(Luận văn) bất đẳng thức dạng hermite hadamard cho hàm tiền lồi bất biến

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - LÊ KHÁNH VÂN lu an n va gh tn to BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG HERMITE–HADAMARD p ie CHO HÀM TIỀN LỒI BẤT BIẾN d oa nl w ll u nf va an lu oi m LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2019 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - LÊ KHÁNH VÂN lu an n va gh tn to BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG HERMITE–HADAMARD p ie CHO HÀM TIỀN LỒI BẤT BIẾN oa nl w Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp d Mã số: 46 01 13 va an lu ll u nf LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC z PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2019 n va ac th si Mục lục Mở đầu lu Bảng ký hiệu an n va p ie gh tn to Hàm tiền lồi bất biến số 1.1 Hàm s-lồi 1.1.1 Hàm lồi 1.1.2 Hàm s-lồi 1.2 Hàm tiền lồi bất biến 1.2.1 Hàm lồi bất biến 1.2.2 Hàm tiền lồi bất biến d oa nl w tính chất 4 8 an lu oi lm ul nf va Bất đẳng thức Hermite–Hadamard cho lớp hàm tiền lồi bất biến16 2.1 Bất đẳng thức Hermite–Hadamard cho hàm tiền lồi bất biến 16 2.1.1 Bất đẳng thức Hermite–Hadamard 16 2.1.2 Một vài ứng dụng 19 2.2 Bất đẳng thức Hermite–Hadamard cho lớp hàm s-tiền lồi bất biến 23 2.2.1 Bất đẳng thức Hermite–Hadamard cho lớp hàm s-tiền lồi bất biến 23 2.2.2 Một vài áp dụng 38 z at nh z 40 m co 41 an Lu Tài liệu tham khảo l gm @ Kết luận n va ac th si Bảng ký hiệu lu an n va không gian thực n chiều không gian ma trận cấp m × n R khơng gian hàm khả tích đoạn [a, b] khơng gian hàm khả tích bậc p đoạn [a, b] hàm Beta hàm Gamma gradient hàm f p ie gh tn to Rn Rm×n L[a, b] Lp [a, b] B Γ 5f d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Hàm lồi tập lồi nghiên cứu t lõu bi Hăolder, Jensen, Minkowski lu c bit vi cơng trình Fenchel, Moreau, Rockafellar vào thập an niên 1960 1970 đưa giải tích lồi trở thành lĩnh vực phát va triển tốn học Hai tính chất hàm lồi tính chất đạt giá n tn to trị lớn biên cực tiểu địa phương cực tiểu gh tập xác định giúp cho hàm lồi sử dụng rộng rãi toán học lý thuyết p ie ứng dụng Bên cạnh đó, số hàm khơng lồi theo nghĩa đầy đủ w chia sẻ vài tính chất hàm lồi, chẳng hạn lớp hàm tiền lồi oa nl bất biến (preinvex functions) d Một bất đẳng thức tiếng cho hàm f lồi [a, b] ⊂ R va an lu bất đẳng thức Hermite–Hadamard: Z b a + b f (a) + f (b) f ≤ f (x)dx ≤ b−a a (b − a)f a+b  ≤ Zb a z at nh  oi lm hay dạng tương đương: ul nf (1) f (x)dx ≤ (b − a) f (a) + f (b) (2) z gm @ Có nhiều nhà toán học nghiên cứu mở rộng bất đẳng thức Hermite– Hadamard (1) cho lớp hàm lồi khác đưa nhiều ứng dụng l m co chứng minh bất đẳng thức đại số, hình học, lượng giác khác Đây đề tài nhiều nhà toán học quan tâm Do đó, tơi chọn đề tài "Bất đẳng an Lu thức dạng Hermite–Hadamard cho hàm tiền lồi bất biến" để nghiên cứu cho va luận văn thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp tác giả n Mục tiêu đề tài luận văn tìm hiểu trình bày lại số bất đẳng ac th si thức xây dựng từ bất đẳng thức Hermite–Hadamard (1) cho hàm tiền lồi bất biến tài liệu [7] [8] công bố năm 2019 2017 Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương Hàm tiền lồi bất biến số tính chất Chương trình bày số kiến thức tập lồi, hàm lồi, tập lồi bất biến, hàm tiền lồi bất biến, mối liên hệ hàm tiền lồi bất biến với hàm lồi số tính chất hàm tiền lồi bất biến, đưa ví dụ hàm tiền lồi bất biến cách nhận biết hàm tiền lồi bất biến lu Chương Bất đẳng thức Hermite–Hadamard cho hàm tiền lồi bất an Chương trình bày số bất đẳng thức dạng Hermite–Hadamard n va biến to gh tn cho số lớp hàm tiền lồi bất biến, áp dụng để đánh giá số giá trị trung bình đặc biệt số hệ quy tắc ba điểm, quy tắc hình thang, quy ie p tắc Simpson nl w Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái oa Nguyên Trong trình học tập thực luận văn này, Trường Đại học d Khoa học tạo điều kiện tốt để tác giả học tập, nghiên cứu Tác lu va an giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy, khoa Tốn - Tin, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Đặc biệt, tác nf oi lm ul giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy - người trực tiếp giúp đỡ, hướng dẫn kiến thức, tài liệu phương pháp để tác z at nh giả hoàn thành đề tài nghiên cứu khoa học Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp động viên, cổ vũ, khích lệ giúp z đỡ thời gian qua @ gm Thái Nguyên, tháng 10 năm 2019 m co l Tác giả luận văn an Lu Lê Khánh Vân n va ac th si Chương Hàm tiền lồi bất biến số tính lu chất an n va gh tn to Chương trình bày số kiến thức hàm lồi, hàm s-lồi, tập lồi bất biến, hàm tiền lồi bất biến số tính chất hàm tiền lồi bất ie p biến Nội dung chương tổng hợp từ tài liệu [1]–[8] nl w Hàm s-lồi d oa 1.1 va an Hàm lồi lu 1.1.1 nf Cho hai điểm a, b ∈ Rn Tập tất điểm x = (1 − λ)a + λb với ≤ λ ≤ oi lm ul gọi đoạn thẳng (đóng) nối a b, ký hiệu [a, b] Định nghĩa 1.1.1 (xem [1]) Tập C ⊆ Rn gọi tập lồi với z at nh λ ∈ [0, 1] x1 , x2 ∈ C xλ := λx1 + (1 − λ)x2 ∈ C z Như vậy, tập lồi C chứa đoạn thẳng nối hai điểm m co l gm @ an Lu va Hình 1.1: Tập lồi Hình 1.2: Tập không lồi n ac th si Định nghĩa 1.1.2 (xem [1]) Cho C tập lồi khác rỗng không gian Rn , f : C → R hàm số thực xác định tập lồi C Hàm f gọi (i) hàm lồi C với x, y ∈ C số thực λ ∈ [0, 1], ta có f [λx + (1 − λ)y] ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) (1.1) (ii) lồi chặt C bất đẳng thức (1.1) chặt với x khác y , λ ∈ (0, 1) Nếu n = 1, Định nghĩa 1.1.2 cho ta định nghĩa hàm lồi biến R lu an Định nghĩa 1.1.3 (xem [1]) Hàm f : [a, b] ⊂ R → R gọi hàm lồi n va với x, y ∈ [a, b] λ ∈ [0, 1] to (1.2) gh tn f [λx + (1 − λ)y] ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) p ie Hàm f gọi hàm lõm hàm (−f ) lồi d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh Hình 1.3: Hàm lồi z gm @ Sau mối liên hệ hàm lồi tập lồi l m co Định lý 1.1.4 (xem [1]) Giả sử hàm f : Rn → R hàm lồi Rn λ ∈ R Khi  C λ := x : f (x) ≤ λ n va tập lồi an Lu  Cλ := x : f (x) < λ , ac th si Tập Cλ , C λ Định lý 1.1.4 gọi tập mức Định lý 1.1.5 (xem [1]) Cho C tập lồi, khác rỗng không gian Rn f : Rn → R hàm lồi Khi đó, điểm cực tiểu địa phương f C cực tiểu toàn cục Định lý 1.1.6 (xem [1]) Một hàm lồi chặt f tập lồi C có nhiều điểm cực tiểu C Ví dụ 1.1.7 Hàm lồi chặt biến f (x) = x2 , x ∈ R, có điểm lu cực tiểu x0 = Hàm lồi chặt f (x) = ex , x ∈ R, khơng có điểm cực tiểu an n va Sau mối liên hệ hàm lồi n biến hàm lồi biến to Định lý 1.1.8 (xem [1]) Hàm f (x), x ∈ Rn hàm lồi hàm ie gh tn biến ϕ(λ) := f (x + λd) hàm lồi theo λ với x, d ∈ Rn p Chứng minh Điều kiện cần rõ ràng Ta chứng minh điều kiện đủ Giả sử w ϕ hàm lồi với x, d ∈ Rn Lấy x, y thuộc Rn đặt d = x − y d oa nl Khi với λ ∈ [0, 1] ta có     f (1 − λ)x + λy = f (x + λd) = ϕ(λ) = ϕ (1 − λ).0 + λ.1 an lu ≤ (1 − λ)ϕ(0) + λϕ(1) = (1 − λ)f (x) + λf (y) nf va oi lm ul  Ví dụ 1.1.9 Các hàm sau hàm lồi (một biến): z at nh (i) hàm afin: ax + b R với a, b ∈ R, z (ii) hàm mũ eax R với a ∈ R @ i=1 1≤i≤n an Lu với x = (x1 , , x2 ) ∈ Rn m co l gm Ví dụ 1.1.10 (i) Mọi hàm chuẩn hàm lồi Rn , ! p1 n X kxkp = |xi |p với p ≥ kxk∞ = max |xi |, va n (ii) Cho C ⊆ Rn tập lồi khác rỗng, hàm sau hàm lồi Rn : ac th si ( (a) Hàm C : δC (x) = 0, x ∈ C, +∞, x ∈ / C (b) Hàm khoảng cách từ điểm x ∈ Rn đến C : dC (x) = inf kx − yk y∈C (iii) Hàm xác định hàm lồi Rm×n với A = (aij )m×n X = (xij )m×n , b ∈ R f (X) = m X n X aij xij + b i=1 j=1 lu Hàm s-lồi an 1.1.2 va n Trong mục ta sử dụng ký hiệu R+ = [0, +∞) to gh tn Định nghĩa 1.1.11 (xem [5]) Hàm f : R+ → R gọi p ie (i) hàm s-lồi loại (1.3) nl w f (αx + βy) ≤ αs f (x) + β s f (y) d oa với x, y ∈ R+ α, β ≥ với αs + β s = 1, s ∈ (0, 1]; an lu (ii) hàm s-lồi loại hai bất đẳng thức (1.3) thỏa mãn với x, y ∈ R+ , nf va α, β ≥ với α + β = 1, s ∈ (0, 1] oi lm ul Nhận xét 1.1.12 Dễ thấy s = hàm s-lồi (loại một, loại hai) trở thành hàm lồi biến thông thường xác định [0, +∞) z at nh Ví dụ 1.1.13 Cho s ∈ (0, 1) a, b, c ∈ R Ta định nghĩa hàm f từ [0, +∞) vào R sau: z @ x = 0, gm  a, f (x) = bxs + c, x > (ii) Nếu b ≥ ≤ c ≤ a f hàm s-lồi loại hai n va Chứng minh (i) Ta xét hai trường hợp sau đây: an Lu (i) Nếu b ≥ 0, c ≤ a f hàm s-lồi loại m co l Khi đó, ac th si b−a (p + 1) p z at nh a z a @ m co l gm Chứng minh Sử dụng bất đẳng thc Hăolder vi p > v q > thỏa mãn 1 + = 1, ta có p q  Z b a + b x − f (x)dx b − a a p  p1    1q Z b Z b a + b