Frame trong không gian hữu hạn chiều và ứng dụng

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ———o0o——— ĐINH QUỐC HIẾN FRAME TRONG KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU Thừa Thiên Huế, năm 2017 ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ———o0o——— ĐINH QUỐC HIẾN FRAME TRONG KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS HUỲNH THẾ PHÙNG Thừa Thiên Huế, năm 2017 i Lời cam đoan Lời cam đoan Nội dung luận văn cơng trình nghiên cứu riêng không chép từ luận văn khác Đề tài chưa công bố hình thức luận văn khác Tơi xin cam đoan điều thật hoàn toàn chịu trách nhiệm điều Tác giả Đinh Quốc Hiến ii MỤC LỤC Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Mục lục Lời mở đầu Chương 1: Giới thiệu khái niệm frame 1.1 Các khái niệm phân loại 1.2 Mối quan hệ với sở 1.3 Frame đối ngẫu 17 Chương 2: Các phương pháp xây dựng frame 20 2.1 Frame chặt chuẩn hóa đơn vị 20 2.2 Frame cực tiểu hóa hàm 26 2.3 Phương pháp xây dựng frame chặt chuẩn hóa 37 2.4 Bất đẳng thức dãy chuẩn frame 45 Chương 3: Ứng dụng 62 3.1 Giải thích Vật lý frame hữu hạn 62 3.2 Frame hữu hạn khơi phục tín hiệu 67 Kết luận 73 Tài liệu tham khảo 74 Lời mở đầu Lời mở đầu Frame chủ đề quan tâm thời gian dài lý thuyết ứng dụng Đặc biệt, frame chặt hữu hạn thu hút ý nhiều năm qua Lý thuyết frame giới thiệu vào năm 1952 Duffin Schaeffer chủ yếu lĩnh vực chuỗi Fourier không điều hịa Nhiều thập kỷ sau đó, chủ đề hồi sinh sau ấn phẩm Daubechies, Grossman, Meyer trở thành cơng cụ hữu ích ứng dụng xử lý tín hiệu, nén liệu, truyền thông không dây Frame không gian hữu hạn chiều trở thành mối quan tâm nhiều nhà nghiên cứu Một chủ đề quan trọng lĩnh vực việc đề xuất phương pháp để xây dựng frame có tính chất cho trước Chẳng hạn frame chặt hữu hạn mà thành phần có độ dài xác định trước, người ta đưa "bất đẳng thức bản" mà hoàn toàn đặc trưng cho dãy số làm độ dài thành phần frame chặt Từ việc đẩy mạnh nghiên cứu vậy, số dạng cụ thể khung chặt hữu hạn nghiên cứu để giải tốn thơng tin liên lạc, nhiều kỹ thuật xây dựng khung chặt hữu hạn đề xuất, mà số liên quan đến lý thuyết nhóm Các nhà nghiên cứu quan tâm đến khung chặt mà thành phần chúng giới hạn thuộc mặt cầu mặt êlip Luận văn thạc sĩ toán học với đề tài FRAME TRONG KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU VÀ ỨNG DỤNG gồm có chương Chương giới thiệu khái niệm lý thuyết frame không gian Hilbert hữu hạn Lời mở đầu chiều, Chương trình bày phương pháp xây dựng tồn frame hữu hạn, Chương xét số ứng dụng frame hữu hạn Trong q trình nghiên cứu tài liệu để hồn thành nội dung luận văn này, bên cạnh nỗ lực, cố gắng