Định nghĩa.Cho tam giỏc là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc.Gọi là tõm cỏc đường trũn ngoại tiếp tam giỏc .Khi đú ba đường thẳng và
đồng quy tại điểm của tam giỏc.
Chỉ dẫn chứng minh:
Gọi tương ứng là giao điểm của với Ta cú:
Tương tự với điểm và rồi sau đú nhõn cỏc tỉ lệ thức với nhau ta được dpcm
II.8)Điểm Feuerbach
Kết quả:Trong một tam giỏc ,đường trũn Euler tiếp xỳc với đường trũn nội tiếp của nú,và tiếp điểm đú được gọi là điểm Feuerbach của tam giỏc trờn.
Chỉ dẫn chứng minh:(leductam post)
Gọi là tõm đường trũn Euler, ngoại tiếp, nội tiếp của tam giỏc . là trực tõm, là đường kớnh vuụng gúc với là hỡnh chiếu của lờn là bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp, nội tiếp. là chõn đường phõn giỏc gúc
1.Đường trũn Euler tiếp xỳc trong với đường trũn nội tiếp. Ta dễ dàng chứng minh được Vỡ suy ra (1) Chứng minh tiếp: Vỡ nờn mà cõn tại do đú Vậy
Chiếu hệ thức trờn lờn theo phương vuụng gúc với ta được: (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra: (3)
(4) Từ (3) và (4) ta cú:
Vậy suy ra dpcm. Hoàn toàn tương tự ta cũng cú:
2.Đường trũn Euler tiếp xỳc ngoài với cỏc đường trũn bàng tiếp
Từ {I}_{a} kẻ {I}_{a}{X}_{a} vuụng gúc với BC do {I}_{a}S = SI nờn {X}_{a}M = MN Từ (2) ta cú:
Vậy (5)
Mặt khỏc: nờn:
(6)
Từ (5) và (6) ta cú: (7)
Từ kẻ . Trong tam giỏc vuụng ta cú:
(8) Từ (7) và (8) ta cú:
Vậy suy ra dpcm
Bổ sung một chứng minh khỏc bằng phộp nghịch đảo ạ:
Xột cú:
+ Đường trũn nội tiếp tiếp xỳc với theo thứ tự tại . + Đường trũn bàng tiếp trong gúc tiếp xỳc với tại . + Đường trũn Euler qua trung điểm 3 cạnh là .
Kẻ tiếp tuyến chung của và tiếp xỳc với chỳng lần lượt tại . (chỳ ý là và ). Gọi là tõm vị tự trong của và .
Nếu thỡ hiển nhiờn đó tiếp xỳc với và nờn ta chỉ quan tõm đến trường hợp .
Khi đú, nờn theo hệ thức Newton, .
Đặt , lại cú nờn suy ra
. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Cuối cựng, xột phộp nghịch đảo cực , phương tớch
. Nhưng tiếp xỳc với và cũn bản thõn 2 đường trũn này bất biến qua phộp nghịch đảo đang xột nờn ta cũng cú cũng tiếp xỳc với và .
Lập luận tương tự cho thấy tiếp xỳc với . Kết thỳc chứng minh!
Bổ Đề:
1, tam giỏc là phõn giỏc. Điểm nằm trong mặt phẳng tam giỏc thỡ 2, tứ giỏc nội tiếp được, khi đú phõn giỏc gúc
và đồng quy.