LUẬN văn THẠC sĩ HAY bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng kinh tế

đại học tháI nguyên Tr-ờng đại học khoa học NGễ THY LINH Bất đẳng thức biến phân toán cân kinh tế luận văn thạc sĩ toán học tháI nguyên 2016 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com đại học tháI nguyên Tr-ờng đại học khoa học Ngô thùy linh Bất đẳng thức biến phân toán cân kinh tế Chuyên ngành: Toán ứng dụng MÃ số: 60 46 01 12 luận văn thạc sÜ to¸n häc Ng-êi h-íng dÉn khoa häc: GS.TS Ngun B-ờng TS Nguyễn Thị Thu Thủy tháI nguyên 2016 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mục lục Lời cảm ơn Bảng ký hiệu Lời nói đầu Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp không gian Banach 1.1 Không gian Banach 1.1.1 Không gian Banach phản xạ, lồi chặt trơn 1.1.2 Ánh xạ đơn điệu không gian Banach Bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp 1.2.1 Phát biểu toán 1.2.2 Sự tồn tính chất tập nghiệm bất đẳng 1.2 thức biến phân hỗn hợp 1.2.3 1.3 Một số trường hợp đặc biệt bất đẳng thức biến phân hỗn hợp 12 Một số phương pháp xấp xỉ nghiệm 13 1.3.1 Phương pháp điểm gần kề 14 1.3.2 Phương pháp hiệu chỉnh lặp 15 1.3.3 Phương pháp nguyên lý toán phụ 15 Bất đẳng thức biến phân toán cân kinh tế 2.1 11 16 Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp không gian hữu hạn chiều 16 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 2.2 2.3 2.1.1 Bài toán 16 2.1.2 Định nghĩa số tính chất ma trận 18 2.1.3 Sự tồn nghiệm 20 Bất đẳng thức biến phân mơ hình cân cạnh tranh 24 2.2.1 Cân Walrasian (cân cạnh tranh) 24 2.2.2 Áp dụng cho mơ hình cân cạnh tranh 27 Bất đẳng thức biến phân mơ hình cân độc quyền 28 2.3.1 Cân độc quyền 28 2.3.2 Áp dụng cho mơ hình cân độc quyền 30 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Lời cảm ơn Luận văn thực Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn GS.TS Nguyễn Bường, TS Nguyễn Thị Thu Thủy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, giảng viên tham gia giảng dạy cao học Toán trường Đại học Khoa học tạo điều kiện tốt để tác giả học tập nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Tốn K8A (khóa 2014–2016) ln động viên giúp đỡ tác giả nhiều trình học tập, nghiên cứu Xin cảm ơn tập thể quan ban ngành tạo điều kiện giúp đỡ trình học tập thu thập tài liệu nghiên cứu Đặc biệt, xin cảm ơn bạn bè đồng nghiệp gia đình chia sẻ, giúp đỡ động viên tơi suốt q trình học tập hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2016 Tác giả Ngô Thùy Linh LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bảng ký hiệu Trong toàn luận văn này, ta dùng ký hiệu với ý nghĩa xác định bảng đây: R tập số thực H không gian Hilbert thực X không gian Banach X∗ không gian đối ngẫu X C tập đóng lồi H A tốn tử đơn điệu không gian Hilbert dom(A) miền hữu hiệu toán tử A