Dãy số truy hồi dạng phân thức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– NGUYỄN VĂN VƯƠNG DÃY SỐ TRUY HỒI DẠNG PHÂN THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THANH HĨA, NĂM 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– NGUYỄN VĂN VƯƠNG DÃY SỐ TRUY HỒI DẠNG PHÂN THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học: TS Đỗ Văn Lợi THANH HÓA, NĂM 2022 Danh sách Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ khoa học Theo Quyết định số 2818/QĐ-ĐHHĐ ngày 28 tháng 11 năm 2022 Hiệu trưởng Trường Đại học Hồng Đức Học hàm, học vị, Họ tên Chức danh Cơ quan cơng tác hội đồng TS Hồng Nam Trường ĐH Hồng Đức Chủ tịch HĐ TS Bùi Văn Bình Trường THPT Chuyên Lam Sơn UV Phản biện TS Nguyễn Văn Lương Trường ĐH Hồng Đức UV Phản biện PGS TS Nguyễn Hữu Hậu Trường ĐH Hồng Đức Ủy viên TS Mai Xuân Thảo Hội Toán học Việt Nam UV Thư ký Xác nhận Người hướng dẫn Học viên chỉnh sửa theo ý kiến Hội đồng Ngày 27 tháng 12 năm 2022 TS Đỗ Văn Lợi LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn khơng trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu công bố Người cam đoan Nguyễn Văn Vương i LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Trường Đại học Hồng Đức hướng dẫn TS Đỗ Văn Lợi Ngoài dẫn mặt khoa học, thầy động lực giúp tác giả tự tin say mê nghiên cứu Tác giả bày tỏ lịng biết ơn kính trọng thầy Tác giả bày tỏ lòng biết ơn đến Ban giám hiệu, phịng QLĐTSĐH, mơn Giải tích - PPGD Tốn, thầy cô giáo bạn học viên lớp K13 Phương pháp Toán sơ cấp tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập, nghiên cứu khoa học hoàn thành luận văn Tác giả bày tỏ lòng biết ơn đến Ban giám hiệu, tổ Tốn-Lý-Tin-Cơng nghệ trường THCS - THPT Quan Hóa - nơi tác giả công tác tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả q trình cơng tác giảng dạy để có thời gian hợp lý hồn thành khóa học luận văn thạc sĩ Thanh Hóa, tháng 12 năm 2022 Nguyễn Văn Vương ii MỤC LỤC Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Dãy số 3 1.2 1.3 Dãy số truy hồi tuyến tính 1.2.1 Dãy số truy hồi tuyến tính cấp 1.2.2 Dãy số truy hồi tuyến tính cấp hai 10 Sơ lược phương trình sai phân 11 1.3.1 1.3.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 11 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai 13 1.3.3 Hệ phương trình sai phân tuyến tính cấp 19 Chương Dãy số truy hồi dạng phân thức 2.1 21 Dãy số truy hồi phân tuyến tính 21 2.1.1 Phương pháp xét dãy phụ 21 2.1.2 2.1.3 2.2 6 Phương pháp sử dụng hệ phương trình sai phân 29 Phương pháp sử dụng tính chất hàm phân