Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 95 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC LÊ THANH QUANG ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG CÁC BÀI TỐN VỀ DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH, ĐỘ DÀI ĐƯỜNG CONG VÀ HỆ SỐ TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THANH HĨA, NĂM 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC mn LÊ THANH QUANG ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG CÁC BÀI TỐN VỀ DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH, ĐỘ DÀI ĐƯỜNG CONG VÀ HỆ SỐ TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn THANH HÓA, NĂM 2017 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn khơng trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu công bố Người cam đoan Lê Thanh Quang ii LỜI CẢM ƠN Lời tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo, giáo giảng dạy chương trình học lớp cao học Phương pháp toán sơ cấp – K8 trường đại học Hồng Đức, khóa 2015-2017, người giảng dạy cung cấp kiến thức khoa học quý báu suốt năm học vừa qua để tơi có tảng kiến thức thực luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn người thầy tận tình hướng dẫn tạo điều kiện giúp đỡ tác giả nhiều mặt suốt trình thực luận văn để tơi hồn thành tốt luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy giáo, cô giáo làm công tác phản biện đọc kỹ luận văn cho ý kiến quý giá để luận văn hoàn thiện Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo, giáo khoa Khoa học Tự nhiên trường đại học Hồng Đức tạo điều kiện giúp đỡ tận tình suốt trình tơi học tập khoa, trường Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đồng nghiệp ln cổ vũ, động viên, giúp đỡ suốt trình học tập thực luận văn tốt nghiệp Học viên Lê Thanh Quang iii MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương PHƯƠNG PHÁP TÍNH MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN 1.1 Bảng nguyên hàm số hàm số 1.2 Các phương pháp tính tích phân 1.2.1 Phương pháp đổi biến số 1.2.2 Phương pháp tích phân phần 14 1.2.3 Tích phân hàm phân thức hữu tỉ 19 1.2.4 Tích phân số dạng hàm có chứa thức 27 1.2.5 Tích phân hàm lượng giác 38 1.2.6 Tích phân liên kết 46 1.2.7 Tích phân truy hồi 49 1.3 Một số tập áp dụng 54 Chương ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 56 2.1 Tính diện tích hình phẳng 56 2.1.1 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y f x 56 2.1.2 Diện tích hình phẳng giới hạn đường có phương trình tham số 63 2.2 Tính thể tích khối trịn xoay 66 2.2.1 Phương pháp 66 2.2.2 Một số ví dụ minh họa 69 2.3 Tính độ dài đường cong phẳng 71 2.3.1 Các cơng thức tính độ dài đường cong phẳng 71 2.3.2 Một số ví dụ minh họa 72 2.4 Các toán tổ hợp 74 2.4.1 Một số kiến thức nhị thức Newton 74 2.4.2 Các dấu hiệu nhận biết sử dụng