Định lớ:Cho tam giỏc . Lấy là trung điểm của . Qua kẻ cỏc đường thẳng cắt tại , đường thẳng cắt tại . Gọi cắt tại . Khi đú ta cú là trung điểm cưa
Chứng minh:
Áp dụng định lớ menelaus trong tam giỏc ta cú cỏc hệ thức sau:
(1)
(2) từ (1) và (2) ta cú:
Vậy là trung điểm của . (ĐPCM)
I.6) Định lý Desargues
Định lý:
Cho tam giỏc ABC và tam giỏc A'B'C'. Khi đú AA', BB', CC' đồng quy khi và chỉ khi cỏc giao điểm của BC và B'C', CA và C'A', AB và A'B' thẳng hàng.
Chứng minh:
Gọi X, Y, Z là lần lượt là cỏc giao điểm của cỏc cặp cạnh BC và B’C’, CA và C’A’, AB và A’B’ . Phần thuận:
Giả sử cỏc đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy tại S. Ta chứng minh X, Y, Z thẳng hàng. Áp dụng định lớ Menelaus cho tam giỏc SBC với cỏt tuyến XB'C' ta cú:
hay Tương tự, ta cú:
và
Nhõn từng vế cỏc đẳng thức trờn lại với nhau, và theo định lớ Menelaus suy ra X, Y, Z thẳng hàng. Phần đảo:
Giả sử cỏc điểm X, Y, Z thẳng hàng. Ta chứng minh cỏc đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy. Gọi S là giao điểm của AA’ và BB’. SC cắt đường thẳng AC’ tại C”.
Xột 2 tam giỏc ABC và A’B’C” cú cỏc đường nối cỏc đỉnh tương ứng đồng quy, do đú theo phần thuận giao điểm của cỏc cạnh tương ứng cũng đồng quy.
Ta thấy AB cắt A’B’ tại Z, AC cắt A’C” tại Y (do A’, C’, C” thẳng hàng), suy ra giao điểm X’ của BC và B’C” phải thuộc YZ. Tức là X’ là giao của YZ và BC nờn X’ trựng với X.
I.40 Định Lớ Blaikie
Định lớ: Cho tam giỏc ABC và đường thẳng d sao cho d cắt BC,CA,AB lần lượt ở M,N,P. Gọi S là 1 điểm bất kỡ trờn d. Gọi M',N',P' lần lượt là điểm đối xứng của M,N,P qua S. Khi đú AM',BN',CP' đồng quy tại một điểm P và ta gọi P là điểm Blaikie của d và S đối với tam giỏc ABC.
Chứng Minh :
Cú thể cho nằm giữa .
Giả sử cắt tại . Ta chứng mỡnh thẳng hàng .
Xột tam giỏc với điểm . Ta cần cm :
Xột tam giỏc với điểm thẳng hàng trờn cạnh :
(1)
Xột tam giỏc với điểm thẳng hàng trờn cạnh :
(2)
Nhõn vế (1),(2) và rỳt gọn , chỳ ý ta được :
Chỳ ý là và nờn ta cú đpcm.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});