luận văn đa thức bất khả quy

luận văn đa thức bất khả quy

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN HÀ LINH ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Thái Nguyên – 2012 1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Q Q Z p Z ∗ p Z p 2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 C R C R Q Z p p Q Z p 1 4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 Q Z p p 5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn F a + (b + c) = (a + b) + c (ab)c = a(bc) a, b, c ∈ F. a + b = b + a ab = ba a, b ∈ F. a(b + c) = ab + ac a, b, c ∈ F. 1 ∈ F a1 = 1a = a a ∈ F. 0 ∈ F a + 0 = 0 + a = a a ∈ F. a ∈ F −a ∈ F a + (−a) = 0. 0 = a ∈ F a −1 ∈ F aa −1 = 1. F a 0 , a 1 , . . . , a m ∈ F f(x) = a m x m +a m−1 x m−1 +. . .+a 1 x+a 0 x F F [x]. 6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn a m = 0 f(x) m deg f(x) = m. a m f a m = 1 f(x) f(x) =  a i x i g(x) =  b i x i f(x) + g(x) =  (a i + b i )x i f(x)g(x) =  c k x k c k =  i+j=k a i b j . f(x), g(x), h(x) ∈ F [x]. deg(f(x) + g(x))  max{deg f(x), deg g(x)}. f(x) = 0 g(x) = 0 f(x)g(x) = 0 deg(f(x)g(x)) = deg f(x) + deg g(x). f(x) = 0 f(x)g(x) = f(x)h(x) g(x) = h(x). f(x), g(x) ∈ F [x]. f(x) = q(x)g(x) q(x) ∈ F[x] g(x) f(x) f(x) g(x) g(x)|f(x) g(x) (g) c ∈ F k (x − c)|(x k − c k ). f(x) ∈ F [x] c ∈ F q(x) ∈ F [x] f(x) = q(x)(x −c) + f(c). f(x) = a m x m + . . . + a 0 ∈ F [x] K F c ∈ K f(x) f(c) = a m c m + . . . + a 0 = 0 c f(x) = 0. 7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn f(x) ∈ F [x] c ∈ F. c f(x) f(x) x − c. f(x) deg f(x) f(x), g(x) ∈ F[x] g(x) = 0 q(x), r(x) ∈ F [x] f(x) = q(x)g(x) + r(x) r(x) = 0 deg r(x) < deg g(x). I = ∅ F [x] F [x] f(x), g(x) ∈ I f(x) + g(x) ∈ I f(x) ∈ I q(x) ∈ F[x] q(x)f(x) ∈ I I = ∅ F[x] f −g ∈ I fh ∈ I f(x), g(x) ∈ I h(x) ∈ F [x] I = {0} F [x] d(x) = 0 I I = (d) = {d(x)q(x) | q(x) ∈ F [x]}. f(x) ∈ I. f(x) = d(x)q(x) + r(x) r(x) = 0 deg r(x) < deg d(x). f(x), d(x) ∈ I r(x) = f(x) − d(x)q(x) ∈ I r(x) = 0 d(x) f(x) = d(x)q(x). d(x) ∈ I d(x)q(x) ∈ I q(x) ∈ F[x] d(x) ∈ F [x] f(x), g(x) ∈ F[x] d(x)|f(x) d(x)|g(x) h(x)|f(x) h(x)|g(x) h(x)|d(x). 8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn f(x) g(x) gcd(f(x), g(x)) gcd(f(x), g(x)) = 1 f(x) g(x) f(x), g(x) 0 gcd(f(x), g(x)) f(x) g(x) a(x), b(x) ∈ F [x] gcd(f(x), g(x)) = a(x)f(x) + b(x)g(x). p(x), f(x), g(x) ∈ F [x] gcd(p(x), f(x)) = 1 p(x)|f(x)g(x) p(x)|g(x). 1 = p(x)a(x) + f(x)b(x). g(x) = p(x)a(x)g(x) + f(x)b(x)g(x). p(x) p(x)|g(x). 0 = g(x) ∈ F [x] g ∗ (x) = g(x)/a n a n g(x) g ∗ (x) f(x), g(x) ∈ F [x] g(x) = 0 g(x)|f(x) gcd(f(x), g(x)) = g ∗ (x). f(x) = q(x)g(x) + r(x), r(x) = 0, deg r(x) < deg g(x). g(x) = q 1 (x)r(x) + r 1 (x), r 1 (x) = 0, deg r 1 (x) < deg r(x). . . . . . . . . . r n−2 (x) = q n (x)r n−1 (x) + r n (x), r n (x) = 0, deg r n (x) < deg r n−1 (x). r n−1 (x) = q n+1 (x)r n (x). 9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn gcd(f(x), g(x)) = r ∗ n (x) r n (x)|r n−1 (x). r n (x)|r n−2 (x). r n (x)|g(x) r n (x)|f(x) r ∗ n (x)|f(x) r ∗ n (x)|g(x) h(x)|f(x) h(x)|g(x) h(x)|r(x). h(x)|r 1 (x). h(x)|r n (x). h(x)|r ∗ n (x). f(x) ∈ F [x] deg f(x) > 0 f(x) deg f(x) > 0 f(x) f(x) f(x) 1 F f(x) 2 3 F. f(x) f(x + a) a ∈ F. deg f(x) > 1 f(x) x = a ∈ F f = (x −a)g deg g = deg f −1 ≥ 1. f 10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... p(x) = q(x) 1.2.5 Định nghĩa Đa thức p(x) F [x] bất khả quy dạng chuẩn xác định như trong mệnh đề trên được gọi là đa thức bất khả quy của a 1.2.6 Ví dụ đa thức Đa thức x3 2 Q[x] là đa thức bất khả quy của 3 2 R; x2 + 1 R[x] là đa thức bất khả quy của i C Đa thức bất khả quy có tính chất tương tự như tính chất của số nguyên tố Trước hết, chúng ta đã biết, Bổ đề Euclid phát biểu rằng số tự nhiên... đa thức 1.2.8 Định lý Mỗi đa thức dạng chuẩn bậc dương có thể phân tích được thành tích các đa thức bất khả quy dạng chuẩn và sự phân tích này là duy nhất nếu không kể đến thứ tự các nhân tử Chứng minh Trước hết, chúng ta chứng minh sự tồn tại phân tích bằng quy nạp theo bậc của đa thức Giả sử bậc f (x) F [x] là đa thức dạng chuẩn d > 0 Nếu d = 1 thì f (x) là bất khả quy nên sự phân tích bất khả quy. .. các đa thức bất khả quy trên R là và chỉ là các đa thức bậc nhất hoặc đa thức bậc hai không có nghiệm thực Mặc dù bài toán xét tính bất khả quy của các đa thức trên C và trên R đã được giải quy t từ khi người ta chứng minh được Định lý cơ bản của Đại số (chứng minh hoàn chỉnh đầu tiên cho Định lý cơ bản của Đại số được đưa ra bởi Gauss năm 1816), nhưng bài toán xét tính bất khả quy của các đa thức. .. p = 2 ta suy ra đa thức x5 4x + 2 là bất khả quy trên Q Chú ý rằng tính chất bất khả quy của đa thức này không dễ kiểm tra bằng Bổ đề Gauss trong Định lý 2.2.1 Ngược lại, tính bất khả quy của đa thức trong Ví dụ 2.2.5 đã được kiểm tra bằng 30S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 30 việc dùng Bổ đề Gauss, nhưng không dễ kiểm tra tính bất khả quy của đa thức này bằng tiêu... một số tiêu chuẩn để một đa thức là bất khả quy trên Q 20 21S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 21 Giả sử chỉ khi f (x) Q[x] Chú ý rằng f (x) là bất khả quy trên Q khi và af (x) là bất khả quy với mọi 0 = a Z Vì thế, bằng việc nhân với mẫu số chung của các hệ số của hệ số nguyên mà tính bất khả quy trên bất khả quy của f (x), ta được một đa thức với Q của nó tương... đa thức g(x), h(x) có bậc thấp hơn, mâu thuẫn với tính bất khả quy trên 2.4.2 Chú ý Giả thiết Zp của f (x) deg f (x) = deg f (x) trong Định lý 2.4.1 là cần thiết Chẳng hạn, xét đa thức f (x) = 5(x 1)9 + (x 1) Z[x] Đa thức này không bất khả quy trên Q vì nó có ước thực sự là x 1 Ta có f (x) = x 1 Z5 [x] Vì f (x) có bậc 1 nên rõ ràng nó là bất khả quy trên Z5 2.4.3 Ví dụ (i) Xét tính bất khả quy. .. thành tích của hai đa thức với hệ số nguyên f và g với deg f = deg f và deg g = deg g Dưới đây là một số ví dụ minh họa việc xét tính bất khả quy trên Q của các đa thức bằng việc sử dụng Bổ đề Gauss 26S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 26 2.2.4 Ví dụ trên Xét tính bất khả quy của đa thức f (x) = x4 + 3x3 + x2 + 3 Q Giải Ta chứng minh đa thức này bất khả quy trên đó theo... Vậy f là bất khả quy trên Q Chúng ta cũng dùng tiêu chuẩn Eisenstein để kiểm tra tính chất bất khả quy của các đa thức sau đây gọi là đa thức chia đường tròn: Cho 29S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn p là số http://www.lrc-tnu.edu.vn 29 nguyên tố Đa thức chia đường tròn thứ p là p (x) = xp1 + + x + 1 p, 2.3.2 Hệ quả Với mỗi số nguyên tố bất khả quy trên Chứng minh khi và chỉ khi đa thức chia... p|a hoặc p|b với mọi số tự nhiên a, b Mệnh đề sau đây là điều tương tự cho đa thức bất khả quy 1.2.7 Mệnh đề Nếu p(x) hoặc p(x)|b(x) với mọi F [x] bất khả quy và p(x)|a(x)b(x) thì p(x)|a(x) a(x), b(x) F [x] Đặc biệt, một đa thức bất khả quy là ước của một tích hữu hạn đa thức thì nó phải là ước của ít nhất một trong các đa thức đó Chứng minh Cho p(x)|a(x)b(x) Giả sử p(x) không là ước của a(x) và cũng... http://www.lrc-tnu.edu.vn 24 nghiệm hữu tỷ, do đó nó khả quy trên 2.1.5 Chú ý quy trên thức Đối với đa thức bậc Q 4, ta không thể suy ra tính bất khả Q từ việc kiểm tra đa thức không có nghiệm hữu tỷ Thật vậy, đa (x2 + 1)(x2 + 1) không có nghiệm hữu tỷ, nhưng nó không bất khả quy 2.2 Phương pháp dùng Bổ đề Gauss Trong tiết này, chúng ta trình bày một tiêu chuẩn bất khả quy trên Q thông qua tiêu chuẩn không phân . ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN HÀ LINH ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Thái Nguyên – 2012 1Số