(Luận văn thạc sĩ) lý thuyết đồng điều và đối đồng điều kỳ dị

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN LÊ THỊ KIM NGỌC LÝ THUYẾT ĐỒNG ĐIỀU VÀ ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU KỲ DỊ h LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - Năm 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN LÊ THỊ KIM NGỌC LÝ THUYẾT ĐỒNG ĐIỀU VÀ ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU KỲ DỊ h Chuyên ngành: Đại số Lí thuyết số Mã số: 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: PGS TS NGUYỄN SUM Mục lục Mở đầu Chương 1 Một số kiến thức sở Không gian tôpô 1.2 Không gian thương 1.3 Tác động nhóm lên tập hợp G-Khơng gian 1.4 Phạm trù 1.5 Hàm tử 1.6 Đồng luân 1.7 Không gian co rút 1.8 Đối phân thớ 10 h 1.1 Chương Hệ tiên đề Eilenberg-Steenrod 12 2.1 Hệ tiên đề Eilenberg-Steenrod 12 2.2 Các tiên đề Eilenberg-Steenrod đối đồng điều 20 2.3 Một số tính tốn ứng dụng lý thuyết đồng điều 22 2.3.1 Bậc ánh xạ 22 2.3.2 Đồng điều phân ngăn CW-phức 25 Cấu trúc phân ngăn tích CW-phức 29 2.4 Chương 3.1 Lý thuyết đồng điều đối đồng điều kỳ dị ∆-tập, tập đơn hình đồng điều 3.1.1 33 33 ∆-tập 33 3.1.2 Đồng điều ∆-tập 35 Các tập đơn hình 39 3.2.1 Khái niệm tập đơn hình 39 3.2.2 Biễu diễn hình học tập đơn hình 42 3.3 Các tập đơn hình kỳ dị đồng điều kỳ dị 43 3.4 ∆-phức đồng điều đơn hình 44 3.5 Đối đồng điều kỳ dị 46 3.2 Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48 Quyết định giao đề tài luận văn thạc sĩ 49 h Mở đầu Lý thuyết đồng điều, đối đồng điều lý thuyết đồng luân lĩnh vực kiến thức quan trọng Tôpô đại số Lý thuyết đồng điều bắt đầu phát triển vào năm đầu kỷ XII H Poincaré đưa khái niệm dây chuyền, chu trình, đồng điều số không gian không gian R Các khái niệm đặt móng cho phát triển lý thuyết đồng điều đối đồng điều tổng quát Sau đó, khái niệm mở rộng cho không gian tôpô Các nghiên cứu h nhóm đồng điều đối đồng điều tìm thấy cơng trình nghiên cứu nhà toán học S Lefschetz, P.S Alexandrov, S Eilenberg, Eilenberg Steenrod người xây dựng hệ tiên đề cho lý thuyết đồng điều phạm trù cặp không gian tôpô, phát triển lý thuyết mối quan hệ chặt chẽ với đại số đồng điều lý thuyết phạm trù Đồng điều đối đồng điều kỳ dị trường hợp riêng lý thuyết đồng điều đối đồng điều, nhằm nghiên cứu lớp bất biến đại số khơng gian tơpơ X Nói cách vắn tắt, đồng điều kỳ dị xây dựng sau: Lấy ánh xạ liên tục từ n-đơn hình chuẩn đến khơng gian tơpơ X , sau xét nhóm Abel tự sinh tất ánh xạ này, gọi dây chuyền kỳ dị Toán tử bờ đơn hình cảm sinh phức dây chuyền kỳ dị Khi đó, đồng điều kỳ dị đồng điều phức dây chuyền Các nhóm đồng điều nhận không gian tương đương đồng luân với nhau, lý cho việc nghiên cứu chúng Việc xây dựng áp dụng cho khơng gian tơpơ, đồng điều kỳ dị biễu diễn theo lý thuyết phạm trù, nhóm đồng điều