(Luận văn) lý thuyết đồng điều và đối đồng điều kỳ dị

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN LÊ THỊ KIM NGỌC lu an n va p ie gh tn to LÝ THUYẾT ĐỒNG ĐIỀU VÀ ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU KỲ DỊ d oa nl w fu an nv a lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m ll z at nh z gm @ m co l an Lu Bình Định - Năm 2019 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN LÊ THỊ KIM NGỌC lu LÝ THUYẾT ĐỒNG ĐIỀU VÀ ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU KỲ DỊ an n va p ie gh tn to oa nl w Chuyên ngành: Đại số Lí thuyết số Mã số: 46 01 04 d fu an nv a lu oi m ll LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh z Người hướng dẫn: PGS TS NGUYỄN SUM gm @ m co l an Lu n va ac th si Mục lục Mở đầu lu Chương Một số kiến thức sở n va 1.2 Không gian thương 1.3 Tác động nhóm lên tập hợp G-Không gian 1.4 Phạm trù 1.5 Hàm tử 1.6 Đồng luân 1.7 Không gian co rút 1.8 Đối phân thớ tn to Không gian tôpô gh an 1.1 p ie d oa nl w Chương fu an nv a lu 10 Hệ tiên đề Eilenberg-Steenrod 12 Hệ tiên đề Eilenberg-Steenrod 12 2.2 Các tiên đề Eilenberg-Steenrod đối đồng điều 20 2.3 Một số tính tốn ứng dụng lý thuyết đồng điều 22 2.3.1 Bậc ánh xạ 22 2.3.2 Đồng điều phân ngăn CW-phức oi m ll 2.1 z gm @ Cấu trúc phân ngăn tích CW-phức Lý thuyết đồng điều đối đồng điều kỳ dị 33 m co ∆-tập, tập đơn hình đồng điều 33 Lu ∆-tập 33 an 3.1.1 29 l Chương 3.1 z at nh 2.4 25 n va ac th si 3.1.2 Đồng điều ∆-tập 35 Các tập đơn hình 39 3.2.1 Khái niệm tập đơn hình 39 3.2.2 Biễu diễn hình học tập đơn hình 42 3.3 Các tập đơn hình kỳ dị đồng điều kỳ dị 43 3.4 ∆-phức đồng điều đơn hình 44 3.5 Đối đồng điều kỳ dị 46 3.2 lu an Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48 Quyết định giao đề tài luận văn thạc sĩ 49 n va p ie gh tn to d oa nl w oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Mở đầu Lý thuyết đồng điều, đối đồng điều lý thuyết đồng luân lĩnh vực lu kiến thức quan trọng Tôpô đại số an Lý thuyết đồng điều bắt đầu phát triển vào năm đầu kỷ XII n va H Poincaré đưa khái niệm dây chuyền, chu trình, đồng điều tn to số không gian không gian R Các khái niệm đặt móng cho gh phát triển lý thuyết đồng điều đối đồng điều tổng quát Sau đó, p ie khái niệm mở rộng cho không gian tôpô Các nghiên cứu oa nl w nhóm đồng điều đối đồng điều tìm thấy cơng trình nghiên cứu nhà toán học S Lefschetz, P.S Alexandrov, S Eilenberg, d Eilenberg Steenrod người xây dựng hệ tiên đề cho lý fu an nv a lu thuyết đồng điều phạm trù cặp không gian tôpô, phát triển lý thuyết mối quan hệ chặt chẽ với đại số đồng điều lý thuyết phạm trù Đồng điều đối đồng điều kỳ dị trường hợp riêng lý thuyết m ll đồng điều đối đồng điều, nhằm nghiên cứu lớp bất biến đại oi số khơng gian tơpơ X Nói cách vắn tắt, đồng điều kỳ dị xây dựng z at nh sau: Lấy ánh xạ liên tục từ n-đơn hình chuẩn đến khơng gian tơpơ X , sau xét nhóm Abel tự sinh tất