Định lý:
Gọi I là tõm tỉ cự của hệ điểm ứng với cỏc hệ số thỡ với mọi điểm M:
Chứng minh:
Từ hệ thức Jacobi (cú thể xem ở mục I.24) thỡ ta chỉ cần chứng minh rằng:
Do I là tõm tỉ cự của hệ điểm nờn:
<->
<->
<-> (đpcm)
I.33) Đường thẳng Simson
Định lớ:Cho và điểm nằm trờn đường trũn ngoại tiếp tõm của tam giỏc. Gọi lần lượt là hỡnh chiếu vuụng gúc của M trờn cỏc đường thẳng thỡ chỳng cựng thuộc một đường thẳng (đõy gọi là đường thẳng Simson).
Chứng minh:
Dựng gúc định hướng Ta cú:
Vậy thẳng hàng.
I.34) Đường thẳng Steiner
Định lớ:Cho và điểm nằm trờn đường trũn ngoại tiếp tõm của tam giỏc. Gọi lần lượt là điểm đối xứng với của D qua cỏc đường thẳng thỡ chỳng cựng thuộc một đường thẳng và đường thẳng này đi qua trực tõm H của tam giỏc ABC. Đường thẳng đú được gọi là đường thẳng steiner ứng với điểm D của tam giỏc ABC. Cũn điểm D được gọi là điểm anti steiner.
Chứng minh:
Dễ thấy nếu gọi lần lượt là hỡnh chiếu của D xuống ba cạnh của tam giỏc ABC thỡ là trung điểm của đoạn và tương tự ta cú thẳng hàng.
Ta cú
(mod )
Vậy đường thẳng steiner đi qua H.
Từ đú ta cú được tớnh chất rằng đường thẳng simson ứng với điểm D đi qua trung điểm của đoạn DH.
I.35) Điểm Anti Steiner(Định lớ Collings)
Định lớ:Cho và đường thẳng đi qua H trực tõm của tam giỏc ABC . Gọi lần lượt là đường thẳng đối xứng của d qua BC,AC,AB. Cỏc đường thẳng đú đồng quy tại một điểm nằm trờn đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC(điểm anti steiner của d). Và d được gọi là đường thẳng steiner của điểm đú (gọi là G).
Chứng minh:
Gọi lần lượt là hỡnh chiếu của H qua ba cạnh \Rightarrow ba điểm này thuộc (O) ngoại tiếp tam giỏc ABC và lần lượt thuộc
(mo d )
Vậy nếu gọi giao điểm của d_a,d_b là G thỡ G thuộc đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC. Tương tự ta cú đpcm
Theo hỡnh của bài đường thẳng steiner ta dễ thấy đối xứng với , đối xứng với
Vậy ta cú d đỳng là đường thẳng steiner của G.
Ta cú một tớnh chất khỏc của điểm Anti Steiner như sau:
Định lớ 2:
Gọi P là một điểm thuộc đường thẳng d. lần lượt là điểm đối xứng với P qua cỏc
cạnh của tam giỏc ABC. Ta cú cỏc đường trũn cựng đi
qua điểm G
Lại cú theo chứng minh trờn cú:
(mod ) Suy ra G thuộc . Tương tự cú đpcm