thân giúp đỡ động viên thầy cô, bạn bè người thân Tơi xin tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc thầy giáo PGS.TS Huỳnh Thế Phùng trực tiếp, tận tình hướng dẫn, cung cấp tài liệu thông tin khoa học cần thiết cho luận văn Xin chân thành cảm ơn thầy cô, bạn bè người thân giúp đỡ, tạo điều kiện cho tơi hồn thành khóa học làm tốt luận văn tốt nghiệp Mặc dù cố gắng luận văn khó tránh khỏi sai sót cụ thể Để luận văn hồn chỉnh hình thức nội dung, mong nhận góp ý, bổ sung quý thầy cô Chương Giới thiệu khái niệm frame 1.1 Các khái niệm phân loại Cho H không gian Hilbert thực phức Một dãy {fk }k∈I ⊂ H gọi frame tồn số A B cho < A ≤ B < +∞ A f | f, fk |2 ≤ B f ; ∀ f ∈ H, ≤ (1.1) k∈I A B gọi chặn dưới, chặn frame Nếu A = B gọi frame A-chặt, tức | f, fk |2 = A f ∀f ∈ H (1.2) k∈I Nếu đòi hỏi A ≥ (1.2) thỏa mãn ta nói {fk }k∈I dãy chặt Thực dãy chặt với A = xảy fk = ∀k = 1, m Nên {fk }k∈I dãy chặt mà ∃k, fk = frame chặt Nếu tập số I hữu hạn frame {fk }k∈I gọi hữu hạn Một frame gọi chuẩn hóa tất phần tử có độ dài đơn vị, nữa, tồn số c > cho | fk , fj | = c với k = j gọi frame Mệnh đề 1.1 ([2]) Cho {fk }k∈I frame H Khi đó, 1.1 Các khái niệm phân loại Chương Giới thiệu khái niệm frame a) Nếu H hữu hạn chiều dãy số { fk }k∈I có tổng hữu hạn b) Nếu H hữu hạn chiều {fk }k∈I chuẩn hóa frame hữu hạn c) Nếu {fk }k∈I frame hữu hạn H hữu hạn chiều Chứng minh a) Giả sử H có số chiều n {ei }ni=1 sở tắc H Vì {fk }k∈I frame nên tồn số A B với < A ≤ B < +∞ cho A f | f, fk |2 ≤ B f ; ∀ f ∈ H ≤ k∈I Ta có, fk fk = n i=1 | n n n 2 | fk , ei | = = k∈I fk , ei |2 Vì vậy, k∈I i=1 | fk , ei | ≤ i=1 k∈I B ei = nB i=1 b)Theo a) H hữu hạn chiều nên tổng dãy { fk }k∈I hữu hạn, Do fk = 1, ∀k ∈ I, suy I hữu hạn c) Đặt H1 không gian trực giao span({fk }k∈I ) Khi đó, với f ∈ H1 ta có A f | f, fk |2 = 0, ≤ k∈I suy f = Điều với f ∈ H1 , H1 = {0} Suy H = span{fk }k∈I Vậy dim(H) = dim(span{fk }k∈I ) < +∞ Trong luận văn này, nghiên cứu frame hữu hạn không gian Hilbert hữu hạn chiều Ký hiệu Hn không gian Hilbert n chiều Cho Hn khơng gian Hilbert n chiều với tích vơ hướng , Từ biểu thức định nghĩa frame (1.1), theo dãy vectơ {fk }m k=1 frame Hn m A f | f, fk |2 ≤ B f ; ∀ f ∈ Hn , ≤ k=1 1.1 Các khái niệm phân loại Chương Giới thiệu khái niệm frame n với < A ≤ B < +∞ Và {fk }m k=1 gọi frame chặt H A = B , tức tồn A > cho m A f | f, fk |2 ; ∀ f ∈ Hn = k=1 Trong trường hợp A ≥ ta gọi chung {fk }m k=1 dãy A-chặt n n m Cho {fk }m k=1 frame H , xét ánh xạ F : H −→ K (với K = C/R), xác định n F f = ({ f, fk }m k=1 ) = ( f, f1 , f, f2 , , f, fm ) ∀f ∈ H Với f, g ∈ Hn λ, µ ∈ K, F (λf + µg) = ({ λf + µg, fk }m k=1 ) = ({λ f, fk + µ g, fk }m k=1 ) m = (λ{ f, fk {m k=1 ) + (µ{ g, fk }k=1 ) = λF f + µF g, suy F tuyến tính ta gọi F tốn tử phân tích frame {fk }m k=1 Lúc ánh xạ liên hợp F ánh xạ F ∗ : Km −→ Hn , xác định m ∗ ck fk , F c= m=1 m ∗ m với c = {ck }m k=1 ∈ K Ta gọi F toán tử tổng hợp {fk }k=1 Đặt S = F ∗ F , S :Hn −→ Hn m ∗ f −→ Sf = F F f = f, fk fk , k=1 rõ ràng S tuyến tính liên tục S gọi tốn tử frame {fk }m k=1 Một toán tử tuyến tính liên tục U : Hn −→ Hn gọi tự liên hợp A∗ = A Lúc đó, U tự liên hợp U x, y = x, U y ; ∀x, y ∈ Hn 1.1 Các khái niệm phân loại Chương Giới thiệu khái niệm frame Bổ đề 1.1 Cho U, V : Hn → Hn toán tử tự liên hợp Lúc đó, a) Nếu tốn tử U −1 tồn U −1 toán tử tự liên hợp b) Các toán tử U + V λU với λ ∈ R toán tử tự liên hợp Chứng minh a) Giả sử U −1 tồn Với x, y ∈ Hn tồn x , y ∈ Hn cho U x = x U y = y hay x = U −1 x y = U −1 y , ta có U −1 x, y = x , U y = U x , y = x, U −1 y U −1 toán tử tự liên hợp b) Với x, y ∈ Hn λ ∈ R, ta có (U + V )x, y = U x, y + V x, y = x, U y + x, V y = x, (U + V )y , (λU )x, y = λU x, y = λ U x, y = λ x, U y = x, λU y = x, (λU )y Vậy U + V λU toán tử tự liên hợp Bổ đề 1.2 ([3]) Cho toán tử tự liên hợp U : Hn −→ Hn cho U x, x = 0, với x ∈ Hn Khi đó, U = Chứng minh Với x, y ∈ Hn , trường hợp Hn khơng gian Hilbert phức tính tốn trực tiếp ta có = U (x + y), x + y − U (x − y), x − y + i U (x + iy), x + iy − i U (x − iy), x − iy = U x, y + U y, x + U x, y + U y, x + i(-i U x, y + i U y, x ) − i(i U x, y − i U y, x ) =4 U x, y Cịn trường hợp Hn khơng gian Hilbert thực: U x, y = U (x + y), x + y = 2.4 Bất đẳng thức dãy chuẩn frame số chặt dãy {fk }m k=1 A = Chương Các phương pháp xây dựng frame m k=1 ak n mà dãy {fk }m k=1 khác không nên A > Vậy {fk }m k=1 frame chặt Trong kết trước đó, cụ thể Định lý 2.11 ta thấy chặn lớn hàm giá trị hàm dãy chặn dãy frame chặt không gian Hn Hệ sau cho ta cách tính giá trị cực tiểu địa phương cho hàm năng, điểm cực tiểu địa phương cực tiểu toàn cục Hệ 2.4 ([4]) Cho Hn không gian Hilbert n chiều dãy {ak }m k=1 dãy giảm không âm có số trái quy tắc n0 − Khi đó, cực tiểu địa phương hàm F P : S({ak }m k=1 ) → R cực tiểu toàn cục giá trị cực tiểu n0 −1 m a4k k=1 [ a2k ]2 + n − n0 + k=n Chứng minh Hàm F P liên tục tập compact S({ak }m k=1 ) ln tồn cực tiểu địa phương Giả sử {fk }m k=1 cực tiểu địa m phương hàm F P S({ak }m k=1 ), theo Định lý 2.19, dãy {fk }k=1 n0 −1 −1 phân hoạch thành hai dãy {fk }nk=1 {fk }m k=n0 , {fk }k=1 dãy trực giao phần bù trực giao dãy chặt {fk }m k=n0 nên fk , fj = 0, ∀k, j ∈ {1, , n0 − 1}, k = j Khi đó, n0 −1 F P ({fk }m k=1 ) m m | fk , fj |2 | fk , fk | + = k=n0 j=n0 k=1 n0 −1 a4k + F P ({fk }m k=n0 ) = k=1 −1 Để ý từ định nghĩa số trái quy tắc n0 − ta có dãy {ak }nk=1 −1 dãy giảm dương Vì số chiều không gian sinh {fk }nk=1 60 2.4 Bất đẳng thức dãy chuẩn frame Chương Các phương pháp xây dựng frame n0 − 1, suy số chiều phần bù trực giao n − n0 + {fk }m k=n0 frame chặt không gian Sử dụng Định lý 2.11 ta tính  2 m  F P ({fk }m ) = a2k  k=n0 n − n0 + k=n0 Vậy  n0 −1 a4k + F P ({fk }m k=1 ) = k=1 2 m  a2k  n − n0 + k=n (2.35) Như vậy, ln có cực tiểu địa phương hàm F P : S({ak }m k=1 ) → R toàn cực tiểu địa phương đạt giá trị Do cực tiểu địa phương cực tiểu tồn cục giá trị cực tiểu xác định cụ thể (2.35) 61 Chương Ứng dụng 3.1 Giải thích Vật lý frame hữu hạn Trong mục này, ta diễn giải khái niệm lực frame frame đề cập Mục 2.2 Cụ thể ta xét lực frame lực xuyên tâm biết với FF(fk , fj ) = fk , fj (fk − fj ) (3.1) Về (3.1) tương tự định nghĩa Mục 2.2, khác điều fk ∈ S(ak ) fj ∈ S(aj ) 2.2, fk , fj ∈ S(1) Cụ thể, lực frame FF(fk , fj ) lực xuyên tâm tương ứng với hàm liên tục h(x) = a2k + a2j − x2 , (3.2) FF(fk , fj ) = h( fk − fj )(fk − fj ) (3.3) tức Thật vậy, với fk ∈ S(ak ), fj ∈ S(aj ), ta có fk − fj = fk − fj , fk − fj = fk , fk − fk , fj + fj , fj = fk − fk , fj + fj = a2k + a2j − fk , fj , 62 3.1 Giải thích vật lý frame hữu hạn Chương Ứng dụng suy fk , fj = a2k + a2j − fk − fj Vì vậy, với h(x) xác định (3.2), lực frame F F (fk , fj ) (3.1) thỏa (3.3) Cũng tương tự phần trước, ban đầu giới hạn lực trường hợp không gian thực Hơn nữa, lực frame fk fj trùng vng góc, fk fj tạo với góc nhọn lực frame hướng từ fj fk tạo thành góc tù lực hướng từ fk fj n Ta hình dung hệ thống vật lý gồm m điểm {fk }m k=1 ⊂ R , điểm tương tác với điểm cịn lại theo lực frame ta coi hệ thống điểm chuyển động mặt cầu mà điểm tác động lực lên tất điểm lại để hệ đạt trạng thái hệ trực giao Nói chung trường hợp lý tưởng khơng xảy Tuy vậy, có lý để tin tồn dãy véc tơ {fk }m k=1 , với fk = ak , ∀k = m mà gần với dạng trực giao nhiều Trường hợp thu hút quan tâm mà số phần tử khác nhiều số chiều không gian hệ khơng thể hệ trực giao Hệ thống điểm cực tiểu địa phương hàm Đối với hệ thống điểm mà tác động lẫn theo lực frame, hàm lượng gọi frame FP m Nhắc lại, frame dãy {fk }m k=1 ∈ S({ak }k=1 ) m F P ({fk }m k=1 ) m | fk , fj |2 , = k=1 j=1 mặt cầu S(ak ) = {f ∈ Rn | f = a} S({ak }m k=1 ) = S(a1 ) × S(a2 ) × × S(am ) m Mệnh đề 3.1 Với {fk }m k=1 ∈ S({ak }k=1 ), ta có m F P ({fk }m k=1 ) = T P ({fk }k=1 ) + C, C số phụ thuộc ak , k = 1, m 63 3.1 Giải thích vật lý frame hữu hạn Chương Ứng dụng Chứng minh Lực frame FF cho (3.1) lực xuyên tâm tương ứng với hàm thực liên tục h(x), tức FF(fk , fj ) = h( fk − fj )(fk − fj ), với h(x) = a2k + a2j − x2 Thế tương ứng với lực frame FF hàm P : S(ak ) × S(aj ) −→ R, P (fk , fj ) = p( fk − fj ), p hàm khả vi, cho p (x) = −xh(x) Suy ra, p(x) = − (a2k + a2j − x2 )xdx = x2 x2 − 2(a2k + a2j ) Với fk ∈ S(ak ) fj ∈ S(aj ), sử dụng đẳng thức, fk − fj = a2k + a2j − fk , fj Khi đó, tạo fk fj , fk − fj fk − fj − 2(a2k + a2j ) = ak + a2j − fk , fj a2k + a2j − fk , fj − 2(a2k + a2j ) ak + a2j − fk , fj −2 fk , fj − (a2k + a2j ) = = fk , fj − (a2k + a2j ) fk , fj + (a2k + a2j ) = [4| fk , fj |2 − (a2k + a2j )2 ] = | fk , fj |2 − (a2k + a2j )2 P (fk , fj ) = m Thế toàn phần T P ({fk }m k=1 ) hệ thống điểm {fk }k=1 tổng tất P (fk , fj ), với k, j = 1, , m; k = j 64 3.1 Giải thích vật lý frame hữu hạn Chương Ứng dụng Ta có, m T P ({fk }m k=1 ) m = k=1 j=1,j=k m m | fk , fj |2 − (a2k + a2j )2 | fk , fj |2 − (a2k + a2j )2 k=1 j=1   m m m m a2k  a4k + | fk , fj |2 − m = k=1 k=1 k=1 j=1   m m 1 a2k  = F P ({fk }m a4k + m k=1 ) − k=1 k=1 = Vậy m F P ({fk }m k=1 ) = T P ({fk }k=1 ) + C, với số  C= m 1 m a4k + k=1 m a2k   k=1 phụ thuộc vào ak , k = 1, m Trong phần trước đó, cụ thể Mục 2.2 ta sử dụng biểu thức frame F P để tính chất dãy A-chặt có độ dài {ak }m k=1 Theo đó, mơ tả dãy chặt dạng cực tiểu frame, m nghĩa trường hợp trực giao tối đa dãy {fk }m k=1 ∈ S({ak }k=1 ) Cụ thể Định lý 2.11 phát biểu rằng: cho Hn không gian Hilbert n m chiều {ak }m k=1 dãy số hữu hạn khơng âm Khi đó, với {fk }k=1 ∈ S({ak }m k=1 ), m ( a2k )2 ≤ F P ({fk }m k=1 ) n k=1 n Đẳng thức xảy {fk }m k=1 dãy A-chặt H fk = ak , ∀k = m Trước tiếp tục, dừng lại để xem xét khía cạnh vật lý khác lực frame (3.1) Cụ thể độ lớn trường lực frame 65 3.1 Giải thích vật lý frame hữu hạn Chương Ứng dụng tạo fj , tăng với độ lớn fj Chúng ta nói rằng, điểm xa gốc có lực tác dụng mạnh so với điểm gần gốc Để xác định rõ điều này, ta dựa vào thành phần lực frame FF(fk , fj ) gọi thành phần hữu hiệu Thành phần hữu hiệu định nghĩa thành phần FF(fk , fj ) mà nằm song song với mặt phẳng tiếp xúc với S(ak ) fk Về chất, thành phần hữu hiệu phản ánh độ lớn lực frame fk tác động lên fj Thành phần hữu hiệu EFF(fk , fj ) = FF(fk , fj ) − Projfk F F (fk , fj ) = FF(fk , fj ) − = FF(fk , fj ), fk fk fk 2| fk , fj |2 fk − fk , fj fj , fk fk = Ta có EFF(fk , λfj ) = λ2 EFF(fk , fj ), λ ∈ R Rõ ràng, EFF(fk , fj ) tăng tỉ lệ với fj , fk cố định có độ lớn ak Sau ta thiết lập mối quan hệ chặt chẽ lý thuyết frame lý thuyết vật lý giới thiệu ta sử dụng lại tốn tử phân tích toán tử tổng hợp lý thuyết frame Nhắc lại dãy