ánh xạ này, gọi dây chuyền z gm @ kỳ dị Toán tử bờ đơn hình cảm sinh phức dây chuyền kỳ dị Khi đó, đồng điều kỳ dị đồng điều phức dây chuyền Các nhóm đồng điều l m co nhận khơng gian tương đương đồng ln với nhau, lý cho việc nghiên cứu chúng Việc xây dựng áp dụng cho Lu khơng gian tơpơ, đồng điều kỳ dị biễu diễn theo lý thuyết an n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an phạm trù, nhóm đồng điều trở thành hàm tử phạm trù khơng gian tơpơ đến phạm trù nhóm Abel phân bậc Bên cạnh lý thuyết đồng điều kỳ dị, nhà tốn học nghiên cứu tìm nhiều lý thuyết đồng điều khác Chẳng hạn, lý thuyết đồng điều phức hợp đơn hình, lý thuyết đồng điều CW −phức, lý thuyết đồng điều phổ, lý thuyết đồng điều đối đồng điều Cech, lý thuyết đối đồng điều Alexander, K -lý thuyết, Hiện nay, ngành tôpô đại số, lý thuyết đồng điều trở thành công cụ vô hiệu việc nghiên cứu phát triển nhiều ngành toán học đại Hình học vi phân, Hình học đại số, Tôpô vi phân, lu Lý thuyết phạm trù, v.v an Mục đích luận văn tìm hiểu trình bày lý thuyết đồng điều n va đối đồng điều theo hệ tiên đề sử dụng vào việc xây dựng lý thuyết đồng to Ngoài mục lục, phần mở đầu, phần kết luận tài liệu tham khảo, nội p ie gh tn điều đối đồng điều kỳ dị không gian tơpơ dung luận văn chia thành ba chương với nội dung sau: Chương Một số kiến thức sở Chương hệ thống lại cho oa nl w số kiến thức trọng tâm tôpô đại cương không d gian tôpô bao gồm kiến thức ánh xạ liên tục, tác động nhóm lên a lu không gian tôpô, quan hệ đồng luân, phạm trù hàm tử để làm sở fu an nv việc trình bày chương Chương Hệ tiên đề Eilenberg-Steenrod Trong chương chúng m ll tơi trình bày hệ tiên đề Eilenberg-Steenrod số tính tốn cụ thể minh họa oi z at nh cho lý thuyết đồng điều tổng quát Chương Lý thuyết đồng điều đối đồng điều kỳ dị Trình bày z cách xây dựng lý thuyết đồng điều đối đồng diều kỳ dị không gian @ tôpô gm l Các tư liệu luận văn trình bày từ tài liệu J Wu [3] m co Kosniowski [2] an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Chương Một số kiến thức sở lu an n va Không gian tôpô gh tn to 1.1 p ie Định nghĩa 1.1 Cho X tập hợp, P(X) tập hợp tất tập oa nl w X Tập τ ⊂ P(X) gọi tôpô nếu: i) ∅, X ∈ τ S d ii) ∀Ui ∈ τ, i ∈ I, Ui ∈ τ a lu i∈I fu an nv iii) ∀C1 , C2 , , Cn ∈ τ, ∩ni=1 Ci ∈ τ Cặp (X, τ ) gọi không gian tôpô, tập hợp U ∈ τ gọi tập mở X oi m ll Ví dụ: z at nh + τ = {∅, X} tôpô, gọi tôpô thô + τ = P(X) tôpô, gọi tôpô rời rạc z gm tôpô gọi tôpô cảm sinh mêtric d @ + Nếu (X, d) khơng gian mêtric họ τ tất tập mở theo mêtric d l m co Định nghĩa 1.2 (Ánh xạ liên tục) Cho X, Y không gian tôpô Ánh xạ f : X −→ Y liên tục thõa mãn hai mệnh đề: an + Mọi tập đóng C ⊂ Y f −1 (C) đóng X Lu + Mọi tập mở U ⊂ Y f −1 (U ) mở X n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Định nghĩa 1.3 (Không gian con) Cho (X, τ ) không tôpô, Y ⊂ X, Y 6= ∅ Đặt τY = {U ∩ Y |U ∈ τ } với τY ⊂ P(Y ) Khi τY tơpơ Y Không gian tôpô (Y, τY ) gọi không gian X Định lý 1.4 Nếu Y ⊂ X phép nhúng i : Y ,→ X ; x 7−→ x ánh xạ liên tục Định nghĩa 1.5 (Không gian trực tiếp) Cho X, Y không gian tôpô Đặt S τ = { i∈I Ui × Vi |Ui mở X , Vi mở Y , i ∈ I} Khi τ tơpơ (X × Y, τ ) gọi tích trực tiếp X Y lu an 1.2 Không gian thương n va Định nghĩa 1.6 (Không gian thương) Cho X không gian tôpô, Y tập to gh tn hợp f : X −→ Y toàn ánh Đặt Uf = {U ⊂ Y |f −1 (U ) mở X }⊂ P(Y ) Khi Uf tơpơ Y không gian tôpô (Y, Uf ) gọi không gian tôpô p ie thương X ánh xạ f oa nl w Định lý 1.7 Cho X không gian tôpô, Y tập hợp, f : X −→ Y ánh xạ Khi d fu an nv a lu 1) Nếu trang bị cho Y tơpơ thương Uf f ánh xạ liên tục 2) Nếu τ ⊂ P(Y ) tôpô cho f liên tục τ τ ⊂ Uf 3) Cho Z không gian tôpô, g : Y −→ Z ánh xạ, Y trang bị tơpơ m ll thương Uf Khi g ánh xạ liên tục gf liên tục oi z at nh Chứng minh 1) 2) suy từ định nghĩa Uf 3) Vì f liên tục nên g liên tục gf liên tục z Giả sử gf liên tục, V ⊂ Z mở suy (gf )−1 (V ) mở X @ m co l Do g −1 (V ) mở Y suy g liên tục gm Vì (gf )−1 (V ) = f −1 (g −1 (V )) mở X suy g −1 (V ) ∈ Uf Định nghĩa 1.8 Cho không gian tôpô X ∼ quan hệ tương đương X an Lu Y = X/ ∼= {[x]|x ∈ X}, [x] = {y|x ∼ y} n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an p : X −→ Y cho x 7→ p(x) = [x] phép chiếu tắc Khi Y trang bị tôpô thương p Y gọi không gian thương X quan hệ ∼ Như U ⊂ Y mở p−1 (U ) mở X Cho X = Rn+1 {0} X định nghĩa quan hệ ∼ sau: ∀x, y ∈ X, x ∼ y ∃α ∈ R∗ , y = αx Khi ∼ quan hệ tương đương Tập thương RP n : −X/ ∼ không gian xạ ảnh n chiều Như RP n không gian tôpô với tôpô thương quan hệ ∼ lu an Tác động nhóm lên tập hợp G- n va 1.3 to gh tn Không gian p ie Định nghĩa 1.9 Cho X tập hợp khác rỗng, G nhóm với phép tốn nhân oa nl w (.) Một tác động (trái) G lên X ánh xạ G × X −→ X, (g, x) 7→ gx cho g, h ∈ G, ∀x ∈ X + g(hx) = (gh)x d a lu + ex = x (e đơn vị G) fu an nv Khi G gọi G tập Mệnh đề 1.10 Cho G nhóm X G-tập với x ∈ X Khi ánh m ll xạ θg : X −→ X cho x 7→ θg (x) = gx song ánh ánh xạ ngược θg−1 = θg−1 oi z at nh Chứng minh θg θg− (x) = θg (g −1 x) = g(g −1 x) = (gg −1 )x = ex = x Tương tự, ta có (θg−1 θg )(x) = x Vậy θg θg− = θg− θg = idX z gm @ Định nghĩa 1.11 Cho X G-tập Định nghĩa quan hệ ∼ X sau: x, y ∈ X, x ∼ y ⇔ ∃g ∈ G : y = gx Khi ∼ quan hệ tương đương X l Suy [x] = {gx|g ∈ G} = Gx m co x ∈ X, [x] ∈ X/ ∼ Khi y ∈ X, x ∼ y ⇔ ∃g ∈ G : y = gx an Tâp thương X/G = X/ ∼ gọi tập hợp quỹ đạo Lu [x] = Gx gọi quỹ đạo X qua X n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Định nghĩa 1.12 Cho X không gian tôpô đồng thời G-tập với G nhóm X gọi G-không gian ∀g ∈ G, θg : X −→ X liên tục Khi đó, tập hợp thương X/G khơng gian tơpơ (thương phép chiếu tắc) gọi không gian quỹ đạo Xét phép chiếu tắc p : X −→ X/G; x 7→ [x] = Gx Định lý 1.13 Nếu X G-không gian phép chiếu tắc p : X −→ X/G ánh xạ mở Chứng minh Cho U ⊂ X tâp mở Ta chứng minh p(U ) mở X/G lu an Tức p−1 (p(U )) mở