Kết quả:Trong một tam giỏc ,đường trũn Euler tiếp xỳc với đường trũn nội tiếp của nú,và tiếp điểm đú được gọi là điểm Feuerbach của tam giỏc trờn.
Chỉ dẫn chứng minh:(leductam post)
Gọi là tõm đường trũn Euler, ngoại tiếp, nội tiếp của tam giỏc . là trực tõm, là đường kớnh vuụng gúc với là hỡnh chiếu của lờn là bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp, nội tiếp. là chõn đường phõn giỏc gúc
suy ra (1) Chứng minh tiếp: Vỡ nờn mà cõn tại do đú Vậy
Chiếu hệ thức trờn lờn theo phương vuụng gúc với ta được:
(2) Từ (1) và (2) ta suy ra: (3) Ta cú: (4) Từ (3) và (4) ta cú: Vậy suy ra dpcm. Hoàn toàn tương tự ta cũng cú:
2.Đường trũn Euler tiếp xỳc ngoài với cỏc đường trũn bàng tiếp
Từ kẻ vuụng gúc với do nờn Từ (2) ta cú: Vậy (5) Mặt khỏc: nờn: (6) Từ (5) và (6) ta cú: (7)
Từ kẻ . Trong tam giỏc vuụng ta cú:
(8) Từ (7) và (8) ta cú:
Vậy suy ra dpcm
(Xem them BalticFeuer; GenFeuerPDF; FG200117)
II.4)Điểm Gergonne,điểm Nobb, đường thẳng Gergone
1)Kết quả về điểm Gergonne:Tam giỏc ABC với đường trũn nội tiếp (I).Tiếp điểm của (I) trờn
BC,CA,AB lần lượt là D,E,F.Khi đú AD,BE,CF đồng quy tại một điểm gọi là điểm Gergonne của tam giỏc ABC.
Chỉ dẫn chứng minh:
Chỉ cần dựng định lớ Ceva và cỏc kết quả đơn giản : DB=DC,EA=EC,FA=FB là ra.
2)Kết quả về điểm Nobb và đường thẳng Gergonne(Vẫn với cỏc kớ hiệu trờn)Một tam giỏc
khụng cõn cú 3 điểm Nobb tương ứng là giao điểm của cỏc cặp đường thẳng EF và CB ,DE và AB ,DF và AC. Và 3 điểm Nobb cựng nằm trờn một đường thẳng gọi là đường thẳng Gergonne của tam giỏc ABC.
Chỉ dẫn chứng minh:
Xột cực và đối cực đối với (I).
Đường đối cực của A là EF đi qua M,nờn đường đối cực của M đi qua A.
Mặt khỏc dễ thấy đường đối cực của M đi qua D nờn suy ra đường đối cực của M là AD. Hoàn toàn tương tự ta cú:
Đường đối cực của N là BE và đường đối cực của P là CF
Theo trờn ,do AD,BE,CF đồng quy nờn sẽ cú điều phải chứng minh.
Bỡnh luận: Kết quả trờn cú thể mở rộng như sau:
Bạn cú thể chứng minh kết quả trờn bằng định lớ Menelaus nhưng thậm chớ bài toỏn mở rộng này cũng chỉ là trường hợp đặc biệt của định lớ Desargues mà thụi!!!!