(Luận văn) lý thuyết đồng điều và đối đồng điều kỳ dị

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN LÊ THỊ KIM NGỌC lu an n va p ie gh tn to LÝ THUYẾT ĐỒNG ĐIỀU VÀ ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU KỲ DỊ d oa nl w nf va an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu Bình Định - Năm 2019 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN LÊ THỊ KIM NGỌC lu LÝ THUYẾT ĐỒNG ĐIỀU VÀ ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU KỲ DỊ an n va p ie gh tn to nl w Chuyên ngành: Đại số Lí thuyết số d oa Mã số: 46 01 04 nf va an lu z at nh oi lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z Người hướng dẫn: PGS TS NGUYỄN SUM m co l gm @ an Lu n va ac th si Mục lục Mở đầu lu Chương Một số kiến thức sở n va 1.2 Không gian thương 1.3 Tác động nhóm lên tập hợp G-Không gian Phạm trù tn to Không gian tôpô gh an 1.1 Hàm tử w 1.5 p ie 1.4 Đồng luân 1.7 Không gian co rút 1.8 Đối phân thớ oa nl 1.6 d Hệ tiên đề Eilenberg-Steenrod nf va Chương an lu 10 12 Hệ tiên đề Eilenberg-Steenrod 12 2.2 Các tiên đề Eilenberg-Steenrod đối đồng điều 20 2.3 Một số tính tốn ứng dụng lý thuyết đồng điều 22 2.3.1 Bậc ánh xạ 22 2.3.2 Đồng điều phân ngăn CW-phức z gm @ 25 Cấu trúc phân ngăn tích CW-phức Lý thuyết đồng điều đối đồng điều kỳ dị 33 co 33 m ∆-tập, tập đơn hình đồng điều an Lu 3.1.1 29 l Chương 3.1 z at nh oi 2.4 lm ul 2.1 ∆-tập 33 n va ac th si 3.1.2 Đồng điều ∆-tập 35 Các tập đơn hình 39 3.2.1 Khái niệm tập đơn hình 39 3.2.2 Biễu diễn hình học tập đơn hình 42 3.3 Các tập đơn hình kỳ dị đồng điều kỳ dị 43 3.4 ∆-phức đồng điều đơn hình 44 3.5 Đối đồng điều kỳ dị 46 3.2 lu an Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48 Quyết định giao đề tài luận văn thạc sĩ 49 n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Lý thuyết đồng điều, đối đồng điều lý thuyết đồng luân lĩnh vực lu kiến thức quan trọng Tôpô đại số an Lý thuyết đồng điều bắt đầu phát triển vào năm đầu kỷ XII n va H Poincaré đưa khái niệm dây chuyền, chu trình, đồng điều tn to số khơng gian khơng gian R Các khái niệm đặt móng cho gh phát triển lý thuyết đồng điều đối đồng điều tổng quát Sau đó, p ie khái niệm mở rộng cho không gian tôpô Các nghiên cứu w nhóm đồng điều đối đồng điều tìm thấy cơng trình oa nl nghiên cứu nhà toán học S Lefschetz, P.S Alexandrov, S Eilenberg, d Eilenberg Steenrod người xây dựng hệ tiên đề cho lý an lu thuyết đồng điều phạm trù cặp không gian tôpô, phát triển lý thuyết nf va mối quan hệ chặt chẽ với đại số đồng điều lý thuyết phạm trù lm ul Đồng điều đối đồng điều kỳ dị trường hợp riêng lý thuyết đồng điều đối đồng điều, nhằm nghiên cứu lớp bất biến đại z at nh oi số không gian tơpơ X Nói cách vắn tắt, đồng điều kỳ dị xây dựng sau: Lấy ánh xạ liên tục từ n-đơn hình chuẩn đến khơng gian tơpơ X , sau xét