(LUẬN văn THẠC sĩ) lý thuyết đồng điều và đối đồng điều kỳ dị

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN LÊ THỊ KIM NGỌC LÝ THUYẾT ĐỒNG ĐIỀU VÀ ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU KỲ DỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - Năm 2019 download by : skknchat@gmail.com BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN LÊ THỊ KIM NGỌC LÝ THUYẾT ĐỒNG ĐIỀU VÀ ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU KỲ DỊ Chuyên ngành: Đại số Lí thuyết số Mã số: 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: PGS TS NGUYỄN SUM download by : skknchat@gmail.com Mục lục Mở đầu Chương Một số kiến thức sở 1.1 Không gian tôpô 1.2 Không gian thương 1.3 Tác động nhóm lên tập hợp G-Không gian 1.4 Phạm trù 1.5 Hàm tử 1.6 Đồng luân 1.7 Không gian co rút 1.8 Đối phân thớ 10 Chương Hệ tiên đề Eilenberg-Steenrod 12 2.1 Hệ tiên đề Eilenberg-Steenrod 12 2.2 Các tiên đề Eilenberg-Steenrod đối đồng điều 20 2.3 Một số tính tốn ứng dụng lý thuyết đồng điều 22 2.3.1 Bậc ánh xạ 22 2.3.2 Đồng điều phân ngăn CW-phức 25 Cấu trúc phân ngăn tích CW-phức 29 2.4 Chương 3.1 Lý thuyết đồng điều đối đồng điều kỳ dị ∆-tập, tập đơn hình đồng điều 3.1.1 33 33 ∆-tập 33 download by : skknchat@gmail.com 3.1.2 Đồng điều ∆-tập 35 Các tập đơn hình 39 3.2.1 Khái niệm tập đơn hình 39 3.2.2 Biễu diễn hình học tập đơn hình 42 3.3 Các tập đơn hình kỳ dị đồng điều kỳ dị 43 3.4 ∆-phức đồng điều đơn hình 44 3.5 Đối đồng điều kỳ dị 46 3.2 Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48 Quyết định giao đề tài luận văn thạc sĩ 49 download by : skknchat@gmail.com Mở đầu Lý thuyết đồng điều, đối đồng điều lý thuyết đồng luân lĩnh vực kiến thức quan trọng Tôpô đại số Lý thuyết đồng điều bắt đầu phát triển vào năm đầu kỷ XII H Poincaré đưa khái niệm dây chuyền, chu trình, đồng điều số khơng gian khơng gian R Các khái niệm đặt móng cho phát triển lý thuyết đồng điều đối đồng điều tổng quát Sau đó, khái niệm mở rộng cho không gian tôpô Các nghiên cứu nhóm đồng điều đối đồng điều tìm thấy cơng trình nghiên cứu nhà tốn học S Lefschetz, P.S Alexandrov, S Eilenberg, Eilenberg Steenrod người xây dựng hệ tiên đề cho lý thuyết đồng điều phạm trù cặp không gian tôpô, phát triển lý thuyết mối quan hệ chặt chẽ với đại số đồng điều lý thuyết phạm trù Đồng điều đối đồng điều kỳ dị trường hợp riêng lý thuyết đồng điều đối đồng điều, nhằm nghiên cứu lớp bất biến đại số khơng gian tơpơ X Nói cách vắn tắt, đồng điều kỳ dị xây dựng sau: Lấy ánh xạ liên tục từ n-đơn hình chuẩn đến khơng gian tơpơ X , sau xét nhóm Abel tự sinh tất ánh xạ này, gọi dây chuyền kỳ dị Toán tử bờ đơn hình cảm sinh phức dây chuyền kỳ dị Khi đó, đồng điều kỳ dị đồng điều phức dây chuyền Các nhóm đồng điều nhận không gian tương đương đồng luân với nhau, lý cho việc nghiên cứu chúng Việc xây dựng áp dụng cho khơng gian tơpơ, đồng điều kỳ dị biễu diễn theo lý thuyết download by : skknchat@gmail.com phạm trù, nhóm đồng điều trở thành hàm tử phạm trù khơng gian tơpơ đến phạm trù nhóm Abel phân bậc Bên cạnh lý thuyết đồng điều kỳ dị, nhà tốn học nghiên cứu tìm nhiều lý thuyết đồng điều khác Chẳng hạn, lý thuyết đồng điều phức hợp đơn hình, lý thuyết đồng điều CW −phức, lý thuyết đồng điều phổ, lý thuyết đồng điều đối đồng điều Cech, lý thuyết đối đồng điều Alexander, K -lý thuyết, Hiện nay, ngành tôpô đại số, lý thuyết đồng điều trở thành công cụ vô hiệu việc nghiên cứu phát triển nhiều ngành toán học đại Hình học vi phân, Hình học đại số, Tôpô vi phân, Lý thuyết phạm trù, v.v Mục đích luận văn tìm hiểu trình bày lý thuyết đồng điều đối đồng điều theo hệ tiên đề sử dụng vào việc xây dựng lý thuyết đồng điều đối đồng điều kỳ dị khơng gian tơpơ Ngồi mục lục, phần mở đầu, phần kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia thành ba chương với nội dung sau: Chương Một số kiến thức sở Chương hệ thống lại cho số kiến thức trọng tâm tôpô đại cương không gian tôpô bao gồm kiến thức ánh xạ liên tục, tác động nhóm lên khơng gian tơpơ, quan hệ đồng luân, phạm trù hàm tử để làm sở việc trình bày chương Chương Hệ tiên đề Eilenberg-Steenrod Trong chương chúng tơi trình bày hệ tiên đề Eilenberg-Steenrod số tính tốn cụ thể minh họa cho lý thuyết đồng điều tổng quát Chương Lý thuyết đồng điều đối đồng điều kỳ dị Trình bày cách xây dựng lý thuyết đồng điều đối đồng diều kỳ dị không gian tôpô Các tư liệu luận văn trình bày từ tài liệu J Wu [3] Kosniowski [2] download by : skknchat@gmail.com Chương Một số kiến thức sở 1.1 Không gian tôpô Định nghĩa 1.1 Cho X tập hợp, P(X) tập hợp tất tập