Fix(S) tập điểm bất động ánh xạ S PC (x) phép chiếu trực giao điểm x tập C tích vơ hướng hai vectơ x y x, y δC (.) hàm C chuẩn vectơ x x xn → x xn hội tụ mạnh đến x xn xn hội tụ yếu đến x I x ánh xạ đơn vị LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Lời nói đầu Cho X không gian Banach thực phản xạ, X ∗ không gian liên hợp X, hai có chuẩn kí hiệu , A : X → X ∗ toán tử đơn điệu đơn trị ϕ : X → R ∪ {+∞} phiếm hàm lồi thường nửa liên tục Với f ∈ X ∗ , tìm x0 ∈ X cho A(x0 ) − f , x − x0 + ϕ(x) − ϕ(x0 ) ≥ ∀x ∈ X, (1) x∗ , x ký hiệu giá trị phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗ ∈ X ∗ x ∈ X Bài toán (1) gọi bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (mixed variational inequality), đơi cịn gọi bất đẳng thức biến phân loại hai (variational inequality of the second kind) Khi A đạo hàm Gâteaux phiếm hàm lồi thường, nửa liên tục F, f ≡ θ ∈ X ∗ , bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (1) tương đương với toán cực trị lồi không khả vi F(x) + ϕ(x) x∈X (2) Trường hợp riêng bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (1), ϕ hàm (indicator function) tập lồi đóng K X, toán bất đẳng thức biến phân cổ điển (classical variational inequality): tìm x0 ∈ K cho A(x0 ) − f , x − x0 ≥ ∀x ∈ K (3) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nếu K ≡ X tốn có dạng phương trình tốn tử A(x) = f (4) Mục đích đề tài luận văn giới thiệu bất đẳng thức biến phân hỗn hợp toán cân kinh tế không gian Banach không gian hữu hạn chiều Rn Nội dung đề tài luận văn trình bày hai chương Chương có tiêu đề "Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp khơng gian Banach" trình bày khái niệm khơng gian Banach, ánh xạ đơn điệu không gian Banach; giới thiệu toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp không gian Banach, tồn nghiệm số trường hợp đặc biệt bất đẳng thức biến phân hỗn hợp; phần cuối chương giới thiệu số phương pháp xấp xỉ nghiệm bất đẳng thức biến phân hỗn hợp phương pháp điểm gần kề, phương pháp hiệu chỉnh lặp, phương pháp nguyên lý toán phụ Chương với tiêu đề "Bất đẳng thức biến phân toán cân kinh tế" giới thiệu toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp không gian hữu hạn chiều áp dụng bất đẳng thức biến phân hỗn hợp cho mơ hình cân cạnh tranh mơ hình cân độc quyền kinh tế Nội dung luận văn viết sở tổng hợp kiến thức từ [1], [2], [3], [4] [6] LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp không gian Banach Chương giới thiệu toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp khơng gian Banach Nội dung chương trình bày mục Mục 1.1 nêu khái niệm không gian Banach phản xạ, lồi chặt, trơn ánh xạ đơn điệu khơng gian Banach Mục 1.2 trình bày khái niệm toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp, nêu tồn nghiệm số trường hợp đặc biệt bất đẳng