Bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng kinh tế

đại học tháI nguyên Tr-ờng đại học khoa học NGễ THY LINH Bất đẳng thức biến phân toán cân kinh tế luận văn thạc sĩ toán học tháI nguyên 2016 đại học tháI nguyên Tr-ờng đại học khoa học Ngô thùy linh Bất đẳng thức biến phân toán cân kinh tế Chuyên ngành: Toán ứng dụng MÃ số: 60 46 01 12 luận văn thạc sĩ toán học Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: GS.TS Nguyễn B-ờng TS Nguyễn Thị Thu Thủy tháI nguyªn – 2016 Mục lục Lời cảm ơn Bảng ký hiệu Lời nói đầu Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp không gian Banach 1.1 Không gian Banach 1.1.1 Không gian Banach phản xạ, lồi chặt trơn 1.1.2 Ánh xạ đơn điệu không gian Banach Bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp 1.2.1 Phát biểu toán 1.2.2 Sự tồn tính chất tập nghiệm bất đẳng 1.2 thức biến phân hỗn hợp 1.2.3 1.3 Một số trường hợp đặc biệt bất đẳng thức biến phân hỗn hợp 12 Một số phương pháp xấp xỉ nghiệm 13 1.3.1 Phương pháp điểm gần kề 14 1.3.2 Phương pháp hiệu chỉnh lặp 15 1.3.3 Phương pháp nguyên lý toán phụ 15 Bất đẳng thức biến phân toán cân kinh tế 2.1 11 16 Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp không gian hữu hạn chiều 16 2.2 2.3 2.1.1 Bài toán 16 2.1.2 Định nghĩa số tính chất ma trận 18 2.1.3 Sự tồn nghiệm 20 Bất đẳng thức biến phân mơ hình cân cạnh tranh 24 2.2.1 Cân Walrasian (cân cạnh tranh) 24 2.2.2 Áp dụng cho mô hình cân cạnh tranh 27 Bất đẳng thức biến phân mơ hình cân độc quyền 28 2.3.1 Cân độc quyền 28 2.3.2 Áp dụng cho mơ hình cân độc quyền 30 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 Lời cảm ơn Luận văn thực Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn GS.TS Nguyễn Bường, TS Nguyễn Thị Thu Thủy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, giảng viên tham gia giảng dạy cao học Toán trường Đại học Khoa học tạo điều kiện tốt để tác giả học tập nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Tốn K8A (khóa 2014–2016) ln động viên giúp đỡ tác giả nhiều trình học tập, nghiên cứu Xin cảm ơn tập thể quan ban ngành tạo điều kiện giúp đỡ trình học tập thu thập tài liệu nghiên cứu Đặc biệt, xin cảm ơn bạn bè đồng nghiệp gia đình chia sẻ, giúp đỡ động viên tơi suốt q trình học tập hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2016 Tác giả Ngô Thùy Linh Bảng ký hiệu Trong toàn luận văn này, ta dùng ký hiệu với ý nghĩa xác định bảng đây: R tập số thực H không gian Hilbert thực X không gian Banach X∗ không gian đối ngẫu X C tập đóng lồi H A tốn tử đơn điệu không gian Hilbert dom(A) miền hữu hiệu toán tử A Fix(S) tập điểm bất động ánh xạ S PC (x) phép chiếu trực giao điểm x tập C tích vơ hướng hai vectơ x y x, y δC (.) hàm C chuẩn vectơ x x xn → x xn hội tụ mạnh đến x xn xn hội tụ yếu đến x I x ánh xạ đơn vị Lời nói đầu Cho X khơng gian Banach thực phản xạ, X ∗ không gian liên hợp X, hai có chuẩn kí hiệu , A : X → X ∗ toán tử đơn điệu đơn trị ϕ : X → R ∪ {+∞} phiếm hàm lồi thường nửa liên tục Với f ∈ X ∗ , tìm x0 ∈ X cho A(x0 ) − f , x − x0 + ϕ(x) − ϕ(x0 ) ≥ ∀x ∈ X, (1) x∗ , x ký hiệu giá trị phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗ ∈ X ∗ x ∈ X Bài toán (1) gọi bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (mixed variational inequality), đơi cịn gọi bất đẳng thức biến phân loại hai (variational inequality of the second kind) Khi A đạo hàm Gâteaux phiếm hàm lồi thường, nửa liên tục F, f ≡ θ ∈ X ∗ , bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (1) tương đương với tốn cực trị lồi khơng khả vi F(x) + ϕ(x) x∈X (2) Trường hợp riêng bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (1), ϕ hàm (indicator function) tập lồi đóng K X, toán bất đẳng thức biến phân cổ điển (classical variational inequality): tìm x0 ∈ K cho A(x0 ) − f , x − x0 ≥ ∀x ∈ K (3) Nếu K ≡ X tốn có dạng phương trình tốn tử A(x) = f (4) Mục đích đề tài luận văn giới thiệu bất đẳng thức biến phân hỗn hợp tốn cân kinh tế khơng gian Banach không gian hữu hạn chiều Rn Nội dung đề tài luận văn trình bày hai chương Chương có tiêu đề "Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp khơng gian Banach" trình bày khái niệm không gian Banach, ánh xạ đơn điệu khơng gian Banach; giới thiệu tốn bất đẳng thức biến phân hỗn hợp không gian Banach, tồn nghiệm số trường hợp đặc biệt bất đẳng thức biến phân hỗn hợp; phần cuối chương giới thiệu số phương pháp xấp xỉ nghiệm bất đẳng thức biến phân hỗn hợp phương pháp điểm gần kề, phương pháp hiệu chỉnh lặp, phương pháp nguyên lý toán phụ Chương với tiêu đề "Bất đẳng thức biến phân toán cân kinh tế" giới thiệu toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp không gian hữu hạn chiều áp dụng bất đẳng thức biến phân hỗn hợp cho mơ hình cân cạnh tranh mơ hình cân độc quyền kinh tế Nội dung luận văn viết sở tổng hợp kiến thức từ [1], [2], [3], [4] [6] Chương Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp không gian Banach Chương giới thiệu tốn bất đẳng thức biến phân hỗn hợp khơng gian Banach Nội dung chương trình bày mục Mục 1.1 nêu khái niệm không gian Banach phản xạ, lồi chặt, trơn ánh xạ đơn điệu khơng gian Banach Mục 1.2 trình bày khái niệm toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp, nêu tồn nghiệm số trường hợp đặc biệt bất đẳng thức biến phân hỗn hợp Mục 1.3 giới thiệu số phương pháp giải bất đẳng thức biến phân hỗn hợp Các kiến thức chương tổng hợp từ tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [4] [6] 1.1 1.1.1 Không gian Banach Không gian Banach phản xạ, lồi chặt trơn Cho X khơng gian tuyến tính định chuẩn Định nghĩa 1.1.1 Nếu