(Luận văn) bất đẳng thức biến phân với họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– TRẦN THỊ QUỲNH TRANG lu an n va p ie gh tn to BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VỚI HỌ VÔ HẠN ĐẾM ĐƯỢC CÁC ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN, 11/2018 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– TRẦN THỊ QUỲNH TRANG lu an BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VỚI HỌ VÔ HẠN ĐẾM ĐƯỢC CÁC ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN n va p ie gh tn to d oa nl w Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8460112 lu nf va an LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC lm ul z at nh oi GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN z gm @ m co l TS TRẦN XUÂN QUÝ an Lu THÁI NGUYÊN, 11/2018 n va ac th si iii Mục lục Bảng ký hiệu Mở đầu lu an n va p ie gh tn to Chương Xấp xỉ nghiệm toán bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert 1.1 Ánh xạ đơn điệu không gian Hilbert 1.1.1 Phép chiếu mêtric 1.1.2 Ánh xạ không giãn, ánh xạ đơn điệu 1.2 Bài tốn bất đẳng thức biến phân khơng gian Hilbert 10 1.2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân 10 1.2.2 Phương pháp lặp giải tốn bất đẳng thức biến phân khơng gian Hilbert 11 d oa nl w nf va an lu Chương Xấp xỉ nghiệm toán bất đẳng thức biến phân không gian Banach 20 2.1 Ánh xạ j-đơn điệu không gian Banach 20 2.1.1 Giới hạn Banach 20 2.1.2 Không gian Banach trơn 22 2.1.3 Ánh xạ đối ngẫu, ánh xạ j-đơn điệu 22 2.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân khơng gian Banach 25 2.2.1 Bài tốn bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu 25 2.2.2 Một phương pháp lặp xấp xỉ nghiệm toán bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu 29 2.2.3 Ứng dụng 34 z at nh oi lm ul z 35 m an Lu Tài liệu tham khảo co l gm @ Kết luận 36 n va ac th si Bảng ký hiệu lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu không gian Hilbert thực không gian Banach không gian đối ngẫu E mặt cầu đơn vị E tập số thực tập số thực không âm tập số tự nhiên với x miền xác định toán tử A miền ảnh toán tử A toán tử ngược toán tử A toán tử đồng tập hàm liên tục đoạn [a, b] khoảng cách từ phần tử x đến tập hợp C giới hạn dãy số {xn } giới hạn dãy số {xn } dãy {xn } hội tụ mạnh x0 dãy {xn } hội tụ yếu x0 ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị tập điểm bất động ánh xạ T z at nh oi lm ul H E E∗ SE R R+ N ∀x D(A) R(A) A−1 I C[a, b] d(x, C) lim supn→∞ xn lim inf n→∞ xn xn → x0 xn * x0 J j Fix(T ) z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu lu an n va p ie gh tn to Bài toán bất đẳng thức biến phân không gian vô hạn chiều nhà toán học người Italia G Stampacchia đồng nghiệp đưa lần vào năm đầu thập niên 60 kỉ XX nghiên cứu toán biên tự (xem [11, 13, 14]) Bất đẳng thức biến phân có vai trị quan trọng nghiên cứu tốn học lý thuyết toán tối ưu, toán điều khiển, toán cân bằng, toán bù, toán giá trị biên (xem [7, 10, 18] tài liệu trích dẫn đó) Do đó, việc nghiên cứu phương pháp giải bất đẳng thức biến phân đề tài thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học nước nhiều kết sâu sắc thiết lập Bên cạnh đó, bất đẳng thức biến phân cịn có nhiều ứng dụng tốn thực tế mơ hình cân kinh tế, giao thơng, tốn khơi phục tín hiệu, tốn cơng nghệ lọc khơng gian, tốn phân phối băng thông d oa nl w nf va an lu Cho đến nay, nhiều vấn đề khó liên quan đến bất đẳng thức biến phân toán tối ưu, mà điều kiện cần cực trị