n n m {fk }m k=1 ⊂ H có tốn tử phân tích F : H −→ C , (F f )(k) = f, fk , toán tử tổng hợp F ∗ : Cm −→ Hn , m ∗ F g= g(k)fk k=1 toán tử frame F ∗ F : Hn −→ Hn , m Sf = f, fk fk k=1 n Khi đó, dãy {fk }m k=1 A-chặt H F f =A f với f ∈ Hn F ∗ F = AIHn Ta có kết sau: 66 3.1 Giải thích vật lý frame hữu hạn Chương Ứng dụng n Mệnh đề 3.2 ([4]) Dãy {fk }m k=1 dãy chặt R thành phần hữu hiệu toàn phần tạo {fk }m k=1 bị triệt tiêu hầu khắp nơi, tức m EFF(f, fk ) = 0; ∀f ∈ Rn , f = k=1 Chứng minh Cho F tốn tử phân tích {fk }m k=1 Sử dụng định nghĩa thành phần hữu hiệu , ta có m m 2| f, fk |2 [ EFF(f, fk ) = f − f, fk fk ] 0= f k=1 k=1 Ff f − F ∗F f f =2 với f ∈ Rn , f = 0, tương đương Ff f = F ∗F f f (3.4) với f ∈ Rn , f = Vì vậy, {fk }m k=1 dãy A-chặt F ∗ F f = Af F f = A f , (3.4) thỏa mãn Ngược lại, ta có (3.4) f = véc-tơ riêng F ∗ F , nên F ∗ F = AI vài số A ≥ 0, ta có điều phải chứng minh 3.2 Frame hữu hạn khơi phục tín hiệu Trong phần này, ta trình bày ý nghĩa frame chặt chuẩn hóa việc khơi phục lại tín hiệu phát Cụ thể, frame mà có nhiều phần tử hữu ích truyền tải tín hiệu Trong truyền thơng, máy phát truyền tải gói liệu máy thu tiếp nhận khơi phục tín hiệu, gói liệu có chứa thơng tin cần thiết gồm có liệu muốn truyền tải "tham biến kiểm sốt" Mục đích tham biến sở để khôi phục tín hiệu gốc Thơng thường tham biến sau phát, máy thu nhận có thêm thành phần nhiễu, 67 3.2 Frame hữu hạn khơi phục tín hiệu Chương Ứng dụng việc khơi phục tín hiệu gốc khơng mong muốn Về mặt tốn học, người ta mơ hình hóa tham biến kiểm soát hệ số frame Trong tuyền tải tín hiệu, với frame mà có nhiều phần tử chống lại nhiễu tốt Trước vào kết chi tiết, đưa cách trực quan để giải thích sau đưa số kết chi tiết điều Cụ thể: giả sử ta muốn truyền tín hiệu f véc tơ Rn từ máy phát κ đến máy thu ν Máy phát κ truyền hệ số phân tích frame (hệ số hiểu tham số kiểm soát nói trên) { f, fk }m k=1 cho máy thu ν , dựa kiến thức hệ số này, máy thu ν tái tạo lại tín hiệu f cách sử dụng hệ số phân tích frame này: m f, fk S -1 fk f= k=1 Trên thực tế, máy thu nhận hệ số phân tích tín hiệu bị nhiễu: { f, fk + ck }m k=1 Dựa hệ số thu này, ν tái thiết lại tín hiệu truyền: m m -1 ( f, fk + ck )S fk = k=1 m -1 f, fk S fk + k=1 m -1 ck S - fk ck S fk = f + k=1 k=1 Tín hiệu khơi phục khác với tín hiệu gốc f , thành phần m S −1 ck fk k=1 ∗ Nếu {fk }m k=1 frame mà có tốn tử tổng hợp F toàn nhân (tức m F ∗ ({ck }m k=1 ) ck fk = 0, ∀{ck }m k=1 ) tồn phần góp nhiễu = k=1 âm thêm lên (hay bị triệt tiêu) điều xảy dãy {fk }m k=1 frame Vậy (ít trực giác) ta thấy thành phần góp nhiễu âm làm q trình khơi phục tín hiệu f xấu 68 3.2 Frame hữu hạn khơi phục tín hiệu Chương Ứng dụng Một lần ta giả sử máy phát κ truyền hệ số { f, fk }m k=1 đến máy nhận ν ν nhận tín hiệu có nhiễu âm: { f, fk + ηk }m k=1 Khác với cách viết trên, ta xem xét thành phần nhiễu âm ηk biến ngẫu nhiên, với trung bình phương sai σ ηk ηl không tương quan với ∀k = l Ta lý hiệu E nghĩa trung bình, với ký hiệu biểu diễn là: E[ηk ] = 0, E[ηk ηl ] = σ δk,l , k, l = 1, , m (3.5) Như nói trên, dựa vào hệ số { f, fk + ηk }m k=1 , máy nhận ν khơi phục lại tín hiệu: m f˜ = m -1 ηk S - f k ( f, fk + ηk )S fk = f + k=1 k=1 Do hiệu tín hiệu khơi phục f˜ tín hiệu gốc f m f˜ − f = ηk S −1 fk (3.6) k=1 Ở f˜ − f véc tơ Rn , phụ thuộc vào biến ngẫu nhiên ηk Sai số bình phương trung bình (MSE) định nghĩa bởi: M SE := E( f˜ − f ) n (3.7) Theo đó, sai số MSE nhỏ việc tái tạo lại tín hiệu gốc xác Tiếp theo, ta thay biểu thức f˜ − f từ (3.6) vào (3.7), ta có E( f˜ − f, f˜ − f ) n m m = E( ηk ηl S -1 fk , S -1 fl ) n k=1 k=l M SE = = n m m E[ηk ηl ] S -1 fk , S -1 fl , k=1 k=l 69 3.2 Frame hữu hạn khôi phục tín hiệu Chương Ứng dụng theo (3.5) ta suy M SE = n m m m S fk , S fl = σ S -1 fk n k=1 -1 σ δk,l k=1 l=1 -1 (3.8) Để ý biểu thức (3.8) trên, tất frame chặt chuẩn hóa có số phần tử m biểu thức đạt giá trị Vì vậy, frame chặt chuẩn hóa sử dụng Bổ đề 3.1 ([3]) Cho {ak }nk=1 dãy số dương Khi n ≤ n n a k=1 k n ak k=1 Đẳng thức xảy toàn ak Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với hai số √ ak , k = n √1 ak n Định lý 3.3 ([3]) Xét tất frame chuẩn hóa {fk }m k=1 R , với m, n cố định Trong số tất frame vậy, giá trị MSE đạt cực tiểu frame chặt Và giá trị cực tiểu n M SE = σ m (3.9) Chứng minh Giả sử S toán tử frame {fk }m k=1 có λ1 , λ2 , , λn giá trị riêng Ta có vết ma trận toán tử frame S , m m | fk , e1 | + Tr[S] = k=1 m m | fk , en |2 | fk , e2 | + + k=1 k=1 | fk , e1 |2 + | fk , e2 |2 + + | fk , en |2 = k=1 m = fk = m k=1 Khi đó, n λk = Tr[S] = m k=1 70 (3.10) 3.2 Frame hữu hạn khơi phục tín hiệu Chương Ứng dụng m -1 Như biết {S -1 fk }m k=1 frame đối ngẫu tắc {fk }k=1 với S tốn tử frame có giá trị riêng tương ứng λ-11 , λ-21 , , λ-n1 Tiếp tục biến đổi (3.8) ta có: m S -1 fk M SE = σ n k=1 n 1 = σ Tr[S]−1 = σ n n k=1 λk (3.11) Mục đích cực tiểu hóa biểu thức (3.11) với ràng buộc (3.10), tương đương với việc tìm cực đại biểu thức n λ k=1 k , với ràng buộc (3.10) Theo Bổ đề 3.1, ta có n λ k=1 k ≤ m n2 dấu xảy λk nhau, tức cực đại đạt m ; k = 1, , n n m Điều kéo theo {fk }m k=1 frame n -chặt Khi đó, giá trị cực tiểu đạt sai số bình phương trung bình λk = n 1 n2 n = σ = σ2 M SE = σ n k=1 λk n m m Ý nghĩa biểu thức (3.9), khơng gian cụ thể (n cố định), MSE giảm khi số lượng phần tử frame tăng lên Theo nghĩa này, số phần tử frame nhiều tín hiệu khơi phục lại tốt (tức gần với tín hiệu gốc) Định lý 3.3 cho thấy rằng, việc khôi phục lại tín hiệu phát mong muốn đòi hỏi số phần tử frame phải nhiều Hơn frame phải chặt chuẩn hóa 71 3.2 Frame hữu hạn khơi phục tín hiệu Chương Ứng dụng Như vậy, để khôi phục lại véc tơ f ∈ Rn , trình bày trên, ta dựa vào tích số f véc tơ frame, cụ thể số f, fk Để biết tín hiệu khơi phục mong muốn hay không ta dựa vào sai số bình phương trung bình MSE, sai số nhỏ tốt, điều địi hỏi frame sử dụng chặt chuẩn hóa có kích thước lớn 72 Kết luận Kết luận Luận văn hoàn thành nội dung gồm chương: Chương Giới thiệu khái niệm frame, Chương Các phương pháp xây dựng frame, Chương Ứng dụng Luận văn trình bày đầy đủ nội dung chương Trong đó, Chương trình bày lý thuyết frame hữu hạn không gian hữu hạn chiều Đặc biệt Chương 2, xây dựng phương pháp xây dựng frame chặt chuẩn hóa Rn đệ quy giải vấn đề đặt luận văn: • Cực tiểu hàm frame frame chặt cực tiểu địa phương cực tiểu toàn cục • Luôn tồn frame chặt không gian Hilbert n chiều gồm m với (m ≥ n) phần tử dãy chuẩn thỏa mãn bất đẳng thức ngược lại Chương trình bày hai ứng dụng giải thích vật lý frame chặt hữu hạn ứng dụng việc khơi phục tín hiệu frame chặt chuẩn hóa hữu hạn 73 Tài liệu tham khảo [1] Abdollahi A., Monfaredpour M (2014), "A recursive construction of a class of finite normalized tight frames", Wavelets and Linear Algebra Artive 1, Volum 1, Issue 1, Summer and Autumn 2014 (1-7) Available online August 2014 [2] Benedetto J.J and Fickus M (2003) Finite normalized tight frames, Adv Comput Math., 18 pp: 357-385 [3] Ole Christensen (2016) "An Introduction to Frames and Riesz Bases", Birkhauser [4] Cassaza P G and Fickus M and Kovacevic K and Leon M and Tremain J (2006), “A physical interpretation for finite tight frames”, Harmonic Analysis and Applications, Boston: Birkhauser, pp 51–76 74 ... hạn thuộc mặt cầu mặt êlip Luận văn thạc sĩ toán học với đề tài FRAME TRONG KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU VÀ ỨNG DỤNG gồm có chương Chương giới thiệu khái niệm lý thuyết frame không gian Hilbert hữu. .. dim(span{fk }k∈I ) < +∞ Trong luận văn này, nghiên cứu frame hữu hạn không gian Hilbert hữu hạn chiều Ký hiệu Hn không gian Hilbert n chiều Cho Hn khơng gian Hilbert n chiều với tích vơ hướng... }k∈I frame H Khi đó, 1.1 Các khái niệm phân loại Chương Giới thiệu khái niệm frame a) Nếu H hữu hạn chiều dãy số { fk }k∈I có tổng hữu hạn b) Nếu H hữu hạn chiều {fk }k∈I chuẩn hóa frame hữu hạn