nhóm Abel tự sinh tất ánh xạ này, gọi dây chuyền z gm @ kỳ dị Toán tử bờ đơn hình cảm sinh phức dây chuyền kỳ dị Khi đó, đồng điều kỳ dị đồng điều phức dây chuyền Các nhóm đồng điều l co nhận không gian tương đương đồng luân với nhau, m lý cho việc nghiên cứu chúng Việc xây dựng áp dụng cho an Lu khơng gian tơpơ, đồng điều kỳ dị biễu diễn theo lý thuyết n va ac th si phạm trù, nhóm đồng điều trở thành hàm tử phạm trù khơng gian tơpơ đến phạm trù nhóm Abel phân bậc Bên cạnh lý thuyết đồng điều kỳ dị, nhà tốn học nghiên cứu tìm nhiều lý thuyết đồng điều khác Chẳng hạn, lý thuyết đồng điều phức hợp đơn hình, lý thuyết đồng điều CW −phức, lý thuyết đồng điều phổ, lý thuyết đồng điều đối đồng điều Cech, lý thuyết đối đồng điều Alexander, K -lý thuyết, Hiện nay, ngành tôpô đại số, lý thuyết đồng điều trở thành công cụ vô hiệu việc nghiên cứu phát triển nhiều ngành toán học đại Hình học vi phân, Hình học đại số, Tôpô vi phân, lu Lý thuyết phạm trù, v.v an Mục đích luận văn tìm hiểu trình bày lý thuyết đồng điều n va đối đồng điều theo hệ tiên đề sử dụng vào việc xây dựng lý thuyết đồng to Ngoài mục lục, phần mở đầu, phần kết luận tài liệu tham khảo, nội ie gh tn điều đối đồng điều kỳ dị không gian tôpô p dung luận văn chia thành ba chương với nội dung sau: Chương Một số kiến thức sở Chương hệ thống lại cho w oa nl số kiến thức trọng tâm tôpô đại cương không d gian tôpô bao gồm kiến thức ánh xạ liên tục, tác động nhóm lên lu an không gian tôpô, quan hệ đồng luân, phạm trù hàm tử để làm sở nf va việc trình bày chương lm ul Chương Hệ tiên đề Eilenberg-Steenrod Trong chương chúng tơi trình bày hệ tiên đề Eilenberg-Steenrod số tính tốn cụ thể minh họa z at nh oi cho lý thuyết đồng điều tổng quát Chương Lý thuyết đồng điều đối đồng điều kỳ dị Trình bày z cách xây dựng lý thuyết đồng điều đối đồng diều kỳ dị không gian gm @ tôpô m co Kosniowski [2] l Các tư liệu luận văn trình bày từ tài liệu J Wu [3] an Lu n va ac th si Chương Một số kiến thức sở lu an n va Không gian tôpô gh tn to 1.1 p ie Định nghĩa 1.1 Cho X tập hợp, P(X) tập hợp tất tập i) ∅, X ∈ τ oa nl w X Tập τ ⊂ P(X) gọi tôpô nếu: S d ii) ∀Ui ∈ τ, i ∈ I, Ui ∈ τ an lu i∈I nf va iii) ∀C1 , C2 , , Cn ∈ τ, ∩ni=1 Ci ∈ τ z at nh oi Ví dụ: lm ul Cặp (X, τ ) gọi không gian tôpô, tập hợp U ∈ τ gọi tập mở X + τ = {∅, X} tôpô, gọi tôpô thô + τ = P(X) tôpô, gọi tôpô rời rạc z l gm tôpô gọi tôpô cảm sinh mêtric d @ + Nếu (X, d) khơng gian mêtric họ τ tất tập mở theo mêtric d co Định nghĩa 1.2 (Ánh xạ liên tục) Cho X, Y không gian tôpô Ánh xạ m f : X −→ Y liên tục thõa mãn hai mệnh đề: + Mọi tập đóng C ⊂ Y f −1 (C) đóng X an Lu + Mọi tập mở U ⊂ Y f −1 (U ) mở X n va ac th si Định nghĩa 1.3 (Không gian con) Cho (X, τ ) không tôpô, Y ⊂ X, Y 6= ∅ Đặt τY = {U ∩ Y |U ∈ τ } với τY ⊂ P(Y ) Khi τY tơpơ Y Không gian tôpô (Y, τY ) gọi không gian X Định lý 1.4 Nếu Y ⊂ X phép nhúng i : Y ,→ X ; x 7−→ x ánh xạ liên tục Định nghĩa 1.5 (Không gian trực tiếp) Cho X, Y không gian tôpô Đặt S τ = { i∈I Ui × Vi |Ui mở X , Vi mở Y , i ∈ I} Khi τ tơpơ (X × Y, τ ) gọi tích trực tiếp X Y lu an 1.2 Không gian thương n va Định nghĩa 1.6 (Không gian thương) Cho X không gian tôpô, Y tập to gh tn hợp f : X −→ Y toàn ánh Đặt Uf = {U ⊂ Y |f −1 (U ) mở X }⊂ P(Y ) Khi Uf tơpơ Y khơng gian tôpô (Y, Uf ) gọi không gian tôpô ie p thương X ánh xạ f w Khi d oa nl Định lý 1.7 Cho X không gian tôpô, Y tập hợp, f : X −→ Y ánh xạ an lu 1) Nếu trang bị cho Y tơpơ thương Uf f ánh xạ liên tục nf va 2) Nếu τ ⊂ P(Y ) tôpô cho f liên tục τ τ ⊂ Uf 3) Cho Z không gian tôpô, g : Y −→ Z ánh xạ, Y trang bị tôpô lm ul thương Uf Khi g ánh xạ liên tục gf liên tục z at nh oi Chứng minh 1) 2) suy từ định nghĩa Uf 3) Vì f liên tục nên g liên tục gf liên tục z Giả sử gf liên tục, V ⊂ Z mở suy (gf )−1 (V ) mở X @ co l Do g −1 (V ) mở Y suy g liên tục gm Vì (gf )−1 (V ) = f −1 (g −1 (V )) mở X suy g −1 (V ) ∈ Uf m Định nghĩa 1.8 Cho không gian tôpô X ∼ quan hệ tương đương X an Lu Y = X/ ∼= {[x]|x ∈ X}, [x] = {y|x ∼ y} n va ac th si p : X −→ Y cho x 7→ p(x) = [x] phép chiếu tắc Khi Y trang bị tơpơ thương p Y gọi không gian thương X quan hệ ∼ Như U ⊂ Y mở p−1 (U ) mở X Cho X = Rn+1 {0} X định nghĩa quan hệ ∼ sau: ∀x, y ∈ X, x ∼ y ∃α ∈ R∗ , y = αx Khi ∼ quan hệ tương đương Tập thương RP n : −X/ ∼ không gian xạ ảnh n chiều Như RP n không gian tôpô với tôpô thương quan hệ ∼ lu an Tác động nhóm lên tập hợp G- n va 1.3 to gh tn Không gian p ie Định nghĩa 1.9 Cho X tập hợp khác rỗng, G nhóm với phép tốn nhân w (.) Một tác động (trái) G lên X ánh xạ G × X −→ X, (g, x) 7→ gx cho oa nl g, h ∈ G, ∀x ∈ X + g(hx) = (gh)x d an lu + ex = x (e đơn vị G) nf va Khi G gọi G tập lm ul Mệnh đề 1.10 Cho G nhóm X G-tập với x ∈ X Khi ánh xạ θg : X −→ X cho x 7→ θg (x) = gx song ánh ánh xạ ngược θg−1 = θg−1 z at nh oi Chứng minh θg θg− (x) = θg (g −1 x) = g(g −1 x) = (gg −1 )x = ex = x Tương tự, ta có (θg−1 θg )(x) = x Vậy θg θg− = θg− θg = idX z gm @ Định nghĩa 1.11 Cho X G-tập Định nghĩa quan hệ ∼ X sau: x, y ∈ X, x ∼ y ⇔ ∃g ∈ G : y = gx Khi ∼ quan hệ tương đương X l Tâp thương X/G = X/ ∼ gọi tập hợp quỹ đạo an Lu [x] = Gx gọi quỹ đạo X qua X m Suy [x] = {gx|g ∈ G} = Gx co x ∈ X, [x] ∈ X/ ∼ Khi y ∈ X, x ∼ y ⇔ ∃g ∈ G : y = gx n va ac th si Định nghĩa 1.12 Cho X không gian tôpô đồng thời G-tập với G nhóm X gọi G-khơng gian ∀g ∈ G, θg : X −→ X liên tục Khi đó, tập hợp thương X/G khơng gian tơpơ (thương phép chiếu tắc) gọi khơng gian quỹ đạo Xét phép chiếu tắc p : X −→ X/G; x 7→ [x] = Gx Định lý 1.13 Nếu X G-khơng gian phép chiếu tắc p : X −→ X/G ánh xạ mở Chứng minh Cho U ⊂ X tâp mở Ta chứng minh p(U ) mở X/G lu an