X Tập τ ⊂ P(X) gọi tôpô nếu: i) ∅, X ∈ τ ii) ∀Ui ∈ τ, i ∈ I, i∈I Ui ∈ τ iii) ∀C1 , C2 , , Cn ∈ τ, ∩ni=1 Ci ∈ τ Cặp (X, τ ) gọi không gian tôpô, tập hợp U ∈ τ gọi tập mở X Ví dụ: + τ = {∅, X} tôpô, gọi tôpô thô + τ = P(X) tôpô, gọi tôpô rời rạc + Nếu (X, d) khơng gian mêtric họ τ tất tập mở theo mêtric d tôpô gọi tôpô cảm sinh mêtric d Định nghĩa 1.2 (Ánh xạ liên tục) Cho X, Y không gian tôpô Ánh xạ f : X −→ Y liên tục thõa mãn hai mệnh đề: + Mọi tập mở U ⊂ Y f −1 (U ) mở X + Mọi tập đóng C ⊂ Y f −1 (C) đóng X download by : skknchat@gmail.com Định nghĩa 1.3 (Không gian con) Cho (X, τ ) không tôpô, Y ⊂ X, Y = ∅ Đặt τY = {U ∩ Y |U ∈ τ } với τY ⊂ P(Y ) Khi τY tơpơ Y Không gian tôpô (Y, τY ) gọi không gian X Định lý 1.4 Nếu Y ⊂ X phép nhúng i : Y → X ; x −→ x ánh xạ liên tục Định nghĩa 1.5 (Không gian trực tiếp) Cho X, Y khơng gian tơpơ Đặt τ={ i∈I Ui × Vi |Ui mở X , Vi mở Y , i ∈ I} Khi τ tơpơ (X × Y, τ ) gọi tích trực tiếp X Y 1.2 Không gian thương Định nghĩa 1.6 (Không gian thương) Cho X không gian tôpô, Y tập hợp f : X −→ Y toàn ánh Đặt Uf = {U ⊂ Y |f −1 (U ) mở X }⊂ P(Y ) Khi Uf tơpơ Y khơng gian tôpô (Y, Uf ) gọi không gian tôpô thương X ánh xạ f Định lý 1.7 Cho X không gian tôpô, Y tập hợp, f : X −→ Y ánh xạ Khi 1) Nếu trang bị cho Y tơpơ thương Uf f ánh xạ liên tục 2) Nếu τ ⊂ P(Y ) tôpô cho f liên tục τ τ ⊂ Uf 3) Cho Z không gian tôpô, g : Y −→ Z ánh xạ, Y trang bị tôpô thương Uf Khi g ánh xạ liên tục gf liên tục Chứng minh 1) 2) suy từ định nghĩa Uf 3) Vì f liên tục nên g liên tục gf liên tục Giả sử gf liên tục, V ⊂ Z mở suy (gf )−1 (V ) mở X Vì (gf )−1 (V ) = f −1 (g −1 (V )) mở X suy g −1 (V ) ∈ Uf Do g −1 (V ) mở Y suy g liên tục Định nghĩa 1.8 Cho không gian tôpô X ∼ quan hệ tương đương X Y = X/ ∼= {[x]|x ∈ X}, [x] = {y|x ∼ y} download by : skknchat@gmail.com p : X −→ Y cho x → p(x) = [x] phép chiếu tắc Khi Y trang bị tơpơ thương p Y gọi không gian thương X quan hệ ∼ Như U ⊂ Y mở p−1 (U ) mở X Cho X = Rn+1 {0} X định nghĩa quan hệ ∼ sau: ∀x, y ∈ X, x ∼ y ∃α ∈ R∗ , y = αx Khi ∼ quan hệ tương đương Tập thương RP n : −X/ ∼ không gian xạ ảnh n chiều Như RP n không gian tôpô với tôpô thương quan hệ ∼ 1.3 Tác động nhóm lên tập hợp GKhông gian Định nghĩa 1.9 Cho X tập hợp khác rỗng, G nhóm với phép toán nhân (.) Một tác động (trái) G lên X ánh xạ G × X −→ X, (g, x) → gx cho g, h ∈ G, ∀x ∈ X + g(hx) = (gh)x + ex = x (e đơn vị G) Khi G gọi G tập Mệnh đề 1.10 Cho G nhóm X G-tập với x ∈ X Khi ánh xạ θg : X −→ X cho x → θg (x) = gx song ánh ánh xạ ngược θg−1 = θg−1 Chứng minh θg θg− (x) = θg (g −1 x) = g(g −1 x) = (gg −1 )x = ex = x Tương tự, ta có (θg−1 θg )(x) = x Vậy θg θg− = θg− θg = idX Định nghĩa 1.11 Cho X G-tập Định nghĩa quan hệ ∼ X sau: x, y ∈ X, x ∼ y ⇔ ∃g ∈ G : y = gx Khi ∼ quan hệ tương đương X x ∈ X, [x] ∈ X/ ∼ Khi y ∈ X, x ∼ y ⇔ ∃g ∈ G : y = gx Suy [x] = {gx|g ∈ G} = Gx [x] = Gx gọi quỹ đạo X qua X Tâp thương X/G = X/ ∼ gọi tập hợp quỹ đạo download by : skknchat@gmail.com Định nghĩa 1.12 Cho X không gian tôpô đồng thời G-tập với G nhóm X gọi G-khơng gian ∀g ∈ G, θg : X −→ X liên tục Khi đó, tập hợp thương X/G khơng gian tơpơ (thương phép chiếu tắc) gọi khơng gian quỹ đạo Xét phép chiếu tắc p : X −→ X/G; x → [x] = Gx Định lý 1.13 Nếu X G-khơng gian phép chiếu tắc p : X −→ X/G ánh xạ mở Chứng minh Cho U ⊂ X tâp mở Ta chứng minh p(U ) mở X/G Tức p−1 (p(U )) mở X ∀x ∈ p−1(p(U )) ⇔ p(x) ∈ p(U ) ⇔ ∃y ∈ U : [x] = p(x = p(y) = [y] ⇔ ∃y ∈ U, ∃g ∈ G : x = g(y) = θg (y) ⇔ ∃g ∈ G, x ∈ θg (U ) ⇔x∈ g∈G θg (U ) ⇒ p−1 (p(U )) = g∈G θg (U ) Vì θg (U ) : X −→ X phép đồng phôi nên θg (U ) mở, suy p−1 (p(U )) mở Vậy p(U ) mở X/G 1.4 Phạm trù Ta nói cho phạm trù C cho: i) Một lớp vật A, B, C, X, Y, Z ký hiệu Ob(C) ii) Với vật X, Y xác định tập hợp Hom(X, Y ) gọi cấu xạ từ X đến Y với X gọi tập nguồn Y gọi tập đích Nếu f ∈ Hom(X, Y ), ta viết f : X −→ Y X f ✲ Y iii) Với vật X, Y, Z ∈ Ob(C) cấu xạ f : X −→ Y, g : Y −→ Z Khi g ◦ f : X −→ Z cấu xạ hợp thành thõa mãn tiên đề sau: a) Phép hợp thành có tính kết hợp Nếu f : X −→ Y, g : Y −→ Z h : Z −→ W Khi h◦(g◦f ) = (h◦g)◦f : X −→ W b) Phép hợp thành có cấu xạ đồng download by : skknchat@gmail.com 35 n Mặt dj : ∆+ [n]k −→ ∆+ [n]k−1 cho dj (i0 , i1 , , dk ) = (i0 , i1 , , ˆij , , ik ), tức xóa ij Đặt σn = (0, 1, , n) Khi (i0 , i1 , , ik ) = dj1 dj2 djn−k σn Trong j1 < j2 < < jn−k , {j1 , , jk } = {0, 1, , n} \ {i0 , i1 , , ik } Nói cách khác, phần tử ∆[n] viết lặp lại mặt σn 3.1.2 Đồng điều ∆-tập Một ∆-tập G = {Gn }n≥0 gọi ∆-nhóm Gn nhóm, mặt di nhóm đồng cấu Nói cách khác ∆-nhóm có nghĩa đối hàm tử từ O+ đến phạm trù nhóm Trừu tượng hơn, với phạm trù C ∆-vật C có nghĩa đối hàm tử từ O+ đến C Nói cách khác, ∆-vật C có nghĩa dãy vật C , X = {Xn }n≥0 với mặt di : Xn −→ Xn−1 đồng cấu C Chú ý phức dây chuyền nhóm có nghĩa dãy C = {Cn } nhóm với vi phân ∂n : Cn −→ Cn−1 cho ∂n ◦ ∂n+1 tầm thường, tức Im(∂n+1 ) ⊆ Ker(∂n ) đồng điều định nghĩa Hn (C) = Ker(∂n )/Im(∂n+1 ) Một phức dây chuyền C gọi chuẩn tắc Im(∂n+1 ) nhóm chuẩn tắc Ker(∂n ) với n Trong trường hợp Hn (C) nhóm với n Mệnh đề 3.3 Cho G nhóm ∆-nhóm Abel Định nghĩa n (−1)i di : Gn ∂n = ✲ Gn−1 i=0 Khi ∂n−1 ◦ ∂n = 0, tức G phức dây chuyền ∂∗ Chứng minh Ta có n n i ∂n−1 ◦ ∂n = (−1)j dj = (−1) di i=0 j=0 (−1)i+j di dj + i j n (−1)i+j di dj j i n−1 download by : skknchat@gmail.com 36 (−1)i+j di dj + = i j n (−1)i+j dj di+1 j i+1 n (−1)i+j di dj + = i j n (−1)i+j−1 dj di = 0 j i n Cho X ∆-tập Đồng điều H∗ (X; G) X với hệ số G xác định H∗ (X; G) = H∗ (Z(X) ⊗ G, ∂∗ ), Z(X) = {Z(Xn )}n≥0 Z(Xn ) nhóm Abel tự sinh Xn Mệnh đề 3.4 Cho ✲ i C ✲ C p ✲ C ✲ dãy khớp ngắn phức dây chuyền (có thể khơng giao hốn) nhóm Khi có dãy khớp dài ··· ✲ Hk+1 (C ) ∂k+1 ✲ i∗ Hk (C ) ✲ p∗ Hk (C) ✲ Hk (C ) ✲ ··· Hơn nữa, C C chuỗi phức chuẩn tắc ∂k+1 đồng cấu nhóm với k Chứng minh Ta có biểu đồ giao hốn Ck+2 ⊂ i ✲ Ck+2 ∂ ✲✲ Ck+2 ∂ ❄ Ck+1 ⊂ i ❄ ✲ Ck+1 ∂ ∂ ❄ p ✲✲ Ck+1 ∂ ❄ Ck p ⊂ i ❄ ✲ ❄ ❄ p ✲✲ ∂ ∂ Ck−11 ⊂ Ck ∂ i ❄ ✲ Ck−1 Ck ∂ ❄ p ✲✲ Ck−1 download by : skknchat@gmail.com 37 x) = x Vì Lấy x ∈ Ck+1 với ∂ (x) = 1, tồn x˜ ∈ Ck+1 cho p(˜ p(∂(˜ x)) = ∂ (p(˜ x)) = ∂ (x) = 1, tồn x ∈ Ck cho i(x) = ∂(˜ x) Bây giờ, ta có i(∂ (x)) = ∂(i(x)) = ∂ ◦ ∂(˜ x) = Do x chu trình C x xác định phần tử Hk (C ) Lấy xˆ phần tử khác Ck+1 cho p(ˆ x) = x p(˜ xxˆ−1 ) = tồn phần tử z ∈ Ck+1 cho i(z) = x˜−1 xˆ Ta có i(x∂ (z)) = ∂(˜ x)(∂(˜ x))−1 ∂(ˆ x) = ∂(ˆ x) Do {˜ x} ∈ Hk (C ) khơng phụ thuộc vào cách chọn nghịch ảnh x Ck+1 Giả sử x = x∂ (y) với ∂ (x) = y ∈ Ck−2 , tồn y˜ ∈ Ck+2 cho p(˜ y ) = y Khi x = p(˜ x∂(˜ y )) với x = ∂(˜ x∂(˜ y )) = ∂(˜ x) = x Điều cho thấy ∂k+1 : Hk+1 (C ) ✲ Hk (C ) cho {x} → {x} định nghĩa tốt Giả sử C C phức dây chuyền chuẩn tắc Cho x, x ∈ Ck+1 với ∂ (x) = ∂ (x ) = Khi p(˜ xx˜ ) = xx ∂k+1 ({x}{x }) = ∂k+1 ({x})∂k+1 ({x }), với điều kiện C , C chuẩn tắc Phép hợp thành i∗ ◦∂k+1 tầm thường i(x) = ∂(˜ x) Lấy y ∈ Ck với ∂ (y) = i∗ (y) tầm thường Hk (C) Khi tồn tai y˜ ∈ Ck+1 cho i(y) = ∂(˜ y ) Theo cách xây dựng ∂k+1 , ta có ∂k+1 (p(˜ y )) = y , điều cho thấy ∂k+1 Hk+1 (C ) ✲ Hk (C ) i∗ ✲ Hk (C) khớp Bây giờ, thấy Hk+1 (C ) p∗ ✲ Hk+1 (C ) ∂k+1 ✲ Hk (C ) download by : skknchat@gmail.com 38 khớp Lấy y ∈ Ck+1 cho ∂(y) = Theo cách xây dựng ∂k+1 , ta có ∂k+1 (p(y)) = nên phức hợp ∂k+1 ◦ p∗ tầm thường Giả sử x ∈ Ck+1 với ∂ (x) = x = ∂k+1 (x) tầm thường Hk (C ), tồn phần tử z ∈ Ck+1 cho ∂ (z) = x Lấy xˆ = i(z)−1 x˜ p(ˆ x) = p(i(z)−1 x˜) = p(˜ x) = x, với ∂(ˆ x) = ∂(i(z)−1 x˜) = i(∂ (z)−1 x) = Do xˆ xác định phần tử Hk+1 (C) với p∗ ({ˆ x}) = {x} Cuối chứng tỏ Hk (C ) i∗ ✲ Hk (C) p∗ ✲ Hk (C ) khớp Vì p ◦ i tầm thường nên p∗ ◦ i∗ Lấy y ∈ Ck với ∂(y) = p∗ (y) tầm thường Hk (C ), tồn phần tử z ∈ Ck+1 cho p(y) = ∂ (z) Lấy z˜ ∈ Ck+1 cho p(˜ z ) = z Khi p(y∂(˜ z −1 )) = ∂ (z)p(∂(˜ z −1 )) = ∂ (z)∂ (p(˜ z )−1 ) = ∂ (z)∂ (z −1 ) = Do tồn ω ∈ Ck cho i(ω) = y∂(˜ z −1 ) với i(∂ (ω)) = ∂(i(ω)) = ∂(y∂(˜ z −1 )) = 1, ∂ (ω) = Do i∗ ({ω}) = {y} Mệnh đề chứng minh Cho X ∆-tập X Đồng điều tương đối H∗ (X, X ; G) xác định H∗ (X, X ; G) = H∗ (Z(X)/Z(X ) ⊗ G, ∂∗ ) download by : skknchat@gmail.com 39 Hệ 3.5 Cho X ∆-tập X Khi có dãy khớp dài ··· ✲ Hk+1 (X, X ; G) ∂k+1 ✲ i∗ p∗ Hk (X ; G) ✲ Hk (X; G) ✲ Hk (X, X ; G) ✲ ··· với G nhóm Abel 3.2 Các tập đơn hình 3.2.1 Khái niệm tập đơn hình Một tập đơn hình nghĩa ∆-tập X với suy biến si : Xn cho sj si = si+1 sj với j ✲ Xn+1 i dj s i =     si−1 dj    id      si dj−1 j < i, j = i, i + 1, j > i + Ba đồng thức di dj , sj si , di sj gọi đồng đơn hình Chú ý Ta xác định di si sau: di : (x0 , , xn ) −→ (x0 , , xi−1 , xi+1 , , xn ), si : (x0 , , xn ) −→ (x0 , , xi−1 , xi , xi , xi+1 , , xn ) Cho O phạm trù có vật tập hữu hạn thứ tự cấu xạ hàm f : X −→ Y cho f (x) [n] = {0, , n} với n f (y) x < y Các vật O cho vật O+ Cấu xạ O+ tạo thành di xác định O+ ta có cấu xạ   ··· i − i i + i + ··· n +  si : [n + 1] → [n] si =  ··· i − i i i + ··· n với i n, si (i) = si (i + 1) = i download by : skknchat@gmail.com 40 Một ánh xạ đơn hình f : X → Y dãy hàm f = fn : Xn → Yn với n cho fn ◦ di = di ◦ fn fn ◦ si = si ◦ fn Tức biểu đồ sau giao hoán Xn+1 ✛ si ❄ di ✲ Xn−1 f f Yn+1 ✛ Xn si ❄ Yn f di ❄ ✲ Yn−1 Ví dụ 3.6 (n-đơn hình) Cho