(Luận văn) bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - LÊ NGỌC TÂN lu an n va p ie gh tn to BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN d oa nl w ll u nf va an lu oi m LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2018 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - LÊ NGỌC TÂN lu an n va p ie gh tn to BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN d oa nl w Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 8460112 va an lu ll u nf LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh z NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC m co l gm @ PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy an Lu n va THÁI NGUYÊN - 2018 ac th si iii Mục lục Bảng ký hiệu Mở đầu lu an Bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động va n ánh xạ không giãn to Không gian Banach 1.1.1 Không gian Banach lồi trơn 1.1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc 1.1.3 Ánh xạ j-đơn điệu 1.2 Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân tập p ie gh tn 1.1 oa nl w d điểm bất động ánh xạ không giãn 11 Bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu 11 an Phương pháp lặp hội tụ 12 ll u nf va 1.2.2 lu 1.2.1 oi m Bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ ánh xạ không giãn z at nh 2.1 23 Bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung z họ ánh xạ không giãn 24 Bài toán 24 2.1.2 Một số bổ đề bổ trợ 24 l gm @ Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân 25 m co 2.2 2.1.1 Mô tả phương pháp 25 2.2.2 Sự hội tụ an Lu 2.2.1 25 n va ac th si iv Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 31 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Bảng ký hiệu lu an n va không gian Hilbert thực E không gian Banach E∗ không gian đối ngẫu E SE mặt cầu đơn vị E R tập số thực R+ tập số thực không âm ∅ tập rỗng ∀x với x ie gh tn to H D(A) p miền xác định toán tử A R(A) nl w lu va lp , ≤ p < ∞ không gian hàm liên tục đoạn [a, b] an C[a, b] toán tử đồng d I toán tử ngược toán tử A oa A−1 miền ảnh tốn tử A khơng gian hàm khả tích bậc p đoạn [a, b] ll u nf Lp [a, b], ≤ p < ∞ không gian dãy số khả tổng bậc p lim supn→∞ xn m lim inf n→∞ xn giới hạn dãy số {xn } xn → x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn * x0 dãy {xn } hội tụ yếu x0 J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị Fix(T ) tập điểm bất động ánh xạ T oi giới hạn dãy số {xn } z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Bài toán bất đẳng thức biến phân nghiên cứu đưa lần Hartman Stampacchia vào năm đầu thập niên 60 kỉ XX Mơ hình tốn tốn bất đẳng thức biến phân, lu kí hiệu VIP(A, C), có dạng an (1) n va Tìm x ∈ C cho: hA(x), y − xi ≥ ∀y ∈ C, H không gian Banach thực E A : (D(A) = C) → C ánh xạ ie gh tn to C tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực p mục tiêu xác định C Người ta thường nghiên cứu tồn nghiệm bất đẳng thức biến w oa nl phân đề xuất phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân d Cho đến có nhiều phương pháp giải bất đẳng thức biến phân hữu lu va an hiệu xây dựng, chẳng hạn phương pháp chiếu Lions, phương pháp nguyên lý toán phụ Cohen, phương pháp điểm gần kề u nf ll Martinet, phương pháp điểm gần kề quán tính Alvarez Attouch m oi phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov bất đẳng thức z at nh biến phân đặt không chỉnh Ở Việt Nam, bất đẳng thức biến phân chủ đề nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu, nhóm z nghiên cứu GS Nguyễn Bường (Viện Công nghệ Thông tin), GS @ gm Nguyễn Đông Yên (Viện Toán học), GS Lê Dũng Mưu (Trường Đại học m co l Thăng Long, Hà Nội), GS Phạm Kỳ Anh (Trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội), GS Phan Quốc Khánh (Trường an Lu Đại học Quốc tế thành phố Hồ Chí Minh) Mục đích đề tài luận văn nhằm tổng hợp trình bày lại hai n va ac th si phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung ánh xạ không giãn, họ vô hạn đếm ánh xạ không giãn không gian Banach báo [3] [5] cơng bố năm 2008 2015 Trong q trình học tập thực luận văn này, thầy cô Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện tốt để tác giả học tập, nghiên cứu Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành đến thầy, Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy - Người tận tình hướng dẫn tác giả hồn thành luận văn lu an Thái Nguyên, tháng năm 2018 n va Tác giả luận văn ie gh tn to p Lê Ngọc Tân d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ lu an n va không giãn ie gh tn to Chương trình bày số khái niệm tính chất khơng gian p Banach; ánh xạ j-đơn điệu, ánh xạ không giãn phương pháp lặp giải nl w bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không oa giãn không gian Banach Kiến thức chương viết dựa d kết Ceng cộng công bố [3] tài liệu lu Không gian Banach ll 1.1 u nf va an tham chiếu oi m z at nh Cho E không gian Banach với không gian đối ngẫu ký hiệu E ∗ Ta dùng ký hiệu k.k cho chuẩn E E ∗ viết tích đối ngẫu z hx, x∗ i thay cho giá trị phiếm hàm tuyến tính x∗ ∈ E ∗ điểm @ m co l từ tài liệu [1], [2], [6] [7] gm x ∈ E, tức hx, x∗ i = x∗ (x) Kiến thức mục tham khảo an Lu n va ac th si 1.1.1 Không gian Banach lồi trơn Ký hiệu SE := {x ∈ E : kxk = 1} mặt cầu đơn vị không gian Banach E Định nghĩa 1.1.1 Không gian Banach E gọi lồi chặt với điểm x, y ∈ SE , x 6= y, ta có k(1 − λ)x + λyk < với λ ∈ (0, 1) Chú ý 1.1.2 Định nghĩa 1.1.1 cịn phát biểu dạng tương đương sau: Không gian Banach E gọi lồi chặt với điểm lu x, y ∈ E, x 6= y, mà kxk = 1, kyk = ta có x + y < an n va p ie gh tn to Ví dụ 1.1.3 Khơng gian E = Rn với chuẩn kxk2 xác định 1/2 X n , x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn kxk2 = xi i=1 oa nl w không gian lồi chặt d Định nghĩa 1.1.4 Không gian Banach E gọi lồi với lu va an ε > 0, tồn δ = δ(ε) > cho với x, y ∈ E mà kxk = 1, ll u nf kyk = 1, kx − yk ≥ ε ta ln có x + y ≤ − δ oi m z at nh Ví dụ 1.1.5 Khơng gian Hilbert H khơng gian lồi Vì từ đẳng z thức hình bình hành ta tính tốn r x + y  ε2  ≤1− 1− 1− l gm @ Định nghĩa 1.1.6 Không gian Banach E gọi không gian trơn m co với điểm x nằm mặt cầu đơn vị SE E tồn an Lu phiếm hàm gx ∈ E ∗ cho hgx , xi = kxk kgx k = n va ac th si Ví dụ 1.1.7 Các khơng gian lp , Lp [a, b], < p < ∞ không gian Banach trơn Định nghĩa 1.1.8 (i) Chuẩn không gian Banach E gọi khả vi Gâteaux với y ∈ SE giới hạn kx + tyk − kxk lim (1.1) t→0 t tồn với x ∈ SE , ký hiệu hy, 5kxki Khi 5kxk gọi đạo hàm Gâteaux chuẩn (ii) Chuẩn E gọi khả vi Gâteaux với y ∈ SE , giới hạn (1.1) đạt với x ∈ SE lu an (iii) Chuẩn E gọi khả vi Fréchet với x ∈ SE , giới n va hạn (1.1) tồn với y ∈ SE với x, y ∈ SE ie gh tn to (iv) Chuẩn E gọi khả vi Fréchet giới hạn (1.1) tồn p Ví dụ 1.1.9 Khơng gian Hilbert H khơng gian có chuẩn khả vi nl w Gâteaux với d oa 5kxk = x , kxk x 6= an lu Ký hiệu 2C tập tập tập hợp C Ta định nghĩa phép u nf va chiếu mêtric sau ll Định nghĩa 1.1.10 Cho C tập khác rỗng không gian m oi Banach E Ánh xạ PC : E → 2C xác định n o PC (x) = y ∈ C : kx − yk = d(x, C) ∀x ∈ E z at nh z gọi phép chiếu mêtric từ E lên C Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc ∗ l gm @ 1.1.2 Jx = {u ∈ E ∗ : an Lu m co Định nghĩa 1.1.11 Ánh xạ J : E → 2E (nói chung đa trị) xác định hx, ui = kxkkuk, kuk = kxk}, n va ac th si 17 Định lý 1.2.7 (xem [3]) Cho E không gian Banach phản xạ thực với ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J : E → E ∗ liên tục yếu theo dãy Giả sử T : E → E ánh xạ không giãn với C = Fix(T ) 6= ∅, A : E → E δ-j-đơn điệu mạnh λ giả co chặt với δ + λ > Cho dãy {xn } xác định phương pháp lặp (1.6) {λn } {µn } hai dãy số khoảng (0, 1) thỏa mãn điều kiện sau: P (i) limn→∞ µλnn = ∞ n=0 λn µn = ∞; P (ii) ∞ n=0 |λn+1 − λn | < ∞; P µn = (iii) ∞ |µ − µ | < ∞ lim n+1 n n→∞ n=0 µn+1 lu an Khi dãy {xn } hội tụ mạnh tới nghiệm u∗ bất đẳng thức n va biến phân VI∗ (A, C) {µn } dãy (0, 1) nên ta có p ie gh tn to Chứng minh Trước tiên ta limn→∞ λn = Thật vậy, λn λn ≤ µn µn → n → ∞, nl w λn = µn oa tức là, limn→∞ λn = d Tiếp theo, ta chứng minh dãy {xn } bị chặn Thật vậy, lấy u ∈ C, lu va an với C = Fix(T ) Khi đó, sử dụng Mệnh đề 1.1.26(iii) ta có ll u nf kxn+1 − uk = kyn − λn µn A(xn ) − uk oi m = kλn xn + (1 − λn )T xn − λn µn A(xn ) − uk z at nh = kλn [(I − µn A)xn − u] + (1 − λn )(T xn − u)k ≤ (1 − λn )kT xn − uk + λn k(I − µn A)xn − uk z ≤ (1 − λn )kxn − uk + λn [k(I − µn A)xn − (I − µn A)uk @ m co l gm + k(I − µn A)u − uk] r    1−δ kxn − uk ≤ (1 − λn )kxn − uk + λn − µn − λ an Lu + λn µn kA(u)k n va ac th si 18 Suy  kxn+1 − uk ≤ r  − λn µ n −  1−δ λ  kxn − uk + λn µn kA(u)k r   1−δ = − λn µ n − kxn − uk λ r r   −1 1−δ 1−δ + λn µ n − 1− kA(u)k λ λ r −1  1−δ kA(u)k} ≤ max{kxn − uk, − λ lu Bằng quy nạp ta nhận r   −1  1−δ kxn − uk ≤ max kx0 − uk, − kA(u)k) , λ an ∀n ≥ va n Do dãy {xn } bị chặn dãy {T (xn )} {A(xn )} bị gh tn to chặn Bây giờ, ta (1.11) p ie kxn+1 − xn k → n → ∞ nl w Thật vậy, ta có (với số M > 0) d oa kxn+1 − xn k = kλn xn + (1 − λn )T xn − λn µn A(xn ) − λn−1 µn−1 A(xn−1 ))k va an lu − (λn−1 xn−1 + (1 − λn−1 )T xn−1 ll u nf = kλn (I − µn A)xn + (1 − λn )T xn oi m − (λn−1 (I − µn−1 A)xn−1 + (1 − λn−1 )T xn−1 )k z at nh ≤ k(1 − λn )(T xn − T xn−1 ) + (λn − λn−1 )[(I − µn−1 A)xn−1 − T xn−1 ]k z gm @ + λn k(I − µn A)xn − (I − µn−1 A)xn−1 k ≤ (1 − λn )kT xn − T xn−1 k l m co + |λn − λn−1 |k(I − µn−1 F )xn−1 − T xn−1 k + λn [k(I − µn A)xn − (I − µn A)xn−1 k an Lu + k(µn−1 − µn )A(xn−1 )k] n va ac th si 19 Suy kxn+1 − xn k ≤ (1 − λn )kxn − xn−1 k + |λn − λn−1 |M r    1−δ + λn − µn − kxn − xn−1 k λ  + |µn−1 − µn |M r    1−δ = − λn µn − kxn − xn−1 k λ + λn |µn−1 − µn |M + |λn − λn−1 |M Đặt lu r  an  1−δ αn = λn µn − , λ r −1  µn−1 1−δ , − βn = − µn λ n va gh tn to γn = |λn − λn−1 |M p ie nl w Khi đó, kxn+1 − xn k ≤ (1 − αn )kxn − xn−1 k + αn βn + γn d oa (1.12) an lu Dễ dàng thấy từ điều kiện (i)-(iii) định lý αn = ∞, lim βn = 0, ll (a) ∞ X u nf va điều kiện (a) (b) sau thỏa mãn: m αn = ∞, n=0 z at nh (b) ∞ X < ∞; n=0 oi n=0 ∞ X n→∞ ∞ X αn βn < ∞, n=0 ∞ X γn < ∞ n=0 z gm @ Do đó, áp dụng Bổ đề 1.2.6 vào (1.12) ta suy Bây ta m co l kxn+1 − xn k → n → ∞ an Lu kxn − T (xn )k → n → ∞ (1.13) n va ac th si 20 Thật vậy, ta thấy kxn+1 − T (xn )k = kλn xn + (1 − λn )T (xn ) − λn µn A(xn ) − T xn k ≤ λn kxn − T (xn )k + λn kA(xn )k Do đó, từ (1.11) ta suy kxn − T xn k ≤ kxn − xn+1 k + kxn+1 − T xn k ≤ kxn − xn+1 k + λn kxn − T xn k + λn kA(xn )k → 0, n → ∞ Đặt u∗ = limt→0+ xt , dãy {xt } xác định (1.7) Theo Mệnh đề 1.2.5, u∗ nghiệm VI∗ (A, C), tức hA(u∗ ), j(u∗ − v)i ≤ ∀v ∈ C (1.14) lu an Tiếp theo ta va lim suphA(u∗ ), j(u∗ − xn )i ≤ (1.15) n n→∞ lim suphA(u∗ ), j(u∗ − xn )i = lim hA(u∗ ), j(u∗ − xnk )i ie gh tn to Thật vậy, ta chọn dãy {xnk } dãy {xn } cho k→∞ n→∞ p w Vì E khơng gian Banach phản xạ dãy {xn } bị chặn nên ta oa nl giả sử xnk * w Từ điều kiện Bổ đề 1.1.23 kxn − T xn k → d (n → ∞) suy w ∈ C = Fix(T ) Do ánh xạ đối ngẫu J liên tục yếu an lu theo dãy nên từ (1.14) ta có u nf n→∞ va lim suphA(u∗ ), j(u∗ − xn )i = hA(u∗ ), j(u∗ − w)i ≤ ll Cuối cùng, ta xn → u∗ n → ∞ Thật vậy, ta có m oi xn+1 − (λn xn + (1 − λn )u∗ − λn µn A(xn )) z at nh = xn+1 − u∗ − λn ((I − µn A)xn − u∗ ) z Sử dụng Bổ đề 1.1.24 Mệnh đề 1.1.26(iii) ta nhận @ l gm kxn+1 − u∗ k2 = kxn+1 − (λn xn + (1 − λn )u∗ − λn µn A(xn )) m co + λn ((I − µn A)xn − u∗ )k2 ≤ kxn+1 − (λn xn + (1 − λn )u∗ − λn A(xn ))k2 an Lu + 2λn h(I − µn A)xn − u∗ , J(xn+1 − u∗ )i n va ac th si 21 Suy kxn+1 − u∗ k2 ≤ (1 − λn )2 kT xn − u∗ k2 + 2λn h(I − µn A)xn − (I − µn A)u∗ , j(xn+1 − u∗ )i + 2λn h(I − µn A)u∗ − u∗ , j(xn+1 − u∗ )i ≤ (1 − λn )2 kxn − u∗ k2 + 2λn k(I − µn A)xn − (I − µn A)u∗ kkxn+1 − u∗ k + 2λn µn hA(u∗ ), j(u∗ − xn+1 )i lu ≤ (1 − λn )2 kxn − u ∗ k2 r    1−δ + 2λn − µn − kxn − u∗ kkxn+1 − u∗ k λ an n va + 2λn µn hA(u∗ ), j(u∗ − xn+1 )i kxn+1 − u∗ k2 ≤ (1 − λn )2 kxn − u∗ k2 r   2 1−δ + λn − µ n − kxn − u∗ k2 λ  + kxn+1 − u∗ k2 p ie gh tn to Hay d oa nl w an lu + 2λn µn hA(u∗ ), j(u∗ − xn+1 )i ll u nf va ≤ (1 − λn )2 kxn − u∗ k2 r    1−δ + λn − µ n − kxn − u∗ k2 λ oi m z at nh + λn kxn+1 − u∗ k2 + 2λn µn hA(u∗ ), j(u∗ − xn+1 )i z m co l gm @ an Lu n va ac th si 22 Từ suy   λn − µn − kxn+1 − u∗ k2 ≤ − λn + q 1−δ λ  ! kxn − u∗ k2 − λn 2λn µn hA(u∗ ), J(u∗ − xn+1 )i − λn r     1−δ λn µ n λ2n = 1− 1− + kxn − u∗ k2 − λn λ − λn 2λn µn + hA(u∗ ), J(u∗ − xn+1 )i − λn + Hay lu an kxn+1 − u∗ k2 ≤  n va p ie gh tn to r   1−δ λn µ n 1− kxn − u∗ k2 1− − λn λ r r    −1 λn µ n 1−δ 1−δ + 1− × 1− − λn λ λ   λn × kxn − u∗ k2 + 2hA(u∗ ), j(u∗ − xn+1 )i µn w Đặt d oa nl r   λn µ n 1−δ 1− αn = , − λn λ r  −1   1−δ λn βn = − kxn − u∗ k2 + 2hA(u∗ ), J(u∗ − xn+1 )i λ µn ll u nf va an lu γn = Suy m kxn+1 − u∗ k2 ≤ (1 − αn )kxn − u∗ k2 + αn βn + γn oi (1.16) z at nh z P P∞ λn µn Vì limn→∞ λn = ∞ λ µ = ∞ nên n n n=0 n=0 1−λn = ∞ P∞ ∗ ∗ n=0 αn = ∞ Chú ý limn→∞ λn /µn = lim supn→∞ hA(u ), J(u − @ gm xn+1 )i ≤ (1.15) Do đó, từ tính bị chặn dãy {xn − u∗ } ta có m co u∗ k = l lim supn→∞ βn ≤ Áp dụng Bổ đề 1.2.6 cho (1.16) suy limn→∞ kxn − an Lu  n va ac th si 23 Chương Bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ lu an n va ánh xạ không giãn ie gh tn to Chương trình bày phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân p tập điểm bất động chung họ vô hạn đếm ánh xạ nl w không giãn không gian Banach E: Tìm x∗ ∈ C cho: hA(x∗ ), j(x − x∗ )i ≥ ∀x ∈ C, d oa (2.1) lu an đây, A : E → E ánh xạ j-đơn điệu xác định E, j(x − x∗ ) ∈ u nf va J(x − x∗ ) C tập điểm bất động chung họ đếm ll ánh xạ không giãn {Ti }∞ i=1 oi m Nội dung chương viết sở báo [5] tài liệu z at nh trích dẫn với mục sau Mục 2.1 giới thiệu toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ vô hạn z đếm ánh xạ không giãn số bổ đề liên quan Mục 2.2 @ gm giới thiệu phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân tập m co l điểm bất động chung họ vô hạn đếm ánh xạ không giãn khơng gian Banach trình bày chứng minh hội tụ mạnh an Lu phương pháp n va ac th si