Dãy truy hồi tuyến tính cấp hai

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– NGUYỄN THỊ THỦY DÃY TRUY HỒI TUYẾN TÍNH CẤP HAI LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THANH HĨA, 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– NGUYỄN THỊ THỦY DÃY TRUY HỒI TUYẾN TÍNH CẤP HAI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Lương THANH HÓA, 2022 Danh sách Hội đồng chấm thi luận văn thạc sĩ (Theo Quyết định số /QĐ-ĐHHĐ ngày tháng năm 2022 Hiệu trưởng Trường Đại học Hồng Đức) Học hàm, học vị, Họ tên Chức danh Cơ quan công tác hội đồng Chủ tịch HĐ UV Phản biện UV Phản biện Ủy viên Thư ký Xác nhận Người hướng dẫn Học viên chỉnh sửa theo ý kiến Hội đồng Ngày tháng năm 2022 TS Nguyễn Văn Lương LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn khơng trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu cơng bố Người cam đoan Nguyễn Thị Thủy i LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Trường đại học Hồng Đức hướng dẫn TS Nguyễn Văn Lương Tác giả xin cảm ơn bày tỏ kính trọng, lịng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Văn Lương, người tận tình hướng dẫn giúp đỡ em suốt trình nghiên cứu để em hồn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy cô giảng dạy lớp K13 cao học Phương pháp toán sơ cấp, trường Đại học Hồng Đức Tại tác giả nhận nhiều dẫn, góp ý quý báu môi trường thuận lợi để tác giả hồn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng quản lý đào tạo, Phòng quản lý sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa KHTN, Bộ mơn Giải tích PPGD Tốn khoa KHTN trường ĐH Hồng Đức tạo điều kiện tốt để tác giả hoàn thành thời hạn luận văn Xin cảm ơn bạn bè người thân ln động viên giúp đỡ Thanh Hóa, tháng 11 năm 2022 Nguyễn Thị Thủy ii MỤC LỤC Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Chữ viêt tắt ký hiệu iv Mở đầu Chương Dãy truy hồi tuyến tính cấp hai số toán sơ cấp 1.1 1.2 Dãy truy hồi tuyến tính cấp hai số tính chất Một số toán sơ cấp liên quan tới dãy truy hồi tuyến tính cấp hai 12 Chương Một số dãy truy hồi tuyến tính cấp hai đặc biệt 28 2.1 2.2 Dãy Fibonacci dãy Lucas 28 Một số hệ thức dãy Fibonacci dãy Lucas 29 2.3 Một số tính chất số học dãy số Fibonacci dãy số Lucas 44 Chương Dãy truy hồi tuyến tính cấp hai hợp số 51 3.1 3.2 Một số trường hợp đặc biệt 52 Trường hợp |b| ≥ 54 3.3 Dãy chia hết, hệ phủ trường hợp |b| = 59 Kết luận 65 Tài liệu tham khảo 66 iii CHỮ VIẾT TẮT, KÝ HIỆU N Tập hợp số tự nhiên R Tập hợp số thực Z Tập số nguyên Fp Lớp tương đương mô đun p a|b a chia hết b a∤b a b a không chia hết b a chia hết cho b ⌊x⌋ Phần nguyên số thực x gcd(a, b) Ước chung nhỏ a b iv MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Dãy số chủ đề tốn học quan trọng chương trình trung học phổ thông Nội dung dãy số sở để tiếp cận kiến thức giới hạn, liên tục, đạo hàm, tích phân, Các tốn dãy số thường xuyên xuất thi học sinh giỏi cấp Dãy số truy hồi tuyến tính cấp hai, tức dãy số cho dạng xn+2 = axn+1 + bxn với a b số thực, loại dãy số thường gặp có nhiều tính chất thú vị quan trọng Các dãy số thường gặp dạng dãy số Fibonacci xn+2 = xn+1 + xn với x1 = x2 = dãy Lucas xn+2 = xn+1 + xn với x1 = 1, x2 = Việc nghiên cứu tìm hiểu sâu tính chất dãy truy hồi tuyến tính cấp hai dạng tổng quát dạng đặc biệt nó, toán sơ cấp liên quan việc làm thú vị có ý nghĩa Vì vậy, chúng tơi lựa chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn "Dãy truy hồi tuyến tính cấp hai " Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu luận văn nghiên cứu tìm hiểu số tính chất dãy truy hồi tuyến tính cấp hai dạng tổng quát số dạng đặc biệt dãy Fibonacci, dãy Lucas, lựa chọn, hệ thống số toán sơ cấp liên quan tới dãy truy hồi tuyến tính cấp hai Đối tượng nghiên cứu Dãy truy hồi tuyến tính cấp hai số dạng đặc biệt Phạm vi nghiên cứu Các tính chất tốn sơ cấp có liên quan tới dãy truy hồi tuyến tính cấp hai Phương pháp nghiên cứu • Nghiên cứu, phân tích tài liệu • Tổng hợp hệ thống hóa kiến thức tập dãy truy hồi tuyến tính cấp hai Nội dung nghiên cứu • Nghiên cứu số tính chất tổng qt dãy truy hồi tuyến tính cấp hai • Nghiên cứu số tính chất số dãy truy hồi tuyến tính cấp hai đặc biệt dãy Fibonacci, dãy Lucas, • Nghiên cứu, giải số tốn sơ cấp có liên quan tới dãy truy hồi tuyến tính cấp hai Cấu trúc luận văn Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, nội dung luận văn gồm hai chương • Chương Dãy truy hồi tuyến tính cấp hai số toán sơ cấp Trong chương chúng tơi trình bày dãy truy hồi tuyến tính cấp hai tổng quát số tính chất dãy truy hồi tuyến tính cấp hai số toán sơ cấp liên quan tới dãy truy hồi tuyến tính cấp hai • Chương Một số dãy truy hồi tuyến tính cấp hai đặc biệt Trong chương chúng tơi trình bày số tính chất liên quan tới số dãy truy hồi tuyến tính cấp hai tiếng quan trọng dãy Fibonacci dãy Lucas • Chương Dãy truy hồi tuyến tính cấp hai hợp số Trong chương chúng tơi trình bày kết liên quan tới tính hợp số số hạng dãy truy hồi tuyến tính cấp hai Chương DÃY TRUY HỒI TUYẾN TÍNH CẤP HAI VÀ MỘT SỐ BÀI TỐN SƠ CẤP Trong chương chúng tơi trình bày dãy truy hồi tuyến tính cấp hai tổng quát số tính chất dãy truy hồi tuyến tính cấp hai số toán sơ cấp liên quan tới dãy truy hồi tuyến tính cấp hai Các kết lý thuyết tốn trình bày mục tham khảo từ nhiều tài liệu khác từ đề thi học sinh giỏi nước, khu vực trường, chẳng hạn [1] 1.1 Dãy truy hồi tuyến tính cấp hai số tính chất Định nghĩa 1.1.1 Dãy truy hồi tuyến tính cấp hai dãy số xác định xn+2 = axn+1 + bxn , n = 1, 2, · · · (1.1) a, b số Một dãy truy hồi tuyến tính cấp hai tiếng dãy Fibonacci: Dãy {Fn } xác định bởi: F1 = F2 = Fn+2 = Fn+1 + Fn , n = 1, 2, 3, · · · Một biến thể quan trọng dãy Fibonacci dãy Lucas: Dãy số xác định L1 = 1, L2 = Ln+2 = Ln+1 + Ln , n = 1, 2, 3, · · · Tiếp theo, chúng tơi trình bày cơng thức tính số hạng tổng quát dãy truy hồi tuyến tính cấp hai (1.1) Cơng thức truy hồi (1.1) viết dạng: xn+2 − axn+1 − bxn = (1.2) Khi đó, phương trình đặc trưng ứng với phương trình sai phân (1.2) là: λ2 − aλ − b = (1.3) = (−1)k (−1)k+2 β k(k+1)/2 Ak (an ) = (−1)k a1 (k)Ak (an ) a1 (k)akn