Tức p−1 (p(U )) mở X n va ∀x ∈ p−1(p(U )) ⇔ p(x) ∈ p(U ) ⇔ ∃y ∈ U : [x] = p(x = p(y) = [y] tn to ⇔ ∃y ∈ U, ∃g ∈ G : x = g(y) = θg (y) ⇔ ∃g ∈ G, x ∈ θg (U ) ⇔x∈ S gh g∈G θg (U ) ⇒ p−1 (p(U )) = S g∈G θg (U ) p ie Vì θg (U ) : X −→ X phép đồng phôi nên θg (U ) mở, suy p−1 (p(U )) mở Phạm trù d 1.4 oa nl w Vậy p(U ) mở X/G an lu nf va Ta nói cho phạm trù C cho: lm ul i) Một lớp vật A, B, C, X, Y, Z ký hiệu Ob(C) z at nh oi ii) Với vật X, Y xác định tập hợp Hom(X, Y ) gọi cấu xạ từ X đến Y với X gọi tập nguồn Y gọi tập đích Nếu f ∈ Hom(X, Y ), ta viết f : X −→ Y X f - Y z @ gm iii) Với vật X, Y, Z ∈ Ob(C) cấu xạ f : X −→ Y, g : Y −→ Z Khi m a) Phép hợp thành có tính kết hợp co l g ◦ f : X −→ Z cấu xạ hợp thành thõa mãn tiên đề sau: an Lu Nếu f : X −→ Y, g : Y −→ Z h : Z −→ W Khi h◦(g◦f ) = (h◦g)◦f : X −→ W b) Phép hợp thành có cấu xạ đồng n va ac th si 35 n Mặt dj : ∆+ [n]k −→ ∆+ [n]k−1 cho dj (i0 , i1 , , dk ) = (i0 , i1 , , ˆij , , ik ), tức xóa ij Đặt σn = (0, 1, , n) Khi (i0 , i1 , , ik ) = dj1 dj2 djn−k σn Trong j1 < j2 < < jn−k , {j1 , , jk } = {0, 1, , n} \ {i0 , i1 , , ik } Nói cách khác, phần tử ∆[n] viết lặp lại mặt σn Đồng điều ∆-tập 3.1.2 Một ∆-tập G = {Gn }n≥0 gọi ∆-nhóm Gn nhóm, mặt di nhóm đồng cấu Nói cách khác ∆-nhóm có nghĩa lu an đối hàm tử từ O+ đến phạm trù nhóm Trừu tượng hơn, với n va phạm trù C ∆-vật C có nghĩa đối hàm tử từ O+ đến C Nói cách tn to khác, ∆-vật C có nghĩa dãy vật C , X = {Xn }n≥0 gh với mặt di : Xn −→ Xn−1 đồng cấu C p ie Chú ý phức dây chuyền nhóm có nghĩa dãy C = w {Cn } nhóm với vi phân ∂n : Cn −→ Cn−1 cho ∂n ◦ ∂n+1 tầm oa nl thường, tức Im(∂n+1 ) ⊆ Ker(∂n ) đồng điều định nghĩa d Hn (C) = Ker(∂n )/Im(∂n+1 ) lu nf va an Một phức dây chuyền C gọi chuẩn tắc Im(∂n+1 ) nhóm chuẩn tắc Ker(∂n ) với n Trong trường hợp Hn (C) nhóm z at nh oi lm ul với n Mệnh đề 3.3 Cho G nhóm ∆-nhóm Abel Định nghĩa ∂n = n X (−1)i di : Gn - Gn−1 z gm @ i=0 Khi ∂n−1 ◦ ∂n = 0, tức G phức dây chuyền ∂∗ co l Chứng minh Ta có (−1) di i=0 X j=0 06i6j 6n (−1)j dj = (−1)i+j di dj + X 06j 6i6n−1 (−1)i+j di dj n va n X an Lu i m ∂n−1 ◦ ∂n = n X ac th si 36 X = 06i6j 6n = X X (−1)i+j di dj + (−1)i+j dj di+1 06j 6i+16n X (−1)i+j di dj + 06i6j 6n (−1)i+j−1 dj di = 06j 6i6n Cho X ∆-tập Đồng điều H∗ (X; G) X với hệ số G xác định H∗ (X; G) = H∗ (Z(X) ⊗ G, ∂∗ ), Z(X) = {Z(Xn )}n≥0 Z(Xn ) nhóm Abel tự sinh Xn lu an Mệnh đề 3.4 Cho - i C0 - C p - C 00 - dãy khớp ngắn bất n va kỳ phức dây chuyền (có thể khơng giao hốn) nhóm Khi có gh tn to dãy khớp dài ··· Hk+1 (C 00 ) - ∂k+1 - i∗ Hk (C ) - p∗ Hk (C) - Hk (C 00 ) - ··· p ie w Hơn nữa, C C 00 chuỗi phức chuẩn tắc ∂k+1 đồng cấu oa nl nhóm với k d Chứng minh Ta có biểu đồ giao hốn an lu nf va i ⊂ Ck+2 Ck+2 lm ul ∂0 - i ? - Ck+1 ? p 00 Ck+1 ∂ ? Ck p ? Ck00 ∂0 i ? - ? p 00 Ck−1 n va Ck−1 an Lu ? ⊂ Ck−11 ∂ 00 ∂ m co l - ∂ 00 gm i @ ⊂ ∂ 00 z ? 00 Ck+2 ∂ ∂0 Ck0 z at nh oi ? ⊂ Ck+1 p ac th si 37 00 với ∂ 00 (x) = 1, tồn x˜ ∈ Ck+1 cho p(˜ x) = x Vì Lấy x ∈ Ck+1 p(∂(˜ x)) = ∂ 00 (p(˜ x)) = ∂ 00 (x) = 1, tồn x ∈ Ck0 cho i(x) = ∂(˜ x) Bây giờ, ta có i(∂ (x)) = ∂(i(x)) = ∂ ◦ ∂(˜ x) = Do x chu trình C x xác định phần tử Hk (C ) Lấy xˆ phần tử khác Ck+1 cho p(ˆ x) = x p(˜ xxˆ−1 ) = tồn cho i(z) = x˜−1 xˆ Ta có phần tử z ∈ Ck+1 i(x∂ (z)) = ∂(˜ x)(∂(˜ x))−1 ∂(ˆ x) = ∂(ˆ x) lu an n va Do {˜ x} ∈ Hk (C ) không phụ thuộc vào cách chọn nghịch ảnh x Ck+1 gh tn to 00 , tồn y ˜ ∈ Ck+2 cho Giả sử x0 = x∂ 00 (y) với ∂ 00 (x) = y ∈ Ck−2 p ie p(˜ y ) = y Khi x0 = p(˜ x∂(˜ y )) với x0 = ∂(˜ x∂(˜ y )) = ∂(˜ x) = x Điều cho thấy ∂k+1 : Hk+1 (C 00 ) - Hk (C ) cho {x} 7→ {x} định nghĩa tốt Giả sử C oa nl w 00 với ∂ 00 (x) = ∂ 00 (x0 ) = C 00 phức dây chuyền chuẩn tắc Cho x, x0 ∈ Ck+1 Khi p(˜ xx˜0 ) = xx0 d lu nf va an ∂k+1 ({x}{x0 }) = ∂k+1 ({x})∂k+1 ({x0 }), lm ul với điều kiện C , C 00 chuẩn tắc z at nh oi Phép hợp thành i∗ ◦∂k+1 tầm thường i(x) = ∂(˜ x) Lấy y ∈ Ck0 với ∂ (y) = i∗ (y) tầm thường Hk (C) Khi tồn tai y˜ ∈ Ck+1 cho i(y) = ∂(˜ y ) Theo cách xây dựng ∂k+1 , ta có ∂k+1 (p(˜ y )) = y , điều cho thấy z Hk (C ) i∗ - Hk (C) l gm - @ ∂k+1 Hk+1 (C 00 ) m co khớp Bây giờ, thấy p∗ - ∂k+1 - Hk (C ) n va Hk+1 (C 00 ) an Lu Hk+1 (C 00 ) ac th si 38 khớp Lấy y ∈ Ck+1 cho ∂(y) = Theo cách xây dựng ∂k+1 , ta có 00 ∂k+1 (p(y)) = nên phức hợp ∂k+1 ◦ p∗ tầm thường Giả sử x ∈ Ck+1 với ∂ 00 (x) = x = ∂k+1 (x) tầm thường Hk (C ), tồn phần tử cho z ∈ Ck+1 ∂ (z) = x Lấy xˆ = i(z)−1 x˜ p(ˆ x) = p(i(z)−1 x˜) = p(˜ x) = x, với lu an ∂(ˆ x) = ∂(i(z)−1 x˜) = i(∂ (z)−1 x) = n va Do xˆ xác định phần tử Hk+1 (C) với p∗ ({ˆ x}) = {x} Cuối chúng to tn ta chứng tỏ i∗ - Hk (C) p∗ - Hk (C 00 ) p ie gh Hk (C ) khớp Vì p ◦ i tầm thường nên p∗ ◦ i∗ Lấy y ∈ Ck với ∂(y) = oa nl w 00 cho p∗ (y) tầm thường Hk (C 00 ), tồn phần tử z ∈ Ck+1 d p(y) = ∂ 00 (z) an lu nf va Lấy z˜ ∈ Ck+1 cho p(˜ z ) = z Khi lm ul p(y∂(˜ z −1 )) = ∂ 00 (z)p(∂(˜ z −1 )) = ∂ 00 (z)∂ 00 (p(˜ z )−1 ) = ∂ 00 (z)∂ 00 (z −1 ) = z at nh oi Do tồn ω ∈ Ck0 cho i(ω) = y∂(˜ z −1 ) với z i(∂ (ω)) = ∂(i(ω)) = ∂(y∂(˜ z −1 )) = 1, gm @ co l ∂ (ω) = Do i∗ ({ω}) = {y} Mệnh đề chứng minh m Cho X ∆-tập X Đồng điều tương đối H∗ (X, X ; G) n va H∗ (X, X ; G) = H∗ (Z(X)/Z(X ) ⊗ G, ∂∗ ) an Lu xác định ac th si 39 Hệ 3.5 Cho X ∆-tập X Khi có dãy khớp dài ··· - Hk+1 (X, X ; G) ∂k+1 - i∗ p∗ Hk (X ; G) - Hk (X; G) - Hk (X, X ; G) - ··· với G nhóm Abel 3.2 Các tập đơn hình 3.2.1 Khái niệm tập đơn hình lu an Một tập đơn hình nghĩa ∆-tập X với suy biến si : Xn Xn+1 - va cho sj si = si+1 sj với j i n gh tn to p ie dj s i =     si−1 dj    j = i, i + 1, j > i + nl w id      si dj−1 j < i, d oa Ba đồng thức di dj , sj si , di sj gọi đồng đơn hình nf va an lu Chú ý Ta xác định di si sau: di : (x0 , , xn ) −→ (x0 , , xi−1 , xi+1 , , xn ), lm ul si : (x0 , , xn ) −→ (x0 , , xi−1 , xi , xi , xi+1 , , xn ) z at nh oi Cho O phạm trù có vật tập hữu hạn thứ tự cấu xạ hàm f : X −→ Y cho f (x) f (y) x < y Các vật O cho z gm @ [n] = {0, , n} với n > vật O+ Cấu xạ O+ tạo l thành di xác định O+ ta có cấu xạ   m co ··· i − i i + i + ··· n +  si : [n + 1] → [n] si =  ··· i − i i i + ··· n an Lu n va với i n, si (i) = si (i + 1) = i ac th si 40 Một ánh xạ đơn hình f : X → Y dãy hàm f = fn : Xn → Yn với n > cho fn ◦ di = di ◦ fn fn ◦ si = si ◦ fn Tức biểu đồ sau giao hoán Xn+1  si Xn di Xn−1 - f f ? Yn+1  si ? Yn f di ? - Yn−1 Ví dụ 3.6 (n-đơn hình) Cho n-đơn hình ∆[n] tập đơn hình cho lu ∆[n]k = {(i0 , i1 , , , ik )|0 i0 , i1 , ik in }, an n va với k n Ánh xạ mặt dj : ∆[n]k −→ ∆[n]k−1 cho tn to p ie gh dj (i0 , i1 , , dk ) = (i0 , i1 , , ˆij , , ik ), nl w tức xóa ij Ánh xạ suy biến sj : ∆[n]k −→ ∆[n]k+1 cho d oa sj (i0 , i1 , , dk ) = (i0 , i1 , , ij , ij , , ik ), an lu tức nhân đôi ij Cho σn = (0, 1, , n) ∈ ∆[n]n Khi đó, phần tử nf va ∆[n]n viết lặp lại tổ hợp mặt suy biến σn lm ul Mệnh đề 3.7 Cho X tập đơn hình phần tử x ∈ Xn Khi đó, tồn z at nh oi ánh xạ đơn hình fx : ∆[n] −→ X cho fx (σn ) = x Cho X tập đơn hình A = {An }n>0 với An ⊆ Xn Tập hợp đơn z gm @ hình X sinh A định nghĩa m co l hAi = {A ⊆ Y ⊆ X|Y tập đơn hình}, nghĩa hAi bao gồm phần tử X viết lặp lại tổ hợp an Lu mặt suy biến phần tử A n va ac th si 41 Ví dụ 3.8 (Mặt cầu n chiều) Mặt cầu n chiều đơn hình S n định nghĩa S n = ∆[n]/∂(∆[n]), ∂(∆[n]) tập hợp đơn hình ∆[n] sinh ∆[n]k với k < n Trong đơn hình S ta có i z }| { ∆[1]k = {(i0 , , ik )|0 i0 ik 1} = {(0, , 0, 1, , 1)|0 i k + 1}, có k + phần tử Do lu an ∂(∆[n]k = {(0, , 0), (1, , 1)} n va tn to Theo định nghĩa S = ∆[1]/∂(∆[1]) nên gh i z }| { = {∗, (i0 , , ik )|0 i0 ik 1} = {(0, , 0, 1, , 1)|1 i k}, p ie Sk1 nl w có k + phần tử kể điểm sở ∗ = (0, , 0) ∼ (1, , 1) d oa Đối với mặt cầu đơn hình n chiều S n , có Skn = {∗} với k < n lu nf va an Skn = {∗, (i0 , , ik )|0 i0 ik n, với {i0 , , ik } = {0, 1, , n}} với k ≥ n lm ul z at nh oi Cho X tập đơn hình Định nghĩa skn (X) = hXk |k ni Khi đó, nhận lọc khung X z sk0 (X) ⊆ sk1 (X) ⊆ S skn (X)/skn−1 (X) = α∈Jn S n tổng chêm mặt m co cầu đơn hình n chiều W l n skn (X) gm @ với X = ∼ = - Hj (X; G) với j < n toàn cấu j = n n va sinh đẳng cấu Hj (skn (X); G) an Lu Mệnh đề 3.9 Cho G nhóm Abel Khi đó, phép nhúng skn (X) −→ X cảm ac th si 42 Chứng minh Lấy C = Z(skn (X)) ⊗ G C = Z(skn (X)) ⊗ G Khi đó, C phức phức dây chuyền C với Ck0 = Ck , k n Đặt C 00 = C/C Khi Ck00 = với k n Khẳng định suy từ dãy khớp dài dãy C0 - C 3.2.2 - C 00 Biễu diễn hình học tập đơn hình Một tập ∆n cho n X n lu ∆ = {(t0 , t1 , , tn )|ti ≥ ti = 1}, an