khơng gian tuyến tính định chuẩn X không gian mêtric đầy đủ (với khoảng cách d (x, y) = x − y ) X gọi khơng gian Banach Cho X không gian Banach với không gian đối ngẫu X ∗ , tức không gian phiếm hàm tuyến tính liên tục X Để đơn giản việc trình bày, chuẩn X X ∗ ký hiệu Ta viết x, x∗ thay cho x∗ (x) với x∗ ∈ X ∗ x ∈ X Ký hiệu 2X họ tập khác rỗng X Cho F ánh xạ với miền xác định D (F) miền giá trị R (F) Ký hiệu mặt cầu đơn vị X SX , SX = {x ∈ X : x = 1} Định nghĩa 1.1.2 Không gian Banach X gọi không gian phản xạ, với phần tử x∗∗ không gian liên hợp thứ hai X ∗∗ X, tồn phần tử x ∈ X cho x∗ (x) = x∗∗ (x∗ ) với x∗ ∈ X ∗ Định nghĩa 1.1.3 Không gian Banach X gọi lồi chặt với x, y ∈ X, x = y mà x = 1, y = ta có x+y < Chú ý 1.1.4 Định nghĩa 1.1.3 cịn phát biểu dạng tương đương sau: Không gian Banach X gọi lồi chặt với x, y ∈ SX thỏa mãn x+y = suy x = y với x, y ∈ SX x = y ta có tx + (1 − t) y < với t ∈ (0, 1) Để đo tính lồi khơng gian Banach X, người ta đưa vào khái niệm môđun lồi không gian Banach X: δX (ε) = inf − x+y : x ≤ 1, y ≤ 1, x − y ≥ ε Nhận xét 1.1.5 (1) Môđun lồi không gian Banach X hàm số xác định, liên tục tăng đoạn [0; 2] (2) Không gian Banach X lồi chặt δX (2) = 28 (ii) ∇G(p) M0 -ma trận với p ∈ V Mệnh đề 2.2.3 (i) Cho K tập bị chặn cho fi với i = 1, , n lồi chặt Khi tốn (2.21) có nghiệm (ii) Cho fi với i = 1, , n lồi mạnh Khi tốn (2.21) có nghiệm Mệnh đề 2.2.4 Giả sử tồn ε > cho với p ∈ K, An−1 (p) − εIn−1 M-ma trận fn hàm lồi mạnh Khi tốn (2.21) có nghiệm Mệnh đề 2.2.5 Giả sử K tập bị chặn với p ∈ K, An−1 (p) M-ma trận Giả thiết thêm fn hàm lồi mạnh Khi tốn (2.21) có nghiệm 2.3 2.3.1 Bất đẳng thức biến phân mơ hình cân độc quyền Cân độc quyền Bây ta xét mơ hình độc quyền nhóm mà cấu thị trường n doanh nghiệp cung cấp sản phẩm Đặt p(σ ) biểu thị hàm nhu cầu ngược, nghĩa mức người tiêu dùng mua số lượng σ Nếu công ty cung cấp đơn vị sản phẩm thứ qi , tổng sản phẩm thị trường xác định bởi: n σq = ∑ qi (2.23) i=1 Nếu ta định nghĩa qi tổng chi phí sản phẩm thứ qi cơng ty thứ i Khi lợi nhuận cơng ty thứ i xác định sau: ϕi (q) = qi p(σq ) − fi (qi ) (2.24) 29 Thông thường mức sản lượng không âm qi ≥ 0, i = 1, , n Ngoài ra, ta giả sử bị giới hạn phía trên, tức tồn số βi ∈ (0, +∞) cho qi ≤ βi , i = 1, , n Để xác định giải pháp cấu thị trường sử dụng khái niệm cân Nash Định nghĩa 2.3.1 Một véc tơ chấp nhận mức sản lượng q∗ = (q∗1 , q∗2 , , q∗n ) cho công ty từ 1, , n gọi giải pháp cân Nash với điều kiện độc quyền thị trường cung cấp q∗ tối đa hóa hàm lợi nhuận ϕi công ty thứ i, công ty khác sản xuất với số lượng q∗j , j = i với i = 1, , n Cho q∗ = (q∗1 , q∗2 , , q∗n ) điểm cân Nash, q∗i nghiệm tối ưu toán: max −→ {qi p(qi + σi∗ ) − fi (qi )}, 0≤qi ≤βi (2.25) σi∗ = ∑nj=1, j=i q∗j với i = 1, , n Bài tốn chuyển đổi tương đương thành bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (2.1) hàm lợi nhuận ϕi lõm qi Giả thiết phối hợp với hoạt động kinh tế thơng thường chấp nhận tốn tối ưu hàm lõm Ngồi ta giả sử hàm giá p(σ ) khả vi liên tục Theo giả thiết trên, ta xác định ánh xạ: F : Rn+ → ∏(Rn ) bởi: F(q) = (∂q1 [−ϕ1 (q)], , ∂qn [−ϕn (q)]), (2.26) Fi (q) = ∂qi [−ϕi (q)] = Gi (q) + ∂ fi (qi ) (2.27) Gi (q) = −p(σq ) − qi p (σq ), i = 1, , n Tiếp theo, ta đặt: n K = ∏ Ki , Ki = t ∈ R | ≤ t ≤ βi , i=1 i = 1, , n (2.28) 30 Khi tốn tìm điểm cân Nash thị trường nhóm độc quyền viết lại sau: Tìm q∗ ∈ K cho ∃di∗ ∈ ∂ fi (q∗i ), i = 1, , n n (G(q ), q − q ) + ∑ di∗ (qi − q∗i ) ≥ 0, ∗ ∗ ∀q ∈ K; (2.29) i=1 tương đương với n (G(q ), q − q ) + ∑ [ fi (qi ) − fi (q∗i )] ≥ 0, ∗ ∗ ∀q ∈ K, (2.30) q ∈ K, (2.31) i=1 bất đẳng thức biến phân 2.3.2 Áp dụng cho mơ hình cân độc quyền Xét tốn: tìm q∗ ∈ K cho ∗ ∗ n (G(q ), q − q ) + ∑ [ fi (qi ) − fi (q∗i )] ≥ i=1 n K = ∏ Ki , K = {t ∈ R | ≤ t ≤ βi }, i = 1, , n; i=1 Gi (q) = −p(σq ) − qi p (σq ), i = 1, , n; (2.32) n σq = ∑ qi , i=1 đây, p hàm giá giả thiết khả vi liên tục, fi hàm chi phí mặt hàng thứ i, giả thiết hàm lồi không thiết khả vi Nếu ta đặt V = Rn+ , toán trùng với (2.1) thỏa mãn giả thiết (A1), (A2) (A3) Do ta suy tồn nghiệm từ Mệnh đề 2.1.9 Mệnh đề 2.3.2 Nếu βi < +∞ với i = 1, , n (2.31) có nghiệm 31 Để thiết lập tồn nghiệm (2.31) giả thiết ánh xạ chi phí G có tính chất P-ánh xạ Giả sử hàm p(σ ) không tăng hàm doanh thu µ(σ ) = σ p(σ ) lõm với σ > Chú ý, giả thiết phù hợp với hoạt động kinh tế thơng thường Bổ đề 2.3.3 Ta ln có đẳng thức detAk (q) = [−(k − 1)p (σq ) − µ (σq )](−p (σq ))k−1 Chứng minh Giả sử ánh xạ chi phí G (2.31) viết lại sau:  β + α1 α1 α1   α β + α2 α2  ∇G(q) =    αn αn αn  α1 α2 β + αn       (2.33) β biểu thị −p (σq ) αi biểu thị −p (σq ) − qi p (σq ) Chúng nhắc lại p(σ ) không tăng µ(σ ) = σ p(σ ) lõm với σ ≥ nên p (σ ) ≤ µ (σ ) ≤ Theo định nghĩa: β + α1 detAk (q) = α2 αk α1 α1 β + α2 α2 α2 α1 (2.34) αk β + αk αk Biến đổi ma trận ta được: β + ∑ki=1 αi 0 detAk (q) = k α2 β αk 0 β = β k−1 β + ∑ αi i=1 (2.35) 32 Suy detAk (q) = (−p (σq ))k−1 [−(k + 1)p (σq ) − σq p (σq )] = (−p (σq ))k−1 [−(k − 1)p (σq ) − π (σq )] (2.36) Mệnh đề 2.3.4 Các khẳng định sau đúng: (i) ∇G(q) P0 -ma trận với q ∈ V ; (ii) Cho p (σ ) < hai điều kiện µ (σ ) < p (σ ) ≤ với σ ≥ Khi ∇G(q) P-ma trận với q ∈ V Chứng minh Vì p (σ ≤ 0) µ (σ ) ≤ nên từ Bổ đề 2.3.3 phần tử ma trận G(p) không âm Do đó, điều kiện (i) Tiếp theo, từ Bổ đề 2.3.3 phần tử ma trận Từ suy G(p) dương với giả thiết (ii) G(p) P-ma trận Mệnh đề 2.3.5 (i) Cho βi < +∞ cho fi hàm lồi chặt với i = 1, , n Khi tốn (2.31) có nghiệm (ii) Cho fi hàm lồi mạnh với i = 1, , n Khi tốn (2.31) có nghiệm Chứng minh Từ Mệnh đề 2.3.4(i), G P0 -ma trận Do đó, khẳng định (i) (ii) suy trực tiếp từ Hệ 2.1.12 Định lý 2.1.13 Mệnh đề 2.3.6 Cho p (σ ) < hai điều kiện µ (σ ) < p (σ ) ≤ với σ ≥ Khi tốn (2.31) có nhiều nghiệm Bên cạnh βi < +∞ với i = 1, , n (2.31) có nghiệm Chứng minh Từ Mệnh đề 2.3.4(ii), G P-ánh xạ Sử dụng Mệnh đề 2.1.8(i) suy khẳng định thứ mệnh đề Khẳng định thứ hai suy trực tiếp từ Mệnh đề 2.3.2 33 Mệnh đề 2.3.7 Giả sử tồn δ > cho −p (σ ) ≥ δ hai −µ (σ ) ≥ δ p (σ ≤ với σ ≥ Khi tốn (2.31) có nghiệm 34 Kết luận Luận văn trình bày lại có hệ thống bất đẳng thức biến phân hỗn hợp áp dụng cho toán cân kinh tế Cụ thể: (1) Trình bày khái niệm khơng gian Banach, ánh xạ đơn điệu số tính chất (2) Giới thiệu bất đẳng thức biến phân hỗn hợp không gian Banach, tồn nghiệm số trường hợp đặc biệt bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (3) Trình bày số phương pháp xấp xỉ nghiệm bất đẳng thức biến phân hỗn hợp phương pháp điểm gần kề, phương pháp hiêu chỉnh lặp phương pháp nguyên lý toán phụ (4) Giới thiệu bất đẳng thức biến phân hỗn hợp không gian Rn áp dụng cho toán cân kinh tế, mơ hình cân cạnh tranh mơ hình cân độc quyền Trong kết luận văn việc xây dựng điều kiện tồn nghiệm bất đẳng thức biến phân hỗn hợp không gian hữu hạn chiều áp dụng cho mơ hình tốn cân kinh tế Phương pháp bất đẳng thức biến phân phát triển từ tốn khơng gian hữu hạn chiều sang tốn khơng gian vơ hạn chiều ứng dụng cho toán thực tế vấn đề nghiên cứu đề tài 35 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Đỗ Văn Lưu Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [2] Lê Dũng Mưu Nguyễn Văn Hiền (2009), Nhập môn giải tích lồi ứng dụng, NXB Khoa học Tự nhiên Công nghệ [3] Nguyễn Văn Quý, "Tiếp cận bất đẳng thức biến phân tối ưu hóa giải mơ hình cân thị trường độc quyền tập đồn Nash–Cournot với hàm chi phí lõm", Tạp chí Ứng dụng Tốn học, tập IV (số 1), 1-23 [4] Hồng Tụy (2005), Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [5] D Kinderlehrer and G Stampacchia (1980), An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications, Academic Press, New York [6] I.V Konnov and E.O Volotskaya (2002), "Mixed variational inequalities and economic equilibrium problems", J Appl Math., 26, 289–314 ... nguyên lý toán phụ 15 Bất đẳng thức biến phân toán cân kinh tế 2.1 11 16 Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp không gian hữu hạn chiều 16 2.2 2.3 2.1.1 Bài toán ... thức biến phân hỗn hợp phương pháp điểm gần kề, phương pháp hiệu chỉnh lặp, phương pháp nguyên lý toán phụ Chương với tiêu đề "Bất đẳng thức biến phân toán cân kinh tế" giới thiệu toán bất đẳng thức. .. tốn bất đẳng thức biến phân hỗn hợp, nêu tồn nghiệm số trường hợp đặc biệt bất đẳng thức biến phân hỗn hợp Mục 1.3 giới thiệu số phương pháp giải bất đẳng thức biến phân hỗn hợp Các kiến thức