C d ) ³ v({o}, ,{o}) = 0.W 2.3.15 Định lý Giả sử C , D, D2, , Dd Ỵ C cho C È D Ỵ C Khi V (C È D, D2 , Dd ) + V (C Ç D, D2 , Dd ) = V (C , D2 , Dd ) + V (C , D2 , Dd ) Chứng minh Ta chứng minh Định lý cách sử dụng Định lý Minkowski Trước hết ta chứng minh khẳng định sau: (1) Giả sử C , D, E Ỵ C cho C È D Ỵ C Khi 38 (C È D ) + E = (C + E ) È (D + E ) (C Ç D ) + E = (C + E ) Ç (D + E ) Thật vậy, khẳng định thứ hiển nhiên, ta chứng minh khẳng định thứ hai Hiển nhiên (C Ç D ) + E Ð (C + E ) Ç (D + E ) , ta chứng minh bao hàm thức ngược lại, lấy x Î (C + E ) Ç (D + E ) Khi x = c + e = d + f , với c Ỵ C , d Ỵ D, e, f Ỵ E Vì C È D tập lồi nên p = (1 - l )c + l d ẻ ộờởc, d ự ỳ ỷầ (C Ç D ) Vì x = (1 - l )(c + e) + l (d + f ) = p + (1 - l )e + l f Î (C Ç D ) + E Như (C + E ) Ç (D + E ) Ð (C Ç D ) + E Do khẳng định (1) chứng minh Để chứng minh Định lý ta lưu ý V (l (C È D ) + l 2D2 + + l d Dd ) d ổ d ỗ j ữ = çç ÷l V (C È D, ,4444443 C È D , Di , , Di )l i l i 14444442 ữ j+1 d j+1 d j ỗ ữ j= è ø i j + , ,id = j Vậy V (l (C Ç D ) + l 2D2 + + l d Dd ) d ổ d j = ỗỗỗ ữ l V (C Ç D, ,4444443 C Ç D , Di , , Di )l i l i ÷ 14444442 ữ j+1 d j+1 d j ỗ ữ j= è ø i j + , ,id = j Suy V (l C + l 2D2 + + l d Dd ) d æ d dử ữ ỗ j ữ ỗ = ỗ ÷l å V (C , ,C , D , , Did )l ij + l id ÷ ÷ i j + 1, ,id = 1442j 443 i j + j= ỗ ốj ứ Vy V (l D + l 2D2 + + l d Dd ) d ổ d dử ữ ỗ j ữ = ỗỗ ữl , ,443 D , Di , , Di )l i l i å, ,i = 2V (D1442 ÷ j+1 d j+1 d j ÷ j= ỗ i ố ứ j+1 d j 39 Do (1) nên phép cộng hai thể tích phép cộng hai thể tích cuối Cân hệ số l l l d hai bên đẳng thức ta thấy Định lý chứng minh W 2.3.16 Định lý (Bất đẳng thức Minkowski) Giả sử C , D Ỵ C Khi (i) V (C , D, , D )d ³ V (C )V (D )d - , C , D thể lồi chân chính, dấu bất đẳng thức xảy C , D đồng dạng (ii) V (C , D, , D )2 ³ V (C ,C , D, , D )V (D ) Chứng minh Hàm số V ((1 - l )C + l D )d với £ l £ hàm lõm Nếu C D (1) thể lồi chân biểu diễn hàm số tuyến tính C D đồng dạng Định lý Minkowski thể tớch hn cho thy rng ổd ữ ỗ ÷ V ((1 - l )C + l D ) = ỗỗ ữ(1 - l )i l ữ i= ỗ ối ữ ứ d (2) d- i V (C , ,443 C ,D , ,443 D) 1442 1442 i d- i d (i) Đặt f (l ) = V ((1 - l )C + l D ) với £ l £ d d Do (1) nên f hàm lõm f (0) = V (C ) , f (1) = V (D ) Vì 1 f (1) - f (0) d d f '(1) £ , tức f '(1) £ V (D ) - V (C ) , dấu xảy 1- hàm f tuyến tính Sử dụng (1) dấu xảy C D đồng dạng