tuyến tính Một số dãy số truy hồi dạng phân thức khác x2n + b 2.2.1 Dãy số truy hồi phân thức dạng xn+1 = 2xn x2n−1 + c 2.2.2 Dãy số truy hồi phân thức cấp hai dạng xn = xn−2 2.2.3 Dãy số truy hồi phân thức cấp hai dạng xn+2 = b c a+ + xn+1 xn+1 xn 2.2.4 Một số dãy số truy hồi phân thức dạng khác 32 47 47 50 52 53 Kết luận 61 Tài liệu tham khảo 62 iii MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Các toán dãy số thường xuất nhiều kỳ thi học sinh giỏi bậc THPT olympic Toán học sinh viên Trong tốn đó, dãy số thường cho cơng thức truy hồi Do đó, địi hỏi phải có kỹ thuật xử lý để tìm cơng thức số hạng tổng quát (phương pháp phân tích tạo quy luật rút gọn, phương pháp sai phân, ) kỹ thuật đánh giá cần thiết để giải tốn Tuy nhiên, số kỹ thuật dãy truy hồi tuyến tính khơng áp dụng trực tiếp cho dãy số truy hồi dạng phân thức Vì vậy, việc nghiên cứu phân tích cách hệ thống tính chất đề xuất số phương pháp giải toán dãy số truy hồi dạng phân thức cần thiết chúng tơi chọn đề tài luận văn là: “Dãy số truy hồi dạng phân thức” Mục tiêu nghiên cứu Nghiên cứu tính chất phương pháp giải toán dãy số cho công thức truy hồi dạng phân thức Đối tượng, phạm vi nghiên cứu ˆ Dãy truy hồi phân tuyến tính ˆ Dãy truy hồi cấp cao dạng phân thức ˆ Phương pháp giải số toán liên quan đến dãy số cho công thức truy hồi dạng phân thức Nội dung nghiên cứu ˆ Tuyến tính hóa số dãy số truy hồi dạng phân thức đặc biệt ˆ Tính chất (hội tụ, bị chặn, tuần hoàn, ) số dãy số truy hồi có dạng phân thức mà khơng thể tuyến tính hóa Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp, hệ thống hóa lý thuyết phân tích đối sánh, đề xuất phương pháp giải dạng toán liên quan đến dãy số cho công thức truy hồi dạng phân thức Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung luận văn gồm hai chương ˆ Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày kiến thức sở dãy số sai phân ˆ Chương Dãy số truy hồi dạng phân thức: Trong chương chúng tơi phân tích, tổng hợp trình bày hệ thống phương pháp giải toán liên quan đến dãy số truy hồi dạng phân thức, là: phương pháp xét dãy phụ, phương pháp sai phân, phương pháp sử dụng hàm phân tuyến tính, phương pháp quy nạp, Bên cạnh luận văn xét đến số dãy số truy hồi phân tuyến tính dạng khác Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Dãy số Định nghĩa 1.1.1 ([3]) Một hàm số u xác định tập số nguyên dương N∗ gọi dãy số vô hạn (gọi tắt dãy số) Ký hiệu u : N∗ → R n 7→ u(n) Người ta thường viết dãy số dạng khai triển u1 , u2 , · · · , un , · · · un = u(n), gọi u1 số hạng đầu, un số hạng thứ n số hạng tổng quát dãy số Định nghĩa 1.1.2 ([3]) Mỗi hàm số u xác định tập M = {1, 2, 3, · · · , m} với m ∈ N∗ gọi dãy số hữu hạn Dạng khai triển u1 , u2 , u3 · · · , um , u1 số hạng đầu, um số hạng cuối Định nghĩa 1.1.3 ([3]) Dãy số (un ) gọi dãy số tăng ta có un+1 > un với n ∈ N∗ Dãy số (un ) gọi dãy số giảm ta có un+1 < un với n ∈ N∗ Định nghĩa 1.1.4 ([3]) Dãy số (un ) gọi bị chặn tồn số M cho un ≤ M, ∀ n ∈ N∗ Dãy số (un ) gọi bị chặn tồn số m cho un ≥ m, ∀ n ∈ N∗ Dãy số (un ) gọi bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn dưới, tức tồn số m, M cho m ≤ un ≤ M, ∀ n ∈ N∗ Định nghĩa 1.1.5 ([3]) Cấp số cộng dãy số (hữu hạn vô hạn), kể từ số hạng thứ hai, số hạng số hạng đứng trước cộng với số không đổi d Số d gọi công sai cấp số cộng Nếu (un ) cấp số cộng với cơng sai d ta có cơng thức truy hồi un+1 = un + d, ∀ n ∈ N∗ (1.1) Định lý 1.1.6 ([3]) Nếu cấp số cộng (un ) có số hạng đầu u1 cơng sai d số hạng tổng quát un xác định công thức un = u1 + (n − 1)d, ∀ n ≥ (1.2) Định lý 1.1.7 ([3]) Trong cấp số cộng, số hạng (trừ số hạng đầu cuối) trung bình cộng hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa uk = uk−1 + uk+1 , ∀ k ≥ 2 (1.3) Định lý 1.1.8 Cho cấp số cộng (un ) Đặt Sn = u1 + u2 + · · · + un Khi n(u1 + un ) n(n − 1) Sn = = nu1 + d (1.4) 2 Định nghĩa 1.1.9 ([3]) Cấp số nhân dãy số (hữu hạn vô hạn), kể từ số hạng thứ hai, số hạng tích số hạng đứng trước với số khơng đổi q Số q gọi công bội cấp số nhân Nếu (un ) cấp số nhân với công bội q , ta có cơng thức truy hồi un+1 = un · q, ∀ n ∈ N∗ (1.5) Định lý 1.1.10 ([3]) Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u1 cơng bội q số hạng tổng quát un xác định công thức un = u1 · q n−1 , ∀ n ≥ (1.6) Định lý 1.1.11 ([3]) Trong cấp số nhân, bình phương số hạng (trừ số hạng đầu cuối) tích hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa u2k = uk−1 · uk+1 , ∀ k ≥ (1.7) Ta có √ un + = (un−1 + vn−1 )2 = · · · = ( + 1)2n−1 √ un − = (un−1 − vn−1 )2 = · · · = ( − 1)2n−1 Do vậy:   1 √ 1 √ ( + 1)2n−1 + ( − 1)2n−1 = α2n−1 + 2n−1 un = 2 α     √ √ 1 2n−1 2n−1 2n−1 − ( − 1) = = ( + 1) α − 2n−1 2 α Với α = √ α2n−1 + + suy xn = 2n−1 Vậy lim xn = α −1 Bài toán 2.2.3 Cho dãy số {un } xác định   b un−1 + , b > u1 = a > 0, un = un−1 Tìm lim un Lời giải Từ giả thiết suy u2n−1 + b un = 2un−1 Ta tìm xn , yn thỏa mãn:  x 2 n+1 = xn−1 + bn−1  yn+1 = 2xn yn Ta có √ √ n = (a + b)2 byn+1 = xn + byn = · · · = x0 + by0   √ √ 2 √ 2 n √ n xn+1 − byn+1 = xn − byn = · · · = x0 − by0 = (a − b)2 xn+1 +  √ 2  Suy √ 2n √ n−1 √ n−1 xn (a + b)2 + (a − b)2 √ √ √ un = = b yn (a + b)2n−1 − (a − b)2n−1 √ √ Vì b > nên a + b > 1.Từ ta có lim un = b 48 Bài toán 2.2.4 Cho dãy số thực {xn }được xác định sau x1 = 1, xn+1 = xn + , ∀n ∈ N 2xn Chứng minh [25x625 ] = 625 ( kí hiệu [x] phần nguyên số thực x) Lời giải Ta chứng minh rằng: √ n⩽ nxn < n + Hn , ∀n ≥ với Hn = + 1 + ··· + n Ta nhận thấy x2n+1 = x2n + + 1, x21 = 4xn Bằng quy nạp ta chứng minh x2n ≥ n Với n = giả sử đến n Tức x2n ≥ n Từ suy x2n+1 ≥ n + + x2n = √ > n + ⇒ nxn ≥ n 4x2n n−1 n−1 X 1X1 1 + + = · · · = x1 + (n − 1) + ⩽n + 4xn−1 4x k k k=1 k=1  2 √ 1 < n + Hn < n + √ Hn ⇒ nxn ⩽n + Hn n x2n−1 Việc ta chứng minh H625 < Ta có bất đẳng thức Hn ⩽1 + ln n Thật vậy, xét hàm số   1 f (x) = ln (x + 1) − ln x − = ln + − với x > x+1 x x+1 1 Ta có f ′ (x) = − + < x (x + 1) (x + 1)2 Hàm số f (x) giảm khoảng(0; +∞) 49 Nên f (x) > 0, x > ta suy < ln (x + 1) − ln x x+1 Áp dụng 1+ 1 + ··· + < + ln − ln + ln − ln + · · · + ln 625 − ln 624 625 = + ln 625 < Từ √ 625⩽ 625x625 < 625 + H625 < 626 ⇒ [25x625 ] = 625 2.2.2 x2n−1 + c Dãy số truy hồi phân thức cấp hai dạng xn = xn−2 Bài tốn 2.2.5 Tìm cơng thức số hạng tổng qt dãy x2n−1 + , x1 = x2 = 1, n ≥ xn = xn−2 Lời giải Ta tìm công thức số hạng tổng quát dãy cho phương pháp tuyến tính hóa Cụ thể, ta tìm a1 , a2 cho xn = a1 xn−1 + a2 xn−2 (2.24) Tính tốn trực tiếp ta x22 + + x23 + + x3 = = = 3, x4 = = = 11 x1 x2 Thay vào (2.24) ta có    a =4  3=x =a x +a x =a +a 2 1 ⇒   11 = x4 = a1 x3 + a2 x2 = 3a1 + a2 a2 = −1 Từ suy xn − 4xn−1 + xn−2 = (2.25) Phương trình (2.25) phương trình sai phân tuyến tính cấp hai hệ số có phương trình đặc trưng λ2 − 4λ + = 50 Giải ta λ = ± √ Suy √ √ xn = A(2 + 3)n + B(2 − 3)n √ √ 3−5 3+5 Sử dụng điều kiện x − = x2 = ta A = A = 2 Kết luận, công thức số hạng tổng quát dãy số cho là: √ n √ √ ni 1h √ xn = ( − 5)(2 + 3) + ( + 5)(2 − 3) TỔNG QUÁT: Dãy truy hồi phân thức    xn = xn−1 + c xn−2   x1 = a, x2 = b tuyến tính hóa dạng b2 + c a+ a x xn = n−1 − xn−2 (với a, b ̸= 0) b Thật vậy, ta có   x2n−1 + c    xn =  x ·x n n−2 = xn−1 + c xn−2 ⇒ x2n−2 + c    xn−1 · xn−3 = x2n−2 + c  xn−1 = xn−3 Suy xn · xn−2 − xn−1 · xn−3 = x2n−1 − x2n−2 ⇒xn · xn−2 + x2n−2 = xn−1 · xn−3 + x2n−1 ⇒ (xn + xn−2 ) xn−2 = xn−1 (xn−1 + xn−3 ) xn−1 + xn−3 x3 + x1 xn + xn−2 ⇒ = = ··· = = xn−1 xn−2 x2 b2 + c +a a ⇒xn = · xn−1 − xn−2 b b2 +c a +a b Chú ý 2.2.6 Lưu ý rằng, phương pháp tuyến tính hóa phương pháp hữu dụng toán dãy số truy hồi nói chung dãy số truy hồi dạng phân thức nói riêng 51 2.2.3 b + Dãy số truy hồi phân thức cấp hai dạng xn+2 = a + xn+1 c xn+1 xn Ta xét dãy truy hồi dạng xn+2 = a + b xn+1 + c xn+1 xn (2.26) a, b c số Ta tìm cơng thức số hạng tổng qt dãy (2.26) phép yn+1 xn = yn Khi đó, thay vào (2.26) ta yn+3 yn+1 yn+1 yn =a+b· +c· · yn+2 yn+2 yn+2 yn+1 yn+1 yn =a+b· +c· yn+2 yn+2 Nhân hai vế đẳng thức với yn+2 ta phương trình sai phân cấp ba yn+3 = ayn+2 + byn+1 + cyn (2.27) Giải phương trình sai phân cấp ba (2.27) ta công thức số hạng tổng quát (yn ) Từ suy cơng thức số hạng tổng quát (xn ) Bài toán 2.2.7 Xét dãy số (xn ) cho x0 = 1, x1 = xn+2 = + xn+1 − 12 xn+1 xn (2.28) Tìm cơng thức số hạng tổng quát xn yn+1 Lời giải Ta đặt xn = Khi đó, từ giả thiết x0 = 1; x1 = công yn thức truy hồi (2.28) ta suy x2 = − y2 = 3y1 , y3 = −y2 yn+1 Thay xn = vào (2.28) rút gọn ta phương trình sai phân tuyến yn tính cấp ba hệ số yn+3 = yn+2 + 8yn+1 − 12yn Giải phương trình đặc trưng (2.29): λ3 − λ2 − 8λ + 12 = ⇒ λ1 = λ2 = 2, λ3 = −3 52 (2.29) Suy yn = (β1 + β2 n) · 2n + β3 (−3)n Cho n = 1, n = 2, n = ta có   22       β = y1   (β + β2 ) · + β3 (−3) = y1   25   1 2 ⇔ β2 = − y1 (β + 2β ) · + β (−3) = y = 3y         3    β3 = y1  (β1 + 3β2 ) · + β3 (−3) = y3 = −y1 75 Suy  yn = ⇒yn+1   22 − n · 2n + · (−3)n y1 25 75    22 n+1 n+1 − (n + 1) · + · (−3) y1 = 25 75 Do  xn = 2.2.4 yn+1 yn  22 − (n + 1) · 2n+1 + · (−3)n+1 25 75   = 22 − n · 2n + · (−3)n 25 75 (102 − 30n) · 2n + (−3)n+3 = (66 − 15n) · 2n + (−3)n+2 Một số dãy số truy hồi phân thức dạng khác Bài toán 2.2.8 (Olympic toán học sinh viên toàn quốc 2008) Dãy số (an ) xác định a1 = a2 = an+2 = an+1 + an ∀n ≥ Tính a2008 HƯỚNG DẪN Để đơn giản hóa cơng thức truy hồi, ta nghĩ tới việc quy đồng mẫu số vế để an+2 an+1 = an+1 an + Từ thấy an+1 an + dãy truy hồi tuyến tính cấp ta có lời giải sau 53 Lời giải Nhân hai vế công thức truy hồi với an+1 ta an+2 an+1 = an+1 an + với n ≥ Áp dụng liên tiếp n lần ta an+2 an+1 = an+1 an + = an an−1 + = · · · = a2 a1 + n = n + Do với n ≥ 1, an+2 = n+1 n+1 = an an+1 n Áp dụng liên tiếp công thức ta suy a2008 = 2007 2007 · 2005 2007 · 2005 · · · 2007!! a2006 = a2004 = · · · = a2 = 2006 2006 · 2004 2006 · 2004 · · · 2006!! Bài toán 2.2.9 (Olympic toán học sinh viên toàn quốc 2008) Cho hai dãy số (xn ) (yn ) xác định công thức q √ yn p x1 = y1 = 3, xn+1 = xn + + x2n , yn+1 = , n ≥ 1 + + yn2 Chứng minh xn yn ∈ (2, 3) với n ≥ limn→∞ yn = HƯỚNG DẪN Từ công thức lượng giác ta nghĩ tới việc đặt xn = cot an yn = tan bn Xem xét mối quan hệ (an ) (bn ) để tìm π π b = Từ ta trình bày lời giải cách an = n · 2n · 2n−1 ngắn gọn qui nạp sau: π Lời giải Bằng qui nạp ta chứng minh xn = cot yn = n · π tan với n ≥ Do · 2n−1 π tan π π π · 2n = xn yn = cot tan = cot π · 2n · 2n−1 · 2n − tan2 π − tan · 2n · 2n π π Vì < tan2 < tan = nên từ suy < xn yn < Ta · 2n có π lim yn = lim tan = tan = · 2n−1 54 Bài toán 2.2.10 ([5]) Cho dãy số (an )n≥1 thỏa mãn a1 =   n an+1 = an + , n ≥ an Tìm ⌊a2014 ⌋ Chứng minh Với n ≥ 1, sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có   √ n ≥ n, an+1 = an + an suy an+1   n ≤ an + √ n−1 Sử dụng phương pháp quy nạp ta chứng minh 2n an+1 ≤ a1 + 2n−1 bn + · · · + 2b3 + b2 , n Ta nhận thấy bn = √ n−1 bn+1 > bn ⇔ n2 > n + hay (bn )n≥2 dãy số đơn điệu tăng Hơn
+ 2n−1 + · · · + bn + (2n − 1) bn an+1 ≤ = < + bn 2n 2n 2n Từ ta suy √ n √ + 2n n−1 n ≤ an+1 ≤ Thay n = 2013 ta ⌊a2014 ⌋ = 44 Bài toán 2.2.11 Khảo sát hội tụ dãy {un } xác định   a2 u0 > 0, un+1 = un + , n ≥ (a > cố định) un Lời giải Rõ ràng un > 0, ∀n ∈ N Theo bất đẳng thức Cauchy   a2 un+1 = un + ≥ a > un Từ ta suy un+1 − un = a2 − u2n ≤ 2un 55 Vậy {un } dãy giảm Gọi λ giới hạn dãy, phải có   a2 λ= λ+ ≥a⇔λ=a λ Bài toán 2.2.12 Cho p nguyên dương, a > 0, a1 > Xác định dãy {an } sau:   a an+1 = (p − 1)an + p−1 , n ∈ N∗ p an Tìm lim an Lời giải Ta có an a −apn + a an+1 − an = − + p−1 = p pan pap−1 n Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy r √ a an+1 ≥ p anp−1 p−1 = p a an Vậy an+1 − an ≤ 0, n ≥ Suy dãy {an } giảm, bị chặn nên hội tụ đến λ Qua giới hạn ta 1 a  λ= (p − 1)λ + p−1 p λ √ Xảy dấu bất đẳng thức Cauchy nên λ = p a Bài toán 2.2.13 ([5]) Cho (an )n≥0 dãy số thực thỏa mãn a0 = an+1 = an n2 an + a2n + Tìm giới hạn lim n3 an Lời giải Ta có an+1 n2 an + a2n + 1 = = n2 + an + , ∀n ≥ an an an+1 ≤ 56 n2 theo tiêu chuẩn so sánh ta thấy ∞ P an = S ∈ R n=0 1 = 02 + a0 + a1 a0 1 = 12 + a1 + a2 a1 1 = (n − 1)2 + an−1 + an an−1 Lấy tổng vế đẳng thức ta n−1 (n − 1)n(2n − 1) X ak + = + an k=0 Vì ∞ P (2.30) an = S ∈ R nên n=0 n−1 P lim ak + k=0 n3 = lim S+1 = 0, n3 Do đó, kết hợp với (2.30) ta có n−1 P ak + 1 (n − 1)n(2n − 1) k=0 lim = lim + lim = n an 6n3 n3 Suy lim n3 an = Bài toán 2.2.14 ([5]) Cho dãy số (xn )n≥1 thỏa mãn x1 =   1 xn+1 = xn + n+1 xn √ Tìm lim nxn Lời giải Sử dụng phương pháp quy nạp, ta chứng minh 1 ≤ x2n ≤ , n n−1 n≥2 Thật vậy: ˆ Ta thấy (2.31) với n = x2 = 57 (2.31) ˆ Giả sử (2.31) với n ˆ Xét hàm số f (t) = t + , t t ∈ (0, 1) < 0, ∀t ∈ (0, 1) suy f hàm nghịch biến t2 (0, 1) Hơn nữa, (2.31) với n nên    
1 f ≤ f xn ≤ f n−1 n Ta có f ′ (t) = − Từ ta có f  n−1 (n +  +2 1)2 ≤ x2n+1