chúng viết dạng bất đẳng thức biến phân, quan tâm nghiên cứu cơng cụ tốn học đại Một hướng nghiên cứu quan trọng xây dựng phương pháp giải bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc tập điểm bất động chung họ ánh xạ không giãn, tập không điểm chung họ ánh xạ loại j-đơn điệu, tập nghiệm chung toán cân bằng, toán bất đẳng thức biến phân, toán điểm bất động không gian Hilbert không gian Banach z at nh oi lm ul z gm @ m co l Mục tiêu đề tài luận văn trình bày phương pháp giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ vô hạn đếm ánh xạ không giãn không gian Hilbert không gian Banach từ báo [8] [9] an Lu Nội dung luận văn trình bày hai chương n va ac th si Chương trình bày phương pháp xấp xỉ nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân khơng gian Hilbert với tập ràng buộc tập điểm bất động chung họ vô hạn đếm ánh xạ không giãn Nội dung chương tham khảo từ số tài liệu Giải tích hàm báo [9] cơng bố năm 2008 Chương trình bày phương pháp xấp xỉ nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân khơng gian Banach với tập ràng buộc tập điểm bất động chung họ vô hạn đếm ánh xạ không giãn Nội dung chương viết sở kết [8] công bố năm 2018 lu an n va p ie gh tn to Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Ngun Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy TS Trần Xuân Quý, xin cám ơn cô thầy tận tình hướng dẫn dành cho tơi nhận xét q báu để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới thầy cô, người tận tâm giảng dạy bảo cho suốt trình học tập thực luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới phịng Đào tạo, khoa Tốn - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái nguyên giúp đỡ tạo điều kiện cho suốt trình học tập nghiên cứu khoa học Cuối tơi xin cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp trao đổi, động viên khích lệ tơi q trình học tập làm luận văn trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul Thái Nguyên, ngày 22 tháng 11 năm 2018 Tác giả luận văn z gm @ Trần Thị Quỳnh Trang m co l an Lu n va ac th si Chương Xấp xỉ nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân khơng gian lu Hilbert an n va p ie gh tn to Chương trình bày phương pháp lai ghép đường dốc giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ vô hạn đếm ánh xạ không giãn không gian Hilbert Nội dung chương viết sở báo Iemoto Takahashi [9] công bố năm 2008 oa nl w Ánh xạ đơn điệu không gian Hilbert d 1.1 an lu nf va Mục trình bày khái niệm số tính chất không gian Hilbert thực H, khái niệm ánh xạ đơn điệu, liên tục Lipschitz, ánh xạ không giãn số tính chất Phép chiếu mêtric z at nh oi lm ul 1.1.1 z Cho H khơng gian Hilbert thực với tích vơ hướng h·, ·i chuẩn k · k cho C tập lồi đóng H Ta ký hiệu hội tụ mạnh hội tụ yếu dãy {xn } tới x ∈ H xn → x xn * x gm @ m co l Định nghĩa 1.1.1 Dãy {xn } không gian Hilbert H gọi hội tụ yếu phần tử x ∈ H, ∀y ∈ H an Lu lim hxn , yi = hx, yi, n→∞ n va ac th si Từ tính liên tục tích vơ hướng, suy xn → x, xn * x Tuy nhiên, điều ngược lại không Chẳng hạn xét không gian l2 =  P∞ 2 {xn } ⊂ R : n=1 |xn | < ∞ {en } ⊂ l cho en = (0, , 0, , 0, , 0, ), vị trí thứ n với n ≥ Khi đó, en * 0, n → ∞ Thật vậy, với y ∈ H, từ bất đẳng thức Bessel, ta có ∞ X |hen , yi|2 < kyk2 < ∞ n=1 Suy limn→∞ hen , yi = 0, tức en * Tuy nhiên, {en } không hội tụ 0, ken k = với n ≥ (xem [2]) lu an n va Bổ đề 1.1.2 (xem [2]) Trong không gian Hilbert thực H ta có bất đẳng thức sau: kx + yk2 ≤ kxk2 + 2hx + y, yi ∀x, y ∈ H p ie gh tn to Mệnh đề 1.1.3 (xem [2]) Cho C tập lồi đóng khơng gian Hilbert thực H Khi đó, với x ∈ H, tồn phần tử PC x ∈ C cho w oa nl kx − PC xk ≤ kx − yk với y ∈ C (1.1) d Chứng minh Thật vậy, đặt d = inf kx − uk Khi đó, tồn {un } ⊂ C lu u∈C nf va an cho kx − un k → d n → ∞ Từ đó, kun − um k2 = k(x − un ) − (x − um )k2 lm ul un + um = 2kx − un k + 2kx − um k − 4 x − ≤ 2(kx − un k2 + kx − um k2 ) − 4d2 → 0, 2 z at nh oi z n, m → ∞ Do {un } dãy Cauchy H Suy tồn u = lim un ∈ C Do chuẩn hàm số liên tục nên kx − uk = d Giả sử tồn l gm v ∈ C cho kx − vk = d Ta có @ n→∞ co ku − vk2 = k(x − u) − (x − v)k2 m u + v = 2(kx − uk + kx − vk ) − 4 x − ≤ an Lu n va ac th si Suy u = v Vậy tồn phần tử PC x ∈ C cho kx − PC xk = inf u∈C kx − uk  Định nghĩa 1.1.4 Phép cho tương ứng phần tử x ∈ H phần tử PC x ∈ C xác định (1.1) gọi phép chiếu mêtric chiếu H lên C Ví dụ 1.1.5 Cho C = {x ∈ H : hx, ui = y}, với u 6= Khi PC x = x + y − hx, ui u kuk2 Mệnh đề cho ta điều kiện cần đủ để ánh xạ PC : H → C phép chiếu mêtric lu an Mệnh đề 1.1.6 (xem [2]) Cho C tập lồi đóng khơng gian Hilbert thực H Khi đó, điều kiện cần đủ để ánh xạ PC : H → C phép chiếu mêtric từ H lên C n va to (1.2) gh tn hx − PC x, PC x − yi ≥ với x ∈ H y ∈ C p ie Chứng minh Giả sử PC phép chiếu mêtric Khi với x ∈ H, y ∈ C t ∈ (0, 1), ta có ty + (1 − t)PC x ∈ C Do đó, từ định nghĩa phép chiếu mêtric, suy nl w ∀t ∈ (0, 1) d oa kx − PC xk2 ≤ kx − ty − (1 − t)PC xk2 an lu Bất đẳng thức tương đương với nf va kx − PC xk2 ≤ kx − PC xk2 − 2thx − PC x, y − PC xi + t2 ky − PC xk2 , lm ul với t ∈ (0, 1) Từ đó, Cho t → 0+ , ta nhận z at nh oi t hx − PC x, PC x − yi ≥ − ky − PC xk2 ∀t ∈ (0, 1) z hx − PC x, PC x − yi ≥ l gm @ Ngược lại, giả sử kx − PC xk2 = hx − PC x, x − y + y − PC xi an Lu Khi đó, với x ∈ H y ∈ C, ta có m co hx − PC x, PC x − yi ≥ với x ∈ H y ∈ C n va ac th si = hx − PC x, y − PC xi + hx − PC x, x − yi ≤ kx − yk2 + hy − PC x, x − PC x + PC x − yi = kx − yk2 + hy − PC x, x − PC xi − ky − PC xk2 ≤ kx − yk2 Suy PC phép chiếu mêtric từ H lên C  Hệ 1.1.7 (xem [2]) Cho C tập lồi đóng khơng gian Hilbert H PC phép chiếu mêtric từ H lên C Khi đó, với x, y ∈ H, ta có kPC x − PC yk2 ≤ hx − y, PC x − PC yi lu Chứng minh Với x, y ∈ H, từ Mệnh đề 1.1.6, ta có an n va hx − PC x, PC y − PC xi ≤ 0, Cộng hai bất đẳng thức ta nhận điều phải chứng minh gh tn to hy − PC y, PC x − PC yi ≤ p ie  Ánh xạ không giãn, ánh xạ đơn điệu oa nl w 1.1.2 d Định nghĩa 1.1.8 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H Ánh xạ T : C → H gọi ánh xạ không giãn, nf va an lu kT x − T yk ≤ kx − yk ∀x, y ∈ C (1.3) lm ul z at nh oi Ta ký hiệu tập điểm bất động ánh xạ không giãn T Fix(T ), tức Fix(T ) = {x ∈ C : T x = x} Tính chất tập điểm bất động Fix(T ) ánh xạ không giãn T cho mệnh đề z Mệnh đề 1.1.9 (xem [3]) Cho C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H T : C → H ánh xạ khơng giãn Khi đó, Fix(T ) tập lồi đóng H l gm @ m co Chứng minh (a) Giả sử Fix(T ) 6= ∅ Trước hết, ta Fix(T ) tập đóng Thật vậy, T ánh xạ khơng giãn nên T liên tục C Giả sử an Lu n va ac th si 15 (1 − λn+1 ) γ1 kT1 Un+1,2 xn+1 − T1 Un,2 xn+1 k λn+1 + (1 − λn+1 ) γ1 (1 − λn+1 ) γ1 kT1 Un,2 xn+1 − T1 Un,2 xn k + λn+1 + (1 − λn+1 ) γ1 (1 − λ ) γ (1 − λ ) γ n+1 n kT1 Un,2 xn k + − λn+1 + (1 − λn+1 ) γ1 λn + (1 − λn ) γ1  − kxn+1 − xn k  λn+1 kxn+1 − xn k ≤ lim sup λn+1 + (1 − λn+1 ) γ1 n→∞ λn+1 + kWn+1 xn − Wn xn k λn+1 + (1 − λn+1 ) γ1 λ λ n n+1 k(1 − ρA)Wn xn k − +