trở thành hàm tử phạm trù không gian tôpô đến phạm trù nhóm Abel phân bậc Bên cạnh lý thuyết đồng điều kỳ dị, nhà toán học nghiên cứu tìm nhiều lý thuyết đồng điều khác Chẳng hạn, lý thuyết đồng điều phức hợp đơn hình, lý thuyết đồng điều CW −phức, lý thuyết đồng điều phổ, lý thuyết đồng điều đối đồng điều Cech, lý thuyết đối đồng điều Alexander, K -lý thuyết, Hiện nay, ngành tôpô đại số, lý thuyết đồng điều trở thành công cụ vô hiệu việc nghiên cứu phát triển nhiều ngành tốn học đại Hình học vi phân, Hình học đại số, Tơpơ vi phân, Lý thuyết phạm trù, v.v Mục đích luận văn tìm hiểu trình bày lý thuyết đồng điều đối đồng điều theo hệ tiên đề sử dụng vào việc xây dựng lý thuyết đồng điều đối đồng điều kỳ dị không gian tơpơ Ngồi mục lục, phần mở đầu, phần kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia thành ba chương với nội dung sau: h Chương Một số kiến thức sở Chương hệ thống lại cho số kiến thức trọng tâm tôpô đại cương không gian tôpô bao gồm kiến thức ánh xạ liên tục, tác động nhóm lên không gian tôpô, quan hệ đồng luân, phạm trù hàm tử để làm sở việc trình bày chương Chương Hệ tiên đề Eilenberg-Steenrod Trong chương chúng tơi trình bày hệ tiên đề Eilenberg-Steenrod số tính tốn cụ thể minh họa cho lý thuyết đồng điều tổng quát Chương Lý thuyết đồng điều đối đồng điều kỳ dị Trình bày cách xây dựng lý thuyết đồng điều đối đồng diều kỳ dị không gian tơpơ Các tư liệu luận văn trình bày từ tài liệu J Wu [3] Kosniowski [2] Chương Một số kiến thức sở 1.1 Không gian tôpô Định nghĩa 1.1 Cho X tập hợp, P(X) tập hợp tất tập h X Tập τ ⊂ P(X) gọi tôpô nếu: i) ∅, X ∈ τ ii) ∀Ui ∈ τ, i ∈ I, S i∈I Ui ∈ τ iii) ∀C1 , C2 , , Cn ∈ τ, ∩ni=1 Ci ∈ τ Cặp (X, τ ) gọi không gian tôpô, tập hợp U ∈ τ gọi tập mở X Ví dụ: + τ = {∅, X} tôpô, gọi tôpô thô + τ = P(X) tôpô, gọi tôpô rời rạc + Nếu (X, d) khơng gian mêtric họ τ tất tập mở theo mêtric d tôpô gọi tôpô cảm sinh mêtric d Định nghĩa 1.2 (Ánh xạ liên tục) Cho X, Y không gian tôpô Ánh xạ f : X −→ Y liên tục thõa mãn hai mệnh đề: + Mọi tập mở U ⊂ Y f −1 (U ) mở X + Mọi tập đóng C ⊂ Y f −1 (C) đóng X Định nghĩa 1.3 (Không gian con) Cho (X, τ ) không tôpô, Y ⊂ X, Y 6= ∅ Đặt τY = {U ∩ Y |U ∈ τ } với τY ⊂ P(Y ) Khi τY tơpơ Y Không gian tôpô (Y, τY ) gọi không gian X Định lý 1.4 Nếu Y ⊂ X phép nhúng i : Y ,→ X ; x 7−→ x ánh xạ liên tục Định nghĩa 1.5 (Không gian trực tiếp) Cho X, Y không gian tôpô Đặt S τ = { i∈I Ui × Vi |Ui mở X , Vi mở Y , i ∈ I} Khi τ tơpơ (X × Y, τ ) gọi tích trực tiếp X Y 1.2 Không gian thương Định nghĩa 1.6 (Không gian thương) Cho X không gian tôpô, Y tập hợp f : X −→ Y toàn ánh Đặt Uf = {U ⊂ Y |f −1 (U ) mở X }⊂ P(Y ) Khi Uf tơpơ Y không gian tôpô (Y, Uf ) gọi không gian tôpô h thương X ánh xạ f Định lý 1.7 Cho X không gian tôpô, Y tập hợp, f : X −→ Y ánh xạ Khi 1) Nếu trang