X n va ∀x ∈ p−1(p(U )) ⇔ p(x) ∈ p(U ) ⇔ ∃y ∈ U : [x] = p(x = p(y) = [y] tn to ⇔ ∃y ∈ U, ∃g ∈ G : x = g(y) = θg (y) ⇔ ∃g ∈ G, x ∈ θg (U ) ⇔x∈ S gh g∈G θg (U ) ⇒ p−1 (p(U )) = S g∈G θg (U ) p ie Vì θg (U ) : X −→ X phép đồng phôi nên θg (U ) mở, suy p−1 (p(U )) mở Phạm trù d 1.4 oa nl w Vậy p(U ) mở X/G a lu fu an nv Ta nói cho phạm trù C cho: i) Một lớp vật A, B, C, X, Y, Z ký hiệu Ob(C) m ll oi ii) Với vật X, Y xác định tập hợp Hom(X, Y ) gọi cấu xạ z at nh từ X đến Y với X gọi tập nguồn Y gọi tập đích Nếu f ∈ Hom(X, Y ), ta viết f : X −→ Y X f - Y z @ gm iii) Với vật X, Y, Z ∈ Ob(C) cấu xạ f : X −→ Y, g : Y −→ Z Khi a) Phép hợp thành có tính kết hợp m co l g ◦ f : X −→ Z cấu xạ hợp thành thõa mãn tiên đề sau: Lu Nếu f : X −→ Y, g : Y −→ Z h : Z −→ W Khi h◦(g◦f ) = (h◦g)◦f : X −→ W an b) Phép hợp thành có cấu xạ đồng n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 35 n Mặt dj : ∆+ [n]k −→ ∆+ [n]k−1 cho dj (i0 , i1 , , dk ) = (i0 , i1 , , ˆij , , ik ), tức xóa ij Đặt σn = (0, 1, , n) Khi (i0 , i1 , , ik ) = dj1 dj2 djn−k σn Trong j1 < j2 < < jn−k , {j1 , , jk } = {0, 1, , n} \ {i0 , i1 , , ik } Nói cách khác, phần tử ∆[n] viết lặp lại mặt σn Đồng điều ∆-tập 3.1.2 Một ∆-tập G = {Gn }n≥0 gọi ∆-nhóm Gn nhóm, mặt di nhóm đồng cấu Nói cách khác ∆-nhóm có nghĩa lu an đối hàm tử từ O+ đến phạm trù nhóm Trừu tượng hơn, với n va phạm trù C ∆-vật C có nghĩa đối hàm tử từ O+ đến C Nói cách tn to khác, ∆-vật C có nghĩa dãy vật C , X = {Xn }n≥0 gh với mặt di : Xn −→ Xn−1 đồng cấu C p ie Chú ý phức dây chuyền nhóm có nghĩa dãy C = oa nl w {Cn } nhóm với vi phân ∂n : Cn −→ Cn−1 cho ∂n ◦ ∂n+1 tầm thường, tức Im(∂n+1 ) ⊆ Ker(∂n ) đồng điều định nghĩa d Hn (C) = Ker(∂n )/Im(∂n+1 ) a lu Một phức dây chuyền C gọi chuẩn tắc Im(∂n+1 ) nhóm fu an nv chuẩn tắc Ker(∂n ) với n Trong trường hợp Hn (C) nhóm oi m ll với n ∂n = n X z at nh Mệnh đề 3.3 Cho G nhóm ∆-nhóm Abel Định nghĩa (−1)i di : Gn - Gn−1 z gm @ i=0 Khi ∂n−1 ◦ ∂n = 0, tức G phức dây chuyền ∂∗ m co l Chứng minh Ta có X i=0 j=0 06i6j 6n (−1)j dj = (−1)i+j di dj + X (−1)i+j di dj 06j 6i6n−1 n va n X (−1)i di an n X Lu ∂n−1 ◦ ∂n = ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 36 X = X (−1)i+j di dj + 06i6j 6n = X (−1)i+j dj di+1 06j 6i+16n X (−1)i+j di dj + 06i6j 6n (−1)i+j−1 dj di = 06j 6i6n Cho X ∆-tập Đồng điều H∗ (X; G) X với hệ số G xác định H∗ (X; G) = H∗ (Z(X) ⊗ G, ∂∗ ), Z(X) = {Z(Xn )}n≥0 Z(Xn ) nhóm Abel tự sinh Xn lu an Mệnh đề 3.4 Cho - C0 i - p C - C 00 - dãy khớp ngắn bất n va kỳ phức dây chuyền (có thể khơng giao hốn) nhóm Khi có gh tn to dãy khớp dài ··· - Hk+1 (C 00 ) ∂k+1 - i∗ Hk (C ) - p∗ Hk (C) - Hk (C 00 ) - ··· p ie oa nl w Hơn nữa, C C 00 chuỗi phức chuẩn tắc ∂k+1 đồng cấu nhóm với k d Chứng minh Ta có biểu đồ giao hốn fu an nv a lu ⊂ Ck+2 - Ck+2 m ll ∂0 i p 00 Ck+2 ∂ 00 ∂ oi i z at nh ? ⊂ Ck+1 ? - Ck+1 ∂ ? - Ck ? Ck00 ∂ 00 ∂ m co ∂0 p l i ∂ 00 gm ⊂ 00 Ck+1 @ ? z ∂0 Ck0 ? p i ? - ? p 00 Ck−1 n va Ck−1 an Lu ? ⊂ Ck−11 ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 37 00 với ∂ 00 (x) = 1, tồn x˜ ∈ Ck+1 cho p(˜ x) = x Vì Lấy x ∈ Ck+1 p(∂(˜ x)) = ∂ 00 (p(˜ x)) = ∂ 00 (x) = 1, tồn x ∈ Ck0 cho i(x) = ∂(˜ x) Bây giờ, ta có i(∂ (x)) = ∂(i(x)) = ∂ ◦ ∂(˜ x) = Do x chu trình C x xác định phần tử Hk (C ) Lấy xˆ phần tử khác Ck+1 cho p(ˆ x) = x p(˜ xxˆ−1 ) = tồn cho i(z) = x˜−1 xˆ Ta có phần tử z ∈ Ck+1 i(x∂ (z)) = ∂(˜ x)(∂(˜ x))−1 ∂(ˆ x) = ∂(ˆ x) lu an n va Do {˜ x} ∈ Hk (C ) không phụ thuộc vào cách chọn nghịch ảnh x Ck+1 gh tn to 00 , tồn y ˜ ∈ Ck+2 cho Giả sử x0 = x∂ 00 (y) với ∂ 00 (x) = y ∈ Ck−2 p ie p(˜ y ) = y Khi x0 = p(˜ x∂(˜ y )) với x0 = ∂(˜ x∂(˜ y )) = ∂(˜ x) = x Điều cho thấy ∂k+1 : Hk+1 (C 00 ) - Hk (C ) cho {x} 7→ {x} định nghĩa tốt Giả sử C oa nl w 00 với ∂ 00 (x) = ∂ 00 (x0 ) = C 00 phức dây chuyền chuẩn tắc Cho x, x0 ∈ Ck+1 Khi p(˜ xx˜0 ) = xx0 d a lu fu an nv ∂k+1 ({x}{x0 }) = ∂k+1 ({x})∂k+1 ({x0 }), m ll với điều kiện C , C 00 chuẩn tắc oi Phép hợp thành i∗ ◦∂k+1 tầm thường i(x) = ∂(˜ x) Lấy y ∈ Ck0 với ∂ (y) = z at nh i∗ (y) tầm thường Hk (C) Khi tồn tai y˜ ∈ Ck+1 cho i(y) = ∂(˜ y ) Theo cách xây dựng ∂k+1 , ta có ∂k+1 (p(˜ y )) = y , điều cho thấy z Hk (C ) i∗ - Hk (C) gm - @ ∂k+1 Hk+1 (C 00 ) l m co khớp Bây giờ, thấy p∗ - ∂k+1 - Hk (C ) n va Hk+1 (C 00 ) an Lu Hk+1 (C 00 ) ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 38 khớp Lấy y ∈ Ck+1 cho ∂(y) = Theo cách xây dựng ∂k+1 , ta có 00 ∂k+1 (p(y)) = nên phức hợp ∂k+1 ◦ p∗ tầm thường Giả sử x ∈ Ck+1 với ∂ 00 (x) = x = ∂k+1 (x) tầm thường Hk (C ), tồn phần tử cho z ∈ Ck+1 ∂ (z) = x Lấy xˆ = i(z)−1 x˜ p(ˆ x) = p(i(z)−1 x˜) = p(˜ x) = x, với lu an ∂(ˆ x) = ∂(i(z)−1 x˜) = i(∂ (z)−1 x) = n va Do xˆ xác định phần tử Hk+1 (C) với p∗ ({ˆ x}) = {x} Cuối chúng to tn ta chứng tỏ i∗ - Hk (C) p∗ - Hk (C 00 ) p ie gh Hk (C ) khớp Vì p ◦ i tầm thường nên p∗ ◦ i∗ Lấy y ∈ Ck với ∂(y) = oa nl w 00 cho p∗ (y) tầm thường Hk (C 00 ), tồn phần tử z ∈ Ck+1 d p(y) = ∂ 00 (z) fu an nv a lu Lấy z˜ ∈ Ck+1 cho p(˜ z ) = z Khi oi m ll p(y∂(˜ z −1 )) = ∂ 00 (z)p(∂(˜ z −1 )) = ∂ 00 (z)∂ 00 (p(˜ z )−1 ) = ∂ 00 (z)∂ 00 (z −1 ) = z at nh Do tồn ω ∈ Ck0 cho i(ω) = y∂(˜ z −1 ) với z i(∂ (ω)) = ∂(i(ω)) = ∂(y∂(˜ z −1 )) = 1, gm @ m co l ∂ (ω) = Do i∗ ({ω}) = {y} Mệnh đề chứng minh Cho X ∆-tập X Đồng điều tương đối H∗ (X, X ; G) n va H∗ (X, X ; G) = H∗ (Z(X)/Z(X ) ⊗ G, ∂∗ ) an Lu xác định ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 39 Hệ 3.5 Cho X ∆-tập X Khi có dãy khớp dài ··· - Hk+1 (X, X ; G) ∂k+1 - i∗ p∗ Hk (X ; G) - Hk (X; G) - Hk (X, X ; G) - ··· với G nhóm Abel 3.2 Các tập đơn hình 3.2.1 Khái niệm tập đơn hình lu an Một tập đơn hình nghĩa ∆-tập X với suy biến si : Xn Xn+1 - va cho sj si = si+1 sj với j i n gh tn to p ie dj s i =     si−1 dj    oa nl w id      si dj−1 j < i, j = i, i + 1, j > i + Ba đồng thức di dj , sj si , di sj gọi đồng đơn hình d fu an nv a lu Chú ý Ta xác định di si sau: di : (x0 , , xn ) −→ (x0 , , xi−1 , xi+1 , , xn ), oi m ll si : (x0 , , xn ) −→ (x0 , , xi−1 , xi , xi , xi+1 , , xn ) z at nh Cho O phạm trù có vật tập hữu hạn thứ tự cấu xạ hàm f : X −→ Y cho f (x) f (y) x < y Các vật O cho z   l thành di xác định O+ ta có cấu xạ  m co gm @ [n] = {0, , n} với n > vật O+ Cấu xạ O+ tạo ··· i − i i + i + ··· n + i + ··· n an n va với i n, si (i) = si (i + 1) = i i Lu si : [n + 1] → [n] si =  ··· i − i ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 40 Một ánh xạ đơn hình f : X → Y dãy hàm f = fn : Xn → Yn với n > cho fn ◦ di = di ◦ fn fn ◦ si = si ◦ fn Tức biểu đồ sau giao hoán Xn+1  si Xn ? Xn−1 - f f Yn+1  di si ? Yn f di ? - Yn−1 Ví dụ 3.6 (n-đơn hình) Cho n-đơn hình ∆[n] tập đơn hình cho lu ∆[n]k = {(i0 , i1 , , , ik )|0 i0 , i1 , ik in }, an n va với k n Ánh xạ mặt dj : ∆[n]k −→ ∆[n]k−1 cho tn to p ie gh dj (i0 , i1 , , dk ) = (i0 , i1 , , ˆij , , ik ), oa nl w tức xóa ij Ánh xạ suy biến sj : ∆[n]k −→ ∆[n]k+1 cho sj (i0 , i1 , , dk ) = (i0 , i1 , , ij , ij , , ik ), d fu an nv a lu tức nhân đôi ij Cho σn = (0, 1, , n) ∈ ∆[n]n Khi đó, phần tử ∆[n]n viết lặp lại tổ hợp mặt suy biến σn oi m ll Mệnh đề 3.7 Cho X tập đơn hình phần tử x ∈ Xn Khi đó, tồn ánh xạ đơn hình fx : ∆[n] −→ X cho fx (σn ) = x z at nh Cho X tập đơn hình A = {An }n>0 với An ⊆ Xn Tập hợp đơn z gm @ hình X sinh A định nghĩa m co l hAi = {A ⊆ Y ⊆ X|Y tập đơn hình}, nghĩa hAi bao gồm phần tử X viết lặp lại tổ hợp an Lu mặt suy biến phần tử A n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 41 Ví dụ 3.8 (Mặt cầu n chiều) Mặt cầu n chiều đơn hình S n định nghĩa S n = ∆[n]/∂(∆[n]), ∂(∆[n]) tập hợp đơn hình ∆[n] sinh ∆[n]k với k < n Trong đơn hình S ta có i z }| { ∆[1]k = {(i0 , , ik )|0 i0 ik 1} = {(0, , 0, 1, , 1)|0 i k + 1}, có k + phần tử Do lu an ∂(∆[n]k = {(0, , 0), (1, , 1)} n va tn to Theo định nghĩa S = ∆[1]/∂(∆[1]) nên gh i z }| { = {∗, (i0 , , ik )|0 i0 ik 1} = {(0, , 0, 1, , 1)|1 i k}, p ie Sk1 oa nl w có k + phần tử kể điểm sở ∗ = (0, , 0) ∼ (1, , 1) Đối với mặt cầu đơn hình n chiều S n , có Skn = {∗} với k < n d a lu Skn = {∗, (i0 , , ik )|0 i0 ik n, với {i0 , , ik } = {0, 1, , n}} fu an nv với k ≥ n m ll oi Cho X tập đơn hình Định nghĩa skn (X) = hXk |k ni Khi z at nh đó, nhận lọc khung X z sk0 (X) ⊆ sk1 (X) ⊆ S skn (X)/skn−1 (X) = α∈Jn S n tổng chêm mặt m co cầu đơn hình n chiều W l n skn (X) gm @ với X = ∼ = - an Hj (X; G) với j < n toàn cấu j = n n va sinh đẳng cấu Hj (skn (X); G) Lu Mệnh đề 3.9 Cho G nhóm Abel Khi đó, phép nhúng skn (X) −→ X cảm ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 42 Chứng minh Lấy C = Z(skn (X)) ⊗ G C = Z(skn (X)) ⊗ G Khi đó, C phức phức dây chuyền C với Ck0 = Ck , k n Đặt C 00 = C/C Khi Ck00 = với k n Khẳng định suy từ dãy khớp dài dãy C0 - C 3.2.2 - C 00 Biễu diễn hình học tập đơn hình Một tập ∆n cho