phương pháp tích phân 74 2.4.3 Một số dạng toán tổ hợp ứng dụng tích phân 75 2.5 Một số tập áp dụng 86 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 88 TÀI LIỆU THAM KHẢO 89 MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Tích phân chiếm vị trí quan trọng Tốn học, đối tượng nghiên cứu giải tích, tảng cho lý thuyết hàm, lý thuyết phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng Tích phân ứng dụng rộng rãi tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể, độ dài đường cong, Xác suất, hình học vi phân, Thống kê, Vật lý, Cơ học, Thiên văn học, y học Học sinh bắt đầu làm quen với tích phân từ lớp 12 phổ biến tất trường Đại học cho khối sinh viên năm thứ năm thứ hai chương trình học Đại cương Hơn tốn tính tích phân ln có đề thi mơn Tốn kỳ thi trung học phổ thông quốc gia kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông thi đại học trước Với tầm quan trọng phép tính tích phân với mong muốn có thêm tài liệu tham khảo bổ ích cho em học sinh đồng nghiệp, chọn đề tài “Ứng dụng tích phân tốn diện tích, thể tích, độ dài đường cong hệ số tổ hợp” để làm luận văn tốt nghiệp cho Mục đích đề tài Đề tài nhằm mục đích: phân loại chi tiết dạng tích phân thường gặp phương pháp tính dạng tích phân đó; đưa số ứng dụng tích phân vào tốn diện tích, thể tích, độ dài đường cong hệ số tổ hợp, đồng thời phân loại chi tiết dạng toán thường gặp phương pháp giải dạng Nội dung nghiên cứu Các phương pháp tính tích phân ứng dụng tích phân tốn diện tích, thể tích, độ dài đường cong hệ số tổ hợp Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận; nghiên cứu tài liệu Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, luận văn gồm chương: Chương Phương pháp tính số dạng tích phân Chương nhắc lại bảng nguyên hàm số hàm số thường gặp trình bày phương pháp tính số dạng tích phân thường gặp Chương Ứng dụng tích phân Chương trình bày phương pháp giải tốn ứng dụng tích phân việc tính diện tích, thể tích, độ dài đường cong hệ số tổ hợp Chương PHƯƠNG PHÁP TÍNH MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN 1.1 Bảng nguyên hàm số hàm số 1) 0dx C 2) dx x C 3) ax b ax b dx a 1 4) 1 dx ax b a ln ax b C 5) axb ax b e dx e C a 6) ax b m dx 7) ln(ax b)dx x a ln(ax b) x C 1 C , 1 maxb a ln m b dx x arcsin C (a 0) a a2 x2 8) 9) 10) 11) dx x arctan C a 0 a2 x2 a a 12) a 13) cos( ax b ) dx sin(ax b) C a 14) sin( ax b ) dx cos(ax b) C a 15) tan( ax b ) dx ln cos(ax b) C a dx x a 2 dx x2 a2 ln x x a C ln x x a C dx ax ln C x 2a a x 16) cot(ax b)dx a ln sin(ax b) C 17) cos (ax b) dx a tan(ax b) C 18) 1 dx cot(ax b) C sin (ax b) a 1 2 19) x a2 x2 a2 x a x dx arcsin C , a 2 a 20) a x dx 2 x a2 x2 a2 ln x a x C , a 2 1.2 Các phương pháp tính tích phân 1.2.1 Phương pháp đổi biến số 1) Phương pháp đổi biến số dạng a) Phương pháp b Cho tích phân f x dx , phương pháp đổi biến số dạng thực sau: a Đổi biến x t với t hàm số có đạo hàm liên tục đoạn ; , f t xác định đoạn ; a, b Biến đổi f x dx f t ' t dt g t dt Tìm nguyên hàm G t g t Tính g t dt G t b Kết luận a f x dx G t 75 1 1; ; ; mẫu số xếp theo thứ tự tăng giảm theo quy luật đó, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân Khi ta thực theo bước sau : Bước Tìm hàm để tính tích phân với cân thích hợp Bước 2: Tính tích phân hai vế: vế chưa khai triển nhị thức Newton vế khai triển Bước 3: Cho hai kết kết luận Chú ý: Khi hệ số tổ hợp có dạng bk a k ta chọn cận từ a đến b , b tức f x dx a 2.4.3 Một số dạng toán tổ hợp ứng dụng tích phân Dạng Chứng minh đẳng thức tổ hợp Ví dụ 2.4.3.1 (Đề thi ĐH khối B năm 2003) 22 1 23 2n1 n Cho n * Tính tổng S C Cn Cn Cn n 1 n Phân tích Vế trái có chứa phân số, mẫu số xếp theo thứ tự tăng đơn vị, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân Bây giờ, ta suy nghĩ hàm lấy tích phân, cận số thay vào cho biến Vì số hạng cuối có hệ số 2n1 nên ta biết cận từ đến tổng không đan dấu nên ta sử dụng n 1 1 x n dx Lời giải Từ 1 x Cn0 Cn1 x Cn2 x Cnn x n ta có n 1 x n dx Cn0 Cn1 x Cn2 x Cnn x n dx 1 1 x n 1 n 1 1 Cn0 x Cn1 x Cn2 x3 Cnn x n1 n 1 1 76 hay 3n1 2n1 22 1 23 2n1 n Cn Cn Cn Cn n 1 n 1 22 1 23 2n1 n 3n1 2n1 Vậy S C Cn Cn Cn n 1 n 1 n Ví dụ 2.4.3.2 (ĐH Sư phạm TPHCM Khối D – 2000) Cho n * , chứng minh 1 2n1 Cn0 Cn1 Cn2 Cnn n 1 n 1 Phân tích Vế trái có chứa phân số, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân Tổng không đan dấu, ta sử dụng (1 x) n dx Lời giải Từ 1 x Cn0 Cn1 x Cn2 x Cn3 x3 Cnn x n ta có n 1 x n 0 1 x lại có C n dx Cn0 Cn1 x Cn2 x Cn3 x3 Cnn x n dx, n 1 x dx n 1 n 1 2n1 n 1 Cn1 x Cn2 x Cn3 x3 Cnn x n dx 1 1 Cn0 x Cn1 x Cn2 x3 Cnn x n1 n 1 0 1 Cn0 Cn1 Cn2 Cnn n 1 1 2n1 n Từ suy C Cn Cn Cn n 1 n 1 n Ví dụ 2.4.3.3 (ĐH Giao thơng Vận tải‐ 1996) Cho n * , chứng minh 1 1 n n 2Cn0 Cn1 22 Cn2 23 1 Cnn 2n1 1 n 1 n 1 77 Phân tích Vế trái có chứa phân số, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân 2n1 Vì số hạng cuối có hệ số nên ta biết cận từ đến tổng đan dấu n 1 1 x nên ta sử dụng n dx Lời giải Từ 1 x Cn0 Cn1 x Cn2 x Cn3 x3 1 Cnn x n ta có n 1 x n dx Cn0 Cn1 x Cn2 x Cn3 x3 1 Cnn x n dx, n n 1 x n1 n lại có 1 x dx 1 n n 1 0 n C n Cn1 x Cn2 x Cn3 x3 1 Cnn x n dx n 1 Cn0 x Cn1 x Cn2 x3 (1) n Cnn x n1 n 1 0 1 Cn0 Cn1 22 Cn2 23 (1) n Cnn 2n1 n 1 Từ suy 1 1 n 2Cn0 Cn1 22 Cn2 23 (1) n Cnn 2n1 1 n 1 n 1 Ví dụ 2.4.3.4 Cho n * , chứng minh n 1 2n 1 2 3 n n Cn Cn Cn Cn n 1 n 1 Phân tích Vế trái có chứa phân số, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân Vì số hạng cuối có hệ số n nên ta khơng thể nghĩ hàm n 1 số để tính tích phân Bằng cách phân tích số hạng tổng quát k k Cnk 1 Cn , cho ta tổng k 1 k 1 78 C1n Cn2 Cn3 Cnn 12 C1n 13 Cn2 14 Cn3 n 1 1Cnn Từ đó, ta sử dụng 1 x dx n n Lời giải Cách 1: Số hạng tổng quát vế trái có dạng k k Cnk 1 Cn k 1 k 1 với k 0,1,2,, n Do ta có 1 2 3 n Cn Cn Cn Cnn n 1 1 1 Cn1 Cn2 Cn3 Cnn Cn1 Cn2 Cn3 Cnn n 1 2 n 2n1 n 1 (1 x) dx n n 1 n Vậy n n n 1 2n 1 2 3 n n Cn Cn Cn Cn n 1 n 1 Cách 2: Ta có 1 x Cn0 Cn1 x Cn2 x Cn3 x3 Cnn x n n Lấy đạo hàm hai vế ta n 1 x Ta lại có nx 1 x n 1 n1 Cn1 2Cn2 x 3Cn3 x nCnn x n1 dx n 1 x 11 x dx n 1 1 x n1 1 x n n n 1 n 1 x 1 x dx n n n n 1 2n n n 1 n 1 1 n n 1 C n n 2Cn2 x nCnn x n1 xdx Cn1 Cn2 Cnn n 1 n 1 2n 1 2 3 n n Từ suy Cn Cn Cn Cn n 1 n 1 79 Ví dụ 2.4.3.5 (ĐH khối A - 2007) Cho n * , chứng minh 1 22 n C2 n C2 n C2 n C22nn1 2n 2n Lời giải Ta có 1 x C20n C21n x C22n x C23n x3 C22nn x n 2n 1 x 2n Cn0 C21n x C22n x C23n x3 C22nn x n Từ suy 1 x 2n 1 x hay suy 1 x 2n 2n 1 x C21n x C23n x3 C22nn1x n1 2n 1 x 2n C21n x C23n x3 C22nn1 x n1 1 x dx C21n x C23n x3 C22nn1 x n1 dx 2n 1 1 x 2 nl 1 x 2 n1 1 n1 n hay C2 n x C2 n x C2 n x 2 2 n 2n 0 0 Vậy 1 22 n C2 n C2 n C2 n C22nn1 2n 2n 1 1 Nhận xét: Nếu phải tính tổng C20n C22n C24n C22nn ta xét 2n P x 1 x 2n 1 x 2n C20n C22n x C22nn x n Sau tính tích phân P x dx Cịn phải tính tổng 1 C2 n C2 n C2 n C22nn ta lại xét 2n Q x x.P x C20n x C22n x3 C22nn x n1 Sau tính tích phân Q x dx 80 Ví dụ 2.4.3.6 Cho n * , chứng minh 2 22 n1 2n 2C C2 n C2 n C2 n 2n 2n 2n Lời giải Từ 1 x C20n C21n x C22n x2 C23n x3 C22nn x2 n ta có 2n 1 x 2n 1 với 1 x 2n dx C20n C21n x C22n x C23n x3 C22nn x n dx 1 1 x dx 2n 1 C 2n n 1 1 22 n1 n 1 C21n x C22n x C23n x3 C22nn x n dx 1 1 1 C20n x C21n x C22n x3 C23n x C22nn x n1 2n 1 2 2C20n C22n C24n C22nn 2n 2 22 n1 2n Từ suy 2C C2 n C2 n C2 n 2n 2n 2n Dạng Giải toán tổ hợp dựa vào tích phân cho trước Đối với dạng này, thơng thường câu có hai ý: ý thứ yêu cầu tính tích phân ý thứ hai chứng minh đẳng thức tổ hợp tính tổng Khi đó, ta linh hoạt sử dụng ý trước để làm ý sau Ví dụ 2.4.3.7 (ĐH Mở Hà Nội – 1999) Cho n 1) Tính I x 1 x3 dx n 2) Chứng minh Lời giải 1 1 2n1 Cn Cn Cn Cnn 3 n 1 3 n 1 81 1) Xét I x 1 x3 dx n Đặt t x3 dt x dx Đổi cận x t , x t 2, ta có I x 1 x n 2 n t n1 2n1 dx t dx 31 n 3 n 1 2) Ta có x 1 x3 x Cn0 Cn1 x3 Cn2 x6 Cnn x3n , từ suy n x 1 x n dx x Cn0 Cn1 x3 Cn2 x Cn3 x9 Cnn x 3n dx 0 Ta có x C n Cn1 x3 Cn2 x Cn3 x9 Cnn x3n dx Cn0 x Cn1 x5 Cn3 x8 Cn5 x11 Cnn x3n2 dx 1 1 1 Cn0 x3 Cn1 x Cn2 x9 Cnn x3n3 3n 3 0 1 1 Cn0 Cn1 Cn2 Cnn , n 1 mặt khác, theo 1) ta có x 1 x n 2n1 dx 3 n 1 1 1 2n1 n Từ suy Cn Cn Cn Cn 3 n 1 3 n 1 Ví dụ 2.4.3.8 (ĐH Luật, ĐH Bách Khoa Hà Nội - 1997) Cho n * 1) Tính tích phân I x 1 x dx 2) Chứng minh n 82 1 1 1 C n Cn Cn Cn Cn n n 1 n 1 n Lời giải 1) Xét tích phân I x 1 x dx n Đặt t x dt xdx Đổi cận x t , x t , ta có I x 1 x n 1 n t n1 dx t dx 21 n n 1 2) Từ x 1 x x Cn0 Cn1 x Cn2 x Cn3 x 1 Cnn x n suy n x 1 x n n n x C n Ta có Cn1 x Cn2 x Cn3 x 1 Cnn x n dx n Cn0 x Cn1 x3 Cn2 x5 Cn3 x7 1 Cnn x n1 dx n 1 1 1 Cn0 x Cn1 x Cn1 x Cn1 x n2 2n 2 0 1 1 n Cn0 Cn1 Cn2 1 Cnn , n 1 mặt khác, theo 1) ta có x 1 x dx n n 1 1 1 1 C n Cn Cn Cn n n 1 n 1 n Từ suy dx x Cn0 Cn1 x Cn2 x Cn3 x 1 Cnn x n dx Ví dụ 2.4.3.9 Cho n * 83 1) Tính tích phân I n 1 x dx n 1 1 C n 2n !! 2) Chứng minh Cn1 Cn2 Cn3 n 2n 2n 1!! n Lời giải 1) Xét tích phân I n 1 x dx n u 1 x n Đặt ta có dv dx n 1 du 2nx 1 x dx , ta có v x 1 n n 1 I n x 1 x 2nx 1 x dx 0 1 n n 1 2n 1 x dx 1 x dx 2n I n1 I n 0 In 2n I n1 2n suy Do I n I n1 I n1 I n2 suy In I1 2n n 1 I 2n 2n 2n !! 2n 1!! 2n !! I 2n !! 2n 1!! 2n 1!! 2) Từ 1 x Cn0 Cn1 x Cn2 x Cn3 x6 1 Cnn x n suy n 1 x n dx Cn0 Cn1 x Cn2 x Cn3 x 1 Cnn x n dx n C Ta có n n Cn1 x Cn2 x4 Cn3 x6 1 Cnn x2 n dx n 1 1 n Cn0 x Cn1 x3 Cn2 x5 Cn3 x 1 Cnn x n1 2n 0 84 1 1 C n Cn1 Cn2 Cn3 n 2n n mặt khác, theo 1) ta có I n 1 x dx n 2n !! 2n 1!! 1 1 C n 2n !! Từ suy Cn1 Cn2 Cn3 n 2n 2n 1!! n Dạng Tính tích phân hàm đa thức sau nhân thêm hàm số vắng Khi toán cho mà số hạng tổng quát 1 Cnk mà Cnk k 1 k2 ta phải nhân thêm x vào hàm đa thức trước tính tích phân, cịn Cnk ta phải nhân thêm x vào hàm đa thức trước k 3 tính tích phân Ví dụ 2.4.3.10 Cho n * , chứng minh 1 1 n2n1 n Cn Cn Cn Cn n2 n 1 n Phân tích Vế trái có chứa phân số, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân Vì Cnk ta phải nhân thêm x vào hàm số k2 số hạng cuối có hệ số trước tính tích phân Khi đó, ta sử dụng x 1 x dx n Lời giải Từ x 1 x x Cn0 Cn1 x Cn2 x2 Cn3 x3 Cnn x n suy n 1 x 1 x dx x C n Cn1 x Cn2 x Cn3 x3 Cnn x n dx Ta có n x 1 x dx 1 x n 0 n 1 dx 1 x dx n 85 1 x n 1 x n1 n2 n 0 2n2 2n1 n2n1 , n2 n n 1 n x C n lại có Cn1 x Cn2 x Cn3 x3 Cnn x n dx Cn0 x Cn1 x Cn2 x3 Cn3 x Cnn x n1 dx 1 1 1 Cn0 x Cn1 x3 Cn2 x Cnn x n2 n2 2 0 1 1 Cn0 Cn1 Cn2 Cnn n2 Từ suy 1 1 n2n1 Cn Cn Cn Cnn n2 n 1 n Ví dụ 2.4.3.11 Cho n * , chứng minh 1 1 1 n Cn Cn Cn 1 Cnn n2 n 1 n Phân tích Vế trái có chứa phân số, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân Vì số hạng cuối có hệ số Cnk ta phải nhân thêm x vào hàm số k2 trước tính tích phân Vì tổng đan dấu nên ta sử dụng x 1 x dx n Lời giải Từ x 1 x x Cn0 Cn1 x Cn2 x Cn3 x3 1 Cnn x n suy n x 1 x n x 1 x n dx x Cn0 Cn1 x Cn2 x Cn3 x3 1 Cnn x n dx Xét n dx n 86 Đặt u x du dx x u , x u , ta có u n1 u n2 0 x 1 x dx 0 1 u u du n n 1 n 1 n n n 1 n x C n Lại có n Cn1 x Cn2 x Cn3 x3 1 Cnn x n dx n Cn0 x Cn1 x Cn2 x3 Cn3 x 1 Cnn x n1 dx n 1 1 n 1 Cn0 x Cn1 x3 Cn2 x 1 Cnn x n2 n2 2 0 1 1 n Cn0 Cn1 Cn2 1 Cnn n2 1 1 n Từ suy Cn0 Cn1 Cn2 1 Cnn n 1 n 1 n 2.5 Một số tập áp dụng Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y x x 5, y 2 x 4, y x 11 Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong Cardioide x a 2cos t cos 2t y a 2sin t sin t Bài Cho S diện tích E x 4 : y2 16 1) Tính thể tích khối trịn xoay sinh S quay quanh trục hoành 2) Tính thể tích khối trịn xoay sinh S quay quanh trục tung Bài Tính độ dài cung thuộc đường cong y e x ứng với x 0; a Bài Tính độ dài cung thuộc đường cong có phương trình 87 x a cos t t sin t ứng với t 0;2 y a sin t t cos t Bài Cho hình phẳng (H) giới hạn đường y 0; y ln x; x e Tính thể tích vật trịn xoay quay (H) quanh trục Ox (Đề thi tuyển sinh Đại học năm 2007, khối B) Bài Cho n * , chứng minh 1 1 (1) n n n Cn Cn Cn (1) Cn n 1 n n 1 n 1 Bài Cho n * , chứng minh 1 3n1 2Cn0 Cn1 22 Cn2 23 Cnn 2n1 n 1 n 1 (Đề thi tuyển sinh ĐH Đà Nẵng - 2001) Bài Cho n * 1 1 , tính tổng S Cn0 Cnl Cn2 Cnn n3 * Bài 10 Cho n , chứng minh n (1 e)n1 n 2n1 k Cn Cnk ek 1 a) n 1 n k 0 k k 0 k n 1 22 n2 3n1 k k b) Cn C k 1 n n 1 2n1 k 0 k k 0 k 1 n Bài 11 Cho n * , đặt Sn 1 1 , chứng minh rằng: n 1 1 a) Sn Cn1 Cn2 Cn3 Cn4 (1)n1 Cnn n b) Sn C S n n 1 C S n n2 (1)n1 (1) C S n n n 1 n 1.C 2.C1 3.C n 1.Cn , tính tổng S 1n n 1n Al A2 A3 An11 n Bài 12 Cho n * biết Cn0 Cn1 Cn2 211 88 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Qua việc trình bày phương pháp tính tích phân phương pháp giải tốn ứng dụng tích phân thấy có nhiều dạng tốn dạng tốn có cách giải khác Do giải tốn tính tích phân tốn ứng dụng tích phân cần nhận biết dạng tốn, từ lựa chọn phương pháp giải thích hợp để có lời giải hay Luận văn hoàn thành đạt kết sau: Luận văn phân loại chi tiết dạng trình bày phương pháp tính dạng tích phân Luận văn đưa số ứng dụng tích phân vào tốn diện tích, thể tích, độ dài đường cong hệ số tổ hợp Đồng thời phân loại chi tiết dạng toán thường gặp phương pháp giải dạng Luận văn kết q trình tích luỹ, tìm tịi thân tác giả Tuy cố gắng, điều kiện thời gian vừa học vừa làm, lực thân cịn hạn chế, luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Trong thời gian tới, tác giả dành nhiều thời gian để nghiên cứu, tìm hiểu sâu đề tài Tác giả kính mong nhận góp ý Q Thầy Cơ ý kiến đóng góp bạn độc giả để luận văn hoàn thiện 89 TÀI LIỆU THAM KHẢO Đề thi tuyển sinh Đại học- Cao đẳng năm Hàn Liên Hải- Phan Huy Khải- Đào Ngọc Nam- Nguyễn Đạo Phương- Lê Tất Tôn- Đặng Quan Viên (2001), Tốn bồi dưỡng học sinh phổ thơng trung học Tích phân- Tổ hợp- Số phức, Hà Nội, NXBHN Trần Văn Hạo (2011), Giải tích 12, Hà Nội, NXBGD Phan Huy Khải (2001), Giới thiệu dạng toán luyện thi đại học, phần II, Hà Nội, NXBHN Ngô Thúc Lanh- Ngô Xuân Sơn – Vũ Tuấn (2000), Giải tích 12, Hà Nội, NXBGD Trần Phương (2009), Bài giảng trọng tâm ơn luyện mơn Tốn, Hà Nội, NXBĐHQGHN Trần Phương (2010), Tuyển tập chuyên đề kỹ thuật tính tích phân, Hà Nội, NXBĐHQGHN Đồn Quỳnh- Tần Nam Dũng- Hà Huy Khoái- Đặng Hùng Thắng- Nguyễn Trọng Tuấn (2013), Tài liệu chuyên toán tập Giải tích 12, Hà Nội, NXBGDVN