f n1 + f x2n + = ≤ , (n + 1)2 (n + 1)2 n−1 +n+1 n +n+1 ≤ xn+1 ≤ (n + 1)2 (n + 1)2 n2 (n + 1)2 1 ≤ · ≤ x2n+1 ≤ = ⇔ n+1 n −1 n+1 n(n + 1)2 n Như vậy, (2.31) với n + Theo nguyên lý quy nạp, ta có (2.31) Sử dụng (2.31) xn ≥ với n ta √ r n n−1 √ Lúc này, sử dụng nguyên lý kẹp, ta có lim nxn = 1 ≤ xn n ≤ Bài toán 2.2.15 ([5]) Cho dãy số (un )n≥1 thỏa mãn a1 = a2 = a2n−1 + an = , ∀n ≥ an−2 Chứng minh với n ≥ an số nguyên Lời giải Theo ta có a1 = a2 = an an−2 = a2n−1 + 2, ∀n ≥ Khi an ̸= an an−2 − a2n−1 = = an+1 an−1 − a2n , 58 n ≥ Từ đó, ta an+1 + an−1 an + an−2 a3 + a1 = = ··· = = an an−1 a2 Suy an = 4an−1 − an−2 , ∀n ≥ Do đó, với n ≥ an số nguyên Bài toán 2.2.16 ([5]) Cho (an )n≥0 (bn )n≥0 hai dãy số thỏa mãn a0 , b0 > an+1 = an + , 2bn bn+1 = bn + , 2an n ≥ Chứng minh max {a2017 , b2017 } > 44 Lời giải Trước hết, ta thấy f (an , bn ) := an = const bn Thật vậy, ta có an 2bn = f (an+1 , bn+1 ) = = f (an , bn ) bn bn + 2an an + Suy an a0 = f (an , bn ) = f (a0 , b0 ) = , bn b0 a0 b0 · , bn+1 = bn + · 2an b0 2bn a0 Do đó, sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta     a0 b a20 b20 2 2 an+1 + bn+1 = an + bn + + + · · + b a0 4a2n b20 4b2n a20 an+1 = an + ≥ a2n + b2n + Khi đó, ta có a2n+1 + b2n+1 ≥ 2(n + 1) + a20 + b20 > 2(n + 1) 59 suy p max {a2017 , b2017 } ≥ a22017 + b22017 √ √ > 2017 > 44.9 > 44 60 KẾT LUẬN Trong luận văn này, tác giả đã: ˆ Trình bày hệ thống, chi tiết phương pháp giải toán liên quan đến dãy số truy hồi dạng phân thức Đặc biêt, tốn tìm cơng thức số hạng tổng quát, tính chất định tính dãy số truy hồi phân tuyến tính với cơng cụ đại đại số tuyến tính nói chung tính chất ánh xạ phân tuyến tính nói riêng ˆ Đề xuất giải chi tiết toán minh họa cho phương pháp sử dụng luận văn Do thời gian hạn hẹp, số dãy số truy hồi phân thức dạng khác số ứng dụng dãy số truy hồi phân thức mơ hình sinh học, mơ hình kinh tế ứng dụng khác chưa đề cập luận văn, câu hỏi mở cần nghiên cứu tiép theo Luận văn tài liệu tham khảo bổ ích cho học viên, sinh viên ngành Tốn 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Võ Anh Dũng (2014), Tuyển tập 20 năm đề thi Olympic 30 tháng Toán 11, Nhà xuất ĐHQG Hà Nội [2] Lê Đình Định (2011), Bài tập phương trình sai phân, NXB Giáo Dục Việt Nam, Hà Nội [3] Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) (2019), Đại số Giải tích 11 nâng cao, NXB Giáo dục, Hà Nội [4] Vũ Tuấn (2011),Giáo trình Giải tích - Tập 1, NXB Giáo dục Việt Nam, Hà Nội Tiếng Anh [5] Andrica D., Bagdasa O.(2020), Recurrent Sequences: Key Results, Applications, and Problems, Springer Nature Switzerland AG 62