n X n lu ∆ = {(t0 , t1 , , tn )|ti ≥ ti = 1}, an i=0 n va gọi n-đơn hình chuẩn gh tn to Định nghĩa di : ∆n−1 −→ ∆n si : ∆n+1 −→ ∆n cho p ie di (t0 , t1 , , tn−1 ) = (t0 , , ti−1 , 0, ti , , tn−1 ), với i n d oa nl w si (t0 , t1 , , tn+1 ) = (t0 , , ti−1 , ti + ti+1 , , tn+1 ) a lu Cho X tập đơn hình Khi biễu diễn hình học |X| CW -phức |X| = a n m ll fu an nv định nghĩa (∆ , x)/ ∼= oi x∈Xn ,n≥0 ∞ a ∆n × Xn / ∼, n=0 z at nh (∆n , x) ∆n đánh dấu x ∈ Xn ∼ sinh z gm @ (z, di x) ∼ (di z, x) m co l với x ∈ Xn z ∈ ∆n−1 xác định di x (z, si x) ∼ (si z, x) với x ∈ Xn , z ∈ ∆n+1 đánh dấu si x Chú ý điểm (∆n+1 , si x) Và (∆n−1 , di x) an Lu đồng với điểm (∆n , x) n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 43 Cho f : X → Y ánh xạ đơn hình Khi ánh xạ hình học |f | định nghĩa |f |(z, x) = (z, f (x) với x ∈ Xn z ∈ ∆n đánh dấu x Khi |f | ánh xạ liên tục Như việc mô tả hình học cho ta hàm tử từ phạm trù tập đơn hình tới phạm trù CW-phức Cho X Y tập đơn hình Tích trực tiếp X × Y định nghĩa (X × Yn = Xn × Yn lu an n va X×Y Y Y với dX×Y = (dX − (sX i , di ) si i , si ) i tn to Các tập đơn hình kỳ dị đồng điều p ie gh 3.3 oa nl w kỳ dị Cho ∆n n-đơn hình hình học Các ánh xạ di : ∆n−1 −→ ∆n si : d ∆n+1 −→ ∆n định nghĩa fu an nv a lu di (t0 , t1 , , tn−1 ) = (t0 , , ti−1 , 0, ti , , tn−1 ), z at nh với i oi m ll si (t0 , t1 , , tn+1 ) = (t0 , , ti−1 , ti + ti+1 , , tn+1 ) Cho không gian X bất kỳ, định nghĩa: Sn (X) = Map(∆n , X) tập tất z ánh xạ liên tục từ ∆n vào X với gm @ di = di∗ : Sn (X) = Map(∆n , X) −→ Sn−1 (X) = Map(∆n−1 , X), l m co si = si∗ : Sn (X) = Map(∆n , X) −→ Sn+1 (X) = Map(∆n+1 , X) n va S∗ (X) ∆-tập Từ cho ta định nghĩa đồng điều kỳ dị: an Lu với i n Khi S∗ (X) = {Sn (X)}n≥0 tập đơn hình kỳ dị Đặc biệt ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 44 Định nghĩa 3.10 Cho cặp không gian (X, A), đồng điều kỳ dị H∗ (X, A; G) với hệ số G định nghĩa: H∗ (X, A; G) = H∗ (S∗ (X), S∗ (A); G) Ta kiểm tra đồng điều kỳ dị thỏa mãn tiên đề Eilenberg-Steenrod (xem Hatcher [1]) 3.4 ∆-phức đồng điều đơn hình lu an Cho ∆n n-đơn hình di : ∆n−1 −→ ∆n cho va n di (t0 , t1 , , tn−1 ) = (t0 , , ti−1 , 0, ti , , tn−1 ), tn to p ie gh với i Biên n ∂∆ = n [ di (∆[n − 1]) i=0 oa nl w hợp tất mặt ∆n Lấy Int(∆n = ∆n /∂∆n phần ∆n d gọi đơn hình mở a lu fu an nv Định nghĩa 3.11 Một cấu trúc ∆-phức không gian X tập hợp ánh xạ oi m ll C(X) = {σα : ∆n −→ X|α ∈ Jn , n > 0} z at nh cho 1) σα |Int(∆n ) : Int(∆n ) −→ X toàn ánh điểm X nằm ảnh gm @ 2) Với σα ∈ C(X), σα ◦ di ∈ C(X) z hạn chế σα |Int(∆n ) m co l 3) Một tập A ⊆ X mở σα−1 (A) mở ∆n với σα ∈ C(X) n va Cn∆ = {σα : ∆n −→ X|α ∈ Jn } ⊆ C(X), an Lu Định nghĩa ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 45 ∆ (X) cho d (σ ) = σ ◦ di , i n với di : Cn∆ (X) −→ Cn−1 α i α Khi C∗∆ (X) = {Cn∆ (X)}n>0 ∆-tập Đồng điều kỳ dị X với hệ số G định nghĩa H∗∆ (X; G) = H∗ (C∗∆ (X); G) Nếu A phức X , định