i=0 n va gọi n-đơn hình chuẩn gh tn to Định nghĩa di : ∆n−1 −→ ∆n si : ∆n+1 −→ ∆n cho p ie di (t0 , t1 , , tn−1 ) = (t0 , , ti−1 , 0, ti , , tn−1 ), d với i n oa nl w si (t0 , t1 , , tn+1 ) = (t0 , , ti−1 , ti + ti+1 , , tn+1 ) lu nf va định nghĩa an Cho X tập đơn hình Khi biễu diễn hình học |X| CW -phức lm ul |X| = a n (∆ , x)/ ∼= ∆n × Xn / ∼, n=0 z at nh oi x∈Xn ,n≥0 ∞ a (∆n , x) ∆n đánh dấu x ∈ Xn ∼ sinh z gm @ (z, di x) ∼ (di z, x) co l với x ∈ Xn z ∈ ∆n−1 xác định di x (z, si x) ∼ (si z, x) với x ∈ Xn , z ∈ an Lu đồng với điểm (∆n , x) m ∆n+1 đánh dấu si x Chú ý điểm (∆n+1 , si x) Và (∆n−1 , di x) n va ac th si 43 Cho f : X → Y ánh xạ đơn hình Khi ánh xạ hình học |f | định nghĩa |f |(z, x) = (z, f (x) với x ∈ Xn z ∈ ∆n đánh dấu x Khi |f | ánh xạ liên tục Như việc mơ tả hình học cho ta hàm tử từ phạm trù tập đơn hình tới phạm trù CW-phức Cho X Y tập đơn hình Tích trực tiếp X × Y định nghĩa (X × Yn = Xn × Yn lu an n va X×Y Y Y với dX×Y = (dX − (sX i , di ) si i , si ) i tn to Các tập đơn hình kỳ dị đồng điều kỳ dị p ie gh 3.3 nl w oa Cho ∆n n-đơn hình hình học Các ánh xạ di : ∆n−1 −→ ∆n si : d ∆n+1 −→ ∆n định nghĩa an lu nf va di (t0 , t1 , , tn−1 ) = (t0 , , ti−1 , 0, ti , , tn−1 ), với i z at nh oi lm ul si (t0 , t1 , , tn+1 ) = (t0 , , ti−1 , ti + ti+1 , , tn+1 ) Cho không gian X bất kỳ, định nghĩa: Sn (X) = Map(∆n , X) tập tất z ánh xạ liên tục từ ∆n vào X với gm @ di = di∗ : Sn (X) = Map(∆n , X) −→ Sn−1 (X) = Map(∆n−1 , X), l m co si = si∗ : Sn (X) = Map(∆n , X) −→ Sn+1 (X) = Map(∆n+1 , X) n va S∗ (X) ∆-tập Từ cho ta định nghĩa đồng điều kỳ dị: an Lu với i n Khi S∗ (X) = {Sn (X)}n≥0 tập đơn hình kỳ dị Đặc biệt ac th si 44 Định nghĩa 3.10 Cho cặp không gian (X, A), đồng điều kỳ dị H∗ (X, A; G) với hệ số G định nghĩa: H∗ (X, A; G) = H∗ (S∗ (X), S∗ (A); G) Ta kiểm tra đồng điều kỳ dị thỏa mãn tiên đề Eilenberg-Steenrod (xem Hatcher [1]) ∆-phức đồng điều đơn hình 3.4 lu an Cho ∆n n-đơn hình di : ∆n−1 −→ ∆n cho va n di (t0 , t1 , , tn−1 ) = (t0 , , ti−1 , 0, ti , , tn−1 ), tn to ie gh với i Biên n p ∂∆ = n [ di (∆[n − 1]) i=0 w oa nl hợp tất mặt ∆n Lấy Int(∆n = ∆n /∂∆n phần ∆n d gọi đơn hình mở an lu Định nghĩa 3.11 Một cấu trúc ∆-phức không gian X tập hợp ánh nf va xạ lm ul C(X) = {σα : ∆n −→ X|α ∈ Jn , n > 0} z at nh oi cho 1) σα |Int(∆n ) : Int(∆n ) −→ X toàn ánh điểm X nằm ảnh gm @ 2) Với σα ∈ C(X), σα ◦ di ∈ C(X) z hạn chế σα |Int(∆n ) m σα ∈ C(X) co l 3) Một tập A ⊆ X mở σα−1 (A) mở ∆n với n va Cn∆ = {σα : ∆n −→ X|α ∈ Jn } ⊆ C(X), an Lu Định nghĩa ac th si 45 ∆ (X) cho d (σ ) = σ ◦ di , i n với di : Cn∆ (X) −→ Cn−1 α i α Khi C∗∆ (X) = {Cn∆ (X)}n>0 ∆-tập Đồng điều kỳ dị X với hệ số G định nghĩa H∗∆ (X; G) = H∗ (C∗∆ (X); G) Nếu A phức X , định nghĩa H∗∆ (X, A; G) = H∗ (C∗∆ (X), C∗∆ (A); G) lu Vì σα : G∆n −→ X ánh xạ nhúng ∆-ánh