(Luận văn) về các bất đẳng thức kiểu hadamard cho hàm r lồi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC CÙ THỊ NGỌC MAI lu an n va VỀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC KIỂU HADAMARD p ie gh tn to CHO HÀM r-LỒI d oa nl w LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu Thái Nguyên - 2015 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC CÙ THỊ NGỌC MAI VỀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC KIỂU HADAMARD CHO HÀM r-LỒI lu an n va tn to Chuyên ngành: Toán ứng dụng 60 46 01 12 p ie gh Mã số: w d oa nl LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC nf va an lu lm ul NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC z at nh oi PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG z m co l gm @ an Lu n va Thái Nguyên - 2015 ac th si i Mục lục lu Lời cảm ơn ii Danh sách ký hiệu số bất đẳng thức quan trọng iii an Các bất đẳng thức kiểu Hermite-Hadamard cho hàm r -lồi 1.1 Bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho hàm r -lồi Một số bất đẳng thức khác 12 ie gh tn to p n va Mở đầu d oa Một số mở rộng bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho họ 26 nf va hàm r-lồi an lu Bất đẳng thức Fejer cho hàm r-lồi r-lồi suy rộng 19 nl 1.3 w 1.2 Bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho họ hàm r-lồi 26 2.2 Bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho lớp hàm (h, r)-lồi 33 2.3 Bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho lớp hàm r-lồi hai biến 2.4 Bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho lớp hàm ϕ − r−lồi 46 2.5 Bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho lớp hàm r-lồi hình học 51 z at nh oi lm ul 2.1 38 z 58 m co 59 an Lu Tài liệu tham khảo l gm @ Kết luận Đề nghị n va ac th si ii Lời cảm ơn Sau thời gian nghiên cứu đề tài, luận văn tơi đến hồn thành lu Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo PGS.TS Tạ Duy Phượng an tận tình bảo, hướng dẫn thời gian làm luận văn va n Tôi xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu thầy cô giáo gh tn to mơn Tốn ứng dụng nói riêng khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học p ie - Đại học Thái Ngun nói chung Tơi xin cảm ơn động viên, giúp đỡ gia đình, bạn bè dành cho tơi q trình nghiên cứu hoàn thành oa nl w luận văn d Tơi mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn để lu an luận văn hồn thiện nf va Tơi xin chân thành cảm ơn! z at nh oi lm ul Thái Nguyên, 2015 Cù Thị Ngọc Mai z Học viên Cao học Toán K7Y, @ m co l gm Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên an Lu n va ac th si iii Danh sách ký hiệu số bất đẳng thức quan trọng Một số kí hiệu sử dụng luận văn lu an va Lr (x, y) r-logarit trung bình mở rộng hai số dương x, y Fr (x, y) Logarit trung bình luân phiên suy rộng hai số dương n x, y Logarit trung bình hai số dương x, y Lớp hàm (h, r)-lồi khoảng I ⊂ R ie L(x, y) p gh tn to Trung bình Stolarsky hai số dương x, y E(x, y, r, s) oa Phần tập K d Ko Ánh xạ riêng cố định biến x nl fx w HR(h, r, I) lu nf va an Một số bất đẳng thức quan trọng Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân lm ul z at nh oi a+b √ ≥ ab, với a, b ≥ Bất đẳng thức Minkowski: Với số thực x1 , , xn , y1 , , yn ta có ≤ X n  p1 |xk |p k=1 + X n |yk |p m co Bất đẳng thức Young: Với số dương a, b, p, q thỏa mãn 1 + = ta có p q an Lu n va ap b q + ≥ ab p q  p1 k=1 l gm @ k=1 |xk + yk |p  p1 z X n ac th si Bất đẳng thức Jensen: Nếu f hàm lồi khoảng K ⊂ R, với n P x1 , , xn ∈ K ak = ta có k=1 f n X
ak x k ≤ n X ak f (xk ) k=1 k=1 Bất ng thc Hăolder: Trong khụng gian cỏc hm giỏ tr thực khả tích, với 1 p, q > + = ta có p q lu Z b Z b  p1  Z b  1q 22 a+b  a + b − 2t f (a) + f (b) 2t − 2a a + b f( )+ w(t)dt = b−a b−a a Z f (a) + f (b) b ≤ w(t)dt a Z  Chú ý 1.3.2 Nếu f lồi [a, b] f g-lồi với g(x) = x Cho w(x) = với x ∈ [a, b] Theo Định lí 1.3.1 ta có b Z a+b Z f (t)dt ≤ G(t)dt   a+b f (a) + f (b) f (a) + f (b) b−a f( )+ ≤ (b − a) = 2 2 a a lu an n va hay to b Z a p ie gh tn b−a w Z a+b f (t)dt ≤ G(t)dt b−a a   a+b f (a) + f (b) f (a) + f (b) )+ ≤ = f( 2 2 oa nl Định lí 1.3.2 [6, pp 97-100] Cho f : [a, b] → R hàm khả tích g : d J → R, h : I → R hàm liên tục, đơn điệu ngặt với f ([a, b]) ⊂ J ⊂ I, lu nf va an M, N xác định với x ∈ [a, b]: z at nh oi lm ul   a + b − 2x 2x − 2a a+b M (x) = (h ◦ g ) (g ◦ f )(a) + (g ◦ f )( ) b−a b−a   a+b a + b − 2x −1 2x − 2a + (h ◦ g ) (g ◦ f )( )+ (g ◦ f )(b) , b−a b−a −1 z m co l gm @   b − x x − a N (x) = (h ◦ g −1 ) (g ◦ f )(a) + (g ◦ f )(b) b−a b−a   b−x −1 x − a + (h ◦ g ) (g ◦ f )(a) + (g ◦ f )(b) b−a b−a an Lu Cho f hàm g-lồi w : [a, b] → R hàm khả tích [a, b] với tích phân a+b dương đối xứng qua x = Giả sử h hàm tăng ngặt Khi n va ac th si 23 a) Nếu f hàm g-lồi h ◦ g −1 hàm lồi Z b Z a+b M (t)w(t)dt (h ◦ f )(t)w(t)dt ≤ a a a+b Z ≤ N (t)w(t)dt a (h ◦ f )(a) + (h ◦ f )(b) ≤ Z b w(t)dt a lu b) Nếu f hàm g-lồi h ◦ g −1 hàm lõm Z b Z a+b M (t)w(t)dt (h ◦ f )(t)w(t)dt ≤ a an a va Z a+b ≤ n N (t)w(t)dt a Z b  (g ◦ f )(a) + (g ◦ f )(b) w(t)dt ≤ (h ◦ g −1 ) a p ie gh tn to nl w Chứng minh oa a) Giả sử g hàm tăng ngặt d Từ f hàm g-lồi g ◦ f lồi h ◦ g −1 lồi tăng ngặt Sử dụng an lu nf va tính đối xứng w đổi biến: Z b (h ◦ f )(t)w(t)dt a+b b z at nh oi Z lm ul a Z (h ◦ f )(t)w(t)dt + = a Z (h ◦ f )(t)w(t)dt a+b a+b [(h ◦ f )(t) + (h ◦ f )(a + b − t)]w(t)dt z = Z a+b gm @ a m co l [(h ◦ g −1 )(g ◦ f )(t) + (h ◦ g −1 )(g ◦ f )(a + b − t)]w(t)dt a   Z a+b  a + b − 2t 2t − 2a a + b ≤ (g ◦ f )(a) + (g ◦ f )( ) (h ◦ g −1 ) b−a b−a a   2t − 2a a+b a + b − 2t −1 +(h ◦ g ) (g ◦ f )( )+ (g ◦ f )(b) w(t)dt b−a b−a = an Lu n va ac th si 24 a+b Z = M (t)w(t)dt   Z a+b  b−t t−a −1 (h ◦ g ) ≤ (g ◦ f )(a) + (g ◦ f )(b) b−a b−a a   b − t t − a (g ◦ f )(a) + (g ◦ f )(b) w(t)dt +(h ◦ g −1 ) b−a b−a Z a+b = N (t)w(t)dt a a a+b Z [(h ◦ f )(a) + (h ◦ f )(b)]w(t)dt a Z (h ◦ f )(a) + (h ◦ f )(b) b = w(t)dt a ≤ lu an va n Tiếp theo, giả sử g hàm giảm ngặt Từ f hàm g-lồi g ◦ f to gh tn hàm lõm h ◦ g −1 hàm lồi giảm ngặt, bất đẳng thức sau đúng: b Z (h ◦ f )(t)w(t)dt ≤ p ie Z Z a+b M (t)w(t)dt ≤ a N (t)w(t)dt a (h ◦ f )(a) + (h ◦ f )(b) ≤ Z b w(t)dt a d oa nl w a a+b lu nf va an b) Giả sử g hàm tăng ngặt Từ f hàm g-lồi h ◦ g −1 hàm lõm g ◦ f hàm lồi h ◦ g −1 hàm lõm tăng ngặt Sử dụng phương lm ul z at nh oi pháp tương tự phần (a) ta có Z b (h ◦ f )(t)w(t)dt a   Z a+b  a + b − 2t 2t − 2a a + b ≤ (h ◦ g −1 ) (g ◦ f )(a) + (g ◦ f )( ) b − a b − a a   2t − 2a a + b a + b − 2t +(h ◦ g −1 ) (g ◦ f )( )+ (g ◦ f )(b) w(t)dt b−a b−a Z a+b = M (t)w(t)dt a   Z a+b  b−t t−a −1 ≤ (h ◦ g ) (g ◦ f )(a) + (g ◦ f )(b) b−a b−a a z m co l gm @ an Lu n va ac th si 25   b−t t−a (g ◦ f )(a) + (g ◦ f )(b) w(t)dt +(h ◦ g ) b−a b−a Z a+b = N (t)w(t)dt a   Z a+b (g ◦ f )(a) + (g ◦ f (b) ≤ 2(h ◦ g −1 ) w(t)dt a  Z b −1 (g ◦ f )(a) + (g ◦ f (b) = (h ◦ g ) w(t)dt a −1 Tiếp theo, giả sử g hàm giảm ngặt, từ f hàm g-lồi h ◦ g −1 hàm lõm g ◦ f hàm lõm h ◦ g −1 hàm giảm ngặt Ta có lu an bất đẳng thức va b n Z Z a+b Z a+b M (t)w(t)dt ≤ N (t)w(t)dt a  Z b −1 (g ◦ f )(a) + (g ◦ f )(b) ≤ (h ◦ g ) w(t)dt a tn to (h ◦ f )(t)w(t)dt ≤ a a p ie gh oa nl w d Kết luận chương lu nf va an Chương trình bày khái niệm hàm lồi, hàm r-lồi, chứng minh bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho hàm lồi Nêu ý nghĩa hình học bất lm ul đẳng thức Hermite-Hadamard cho hàm lồi Đồng thời phát biểu chứng z at nh oi minh nhiều bất đẳng thức kiểu Hermite-Hadamard, kiểu Fejer cho hàm r-lồi z m co l gm @ an Lu n va ac th si 26 Chương Một số mở rộng bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho họ hàm r-lồi lu an 2.1 n va Bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho họ hàm r-lồi tn to gh Mục trình bày chứng minh bất đẳng thức kiểu Hermite-Hadamard p ie cho hai hàm r-lồi (r 6= 0) cho họ hàm r-lồi theo tài liệu [1], [7] oa nl w Định lí 2.1.1 [7, pp 1725-1726] Nếu f, g : [a, b] → R tương ứng hàm r-lồi s-lồi (r, s 6= 0) nhận giá trị dương bất đẳng thức sau thỏa d Z a b  2r r (f r (a) + f r (b)) r r+2   2s s + (g s (a) + g s (b)) s s+2 f (x) g (x) dx ≤  z at nh oi lm ul b−a nf va an lu mãn với < r, s ≤ 2: Chứng minh Do f hàm r-lồi g hàm s-lồi (r > 0, s > 0), ta có z 1 gm @ f (ta + (1 − t)b) ≤ (tf r (a) + (1 − t)f r (b)) r ; m co l g(ta + (1 − t)b) ≤ (tg s (a) + (1 − t)g s (b)) s , với t ∈ [0, 1] Z b Z 1 f (x) g (x) dx = f (ta + (1 − t) b) g (ta + (1 − t) b) dt b−a a Z 1 ≤ (tf r (a) + (1 − t) f r (b)) r (tg s (a) + (1 − t) g s (b)) s dt an Lu n va ac th si 27 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có Z 1 (tf r (a) + (1 − t) f r (b)) r (tg s (a) + (1 − t)g s (b)) s dt Z Z 2 1 r r ≤ (tf (a) + (1 − t) f (b)) r dt + (tg s (a) + (1 − t) g s (b)) s dt 2 Sử dụng bất đẳng thức Minkowski, ta có Z (tf r (a) + (1 − t)f r (b)) r dt  Z lu ≤