bị cho Y tơpơ thương Uf f ánh xạ liên tục 2) Nếu τ ⊂ P(Y ) tơpơ cho f liên tục τ τ ⊂ Uf 3) Cho Z không gian tôpô, g : Y −→ Z ánh xạ, Y trang bị tơpơ thương Uf Khi g ánh xạ liên tục gf liên tục Chứng minh 1) 2) suy từ định nghĩa Uf 3) Vì f liên tục nên g liên tục gf liên tục Giả sử gf liên tục, V ⊂ Z mở suy (gf )−1 (V ) mở X Vì (gf )−1 (V ) = f −1 (g −1 (V )) mở X suy g −1 (V ) ∈ Uf Do g −1 (V ) mở Y suy g liên tục Định nghĩa 1.8 Cho không gian tôpô X ∼ quan hệ tương đương X Y = X/ ∼= {[x]|x ∈ X}, [x] = {y|x ∼ y} p : X −→ Y cho x 7→ p(x) = [x] phép chiếu tắc Khi Y trang bị tôpô thương p Y gọi không gian thương X quan hệ ∼ Như U ⊂ Y mở p−1 (U ) mở X Cho X = Rn+1 {0} X định nghĩa quan hệ ∼ sau: ∀x, y ∈ X, x ∼ y ∃α ∈ R∗ , y = αx Khi ∼ quan hệ tương đương Tập thương RP n : −X/ ∼ không gian xạ ảnh n chiều Như RP n không gian tôpô với tôpô thương quan hệ ∼ 1.3 Tác động nhóm lên tập hợp GKhơng gian Định nghĩa 1.9 Cho X tập hợp khác rỗng, G nhóm với phép toán nhân h (.) Một tác động (trái) G lên X ánh xạ G × X −→ X, (g, x) 7→ gx cho g, h ∈ G, ∀x ∈ X + g(hx) = (gh)x + ex = x (e đơn vị G) Khi G gọi G tập Mệnh đề 1.10 Cho G nhóm X G-tập với x ∈ X Khi ánh xạ θg : X −→ X cho x 7→ θg (x) = gx song ánh ánh xạ ngược θg−1 = θg−1 Chứng minh θg θg− (x) = θg (g −1 x) = g(g −1 x) = (gg −1 )x = ex = x Tương tự, ta có (θg−1 θg )(x) = x Vậy θg θg− = θg− θg = idX Định nghĩa 1.11 Cho X G-tập Định nghĩa quan hệ ∼ X sau: x, y ∈ X, x ∼ y ⇔ ∃g ∈ G : y = gx Khi ∼ quan hệ tương đương X x ∈ X, [x] ∈ X/ ∼ Khi y ∈ X, x ∼ y ⇔ ∃g ∈ G : y = gx Suy [x] = {gx|g ∈ G} = Gx [x] = Gx gọi quỹ đạo X qua X Tâp thương X/G = X/ ∼ gọi tập hợp quỹ đạo Định nghĩa 1.12 Cho X không gian tôpô đồng thời G-tập với G nhóm X gọi G-khơng gian ∀g ∈ G, θg : X −→ X liên tục Khi đó, tập hợp thương X/G khơng gian tơpơ (thương phép chiếu tắc) gọi khơng gian quỹ đạo Xét phép chiếu tắc p : X −→ X/G; x 7→ [x] = Gx Định lý 1.13 Nếu X G-khơng gian phép chiếu tắc p : X −→ X/G ánh xạ mở Chứng minh Cho U ⊂ X tâp mở Ta chứng minh p(U ) mở X/G Tức p−1 (p(U )) mở X ∀x ∈ p−1(p(U )) ⇔ p(x) ∈ p(U ) ⇔ ∃y ∈ U : [x] = p(x = p(y) = [y] ⇔ ∃y ∈ U, ∃g ∈ G : x = g(y) = θg (y) ⇔ ∃g ∈ G, x ∈ θg (U ) ⇔x∈ S g∈G θg (U ) ⇒ p−1 (p(U )) = S g∈G θg (U ) Vì θg (U ) : X −→ X phép đồng phôi nên θg (U ) mở, suy p−1 (p(U )) mở 1.4 h Vậy p(U ) mở X/G Phạm trù Ta nói cho phạm trù C cho: i) Một lớp vật A, B, C, X, Y, Z ký hiệu Ob(C) ii) Với vật X, Y xác định tập hợp Hom(X, Y ) gọi cấu xạ từ X đến Y với X gọi tập nguồn Y gọi tập đích Nếu f ∈ Hom(X, Y ), ta viết f : X −→ Y X f - Y iii) Với vật X, Y, Z ∈ Ob(C) cấu xạ f : X −→ Y, g : Y −→ Z Khi g ◦ f : X −→ Z cấu xạ hợp thành thõa mãn tiên đề sau: a) Phép hợp thành có tính kết hợp Nếu f : X −→ Y, g : Y −→ Z h : Z −→ W Khi h◦(g◦f ) = (h◦g)◦f : X −→ W b) Phép hợp thành có cấu xạ đồng