thức biến phân hỗn hợp Mục 1.3 giới thiệu số phương pháp giải bất đẳng thức biến phân hỗn hợp Các kiến thức chương tổng hợp từ tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [4] [6] 1.1 1.1.1 Không gian Banach Không gian Banach phản xạ, lồi chặt trơn Cho X không gian tuyến tính định chuẩn Định nghĩa 1.1.1 Nếu khơng gian tuyến tính định chuẩn X khơng gian mêtric đầy đủ (với khoảng cách d (x, y) = x − y ) X gọi khơng gian Banach Cho X không gian Banach với không gian đối ngẫu X ∗ , tức LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com không gian phiếm hàm tuyến tính liên tục X Để đơn giản việc trình bày, chuẩn X X ∗ ký hiệu Ta viết x, x∗ thay cho x∗ (x) với x∗ ∈ X ∗ x ∈ X Ký hiệu 2X họ tập khác rỗng X Cho F ánh xạ với miền xác định D (F) miền giá trị R (F) Ký hiệu mặt cầu đơn vị X SX , SX = {x ∈ X : x = 1} Định nghĩa 1.1.2 Không gian Banach X gọi không gian phản xạ, với phần tử x∗∗ không gian liên hợp thứ hai X ∗∗ X, tồn phần tử x ∈ X cho x∗ (x) = x∗∗ (x∗ ) với x∗ ∈ X ∗ Định nghĩa 1.1.3 Không gian Banach X gọi lồi chặt với x, y ∈ X, x = y mà x = 1, y = ta có x+y < Chú ý 1.1.4 Định nghĩa 1.1.3 cịn phát biểu dạng tương đương sau: Không gian Banach X gọi lồi chặt với x, y ∈ SX thỏa mãn x+y = suy x = y với x, y ∈ SX x = y ta có tx + (1 − t) y < với t ∈ (0, 1) Để đo tính lồi khơng gian Banach X, người ta đưa vào khái niệm môđun lồi không gian Banach X: δX (ε) = inf − x+y : x ≤ 1, y ≤ 1, x − y ≥ ε Nhận xét 1.1.5 (1) Môđun lồi không gian Banach X hàm số xác định, liên tục tăng đoạn [0; 2] (2) Không gian Banach X lồi chặt δX (2) = LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 21 nghiệm; (ii) Nếu G P-ánh xạ chặt tốn bất đẳng thức biến phân (2.1) có nghiệm Giả thiết đặt lên ánh xạ G Mệnh đề 2.1.8 chặt toán cân kinh tế Chẳng hạn, ánh xạ G (2.20) (2.30) (trình bày mục sau) nói chung khơng cần tính P-ánh xạ chặt Sau điều kiện yếu cho tồn nghiệm toán (2.1) Ta xét trường hợp đơn giản với tập K bị chặn G thỏa mãn điều kiện (A1) Mệnh đề 2.1.9 Giả sử K tập bị chặn Khi tốn bất đẳng thức biến phân (2.1) có nghiệm Kết hợp kết với Mệnh đề 2.1.8(i) ta suy kết sau Hệ 2.1.10 Giả sử G P-ánh xạ K tập bị chặn Khi tốn bất đẳng thức biến phân (2.1) có nghiệm Tính nghiệm tốn (2.1) phụ thuộc vào tính chất G f Định lý 2.1.11 Giả sử G P0 -ánh xạ fi hàm lồi chặt với i = 1, , n Khi tốn bất đẳng thức biến phân (2.1) có nhiều nghiệm Kết hợp Định lý 2.1.11 Mệnh đề 2.1.9 ta nhận kết sau Hệ 2.1.12 Giả sử điều kiện Định lý 2.1.11 thỏa mãn, giả thiết thêm K tập bị chặn Khi tốn bất đẳng thức biến phân (2.1) có nghiệm Bây tồn nghiệm tập không bị chặn với điều kiện P0 -ánh xạ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 22 Định lý 2.1.13 Giả sử G P0 -ánh xạ fi hàm lồi mạnh với i = 1, , n Khi tốn bất đẳng thức biến phân (2.1) có nghiệm Ta nhận kết tồn nghiệm tốn (2.1) thay tính chất P-ánh xạ (chặt) ánh xạ giá G tính chất lồi tất hàm fi Với tập số L = {1, , l} ta viết xL = (xi )i∈L Al (x) = ∇xl GL (x) Khi đó, An (x) = ∆G(x) Định lý 2.1.14 Cho G P0 -ánh xạ khả vi Giả sử với x ∈ K, ∇G(x) Z-ma trận tồn ε > cho Ak (x) − εIk P-ma trận với k cố định Giả thiết thêm fi , i = k + 1, , n hàm lồi mạnh Khi tốn bất đẳng thức biến phân (2.1) có nghiệm Chứng minh Đầu tiên ta ý ∇G(x) = Ak (x) Bk Bk Ck (2.9) Bk ma trận hình chữ nhật với k hàng n − k cột, Bk ma trận hình chữ nhật với n − k hàng k cột, Ck ma trận cỡ (n − k) × (n − k) Theo giả thiết tồn ε > cho Ak (x) − ε Ik M-ma trận Ta giả sử ε ≤ τ với τ số nhỏ ánh xạ đơn điệu mạnh ∂ fi (hoặc lồi mạnh fi ) Ta xét ánh xạ G˜ : V → Rn , định nghĩa sau: G˜ i (x) = Gi (x) ≤ i ≤ k; Gi (x) + ε”xi k < i ≤ n (2.10) Với < ε < ε rõ ràng định thức Jacobi ˜ ∇G(x) = Ak (x) Bk B”k Ck + ε”In−k (2.11) ˜ M-ma trận Hơn nữa, ∇G(x) = γIn M-ma trận với γ > cho LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 23 < γ < ε Theo định nghĩa G˜ P-ánh xạ chặt Tiếp theo ta xét hàm f˜i (xi ) = fi (xi ), ≤ i ≤ k; fi (xi ) − ε xi2 /2, k < i ≤ n (2.12) Từ fi (xi ) với i > k lồi mạnh với xi , xi gi ∈ ∂ fi (xi ), gi ∈ ∂ fi (xi ) Ta có (gi − gi )(xi − xi ) − ε (xi − xi )(xi − xi ) ≥ (τ − ε )(xi − xi )2 ≥ Thế ∂ fi − ε I1 khác rỗng đơn điệu với i > k, f˜i lồi với i = 1, , n Theo Mệnh đề 2.1.8(ii) phần ta tìm điểm x∗ thuộc K cho: ˜ ∗ ), x − x∗ + f˜(x) − f˜(x∗ ) ≥ 0, G(x ∀x ∈ K có nghiệm Hơn toán tương đương với bất đẳng thức biến phân (2.1) ta kết cần chứng minh Định lý 2.1.15 Cho G P0 -ánh xạ khả vi Giả sử với x ∈ K, ∇G(x) Z-ma trận Ak (x) P-ma trận với k cố định giả thiết thêm fi , i = k + 1, , n hàm lồi mạnh K tập bị chặn Khi tốn bất đẳng thức biến phân (2.1) có nghiệm Chú ý phát biểu Định lý 2.1.14 2.1.15 ta thay tập số {1, , k} với tập tùy ý {1, , n} Ta xét toán (2.1) với giả thiết (A1), (A2), (A3) thêm điều kiện G P0 -ánh xạ Khi đó, ta thay G ánh xạ sau: G˜ (ε) = G + εIn , ε > số nhỏ tùy ý Theo Bổ đề 2.1.7, G˜ (ε) P-ánh xạ chặt từ Mệnh đề 2.1.8(ii), toán bất đẳng thức biến phân với ánh xạ giá G˜ (ε) có nghiệm gần với nghiệm toán ban đầu LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 24 Bây giả sử toán (2.1) thỏa mãn điều kiện (A1), (A2) (A3), Jacobian ∇G M0 -ma trận fi , i = k + 1, , n hàm lồi mạnh với k cố định Khi ta thay G G(ε) định nghĩa sau: (ε) Gi (x) = Gi (x) + εxi , i≤k (ε) (2.13) Gi (x) = Gi (x) i > k, ε > tham số đủ bé Theo Định lý 2.1.14 tốn (2.1) với ánh xạ chi phí G(ε) có nghiệm gần với nghiệm toán ban đầu 2.2 Bất đẳng thức biến phân mơ hình cân cạnh tranh Cân khái niệm trung tâm phân tích kinh tế đại Khái niệm mơ tả tình mà nhà kinh tế không khẳng định xảy ra, nhà kinh tế sử dụng làm điểm qui chiếu để đặt sở cho tình cụ thể Như khái niệm yếu tố quan trọng phát triển lí thuyết khác nhau; đặc biệt điểm phân biệt lí thuyết với nằm khái niệm cân chúng chọn lựa 2.2.1 Cân Walrasian (cân cạnh tranh) Cân cạnh tranh mô tả trao đổi sản phẩm tiến hành kinh tế thị trường cạnh tranh hồn hảo ngự trị Những cung cầu tác nhân thể phụ thuộc vào giá Cân đạt giá ấn định mức đảm bảo cung cầu Có thể triển khai định nghĩa khuôn khổ cân phận, nghĩa xem xét thị trường sản phẩm đổi lấy tiền bạc Nhưng khái niệm lộ nghĩa ta xét cân chung tất thị trường Như thị trường thị LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 25 trường sản phẩm sản xuất tiêu dùng thị trường nhân tố sản xuất Các tác nhân nhà sản xuất – nghĩa doanh nghiệp – nhà tiêu dùng Cân định nghĩa tập giá số lượng trao đổi cho, với giá xem xét: (1) Các nhà sản xuất tối đa hóa lợi nhuận họ, ràng buộc công nghệ hàm sản xuất; (2) Những người tiêu dùng tối đa hóa lợi ích họ, ràng buộc ngân sách; (3) Cung cầu tất thị trường Được Walras đề xuất từ năm 1874, khái niệm cân chung cạnh tranh hồn hảo sau nhiều tác giả làm rõ trình bày hình thức hồn tồn chặt chẽ cơng trình K Arrow G Debreu, hai tác giả này, năm 1954, nêu rõ điều kiện xác đảm bảo tồn cân Ta xét mơ hình thị trường với cạnh tranh hồn hảo Các giao dịch mơ hình gồm n mặt hàng Khi ta đưa véc tơ giá p ∈ Rn+ , ta xác định giá trị E(p) ánh xạ vượt ánh xạ cầu E : Rn+ → ∏(Rn+ ) (nói chung đa trị) Thông thường véc tơ p∗ ∈ R gọi véctơ giá cân nghiệm toán bù sau p∗ ≥ 0, ∃q∗ ∈ E(p∗ ) : q∗ ≤ 0, p∗ , q∗ = 0, (2.14) tương đương với tốn bất đẳng thức biến phân: tìm p∗ ≥ cho ∃q∗ ∈ E(p∗ ), −q∗ , p − p∗ ≥ ∀p ≥ (2.15) Trước hết ta giả sử mức giá mặt hàng tham gia vào cấu trúc thị trường bị chặn số dương bị chặn Giá chấp nhận LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 26 được giả thiết bị ràng buộc sau: n K = ∏ Ki , Ki = t ∈ R | < τi ≤ t ≤ τ”i ≤ +∞ , i=1 (2.16) i = 1, , n Tiếp theo, ta biểu diễn ánh xạ vượt ánh xạ cầu sau: E(p) = D(p) − S(p), (2.17) D S ánh xạ cầu cung tương ứng Ta giả sử ánh xạ cầu đơn trị đặt G = −D Khi tốn tìm giá cân xây dựng sau: ∃s∗ ∈ S(p∗ ), G(p), p − p∗ + s∗ , p − p∗ ≥ 0, ∀p ∈ K (2.18) Ngoài ta giả thiết thêm nhà sản xuất sản xuất loại hàng hóa Sau để khơng tính tổng qt ta giả sử nhà sản xuất thứ j cung cấp mặt hàng thứ j với j = 1, , n Khi đó, ta đưa véc tơ giá p ∈ Rn+ ánh xạ cung cấp từ S(p) = ∏ni=1 Si (pi ) Tiếp theo ta thấy điều hiển nhiên ta giả thiết thêm Si đơn điệu không thiết đơn trị, với Si : R+ → ∏(R), i = 1, , n Trong thực tế giả sử chuẩn ánh xạ cung cấp chung: n ∃s∗i ∈ Si (p∗i ), i = 1, , n; (G(p∗ ), p − p∗ ) + ∑ s∗i (pi − p∗i ) ≥ 0, i=1 (2.19) ∀p ∈ K, LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 27 tương đương với: n (G(p∗ ), p − p∗ ) + ∑ [ fi (pi ) − fi (p∗i )] ≥ 0, ∀p ∈ K (2.20) ∀p ∈ K, (2.21) i=1 2.2.2 Áp dụng cho mơ hình cân cạnh tranh Xét tốn: tìm p∗ ∈ K cho ∗ ∗ n G(p ), p − p + ∑ [ fi (pi ) − fi (p∗i )] ≥ i=1 đây: n K = ∏ Ki , Ki = {t ∈ R | < τi < t < τi < +∞}, i=1 (2.22) i = 1, , n τ τ số chặn chặn với giá mặt hàng thứ i Ánh xạ D = −G ánh xạ nhu cầu, Si = ∂ f − i ánh xạ cung cấp mặt hàng thứ i giả thiết đơn điệu, hàm fi lồi, không thiết khả vi Đặt tập V = Rn+ giả sử G : V → Rn liên tục Suy ra, fi , i = 1, , n hàm liên tục V Do đó, toán thỏa mãn giả thiết (A1), (A2) (A3) Vì vậy, ta thiết lập kết tồn từ Mệnh đề 2.1.9 sau Mệnh đề 2.2.1 Nếu τi < +∞ với i = 1, , n tốn (2.21) có nghiệm Bây áp dụng Mệnh đề 2.2 ta suy ∇G(p) M0 -ma trận, G P0 -ánh xạ ta có khẳng định sau Bổ đề 2.2.2 Các khẳng định sau đúng: (i) G P0 -ánh xạ; LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 28 (ii) ∇G(p) M0 -ma trận với p ∈ V Mệnh đề 2.2.3 (i) Cho K tập bị chặn cho fi với i = 1, , n lồi chặt Khi tốn (2.21) có nghiệm (ii) Cho fi với i = 1, , n lồi mạnh Khi tốn (2.21) có nghiệm Mệnh đề 2.2.4 Giả sử tồn ε > cho với p ∈ K, An−1 (p) − εIn−1 M-ma trận fn hàm lồi mạnh Khi tốn (2.21) có nghiệm Mệnh đề 2.2.5 Giả sử K tập bị chặn với p ∈ K, An−1 (p) M-ma trận Giả thiết thêm fn hàm lồi mạnh Khi tốn (2.21) có nghiệm 2.3 2.3.1 Bất đẳng thức biến phân mơ hình cân độc quyền Cân độc quyền Bây ta xét mơ hình độc quyền nhóm mà cấu thị trường n doanh nghiệp cung cấp sản phẩm Đặt p(σ ) biểu thị hàm nhu cầu ngược, nghĩa mức người tiêu dùng mua số lượng σ Nếu công ty cung cấp đơn vị sản phẩm thứ qi , tổng sản phẩm thị trường xác định bởi: n σq = ∑ qi (2.23) i=1 Nếu ta định nghĩa qi tổng chi phí sản phẩm thứ qi cơng ty thứ i Khi lợi nhuận công ty thứ i xác định sau: ϕi (q) = qi p(σq ) − fi (qi ) (2.24) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 29 Thông thường mức sản lượng không âm qi ≥ 0, i = 1, , n Ngoài ra, ta giả sử bị giới hạn phía trên, tức tồn số βi ∈ (0, +∞) cho qi ≤ βi , i = 1, , n Để xác định giải pháp cấu thị trường sử dụng khái niệm cân Nash Định nghĩa 2.3.1 Một véc tơ chấp nhận mức sản lượng q∗ = (q∗1 , q∗2 , , q∗n ) cho công ty từ 1, , n gọi giải pháp cân Nash với điều kiện độc quyền thị trường cung cấp q∗ tối đa hóa hàm lợi nhuận ϕi công ty thứ i, công ty khác sản xuất với số lượng q∗j , j = i với i = 1, , n Cho q∗ = (q∗1 , q∗2 , , q∗n ) điểm cân Nash, q∗i nghiệm tối ưu toán: max −→ {qi p(qi + σi∗ ) − fi (qi )}, 0≤qi ≤βi (2.25) σi∗ = ∑nj=1, j=i q∗j với i = 1, , n Bài tốn chuyển đổi tương đương thành bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (2.1) hàm lợi nhuận ϕi lõm qi Giả thiết phối hợp với hoạt động kinh tế thơng thường chấp nhận tốn tối ưu hàm lõm Ngồi ta giả sử hàm giá p(σ ) khả vi liên tục Theo giả thiết trên, ta xác định ánh xạ: F : Rn+ → ∏(Rn ) bởi: F(q) = (∂q1 [−ϕ1 (q)], , ∂qn [−ϕn (q)]), (2.26) Fi (q) = ∂qi [−ϕi (q)] = Gi (q) + ∂ fi (qi ) (2.27) Gi (q) = −p(σq ) − qi p (σq ), i = 1, , n Tiếp theo, ta đặt: n K = ∏ Ki , Ki = t ∈ R | ≤ t ≤ βi , i = 1, , n (2.28) i=1 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 30 Khi tốn tìm điểm cân Nash thị trường nhóm độc quyền viết lại sau: Tìm q∗ ∈ K cho ∃di∗ ∈ ∂ fi (q∗i ), i = 1, , n n (G(q ), q − q ) + ∑ di∗ (qi − q∗i ) ≥ 0, ∗ ∗ ∀q ∈ K; (2.29) i=1 tương đương với n (G(q ), q − q ) + ∑ [ fi (qi ) − fi (q∗i )] ≥ 0, ∗ ∗ ∀q ∈ K, (2.30) q ∈ K, (2.31) i=1 bất đẳng thức biến phân 2.3.2 Áp dụng cho mơ hình cân độc quyền Xét tốn: tìm q∗ ∈ K cho ∗ ∗ n (G(q ), q − q ) + ∑ [ fi (qi ) − fi (q∗i )] ≥ i=1 n K = ∏ Ki , K = {t ∈ R | ≤ t ≤ βi }, i = 1, , n; i=1 Gi (q) = −p(σq ) − qi p (σq ), i = 1, , n; (2.32) n σq = ∑ qi , i=1 đây, p hàm giá giả thiết khả vi liên tục, fi hàm chi phí mặt hàng thứ i, giả thiết hàm lồi không thiết khả vi Nếu ta đặt V = Rn+ , toán trùng với (2.1) thỏa mãn giả thiết (A1), (A2) (A3) Do ta suy tồn nghiệm từ Mệnh đề 2.1.9 Mệnh đề 2.3.2 Nếu βi < +∞ với i = 1, , n (2.31) có nghiệm LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 31 Để thiết lập tồn nghiệm (2.31) giả thiết ánh xạ chi phí G có tính chất P-ánh xạ Giả sử hàm p(σ ) không tăng hàm doanh thu µ(σ ) = σ p(σ ) lõm với σ > Chú ý, giả thiết phù hợp với hoạt động kinh tế thông thường Bổ đề 2.3.3 Ta ln có đẳng thức detAk (q) = [−(k − 1)p (σq ) − µ (σq )](−p (σq ))k−1 Chứng minh Giả sử ánh xạ chi phí G (2.31) viết lại sau:  β + α1 α1 α1   α β + α2 α2  ∇G(q) =    αn αn αn  α1 α2 β + αn       (2.33) β biểu thị −p (σq ) αi biểu thị −p (σq ) − qi p (σq ) Chúng nhắc lại p(σ ) khơng tăng µ(σ ) = σ p(σ ) lõm với σ ≥ nên p (σ ) ≤ µ (σ ) ≤ Theo định nghĩa: β + α1 detAk (q) = α2 αk α1 α1 β + α2 α2 α2 α1 (2.34) αk β + αk αk Biến đổi ma trận ta được: β + ∑ki=1 αi 0 detAk (q) = k α2 β αk 0 β = β k−1 β + ∑ αi (2.35) i=1 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 32 Suy detAk (q) = (−p (σq ))k−1 [−(k + 1)p (σq ) − σq p (σq )] = (−p (σq ))k−1 [−(k − 1)p (σq ) − π (σq )] (2.36) Mệnh đề 2.3.4 Các khẳng định sau đúng: (i) ∇G(q) P0 -ma trận với q ∈ V ; (ii) Cho p (σ ) < hai điều kiện µ (σ ) < p (σ ) ≤ với σ ≥ Khi ∇G(q) P-ma trận với q ∈ V Chứng minh Vì p (σ ≤ 0) µ (σ ) ≤ nên từ Bổ đề 2.3.3 phần tử ma trận G(p) khơng âm Do đó, điều kiện (i) Tiếp theo, từ Bổ đề 2.3.3 phần tử ma trận Từ suy G(p) dương với giả thiết (ii) G(p) P-ma trận Mệnh đề 2.3.5 (i) Cho βi < +∞ cho fi hàm lồi chặt với i = 1, , n Khi tốn (2.31) có nghiệm (ii) Cho fi hàm lồi mạnh với i = 1, , n Khi tốn (2.31) có nghiệm Chứng minh Từ Mệnh đề 2.3.4(i), G P0 -ma trận Do đó, khẳng định (i) (ii) suy trực tiếp từ Hệ 2.1.12 Định lý 2.1.13 Mệnh đề 2.3.6 Cho p (σ ) < hai điều kiện µ (σ ) < p (σ ) ≤ với σ ≥ Khi tốn (2.31) có nhiều nghiệm Bên cạnh βi < +∞ với i = 1, , n (2.31) có nghiệm Chứng minh Từ Mệnh đề 2.3.4(ii), G P-ánh xạ Sử dụng Mệnh đề 2.1.8(i) suy khẳng định thứ mệnh đề Khẳng định thứ hai suy trực tiếp từ Mệnh đề 2.3.2 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 33 Mệnh đề 2.3.7 Giả sử tồn δ > cho −p (σ ) ≥ δ hai −µ (σ ) ≥ δ p (σ ≤ với σ ≥ Khi tốn (2.31) có nghiệm LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 34 Kết luận Luận văn trình bày lại có hệ thống bất đẳng thức biến phân hỗn hợp áp dụng cho toán cân kinh tế Cụ thể: (1) Trình bày khái niệm khơng gian Banach, ánh xạ đơn điệu số tính chất (2) Giới thiệu bất đẳng thức biến phân hỗn hợp không gian Banach, tồn nghiệm số trường hợp đặc biệt bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (3) Trình bày số phương pháp xấp xỉ nghiệm bất đẳng thức biến phân hỗn hợp phương pháp điểm gần kề, phương pháp hiêu chỉnh lặp phương pháp nguyên lý toán phụ (4) Giới thiệu bất đẳng thức biến phân hỗn hợp không gian Rn áp dụng cho toán cân kinh tế, mơ hình cân cạnh tranh mơ hình cân độc quyền Trong kết luận văn việc xây dựng điều kiện tồn nghiệm bất đẳng thức biến phân hỗn hợp không gian hữu hạn chiều áp dụng cho mơ hình tốn cân kinh tế Phương pháp bất đẳng thức biến phân phát triển từ tốn khơng gian hữu hạn chiều sang tốn khơng gian vơ hạn chiều ứng dụng cho toán thực tế vấn đề nghiên cứu đề tài LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 35 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Đỗ Văn Lưu Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [2] Lê Dũng Mưu Nguyễn Văn Hiền (2009), Nhập mơn giải tích lồi ứng dụng, NXB Khoa học Tự nhiên Công nghệ [3] Nguyễn Văn Quý, "Tiếp cận bất đẳng thức biến phân tối ưu hóa giải mơ hình cân thị trường độc quyền tập đoàn Nash–Cournot với hàm chi phí lõm", Tạp chí Ứng dụng Tốn học, tập IV (số 1), 1-23 [4] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [5] D Kinderlehrer and G Stampacchia (1980), An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications, Academic Press, New York [6] I.V Konnov and E.O Volotskaya (2002), "Mixed variational inequalities and economic equilibrium problems", J Appl Math., 26, 289–314 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... luanvanchat@agmail.com 16 Chương Bất đẳng thức biến phân toán cân kinh tế Chương trình bày mối quan hệ bất đẳng thức biến phân hỗn hợp toán cân kinh tế Mục 2.1 giới thiệu toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp không... nguyên lý toán phụ Chương với tiêu đề "Bất đẳng thức biến phân toán cân kinh tế" giới thiệu tốn bất đẳng thức biến phân hỗn hợp khơng gian hữu hạn chiều áp dụng bất đẳng thức biến phân hỗn hợp... giãn 1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp Bài toán bất đẳng thức biến phân không gian hữu hạn chiều nhà toán học người Italia Stampacchia [5] đồng đưa lần vào năm 1960 nghiên cứu toán biên