2r t f (a)dt + r Z an
2r (1 − t) f (b)dt r  2r n va   2r Z Z 2 = f r (a) t r dt + f r (b) (1 − t) r dt to tn   2r   2r r r r (f r (a) + f r (b)) r f r (a) + f r (b) = r+2 r+2 r+2 ie gh = p Tương tự ta có nl w Z s d oa (tg s (a) + (1 − t) g s (b)) dt ≤  s s+2  2s (g s (a) + g s (b)) s lu Z a b  2r r (f r (a) + f r (b)) r r+2   2s s + (g s (a) + g s (b)) s s+2 f (x) g (x) dx ≤  z at nh oi lm ul b−a nf va an Vì z Hệ 2.1.1 Trong Định lí 2.1.1, s = r = 2, ta có Z b  1 f (x)g(x)dx ≤ f (a) + f (b) + g (a) + g (b) b−a a co l gm @ m Hệ 2.1.2 Trong Định lí 2.1.1, s = r = f (x) = g(x), ta có Z b  1 f (x)dx ≤ f (a) + f (b) b−a a an Lu n va ac th si 28 Định lí 2.1.2 [7, p 1727] Nếu f, g : [a, b] → R tương ứng hàm r-lồi s-lồi (r, s 6= 0) nhận giá trị dương bất đẳng thức sau thỏa mãn với 1 r > + = 1: r s 1  1  r Z b f (a) + f r (b) r g s (a) + g s (b) s f (x) g (x) dx ≤ b−a a 2 Chứng minh Do f hàm r-lồi g hàm s-lồi (r > 0, s > 0), ta có f (ta + (1 − t)b) ≤ (tf r (a) + (1 − t)f r (b)) r ; lu an n va ie gh tn to g(ta + (1 − t)b) ≤ (tg s (a) + (1 − t)g s (b)) s , với t ∈ [0, 1] Z b f (x) g (x) dx b−a a Z = f (ta + (1 − t) b) g (ta + (1 − t) b) dt Z0 1 ≤ (tf r (a) + (1 − t) f r (b)) r (tg s (a) + (1 − t) g s (b)) s dt p oa nl w S dng bt ng thc Hăolder, ta cú Z 1 (tf r (a) + (1 − t) f r (b)) r (tg s (a) + (1 − t)g s (b)) s dt d nf va an ≤  1r Z  1s (tf r (a) + (1 − t) f r (b)) dt (tg s (a) + (1 − t) g s (b)) dt lu Z 0 = 0 r r f (a) + f (b)  1r  s s g (a) + g (b) z Do  1s z at nh oi  lm ul   1s  1r  Z Z Z Z g s (a) = f r (a) tdt + f r (b) (1 − t) dt tdt + g s (b) (1 − t) dt b  f (x) g (x) dx ≤  1r  g s (a) + g s (b)  1s l a f r (a) + f r (b) gm Z @ b−a m co Hệ 2.1.3 Trong Định lí 2.1.2, r = s = 2, ta có r b f (x)g(x)dx ≤ f (a) + f (b) r g (a) + g (b) n va a an Lu b−a Z ac th si 29 Hệ 2.1.4 Trong Định lí 2.1.2, s = r = f (x) = g(x), ta có Z b f (a) + f (b) f (x)dx ≤ b−a a Định lí 2.1.3 [1, pp 51-52] Cho fj : I → (0, ∞), j = 1, 2, , n hàm log-lồi a, b ∈ I với a < b Nếu fj (a) 6= fj (b), j = 1, 2, , n n2 b−a Z bY n fj (t)dt ≤ a j=1 n−1 n X X  (fj (a))n−1−i (fj (b))i L(fj (a), fj (b)) i=0 j=1 (2.1) lu Ở L(x, y) logarit trung bình (the logarithmic mean of positive num- an n va p ie gh tn to bers)) số dương xác định  x−y   , x 6= y, L(x, y) = ln x − ln y  x, x = y nl w Chứng minh Cho n > Do fj , j = 1, 2, , n hàm log-lồi, với d oa t ∈ [0, 1] ta có lu (2.2) nf va an fj (ta + (1 − t)b) ≤ (fj (a))t (fj (b))1−t , j = 1, 2, , n Z 1Y n z at nh oi Z bY n lm ul Dễ thấy fj (x)dx = (b − a) (2.3) fj (ta + (1 − t)b)dt j=1 a j=1 z Sử dụng bất đẳng thức (a1 , a2 , , an ≥ 0), co l n (a1 + an2 + + ann ) n gm @ a1 a2 an ≤ m Từ (2.2), (2.3) ta có  Z bY Z  n n b−a X fj (x)dx ≤ (fj (ta + (1 − t)b)n dt n a j=1 j=1 an Lu n va ac th si 30 b−a ≤ n Z 1X n b−a = n n X b−a = n2 