nghĩa H∗∆ (X, A; G) = H∗ (C∗∆ (X), C∗∆ (A); G) lu Vì σα : G∆n −→ X ánh xạ nhúng ∆-ánh xạ C∗∆ −→ S∗ (X) an cảm sinh phép biến đổi tự nhiên H∗∆ (X, A; G) −→ H∗ (X, A; G) với n va cặp ∆-phức (X, A) to gh tn Định lý 3.12 Cho X ∆-phức A tập hợp phức Khi đó, p ie Hn∆ (X, A; G) −→ Hn (X, A; G) đẳng cấu với n oa nl w Chứng minh sơ lược Chỉ cần chứng minh A = ∅ Để chứng minh H∗∆ (X; G) ∼ = H∗ (X; G), ta chứng minh phương pháp quy nạp khung X d Ta thấy fu an nv a lu skn (X)/skn−1 (X) ∼ = _ S n α∈Jn z at nh Hk∆ (skn (X), skn−1 (X); G) = oi m ll Theo định nghĩa đồng điều đơn hình có   L α∈Jn G k = n,  0 z gm @ Điều chứng minh trường hợp lại m co l H∗∆ (skn (X), skn−1 (X); G) ∼ = H∗ (skn (X), skn−1 (X); G) ta cần phải n va α∈Jn S n ; G) an _ Lu H∗ (skn (X), skn−1 (X); G) ∼ = H ∗( ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 46 Giả sử H∗∆ (skn−1 (X); G) ∼ = H∗ (skn−1 ; G), người ta kết luận H∗∆ (skn (X); G) ∼ = H∗ (skn (X); G) cách áp dụng dãy khớp dài cho đồng điều 3.5 Đối đồng điều kỳ dị Cho X ∆-tập Ta biết Z(X) = {Z(Xn )|n > 0} phức dây chuyền lu với an ∂n = n X (−1)i di : Z(Xn ) −→ Z(Xn−1 ) va i=0 n Hom(Z(X0 ), G) ∂0∗ - p ie gh tn to Cho G nhóm Abel tùy ý Ta xét ∂1∗ - ∂2∗ Hom(Z(X2 ), G) - ··· , oa nl w Hom(Z(X1 ), G) ∂n∗ (f ) = f ◦ ∂n , d fu an nv a lu với f ∈ Hom(Z(Xn ), G) Đặt δn = ∂n∗ Khi ∗ δn+1 ◦ δn = ∂n+1 ◦ ∂n∗ = (∂n ◦ ∂n+1 )∗ = m ll oi Như dãy nhóm Hom(Z(X), G) = {Hom(Z(Xn ), G)} với vi phân δ nghĩa z at nh phức đối dây chuyền Khi đối đồng điều X với hệ số G định z H n (X; G) = Hn (Hom(Z(X), G)) = Ker(δn )/Im(δn−1 ), gm @ với n l m co Từ đối đồng điều kỳ dị đối đồng điều đơn hình Các lý thuyết đối đồng điều thỏa mãn tiên đề Eilenberg-Steenrod an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 47 Kết luận Trong luận văn này, chúng tơi trình bày vấn đề sau: lu an • Trình bày kiến thức chuẩn bị tơpơ đại cương, đặc biệt trình bày va kết cần thiết tôpô không gian tôpô thương, tác động n gh tn to nhóm khơng gian tơpơ khơng gian quỹ đạo p ie • Trình bày chi tiết hệ tiên đề Eilenberg-Steenrod số tính tốn cụ thể oa nl w minh họa cho lý thuyết đồng điều tổng qt • Trình bày chi tiết cách xây dựng lý thuyết đồng điều đối đồng điều kỳ d dị không gian tôpô a lu fu an nv Luận văn đóng góp tài liệu tham khảo cho lĩnh vực nghiên cứu nhóm bản, lý thuyết đồng điều đối đồng điều kỳ dị oi m ll Trong trình thực luận văn này, gợi ý giúp đỡ tận tình PGS TS Nguyễn Sum, người hướng dẫn luận văn z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 48 Tài liệu tham khảo [1] Allen Hatcher, (2002), Algebraic Topology, Cambridge University Press lu an [2] C Kosniowski, (1980), A first course in Algebraic topology, Cambridge Uni- va versity Press n gh tn to [3] J Wu, (2008), Lecture Notes on Algebraic Topology, Internet, online at: p ie http://www.math.nus.edu.sg/ matwujie/ma5209.pdf d oa nl w oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn