Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG TP HÀ NỘI NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: (5,0 điểm) a) Cho số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = 2018 1 2017 + + = b + c c + a a + b 2018 Tính giá trị biểu thức a b c P= + + b +c c +a a +b b) Tìm tất cặp số nguyên ( x, y) thỏa mãn phương trình x- y = 13 x + xy + y Câu 2: (5,0 điểm) a) Giải phương trình : x + x +1 = x x + ìï x + x + = y3 - 3y + y ï í ï x +2 = y +2 b) Giải hệ phương trình : ïỵ Câu 3: (3,0 điểm) a) Chứng minh khơng tồn số nguyên dương m, n, p với p nguyên tố thỏa mãn m 2019 + n2019 = p 2019 b) Cho x , y, z ³ thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= x y z + + y +16 z +16 x +16 Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với AB < AC < BC ,nội tiếp đường ( O) tròn Gọi H hình chiếu A lên BC , M trung điểm AC P điểm thay đổi đoạn MH ( P khác M P khác H ) · · a) Chứng minh BAO < HAC · b) Khi APB < 90° , chứng minh ba điểm B, O, P thẳng hàng c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMP đường tròn ngoại tiếp tam giác BHP cắt Q ( Q khác P ) Chứng minh đường thẳng PQ qua điểm cố định P thay đổi ( O) Câu 5: (1,0 điểm) Cho đa giác 2n đỉnh nội tiếp đường tròn Chia 2n đỉnh thành n cặp điểm, cặp điểm thành đoạn thẳng Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com (hai đoạn thẳng số n đoạn thẳng tạo khơng có đầu mút chung) a) Khi n = , cách chia cho bốn đoạn thẳng tạo khơng có hai đoạn có độ dài b) Khi n = 10 , chứng minh mười đoạn thẳng tạo tồn hai đoạn thẳng có độ dài ……………….HẾT…………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TP HÀ NỘI NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: (5,0 điểm) a) Từ giả thiết, ta có ỉ1 1 2017 ÷ P = ( a + b + c) ỗ + + ữ - ỗ 2018 - = 2014 ữ ữ ỗ ốb + c c + a a + b ø 2018 = 2 b) Điều kiện: x + xy + y ¹ Từ phương trình suy x - y ¹ Bây ta viết lại phương trình cho dạng 13( x - y) = ( x + xy + y ) 13( x - y) Từ đây, ta có hết cho (2) chia hết cho Mà (1) ( 14,7) = nên x - y chia 2 x - y) + ( x + y ) ³ ( x - y ) ( 4 Mặt khác, ta lại có x + xy + y = 13( x - y) ³ ( x - y) Do đó, kết hợp với (1), ta suy 52 00 ( ) Do nên từ phương trình ta suy x > Bây giờ, đặt a = x + , ta có Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com x + x +1 = x + a2 nên phương trình viết lại thành x + a2 = xa, ( a - x ) ( a - 3x ) = hay Từ đây, ta có a = x a = x Với a = x , ta có x = x + Từ đây, với ý x > , ta giải x =0 Với a = x , ta có 36 x = x + Từ đây, với ý x > , ta giải x= + 13 12 + 13 12 Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = y ³ b) Điều kiện: x ³ - Từ phương trình thứ hai, ta suy x= Phương trình thứ hệ viết lại thành y +1 = y + hay ( ) y =1 - = Giải phương trình này, ta y = Một cách tương ứng, ta có x =- Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x, y) ( - 1; 0) Câu 3: (5,0 điểm) ( m, n, p) a) Giả sử tồn số thỏa mãn yêu cầu đề Dễ thấy < m, n < p Phương trình cho viết lại thành ( m + n) A = p2018 2018 2017 2016 , (1) 2017 2018 A = m - m n + m n - - mn + n Nếu A không chia hết cho p từ (1), ta có A = m + n = p 2018 = m 2019 + n 2019 2018 Từ dễ thấy m = n = p = , mâu thuẫn Vậy A chia hết cho p Do m + n > nên từ (1) suy m + n chia hết cho p Khi đó, ta có A º 2019m 2018 ( mod p) Do A chia hết cho p < m < p nên từ kết trên, ta suy 2019 chia hết cho p , hay p = 2019 Từ đây, dễ thấy m n khác tính chẵn lẻ, hay m ¹ n Bây giờ, ta viết lại phương trình cho dạng (m ) 673 Liên hệ tài 039.373.2038 +( n ) liệu 673 = 20192018 word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com m + n) ( m ( hay đó, mn + n2 ) = 20192018 B = ( m3 ) 672 - ( m3 ) 671 , ( n ) + - ( m )( n ) 3 671 +( n3 ) 672 2 m - mn + n = ( m - n) + mn > Do m ¹ n nên , từ ta có m - mn + n chia hết cho 2019 Tuy nhiên, điều xảy 2 m - mn + n2 º 3n ( mod 2019) m - mn + n º/ ( mod 2019) Vậy không tồn số m, n, p thỏa mãn yêu cầu đề P³ với dấu đạt ( x , y, z) = ( 0,1,2) b) Ta chứng minh (và hoán vị vòng quanh này) Bất đẳng thức tương đương với P³ 16 x 16 y 16 z + + ³ y +16 z +16 x +16 3 hay ỉ ỉ ỉ 16 x ÷ 16 y ÷ 16 z ữ ỗ ữ +ỗ ữ +ỗ z- ữ Ê x + y +zỗx - ỗy - ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç x +16 ø ç è z +16 ÷ ø è è y +16 ữ ứ ỗ Mt cỏch tng ng, ta phi chứng minh xy yz3 zx + + £ 3 y +16 z +16 x +16 (1) Khơng tính tổng qt, giả sử y nằm x z Ta có: y +16 = ( y + 4) ( y - 2) +12 y ³ 12 y xy xy £ nên y +16 12 Đánh giá tương tự, ta có yz3 yz2 zx zx £ £ z3 +16 12 ; x +16 12 Suy xy yz3 zx xy + yz2 + zx + + £ 12 y +16 z3 +16 x +16 (2) ( y - z) ( y - z) £ suy Do y nằm x z nên ta có y zx xy yz xy zx xy xyz Từ đó, ta có đánh giá xy + yz2 + zx £ y ( x + xz + z ) £ y ( x + z) 2 = y ( - y) = - ( - y) ( y - 1) £ (3) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Từ (2) (3), ta thu (1) Vậy P = Câu 4: (3,0 điểm) · ACB = · » sđ AB Ta có = AOB (tính chất góc nội tiếp chắn cung) Mà · · · · OA = OB nên BAO = ABO , suy AOB + BAO = 90° · · · = 90°- ACB · · ACB + BAO = 90° BA = HAC Từ đây, ta có · AHC = 90° ) · · BAO = CAH Vậy , hay (vì · · Xét tứ giác APHB , ta có APB = AHB = 90° (gt) Mà hai góc · · nhìn cạnh AB nên tứ giác APHB nội tiếp Suy ABP = AHP (cùng chắn cung AP ) (1) Xét tam giác AHC vuông H có M trung điểm AC nên MH = MC = MA (đường trung tuyến nửa cạnh huyền) · · · · · · Từ suy AHP = AHM = MAH = CAH = BAO = ABO (2) · · Từ (1) (2), ta có ABP = ABO nên tia BO BP trùng Từ suy ba điểm B , O , P thẳng hàng Ta có tứ giác BQPH nội tiếp hai góc BQP , BHP vị trí đối nên · · · · BQP = 180°- BHP = PHC = MHC MH = MC Mặt khác, ta lại có (chứng minh trên) nên ·MHC = MCH · · = ACB · · Từ đây, ta suy BQP = ACB Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com · · · Lại có tứ giác AQMP nội tiếp nên AQP = AMP = AMH (cùng chắn cung AP ) · · · · · Mà AMH = MHC + MCH = MCH = ACB (tính chất góc ngoài) nên · · AQP = ACB · · · · Từ AQB = AQP - BQP = ACB · · Hai góc AQB ACB nhìn cạnh AB nên tứ giác ACQB nội ( O) Ta có tiếp Bây giờ, gọi I giao điểm khác P PQ · · · · » º BQI = BQP = ACB = AQB nên sđ BA = sđ BI , hay BA = BI Suy I ( B, BA) ( O) , tức I cố định giao điểm khác A đường trịn Vậy đường thẳng PQ ln qua điểm I cố định Câu 5: (3,0 điểm) Ta đánh số 2n đỉnh đa giác từ đến 2n Khi đó, độ dài đoạn thẳng nối hai đỉnh coi tương ứng với số lượng cung nhỏ nằm hai đỉnh đó, chênh lệch hai số thứ tự theo mod n cộng thêm Sự tồn hai cặp đoạn thẳng có độ dài đề tương ứng với việc tồn hai cặp đỉnh có chênh lệch số thứ tự theo mod n a) Ta cần cách chia cặp số từ đến cho khơng có hai cặp có chênh lệch giống theo mod Cụ thể là, ( 1,4) ,( 2,6) ,( 3,5) ( 7,8) với chênh lệch 3, 4, 2, thỏa mãn đề ( a ,b ) ( a ,b ) (a ,b ) b) Giả sử tồn cách ghép cặp 1 , 2 ,…, 10 10 cho số từ đến 20 cho khơng có hai số có số dư chia cho 10 Suy a1 - b1 + a2 - b2 + + a10 - b10 º +1 + + ( mod 10) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a1 - b1 + a2 - b2 + + a10 - b10 º ( mod 10) Do tổng a1 - b1 + a2 - b2 + + a10 - b10 số lẻ Chú ý với x , y ngun x - y có tính chẵn lẻ với x + y Kết hợp với kết ( a1 , b1 ) +( a2 , b2 ) + +( a10 , b10 ) trên, ta suy tổng ( a , b ) +( a , b ) + +( a , lẻ Mặt ,b ) = + + + 20 = 210 2 10 10 khác, ta lại có 1 số chẵn Mâu thuẫn nhận cho ta kết cần chứng minh Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC