1)Kết quả về điểm Gergonne:Tam giỏc ABC với đường trũn nội tiếp (I).Tiếp điểm của (I) trờn BC,CA,AB lần lượt là D,E,F.Khi đú AD,BE,CF đồng quy tại một điểm gọi là điểm Gergonne của tam giỏc ABC.
Chỉ dẫn chứng minh:
Chỉ cần dựng định lớ Ceva và cỏc kết quả đơn giản : DB=DC,EA=EC,FA=FB là ra.
2)Kết quả về điểm Nobb và đường thẳng Gergonne(Vẫn với cỏc kớ hiệu trờn)Một tam giỏc khụng cõn cú 3 điểm Nobb tương ứng là giao điểm của cỏc cặp đường thẳng EF và CB ,DE và AB ,DF và AC. Và 3 điểm Nobb cựng nằm trờn một đường thẳng gọi là đường thẳng Gergonne của tam giỏc ABC.
Chỉ dẫn chứng minh:
Xột cực và đối cực đối với (I).
Đường đối cực của A là EF đi qua M,nờn đường đối cực của M đi qua A.
Mặt khỏc dễ thấy đường đối cực của M đi qua D nờn suy ra đường đối cực của M là AD. Hoàn toàn tương tự ta cú:
Đường đối cực của N là BE và đường đối cực của P là CF
Theo trờn ,do AD,BE,CF đồng quy nờn sẽ cú điều phải chứng minh.
Bỡnh luận: Kết quả trờn cú thể mở rộng như sau:
Cho tam giỏc ABC và 3 điểm D,E,F theo thứ tự thuộc BC,CA,AB sao cho
AD,BE,CF đồng quy và D,E,F khỏc trung điểm đoạn thẳng.Gọi M,N,P lần lượt là điểm chung của cỏc cặp đường thẳng (EF,BC) ,(DF,CA) ,(DE,AB).Khi đú M,N,P thẳng hàng
Bạn cú thể chứng minh kết quả trờn bằng định lớ Menelaus nhưng thậm chớ bài toỏn mở rộng này cũng chỉ là trường hợp đặc biệt của định lớ Desargues mà thụi!!!!
(Xem them hai file : FG200821.bdf ; jcgeg200722.bdf) II.5)Điểm Nagel
Kết quả:.Cho tam giỏc . Cỏc đường trũn bàng tiếp xỳc với 3 cạnh tương ứng đỉnh lần lượt tại thỡ ta cú 3 đường thẳng đồng quy tại điểm của tam giỏc.
Chỉ dẫn chứng minh:
Ta cú:
Suy ra dpcm
*Chỳ thớch: