(Luận văn) bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng kinh tế

đại học tháI nguyên Tr-ờng đại học khoa học NGễ THÙY LINH lu an n va ie gh tn to Bất đẳng thức biến phân p toán cân b»ng kinh tÕ d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul luận văn thạc sĩ toán học z m co l gm @ an Lu n va tháI nguyên 2016 ac th si đại học tháI nguyên Tr-ờng đại học khoa học Ngô thùy linh lu an n va Bất đẳng thức biến phân p ie gh tn to toán cân kinh tế w oa nl Chuyên ngành: Toán ứng dụng MÃ số: 60 46 01 12 d nf va an lu z at nh oi lm ul luận văn thạc sĩ toán học z Ng-ời h-ớng dÉn khoa häc: GS.TS NguyÔn B-êng @ m co l gm TS Ngun ThÞ Thu Thđy an Lu n va tháI nguyên 2016 ac th si Mc lục lu Bảng ký hiệu Lời nói đầu Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp không gian Banach 1.1 Không gian Banach 1.1.1 Không gian Banach phản xạ, lồi chặt trơn 1.1.2 Ánh xạ đơn điệu không gian Banach Bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp 1.2.1 an Lời cảm ơn n va p ie gh tn to d oa nl w 1.2 lu Sự tồn tính chất tập nghiệm bất đẳng nf va an 1.2.2 Phát biểu toán thức biến phân hỗn hợp phân hỗn hợp 12 Một số phương pháp xấp xỉ nghiệm 13 1.3.1 Phương pháp điểm gần kề 14 1.3.2 Phương pháp hiệu chỉnh lặp 15 1.3.3 Phương pháp nguyên lý toán phụ 15 z l gm @ Bất đẳng thức biến phân toán cân kinh tế 16 Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp không gian hữu hạn an Lu 2.1 m co Một số trường hợp đặc biệt bất đẳng thức biến z at nh oi 1.3 lm ul 1.2.3 11 chiều 16 n va ac th si 2.2 2.3 2.1.1 Bài toán 16 2.1.2 Định nghĩa số tính chất ma trận 18 2.1.3 Sự tồn nghiệm 20 Bất đẳng thức biến phân mơ hình cân cạnh tranh 24 2.2.1 Cân Walrasian (cân cạnh tranh) 24 2.2.2 Áp dụng cho mơ hình cân cạnh tranh 27 Bất đẳng thức biến phân mơ hình cân độc quyền 28 2.3.1 Cân độc quyền 28 2.3.2 Áp dụng cho mơ hình cân độc quyền 30 lu 34 Tài liệu tham khảo 35 an Kết luận n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Lời cảm ơn Luận văn thực Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn GS.TS Nguyễn Bường, TS lu Nguyễn Thị Thu Thủy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành an sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên va cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc n gh tn to tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, Ban chủ p ie nhiệm Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, w giảng viên tham gia giảng dạy cao học Toán trường Đại học oa nl Khoa học tạo điều kiện tốt để tác giả học tập nghiên cứu d Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Tốn K8A (khóa lu học tập, nghiên cứu nf va an 2014–2016) động viên giúp đỡ tác giả nhiều trình lm ul Xin cảm ơn tập thể quan ban ngành tạo điều kiện giúp đỡ trình học tập thu thập tài liệu nghiên cứu Đặc biệt, xin cảm ơn bạn z at nh oi bè đồng nghiệp gia đình chia sẻ, giúp đỡ động viên suốt q trình học tập hồn thành luận văn z gm @ Thái Nguyên, tháng năm 2016 Tác giả m co l an Lu Ngô Thùy Linh n va ac th si Bảng ký hiệu Trong toàn luận văn này, ta dùng ký hiệu với ý nghĩa xác định bảng đây: R tập số thực lu an n va không gian Hilbert thực X không gian Banach X∗ không gian đối ngẫu X C tập đóng lồi H A tốn tử đơn điệu khơng gian Hilbert p ie gh tn to H miền hữu hiệu toán tử A w dom(A) tập điểm bất động ánh xạ S phép chiếu trực giao điểm x tập C d PC (x) oa nl Fix(S) hx, yi lu δC (.) hàm C kxk chuẩn vectơ x xn → x xn hội tụ mạnh đến x xn * x xn hội tụ yếu đến x I ánh xạ đơn vị tích vơ hướng hai vectơ x y nf va an z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Lời nói đầu Cho X không gian Banach thực phản xạ, X ∗ không gian liên hợp X, hai có chuẩn kí hiệu k.k, A : X → X ∗ toán tử đơn lu điệu đơn trị ϕ : X → R ∪ {+∞} phiếm hàm lồi thường nửa liên an tục Với f ∈ X ∗ , tìm x0 ∈ X cho n va ∀x ∈ X, (1) gh tn to hA(x0 ) − f , x − x0 i + ϕ(x) − ϕ(x0 ) ≥ p ie hx∗ , xi ký hiệu giá trị phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗ ∈ X ∗ x ∈ X Bài toán (1) gọi bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (mixed variational oa nl w inequality), đơi cịn gọi bất đẳng thức biến phân loại hai (variational inequality of the second kind) d an lu Khi A đạo hàm Gâteaux phiếm hàm lồi thường, nửa liên nf va tục F, f ≡ θ ∈ X ∗ , bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (1) tương đương với toán cực trị lồi không khả vi lm ul n o F(x) + ϕ(x) z at nh oi (2) x∈X Trường hợp riêng bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (1), ϕ hàm z gm @ (indicator function) tập lồi đóng K X, toán bất đẳng thức biến phân cổ điển (classical variational inequality): tìm x0 ∈ K cho co l ∀x ∈ K (3) m hA(x0 ) − f , x − x0 i ≥ an Lu n va ac th si Nếu K ≡ X tốn có dạng phương trình tốn tử A(x) = f (4) Mục đích đề tài luận văn giới thiệu bất đẳng thức biến phân hỗn hợp tốn cân kinh tế khơng gian Banach không gian hữu hạn chiều Rn Nội dung đề tài luận văn trình bày hai chương Chương có tiêu đề "Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp khơng gian Banach" trình bày khái niệm không gian Banach, ánh xạ đơn điệu khơng gian Banach; giới thiệu tốn bất đẳng thức biến phân hỗn lu an hợp không gian Banach, tồn nghiệm số trường hợp đặc va biệt bất đẳng thức biến phân hỗn hợp; phần cuối chương giới thiệu n số phương pháp xấp xỉ nghiệm bất đẳng thức biến phân hỗn hợp gh tn to phương pháp điểm gần kề, phương pháp hiệu chỉnh lặp, phương pháp nguyên p ie lý toán phụ Chương với tiêu đề "Bất đẳng thức biến phân toán cân kinh tế" giới thiệu toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp nl w không gian hữu hạn chiều áp dụng bất đẳng thức biến phân hỗn hợp cho d oa mơ hình cân cạnh tranh mơ hình cân độc quyền kinh tế [3], [4] [6] nf va an lu Nội dung luận văn viết sở tổng hợp kiến thức từ [1], [2], z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp lu không gian Banach an n va gian Banach Nội dung chương trình bày mục Mục 1.1 nêu ie gh tn to Chương giới thiệu toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp không p khái niệm không gian Banach phản xạ, lồi chặt, trơn ánh xạ đơn điệu không gian Banach Mục 1.2 trình bày khái niệm tốn bất đẳng w oa nl thức biến phân hỗn hợp, nêu tồn nghiệm số trường hợp đặc biệt d bất đẳng thức biến phân hỗn hợp Mục 1.3 giới thiệu số phương pháp lu nf va an giải bất đẳng thức biến phân hỗn hợp Các kiến thức chương tổng hợp từ tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [4] [6] Không gian Banach z at nh oi 1.1.1 lm ul 1.1 Không gian Banach phản xạ, lồi chặt trơn z gm @ Cho X không gian tuyến tính định chuẩn l Định nghĩa 1.1.1 Nếu khơng gian tuyến tính định chuẩn X không m không gian Banach co gian mêtric đầy đủ (với khoảng cách d (x, y) = kx − yk) X gọi an Lu Cho X không gian Banach với không gian đối ngẫu X ∗ , tức n va ac th si khơng gian phiếm hàm tuyến tính liên tục X Để đơn giản việc trình bày, chuẩn X X ∗ ký hiệu k.k Ta viết hx, x∗ i thay cho x∗ (x) với x∗ ∈ X ∗ x ∈ X Ký hiệu 2X họ tập khác rỗng X Cho F ánh xạ với miền xác định D (F) miền giá trị R (F) Ký hiệu mặt cầu đơn vị X SX , SX = {x ∈ X : kxk = 1} Định nghĩa 1.1.2 Không gian Banach X gọi không gian phản xạ, với phần tử x∗∗ không gian liên hợp thứ hai X ∗∗ X, tồn phần tử x ∈ X cho lu x∗ (x) = x∗∗ (x∗ ) với x∗ ∈ X ∗ an va Định nghĩa 1.1.3 Không gian Banach X gọi lồi chặt với n gh tn to x, y ∈ X, x 6= y mà kxk = 1, kyk = ta có p ie x + y < w oa nl Chú ý 1.1.4 Định nghĩa 1.1.3 cịn phát biểu dạng tương d đương sau: Không gian Banach X gọi lồi chặt với x, y ∈ kx+yk = suy x = y với x, y ∈ SX x 6= y ta có an lu SX thỏa mãn nf va ktx + (1 − t) yk < với t ∈ (0, 1) lm ul Để đo tính lồi khơng gian Banach X, người ta đưa vào khái niệm z at nh oi môđun lồi không gian Banach X: kxk ≤ 1, kyk ≤ 1, kx − yk ≥ ε l gm @ Nhận xét 1.1.5  z x + y δX (ε) = inf − :  m đoạn [0; 2] co (1) Môđun lồi không gian Banach X hàm số xác định, liên tục tăng an Lu (2) Không gian Banach X lồi chặt δX (2) = n va ac th si 21 nghiệm; (ii) Nếu G P-ánh xạ chặt tốn bất đẳng thức biến phân (2.1) có nghiệm Giả thiết đặt lên ánh xạ G Mệnh đề 2.1.8 chặt toán cân kinh tế Chẳng hạn, ánh xạ G (2.20) (2.30) (trình bày mục sau) nói chung khơng cần tính P-ánh xạ chặt Sau điều kiện yếu cho tồn nghiệm toán (2.1) Ta xét trường hợp đơn giản với tập K bị chặn G thỏa mãn điều kiện (A1) lu an Mệnh đề 2.1.9 Giả sử K tập bị chặn Khi tốn bất đẳng va thức biến phân (2.1) có nghiệm n to gh tn Kết hợp kết với Mệnh đề 2.1.8(i) ta suy kết sau p ie Hệ 2.1.10 Giả sử G P-ánh xạ K tập bị chặn Khi nl w tốn bất đẳng thức biến phân (2.1) có nghiệm oa Tính nghiệm tốn (2.1) phụ thuộc vào tính chất G d f an lu nf va Định lý 2.1.11 Giả sử G P0 -ánh xạ fi hàm lồi chặt với i = 1, , n Khi tốn bất đẳng thức biến phân (2.1) có nhiều z at nh oi lm ul nghiệm Kết hợp Định lý 2.1.11 Mệnh đề 2.1.9 ta nhận kết sau Hệ 2.1.12 Giả sử điều kiện Định lý 2.1.11 thỏa mãn, giả thiết z (2.1) có nghiệm l gm @ thêm K tập bị chặn Khi tốn bất đẳng thức biến phân an Lu kiện P0 -ánh xạ m co Bây tồn nghiệm tập không bị chặn với điều n va ac th si 22 Định lý 2.1.13 Giả sử G P0 -ánh xạ fi hàm lồi mạnh với i = 1, , n Khi tốn bất đẳng thức biến phân (2.1) có nghiệm Ta nhận kết tồn nghiệm toán (2.1) thay tính chất P-ánh xạ (chặt) ánh xạ giá G tính chất lồi tất hàm fi Với tập số L = {1, , l} ta viết xL = (xi )i∈L Al (x) = ∇xl GL (x) Khi đó, An (x) = ∆G(x) Định lý 2.1.14 Cho G P0 -ánh xạ khả vi Giả sử với x ∈ K, lu an ∇G(x) Z-ma trận tồn ε > cho Ak (x) − εIk P-ma n va trận với k cố định Giả thiết thêm fi , i = k + 1, , n hàm lồi Chứng minh Đầu tiên ta ý p ie gh tn to mạnh Khi tốn bất đẳng thức biến phân (2.1) có nghiệm (2.9) oa nl w   00 ∇G(x) = Ak (x) Bk Bk Ck d B0k ma trận hình chữ nhật với k hàng n − k cột, B00k ma trận hình an lu chữ nhật với n − k hàng k cột, Ck ma trận cỡ (n − k) × (n − k) Theo giả nf va thiết tồn ε > cho Ak (x) − ε Ik M-ma trận Ta giả sử ε ≤ τ z at nh oi lm ul với τ số nhỏ ánh xạ đơn điệu mạnh ∂ fi (hoặc lồi mạnh fi ) Ta xét ánh xạ G˜ : V → Rn , định nghĩa sau: ( G˜ i (x) = ≤ i ≤ k; Gi (x) (2.10) Gi (x) + ε”xi k < i ≤ n z l gm @ Với < ε 00 < ε rõ ràng định thức Jacobi co   ˜ ∇G(x) = Ak (x) Bk B”k Ck + ε”In−k (2.11) m an Lu ˜ M-ma trận Hơn nữa, ∇G(x) = γIn M-ma trận với γ > cho n va ac th si 23 < γ < ε 00 Theo định nghĩa G˜ P-ánh xạ chặt Tiếp theo ta xét hàm f˜i (xi ) = n fi (xi ), ≤ i ≤ k; fi (xi ) − ε 00 xi2 /2, o k k lồi mạnh với xi0 , xi00 g0i ∈ ∂ fi (xi0 ), g00i ∈ ∂ fi (xi00 ) Ta có (g0i − g00i )(xi0 − xi00 ) − ε 00 (xi0 − xi00 )(xi0 − xi00 ) ≥ (τ − ε 00 )(xi0 − xi00 )2 ≥ Thế ∂ fi − ε 00 I1 khác rỗng đơn điệu với i > k, f˜i lồi với lu i = 1, , n Theo Mệnh đề 2.1.8(ii) phần ta tìm điểm x∗ an thuộc K cho: n va ∀x ∈ K gh tn to ˜ ∗ ), x − x∗ i + f˜(x) − f˜(x∗ ) ≥ 0, hG(x p ie có nghiệm Hơn tốn tương đương với bất đẳng thức  w biến phân (2.1) ta kết cần chứng minh oa nl Định lý 2.1.15 Cho G P0 -ánh xạ khả vi Giả sử với x ∈ K, ∇G(x) d Z-ma trận Ak (x) P-ma trận với k cố định giả thiết lu nf va an thêm fi , i = k + 1, , n hàm lồi mạnh K tập bị chặn Khi tốn bất đẳng thức biến phân (2.1) có nghiệm lm ul Chú ý phát biểu Định lý 2.1.14 2.1.15 ta z at nh oi thay tập số {1, , k} với tập tùy ý {1, , n} Ta xét toán (2.1) với giả thiết (A1), (A2), (A3) thêm điều kiện G P0 -ánh xạ Khi đó, ta thay G ánh xạ sau: z @ l gm G˜ (ε) = G + εIn , m co ε > số nhỏ tùy ý Theo Bổ đề 2.1.7, G˜ (ε) P-ánh xạ chặt từ Mệnh đề 2.1.8(ii), toán bất đẳng thức biến phân với ánh xạ giá G˜ (ε) an Lu có nghiệm gần với nghiệm tốn ban đầu n va ac th si 24 Bây giả sử toán (2.1) thỏa mãn điều kiện (A1), (A2) (A3), Jacobian ∇G M0 -ma trận fi , i = k + 1, , n hàm lồi mạnh với k cố định Khi ta thay G G(ε) định nghĩa sau: (ε) Gi (x) = Gi (x) + εxi , i≤k (2.13) (ε) Gi (x) = Gi (x) i > k, ε > tham số đủ bé Theo Định lý 2.1.14 tốn (2.1) với ánh xạ chi phí G(ε) có nghiệm gần với nghiệm toán ban lu đầu an va n 2.2 Bất đẳng thức biến phân mơ hình cân cạnh tranh ie gh tn to Cân khái niệm trung tâm phân tích kinh tế đại Khái p niệm mơ tả tình mà nhà kinh tế không khẳng định xảy ra, nhà kinh tế sử dụng làm điểm qui chiếu để đặt sở w oa nl cho tình cụ thể Như khái niệm yếu tố quan trọng d phát triển lí thuyết khác nhau; đặc biệt điểm phân biệt lu Cân Walrasian (cân cạnh tranh) lm ul 2.2.1 nf va an lí thuyết với nằm khái niệm cân chúng chọn lựa z at nh oi Cân cạnh tranh mô tả trao đổi sản phẩm tiến hành kinh tế thị trường cạnh tranh hoàn hảo ngự trị Những cung cầu tác nhân thể phụ thuộc vào giá Cân đạt z gm @ giá ấn định mức đảm bảo cung cầu Có thể triển khai định nghĩa khuôn khổ cân phận, l nghĩa xem xét thị trường sản phẩm đổi co m lấy tiền bạc Nhưng khái niệm lộ nghĩa ta xét an Lu cân chung tất thị trường Như thị trường thị n va ac th si 25 trường sản phẩm sản xuất tiêu dùng thị trường nhân tố sản xuất Các tác nhân nhà sản xuất – nghĩa doanh nghiệp – nhà tiêu dùng Cân định nghĩa tập giá số lượng trao đổi cho, với giá xem xét: (1) Các nhà sản xuất tối đa hóa lợi nhuận họ, ràng buộc công nghệ hàm sản xuất; (2) Những người tiêu dùng tối đa hóa lợi ích họ, ràng buộc ngân sách; lu (3) Cung cầu tất thị trường an va Được Walras đề xuất từ năm 1874, khái niệm cân chung n cạnh tranh hồn hảo sau nhiều tác giả làm rõ trình bày gh tn to hình thức hồn tồn chặt chẽ cơng trình K Arrow ie G Debreu, hai tác giả này, năm 1954, nêu rõ điều kiện xác p đảm bảo tồn cân nl w Ta xét mơ hình thị trường với cạnh tranh hoàn hảo Các giao dịch oa mơ hình gồm n mặt hàng Khi ta đưa véc tơ giá p ∈ Rn+ , ta d xác định giá trị E(p) ánh xạ vượt ánh xạ cầu E : Rn+ → ∏(Rn+ ) lu nf va an (nói chung đa trị) Thông thường véc tơ p∗ ∈ R gọi véctơ giá cân nghiệm toán bù sau lm ul ∃q∗ ∈ E(p∗ ) : q∗ ≤ 0, z at nh oi p∗ ≥ 0, hp∗ , q∗ i = 0, (2.14) tương đương với toán bất đẳng thức biến phân: tìm p∗ ≥ cho z @ h−q∗ , p − p∗ i ≥ ∀p ≥ (2.15) l gm ∃q∗ ∈ E(p∗ ), m co Trước hết ta giả sử mức giá mặt hàng tham gia vào cấu an Lu trúc thị trường bị chặn số dương bị chặn Giá chấp nhận n va ac th si 26 được giả thiết bị ràng buộc sau: n K = ∏ Ki , n o Ki = t ∈ R | < τi ≤ t ≤ τ”i ≤ +∞ , (2.16) i=1 i = 1, , n Tiếp theo, ta biểu diễn ánh xạ vượt ánh xạ cầu sau: E(p) = D(p) − S(p), (2.17) D S ánh xạ cầu cung tương ứng Ta giả sử ánh xạ lu an cầu đơn trị đặt G = −D Khi tốn tìm giá cân n va xây dựng sau: to hG(p), p − p∗ i + hs∗ , p − p∗ i ≥ 0, ∀p ∈ K (2.18) ie gh tn ∃s∗ ∈ S(p∗ ), p Ngoài ta giả thiết thêm nhà sản xuất sản xuất nl w loại hàng hóa Sau để khơng tính tổng qt ta giả sử oa nhà sản xuất thứ j cung cấp mặt hàng thứ j với j = 1, , n Khi d đó, ta đưa véc tơ giá p ∈ Rn+ ánh xạ cung cấp từ S(p) = ∏ni=1 Si (pi ) an lu Tiếp theo ta thấy điều hiển nhiên ta giả thiết thêm Si nf va đơn điệu không thiết đơn trị, với Si : R+ → ∏(R), i = 1, , n lm ul Trong thực tế giả sử chuẩn ánh xạ cung cấp z at nh oi chung: n z ∃s∗i ∈ Si (p∗i ), i = 1, , n; (G(p∗ ), p − p∗ ) + ∑ s∗i (pi − p∗i ) ≥ 0, (2.19) m co l gm @ ∀p ∈ K, i=1 an Lu n va ac th si 27 tương đương với: n (G(p∗ ), p − p∗ ) + ∑ [ fi (pi ) − fi (p∗i )] ≥ 0, ∀p ∈ K (2.20) ∀p ∈ K, (2.21) i=1 2.2.2 Áp dụng cho mơ hình cân cạnh tranh Xét tốn: tìm p∗ ∈ K cho ∗ ∗ n hG(p ), p − p i + ∑ [ fi (pi ) − fi (p∗i )] ≥ i=1 lu đây: an va n n K = ∏ Ki , Ki = {t ∈ R | < τi < t < τi 00 < +∞}, to (2.22) i=1 tn p ie gh i = 1, , n τ τ 00 số chặn chặn với giá mặt hàng thứ i oa nl w Ánh xạ D = −G ánh xạ nhu cầu, Si = ∂ f − i ánh xạ cung cấp mặt hàng thứ i giả thiết đơn điệu, hàm fi lồi, không d an lu thiết khả vi nf va Đặt tập V = Rn+ giả sử G : V → Rn liên tục Suy ra, fi , i = 1, , n hàm liên tục V Do đó, tốn thỏa mãn lm ul giả thiết (A1), (A2) (A3) Vì vậy, ta thiết lập kết tồn z at nh oi từ Mệnh đề 2.1.9 sau Mệnh đề 2.2.1 Nếu τi00 < +∞ với i = 1, , n tốn (2.21) có z nghiệm gm @ Bây áp dụng Mệnh đề 2.2 ta suy ∇G(p) M0 -ma trận, G an Lu (i) G P0 -ánh xạ; m Bổ đề 2.2.2 Các khẳng định sau đúng: co l P0 -ánh xạ ta có khẳng định sau n va ac th si 28 (ii) ∇G(p) M0 -ma trận với p ∈ V Mệnh đề 2.2.3 (i) Cho K tập bị chặn cho fi với i = 1, , n lồi chặt Khi tốn (2.21) có nghiệm (ii) Cho fi với i = 1, , n lồi mạnh Khi tốn (2.21) có nghiệm Mệnh đề 2.2.4 Giả sử tồn ε > cho với p ∈ K, An−1 (p) − εIn−1 M-ma trận fn hàm lồi mạnh Khi tốn (2.21) có lu nghiệm an n va Mệnh đề 2.2.5 Giả sử K tập bị chặn với p ∈ K, An−1 (p) có nghiệm p ie gh tn to M-ma trận Giả thiết thêm fn hàm lồi mạnh Khi tốn (2.21) Bất đẳng thức biến phân mơ hình cân độc quyền Cân độc quyền d oa 2.3.1 nl w 2.3 an lu Bây ta xét mơ hình độc quyền nhóm mà cấu thị trường n nf va doanh nghiệp cung cấp sản phẩm Đặt p(σ ) biểu thị hàm nhu lm ul cầu ngược, nghĩa mức người tiêu dùng mua số lượng σ Nếu công ty cung cấp đơn vị sản phẩm thứ qi , tổng z at nh oi sản phẩm thị trường xác định bởi: n σq = ∑ qi z gm @ i=1 (2.23) l Nếu ta định nghĩa qi tổng chi phí sản phẩm thứ qi công ty thứ i m co Khi lợi nhuận cơng ty thứ i xác định sau: an Lu ϕi (q) = qi p(σq ) − fi (qi ) (2.24) n va ac th si 29 Thông thường mức sản lượng không âm qi ≥ 0, i = 1, , n Ngồi ra, ta giả sử bị giới hạn phía trên, tức tồn số βi ∈ (0, +∞) cho qi ≤ βi , i = 1, , n Để xác định giải pháp cấu thị trường sử dụng khái niệm cân Nash Định nghĩa 2.3.1 Một véc tơ chấp nhận mức sản lượng q∗ = (q∗1 , q∗2 , , q∗n ) cho công ty từ 1, , n gọi giải pháp cân Nash với điều kiện độc quyền thị trường cung cấp q∗ tối đa hóa hàm lợi nhuận ϕi cơng ty thứ i, công ty khác sản xuất với số lượng q∗j , j 6= i với i = 1, , n lu Cho q∗ = (q∗1 , q∗2 , , q∗n ) điểm cân Nash, q∗i nghiệm tối ưu an toán: n va to max −→ {qi p(qi + σi∗ ) − fi (qi )}, (2.25) gh tn 0≤qi ≤βi p ie σi∗ = ∑nj=1, j6=i q∗j với i = 1, , n Bài tốn chuyển đổi w tương đương thành bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (2.1) hàm lợi oa nl nhuận ϕi lõm qi Giả thiết phối hợp với hoạt động kinh tế d thông thường chấp nhận tốn tối ưu hàm lõm Ngoài lu an ta giả sử hàm giá p(σ ) khả vi liên tục Theo giả thiết trên, ta nf va xác định ánh xạ: F : Rn+ → ∏(Rn ) bởi: lm ul F(q) = (∂q1 [−ϕ1 (q)], , ∂qn [−ϕn (q)]), (2.26) z at nh oi z Fi (q) = ∂qi [−ϕi (q)] = Gi (q) + ∂ fi (qi ) l gm @ (2.27) Gi (q) = −p(σq ) − qi p0 (σq ), i = 1, , n Tiếp theo, ta đặt: i=1 i = 1, , n (2.28) an Lu n o K = ∏ Ki , Ki = t ∈ R | ≤ t ≤ βi , m co n n va ac th si 30 Khi tốn tìm điểm cân Nash thị trường nhóm độc quyền viết lại sau: Tìm q∗ ∈ K cho ∃di∗ ∈ ∂ fi (q∗i ), i = 1, , n n (G(q ), q − q ) + ∑ di∗ (qi − q∗i ) ≥ 0, ∗ ∗ (2.29) ∀q ∈ K; i=1 tương đương với n (G(q ), q − q ) + ∑ [ fi (qi ) − fi (q∗i )] ≥ 0, ∗ ∗ ∀q ∈ K, (2.30) q ∈ K, (2.31) i=1 lu an bất đẳng thức biến phân n va Áp dụng cho mơ hình cân độc quyền gh tn to 2.3.2 p ie Xét tốn: tìm q∗ ∈ K cho ∗ n (G(q ), q − q ) + ∑ [ fi (qi ) − fi (q∗i )] ≥ i=1 K = ∏ Ki , K = {t ∈ R | ≤ t ≤ βi }, lm ul i=1 nf va n an lu d oa nl w ∗ Gi (q) = −p(σq ) − qi p0 (σq ), σq = ∑ qi , i=1 (2.32) i = 1, , n; z at nh oi n i = 1, , n; z gm @ đây, p hàm giá giả thiết khả vi liên tục, fi hàm chi phí mặt hàng thứ i, giả thiết hàm lồi không thiết khả vi Nếu ta đặt l co V = Rn+ , tốn trùng với (2.1) thỏa mãn giả thiết (A1), (A2) m (A3) Do ta suy tồn nghiệm từ Mệnh đề 2.1.9 an Lu Mệnh đề 2.3.2 Nếu βi < +∞ với i = 1, , n (2.31) có nghiệm n va ac th si 31 Để thiết lập tồn nghiệm (2.31) giả thiết ánh xạ chi phí G có tính chất P-ánh xạ Giả sử hàm p(σ ) khơng tăng hàm doanh thu µ(σ ) = σ p(σ ) lõm với σ > Chú ý, giả thiết phù hợp với hoạt động kinh tế thông thường Bổ đề 2.3.3 Ta ln có đẳng thức detAk (q) = [−(k − 1)p0 (σq ) − µ 00 (σq )](−p0 (σq ))k−1 Chứng minh Giả sử ánh xạ chi phí G (2.31) viết lại sau: lu  β + α1 α1 α1   α β + α2 α2  ∇G(q) =    αn αn αn an n va α1 α2 β + αn       (2.33) ie gh tn to  p β biểu thị −p0 (σq ) αi biểu thị −p0 (σq ) − qi p00 (σq ) Chúng nhắc nl w lại p(σ ) khơng tăng µ(σ ) = σ p(σ ) lõm với σ ≥ nên d oa p0 (σ ) ≤ µ 00 (σ ) ≤ Theo định nghĩa: lu nf va an β + α1 α1 α1