xạ C∗∆ −→ S∗ (X) an cảm sinh phép biến đổi tự nhiên H∗∆ (X, A; G) −→ H∗ (X, A; G) với n va cặp ∆-phức (X, A) to gh tn Định lý 3.12 Cho X ∆-phức A tập hợp phức Khi đó, p ie Hn∆ (X, A; G) −→ Hn (X, A; G) đẳng cấu với n w Chứng minh sơ lược Chỉ cần chứng minh A = ∅ Để chứng minh H∗∆ (X; G) ∼ = d Ta thấy oa nl H∗ (X; G), ta chứng minh phương pháp quy nạp khung X nf va an lu skn (X)/skn−1 (X) ∼ = _ S n α∈Jn Hk∆ (skn (X), skn−1 (X); G) = z at nh oi lm ul Theo định nghĩa đồng điều đơn hình có   L α∈Jn G k = n,  0 z gm @ Điều chứng minh trường hợp lại co l H∗∆ (skn (X), skn−1 (X); G) ∼ = H∗ (skn (X), skn−1 (X); G) _ n va α∈Jn S n ; G) an Lu H∗ (skn (X), skn−1 (X); G) ∼ = H ∗( m ta cần phải ac th si 46 Giả sử H∗∆ (skn−1 (X); G) ∼ = H∗ (skn−1 ; G), người ta kết luận H∗∆ (skn (X); G) ∼ = H∗ (skn (X); G) cách áp dụng dãy khớp dài cho đồng điều 3.5 Đối đồng điều kỳ dị Cho X ∆-tập Ta biết Z(X) = {Z(Xn )|n > 0} phức dây chuyền lu với an ∂n = n X (−1)i di : Z(Xn ) −→ Z(Xn−1 ) va i=0 n Hom(Z(X0 ), G) ∂0∗ - Hom(Z(X1 ), G) ∂1∗ - ∂2∗ Hom(Z(X2 ), G) - ··· , p ie gh tn to Cho G nhóm Abel tùy ý Ta xét w d oa nl ∂n∗ (f ) = f ◦ ∂n , nf va an lu với f ∈ Hom(Z(Xn ), G) Đặt δn = ∂n∗ Khi ∗ δn+1 ◦ δn = ∂n+1 ◦ ∂n∗ = (∂n ◦ ∂n+1 )∗ = lm ul z at nh oi Như dãy nhóm Hom(Z(X), G) = {Hom(Z(Xn ), G)} với vi phân δ phức đối dây chuyền Khi đối đồng điều X với hệ số G định nghĩa z H n (X; G) = Hn (Hom(Z(X), G)) = Ker(δn )/Im(δn−1 ), l gm @ với n m co Từ đối đồng điều kỳ dị đối đồng điều đơn hình Các lý thuyết đối đồng điều thỏa mãn tiên đề Eilenberg-Steenrod an Lu n va ac th si 47 Kết luận Trong luận văn này, chúng tơi trình bày vấn đề sau: lu an • Trình bày kiến thức chuẩn bị tơpơ đại cương, đặc biệt trình bày va kết cần thiết tôpô không gian tôpô thương, tác động n gh tn to nhóm khơng gian tơpơ khơng gian quỹ đạo p ie • Trình bày chi tiết hệ tiên đề Eilenberg-Steenrod số tính tốn cụ thể nl w minh họa cho lý thuyết đồng điều tổng qt oa • Trình bày chi tiết cách xây dựng lý thuyết đồng điều đối đồng điều kỳ d dị không gian tơpơ an lu Luận văn đóng góp tài liệu tham khảo cho lĩnh vực nghiên cứu nhóm nf va bản, lý thuyết đồng điều đối đồng điều kỳ dị lm ul Trong trình thực luận văn này, gợi ý giúp đỡ z at nh oi tận tình PGS TS Nguyễn Sum, người hướng dẫn luận văn z m co l gm @ an Lu n va ac th si 48 Tài liệu tham khảo [1] Allen Hatcher, (2002), Algebraic Topology, Cambridge University Press lu an [2] C Kosniowski, (1980), A first course in Algebraic topology, Cambridge Uni- va versity Press n gh tn to [3] J Wu, (2008), Lecture Notes on Algebraic Topology, Internet, online at: p ie http://www.math.nus.edu.sg/ matwujie/ma5209.pdf d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Quyết định giao đề tài luận văn thạc sĩ lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si