j=1 n X  [(fj (a))t (fj (b))1−t ]n dt j=1 [fj (b)]n Z 1 [fj (b)]n Z fj (a) fj (b) tn fj (a) fj (b) z n j=1 n X dt dz [fj (a)]n − [fj (b)]n ln fj (a) − ln fj (b) j=1  n  n−1 b−aX X fj (a) − fj (b) n−1−i i (f (a)) (f (b)) = j j n2 j=1 i=0 ln fj (a) − ln fj (b)  n  n−1 b−aX X (fj (a))n−1−i (fj (b))i L(fj (a), fj (b)) = n j=1 i=0 = b−a n2 lu an n va tn to p ie gh Do ta Z bY n w n2 b−a fj (t)dt ≤ a j=1 n−1 n X X  (fj (a))n−1−i (fj (b))i L(fj (a), fj (b)) i=0 oa nl j=1 d Định lí 2.1.4 [1, pp 54-56) Cho fj : I → (0, ∞), j = 1, 2, , n hàm lu nf va an r-lồi [a, b] ⊂ I với a < b Nếu fj (a) 6= fj (b), j = 1, 2, , n z at nh oi lm ul  n r + (f (b))n+r − (f (a))n+r Q  j j  Fr (fj (a), fj (b)),   r+1 − (f (a))r+1  n + r (f (b)) j j j=1       r 6= −1, −n;    Z bY n  n P n F−1 ((fj (a))n , (fj (b))n ), r = −n; fj (t)dt ≤  b − a a j=1 j=1    n P  (fj (b))n−1 − (fj (a))n−1   F−1 (fj (a), fj (b)),   n − (ln ◦f )(b) − (ln ◦f )(a))  j j j=1     nếu r = −1, n > (2.4) z m co l gm @ an Lu Ở Fr (x, y) logarit trung bình luân phiên suy rộng (the alternative n va extended logarithmic mean of two positive numbers) hai số dương xác ac th si 31 định  r xr+1 − y r+1   , r 6= 0, −1, x 6= y;   r + xr − y r     x−y   , r = 0, x 6= y; ln x − ln y   Fr (x, y) = ln x − ln y    xy , r = −1, x 6= y;   x − y     x, x = y Chứng minh lu (1) Cho r 6= −1, −n Trường hợp r = ta thực Định lí an n va 2.1.3 tn to Giả sử r 6= 0, −1, −n Ta có p ie gh Z bY n Z 1Y n fj (t)dt = (b − a) b−a ≤ n d oa nl w a j=1 b−a n nf va an lu = b−a n j=1 n 1X  (fj (sb + (1 − s)a)n ds j=1 Z n X (fj (sb + (1 − s)a)n ds j=1 n Z X n [s(fj (b))r + (1 − s)(fj (b))r ] r ds j=1 n Z (fj (b))r X z at nh oi lm ul ≤ Z fj (sb + (1 − s)a)ds b−a = n j=1 (fj (a))r (fj (a))r n n+r tr r dt = t r (fj (b))r − (fj (a))r (fj (b))r − (fj (a))r n + r (fj (b))r co l (fj (a))n gm (fj (b))r @ Z z Biến đổi biểu thức cuối, ta n tr dt (fj (b))r − (fj (a))r m r + (fj (b))n+r − (fj (a))n+r r (fj (b))r+1 − (fj (a))r+1 = n + r (fj (b))r+1 − (fj (a))r+1 r + (fj (b))r − (fj (a))r an Lu n va ac th si 32 Do ta có bất đẳng thức: Z bY n fj (t)dt ≤ a j=1 r + (fj (b))n+r − (fj (a))n+r Fr (fj (a), fj (b)) n + r (fj (b))r+1 − (fj (a))r+1 (2) Cho r = −n Z bY n Z 1Y n fj (t)dt = (b − a) a j=1 b−a ≤ n lu an = n va b−a n gh tn to b−a ≤ n p ie b−a = n fj (sb + (1 − s)a)ds j=1 n 1X Z  (fj (sb + (1 − s)a) ds n j=1 Z n X (fj (sb + (1 − s)a)n ds j=1 n Z 1 X j=1 n Z X nl w j=1 s 1−s + (fj (b))n (fj (a))n (fj (b))n (fj (a))n −1 1 − (fj (b))n (fj (a))n ds dt t d oa n [(ln ◦(fjn )(a) − (ln ◦(fjn )(b)] nf va an lu b−aX (fj (a))n (fj (b))n = n j=1 (fj (b))n − (fj (a))n n (3) Cho r = −1, n > Ta có z at nh oi lm ul b−aX = F−1 ((fjn )(a), (fjn )(b)) n j=1 z  Z  n b X n (fj (t) dt fj (t)dt ≤ n a a j=1 j=1 Z n b−aX = (fj (sb + (1 − s)a)n ds n j=1 Z n fj (b) b−aX = t−n dt 1 n j=1 fj (a) − n n (fj (b)) (fj (a)) Z bY n m co l gm @ an Lu n va ac th si