Bây ta tính f '(1) cách sử dụng (2) ta 40 1 -1 -1 d d d é ù f '(1) = V (D ) ëêdV (D ) - dV (C , D, , D )û = V ( D ) V ( D ) V (C , D, , D ) ú d d Suy V (D ) - V (D ) -1 d d d V (C , D, , D ) £ V (D ) - V (C ) , rút gọn bất đẳng thức ta thu V (C , D, , D )d ³ V (C )V (D )d - Tức (i) chứng minh (ii) Do (1) f hàm lõm, (2) suy f ''(1) £ Điều suy (ii) W 2.4 Quermassintegrals thể tích Ta nhắc lại công thức Steiner cho thể song song Gi s C ẻ C, ú ổd ữ V (C + l B ) = W 0(C ) + ỗỗỗ ữ W (C )l + + ữ ữ ỗố1 ứ ữ d ổd ỗỗ ữ ữW (C )l ỗỗd ữ ữ d ữ ố ứ d với l ³ Trong hệ số d W i (C ) = V (C , ,44 C3, B , ,444 B d3), i = 0, , d , 1442 14442 d- i i gọi quermassintegrals C Nếu C nằm không gian E d , ta xác định quermassintegrals C E d khơng gian Nói chung kết lại không giống với mệnh đề sau nêu ra, v(.) thể tích wi (.), i = 0, , d - quermassintegrals (d - 1) - chiều, k = k i , i = 1, , d thể tích i - chiều B i 2.4.1 Mệnh đề Giả sử C Ỵ C ( E d - ) nhúng E d - vào E d bình thường (nhúng vào d - tọa độ đầu tiên) Khi W i (C ) = i ki d k i- wi - 1(C ), i = 1, , d Chứng minh Giả sử u(0, , 0,1) Khi 41 ỉd ữ ồi = ỗỗỗỗi ữữữữW i (C )l i = V (C + l B d ) = è ø d l ò v((C + l B d ) Ç ( E d - + t u )) dt - l i ổd - 1ữ ỗ 2 ÷ = ị v(C + (l - t ) B ) dt = ũ ( ỗỗ wi (C )(l - t ) ) dt ÷ ÷ i ç ÷ ø - l - l i= è l i d- ỉ d- ỉ d - 1ử k ữ ỗỗd - 1ữ 2 ữ ữ = ỗỗỗ w ( C ) ( l t ) dt = wi (C ) i + l i + 1, ÷ ÷ å i ị ç ÷ ç i ø÷ ki ÷ ÷ i= ç i= è è i ø - l l 2 l d- d- với l ³ Kết có công thức Steiner E d , E d - Định lý Fubini sử dụng để tính thể tích (i + 1) - chiều hình cầu l B i + Bây cân hệ số phương trình ta suy điều phải chứng minh W Để giải tình quermassintegrals phụ thuộc vào số chiều không gian nhúng, McMullen giới thiệu thể tích V i (C ) xác nh bi ổd ỗỗ ữ ữ ỗỗi ữ ữ ÷ è ø V d - i (C ) = W (C ) với C Ỵ C i = 0, , d ki i Mệnh đề 2.4.1 thể tích phụ thuộc vào thể lồi mà không phụ thuộc vào số chiều không gian nhúng Từ công thức Steiner định nghĩa Minkowski diện tích bề mặt S (.) , ta có W 0(C ) = V d (C ) = V (C ), W 1(C ) = Ngoài ra, W d - 1(C ) = V d - 1(C ) = S (C ),W d (C ) = k d V 0(C ) = k d d d kd w(C ) , w(C ) = d kd òh C S (u ) d s (u ) d- chiều rộng trung bình C Ở s diện tích bề mặt thơng thường 42 2.4.2 Định nghĩa (Diện tích bề mặt Minkowski) Cho C Ỵ C Khi diện tích bề mặt C định nghĩa sau: V (C + eB d ) - V (C ) S (C ) = lim e® + e Theo cơng thức Steiner ta có: V (C + eB d ) = V (C ) + dW 1(C )e + O ( e2 ) e ® + , suy S (C ) =dW 1(C ) 2.4.3 Định lý Những khẳng định sau với i = 0, , d : (i) W i (.) bất biến với phép dời hình, bất biến với phép tịnh tiến, nghĩa là: W i (m (C )) = W i (C ) với C Ỵ C phép dời hình m E d (ii) W i (.) đa thức bậc d - i (xác định dương), nghĩa W i (l C ) = l d- i W i (C ) với C Ỵ C l ³ (iii) W i (.) liên tục C (iv) W i (.) không giảm C (v) W i (.) có tính chất: C , D Ỵ C cho C È D Î C, W i (C È D ) + W i (C Ç D ) = W i (C ) + W i (D ) 2.4.4 Định lý (Công thức Steiner Quermassintegrals) Giả sử C Ỵ C Khi ỉd W i (C + l B ) = ỗỗỗ k= ỗ ố k d- i d i÷ ÷ W i + k (C ) l ÷ ÷ ÷ ø k với l ³ i = 0, , d Đặc bit, ổd d ồk = ỗỗỗỗ k ố d- i S (C + l B d ) = dW 1(C + l B d ) = 1÷ ÷ W k + 1(C ) l k , với l ³ ÷ ÷ ÷ ø 43 Chứng minh Áp dụng công thức Steiner cho (C + l B d ) + mB d = C + (l + m)B d ta cú: ổd ửữ d ổ ỗỗ ữW (C + l B d )mi = ỗỗd ữ ồi = ỗỗi ữữữ i ồi = ỗỗi ÷÷÷÷W i (C )(l + m)i è ø è ø ỉi ỉư d ỉ d÷ i÷ i ÷ ç ç i i- ÷ ÷ ç ç = ỗ ữW i (C )(l + ỗ ữl m + + ỗỗỗ ữ ữm ) ữ ỗối ữ ữ ữ ữ i= ỗ ối ữ ứ ốỗ1ứ ø ỉ d ưỉ d ỉ d ưỉư i÷ i + 1ữ ỗỗổ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗỗ = ỗỗỗ ữỗỗ ữW i (C ) + ỗỗ W i + 1(C )l + + ữ ữ ữ ữ ữ ữ ỗ i i i + i ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ i= ỗ ố ứố ứ èè øè ø d ỉd - i ỉ d ửổ ỗỗ ỗỗ ữỗỗi + k ữ kữ ữ ữ = ỗồ ỗ W i + k (C )l ữ mi , ữ ữ ữ ỗ ữ ữỗ i ứ ữ ữ ữ ữ ỗốk = ỗối + k ứố i= ỗ ứ d ổd ữ ửổ ỗỗ ữỗỗd ữ ữ W d (C )l ữ ỗỗd ữ ỗ ữ ữ i ỗ ữ ữ è øè ø d- i ÷ i ÷ m ÷ ÷ ÷ ø với l , m ³ Lập phương trình hệ số mi ,ta cú: ổ d ửổ ữ ỗỗ ỗỗi + ữ ữ ữ d- i ỗ ỗối + k ứố ữỗỗ i d W i (C + l B ) = å ổd ữ k= ỗỗ ữ ỗỗi ữ ữ è ÷ ø kư ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø W i + k (C ) l æd = å ççç k= ç è k d- i k ö i÷ ÷ W i + k (C ) l k , ÷ ÷ ÷ ø với l ³ W Bây giả sử C Ỵ C u Ỵ S d - , gọi C u ^ hình chiếu trực giao C vào khơng gian (d - 1) - chiều u ^ = {x : x u = 0} trực giao với u Coi s diện tích bề mặt thơng thường E d 2.4.5 Định lý (Công thức Cauchy diện tích bề mặt) Giả sử C Ỵ C Khi (1) S (C ) = kd- ò v(C u ^ )d s (u ) S d- 44 Chứng minh Trước hết coi C = P đa diện lồi chân Nếu F mặt P , giả sử u F vectơ pháp tuyến đơn vị F Vì P đa diện lồi chân nên S (P ) = å v(F ) , (tổng lấy theo tất mặt F P ) Chú ý v(F ) u F u = v(C u ^ ) với u Ỵ S d - , tích phân S d - cho thấy ò v (F u S ^ )d s (u ) = v(F ) ò u F u d s (u ) = 2k d - 1v(F ) d- S d- Vì S (P ) = = å v (F ) = ( å v(F u ^ )) d s (u ) ò 2k d - S d - ò v (P u ^ k d - S d- )d s (u ) Tiếp theo ta coi C thể lồi chân Chúng ta giả sử thêm o Î intC Khi tồn dãy đa diện lồi chân (Pn ) cho Pn Ð C Ð (1 + )P Pn ® C n đ Ơ n n S (.) = dW 1(.) liên tục Định lý 2.4.3 (iii) Vì (2) S (Pn ) ® S (C ) n đ Ơ Hm s v(Pn u ^ ) với u Ỵ S d - liên tục với n = 1, Vì v(Pn u ^ ) £ v(C u ^ ) £ (1 + d- ) v(Pn u ^ ) với u Ỵ S d - , n v(C u ^ ) bị chặn S d - , hàm số v(C u ^ ) giới hạn dãy hàm liên tục (v(Pn u ^ )) nên v(C u ^ ) liên tục S d - Tích phân S d - ta thấy rằng: 45 ò v (P n u ^ )d s (u ) £ S d- ò v(C u ^ )d s (u ) £ (1 + S d- 1 d- ) ò v(Pn u ^ )d s (u ) n d- S Vì phần thứ chứng minh được, S (Pn ) = ò v (P n kd- u ^ )d s (u ) , S d- ta kết luận S (Pn ) ® kd- ò v(C u ^ )d s (u ) n đ Ơ S d- Cựng với (2), điều S (C ) = kd- ò v(C u ^ )d s (u ) S d- Bây coi C thể lồi có số chiều d - Chúng ta giả sử C Ð v ^ , với v Ỵ S d - Khi kd- ò v(C u S ^ )d s (u ) = d- 1 kd- ò S u v d s (u ) v(C ) = 2v(C ) = S (C ) d- Cuối cùng, dimC < d - hai vế (1) W Chúng ta coi wi (.), i = 0, , d biểu thị quermassintegrals (d - 1) - chiều Khi ta viết công thức Cauchy dạng sau: W 1(C ) = d kd- ò w (C u S ^ )d s (u ) d- 2.4.6 Định lý (Công thức Kubuta Quermassintegrals) Giả sử C Ỵ C Khi (1) W i (C ) = d kd- òw i- (C u ^ )d s (u ) , với i = 1, , d S d- 46 Chứng minh Trước (C + l B d ) u ^ = C u ^ + l B d u ^ , với u Ỵ S d- Công thức Steiner (d - 1) - chiều æd v((C + l B ) u ) = v(C u + l B u ) = ỗỗỗ i= ỗ ố i d- d ^ ^ d ^ 1÷ ÷ wi (C u ^ )l i ÷ ÷ ÷ ø Vì C u ^ thay đổi với u wi (.) liên tục, ta lấy tích phân S d - áp dụng cơng thức Cauchy diện tích bề mặt cho C + l B d ta thấy æd S (C + l B ) = å ççç i= ç è i d- (2) d 1÷ ÷ ÷ ÷ ÷ øk ị w (C u i ^ )d s (u ) l i , với l ³ d - S d- Vì S (C + l B d ) = dW 1(C + l B d ) , từ cơng thức Steiner W 1(.) suy ỉd S (C + l B ) = d ỗỗỗ i= ỗ ố i d- (3) d 1ử ữ ÷ W i + 1(C ) l ÷ ÷ ÷ ø i , với l ³ Cuối cân hệ số phương trình (2) (3) suy (1) W 47 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau: Trình bày số khái niệm, tính chất tập lồi không gian Ed * Các khái niệm siêu phẳng tựa, hàm tựa số tính chất đơn giản hàm tựa * Khái niệm đa diện lồi, số tính chất đa diện lồi Trình bày cách có hệ thống khái niệm, tính chất thể tích hỗn tạp số vấn đề liên quan là: * Tổng Minkowski tính chất (Định nghĩa 2.1.1, Mệnh đề 2.1.2, 2.1.3, Bổ đề 2.1.4) Mêtric Hausdorff (Định nghĩa 2.2.1), Định lý chọn lọc (Định lý 2.2.4) * Khái niệm thể tích hỗn tạp (Định lý 2.3.2), công thức Steiner thể song song (Định lý 2.3.6), chứng minh tính liên tục, đơn điệu thể tích hỗn tạp (Định lý 2.3.10, 2.3.11) * Khái niệm quermassintegrals (Định lý 2.3.6), công thức diện tích bề mặt Minkowski (Định nghĩa 2.4.2), số tính chất quermassintegrals (Định lý 2.4.3), chứng minh chi tiết công thức Steiner, Kubuta cho quermassintegrals (Định lý 2.4.4, 2.4.6), công thức Cauchy diện tích bề mặt (Định lý 2.4.5) Các kết luận văn trình bày rải rác tài liệu tham khảo Tác giả tập hợp vấn đề theo hệ thống phù hợp với chủ đề chọn; chứng minh chi tiết nhiều tính chất, định lý, hệ mà tài liệu tham khảo đưa mà bỏ qua chứng minh, chứng minh vắn tắt nêu dạng tập 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đỗ Văn Lưu - Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học Kỹ thuật Hà Nội [2] A D Alexandrov (1937), To the Theory of Mixed Volumes of Convex Bodies I Extension of centain concepts of the theory of convex bodies, Mat Sb (N.S) 947-972, Selected Works I, 31-59 [3] E M Alfsen (1971), Compact Convex Sets and Boundary Integranls, SpringerVerlag, Berlin - NewYork [4] C K Bruckner and J B Bruckner (1962), On Ln-sets, the Hausdorff Metric and Connectedness, Proceedings of the American Mathematical Society, 13, 765-767 [5] Peter M Gruber (2009), Convex and Discrete Geometry, Springer- Berlin [6] F A Valentine (1964), Convex Set, New York, Mc Graw-Hill Book Company, New York San Francisco Toronto London 49 ... thống vấn đề thể tích hỗn tạp, thể tích trong, diện tích bề mặt, quermassintegrals Trên sở tham khảo tài liệu tham khảo có điều kiện nay, chúng tơi tìm hiểu, hệ thống số vấn đề thể tích hỗn tạp. .. Hausdorff hai thể lồi số tính chất dãy thể lồi 2.3 Thể tích hỗn tạp số tính chất Trong mục chúng tơi trình bày chi tiết khái niệm thể tích hỗn tạp, chứng minh đầy đủ tính chất thể tích hỗn tạp nêu... tính thể tích tổ hợp tuyến tính thể lồi, người ta biểu biễn thể tích dạng đa thức mà biến hệ số tổ hợp tuyến tính Các hệ số đa thức gọi thể tích hỗn tạp thể lồi Việc xây dựng công thức thể tích hỗn