n-đơn hình ∆[n] tập đơn hình cho ∆[n]k = {(i0 , i1 , , , ik )|0 với k i0 , i1 , ik in }, n Ánh xạ mặt dj : ∆[n]k −→ ∆[n]k−1 cho dj (i0 , i1 , , dk ) = (i0 , i1 , , ˆij , , ik ), tức xóa ij Ánh xạ suy biến sj : ∆[n]k −→ ∆[n]k+1 cho sj (i0 , i1 , , dk ) = (i0 , i1 , , ij , ij , , ik ), tức nhân đôi ij Cho σn = (0, 1, , n) ∈ ∆[n]n Khi đó, phần tử ∆[n]n viết lặp lại tổ hợp mặt suy biến σn Mệnh đề 3.7 Cho X tập đơn hình phần tử x ∈ Xn Khi đó, tồn ánh xạ đơn hình fx : ∆[n] −→ X cho fx (σn ) = x Cho X tập đơn hình A = {An }n với An ⊆ Xn Tập hợp đơn hình X sinh A định nghĩa A = {A ⊆ Y ⊆ X|Y tập đơn hình}, nghĩa A bao gồm phần tử X viết lặp lại tổ hợp mặt suy biến phần tử A download by : skknchat@gmail.com 41 Ví dụ 3.8 (Mặt cầu n chiều) Mặt cầu n chiều đơn hình S n định nghĩa S n = ∆[n]/∂(∆[n]), ∂(∆[n]) tập hợp đơn hình ∆[n] sinh ∆[n]k với k < n Trong đơn hình S ta có i ∆[1]k = {(i0 , , ik )|0 i0 1} = {(0, , 0, 1, , 1)|0 ik i k + 1}, có k + phần tử Do ∂(∆[n]k = {(0, , 0), (1, , 1)} Theo định nghĩa S = ∆[1]/∂(∆[1]) nên i Sk1 = {∗, (i0 , , ik )|0 i0 ik 1} = {(0, , 0, 1, , 1)|1 i k}, có k + phần tử kể điểm sở ∗ = (0, , 0) ∼ (1, , 1) Đối với mặt cầu đơn hình n chiều S n , có Skn = {∗} với k < n Skn = {∗, (i0 , , ik )|0 i0 ik n, với {i0 , , ik } = {0, 1, , n}} với k ≥ n Cho X tập đơn hình Định nghĩa skn (X) = Xk |k n Khi đó, nhận lọc khung X sk0 (X) ⊆ sk1 (X) ⊆ với X = n skn (X) skn (X)/skn−1 (X) = α∈Jn S n tổng chêm mặt cầu đơn hình n chiều Mệnh đề 3.9 Cho G nhóm Abel Khi đó, phép nhúng skn (X) −→ X cảm sinh đẳng cấu Hj (skn (X); G) ∼ = ✲ Hj (X; G) với j < n toàn cấu j = n download by : skknchat@gmail.com 42 Chứng minh Lấy C = Z(skn (X)) ⊗ G C = Z(skn (X)) ⊗ G Khi đó, C phức phức dây chuyền C với Ck = Ck , k Ck = với k C ✲ C 3.2.2 ✲ n Đặt C = C/C Khi n Khẳng định suy từ dãy khớp dài dãy C Biễu diễn hình học tập đơn hình Một tập ∆n cho n n ∆ = {(t0 , t1 , , tn )|ti ≥ ti = 1}, i=0 gọi n-đơn hình chuẩn Định nghĩa di : ∆n−1 −→ ∆n si : ∆n+1 −→ ∆n cho di (t0 , t1 , , tn−1 ) = (t0 , , ti−1 , 0, ti , , tn−1 ), si (t0 , t1 , , tn+1 ) = (t0 , , ti−1 , ti + ti+1 , , tn+1 ) với i n Cho X tập đơn hình Khi biễu diễn hình học |X| CW -phức định nghĩa ∞ |X| = n ∆n × Xn / ∼, (∆ , x)/ ∼= x∈Xn ,n≥0 n=0 (∆n , x) ∆n đánh dấu x ∈ Xn ∼ sinh (z, di x) ∼ (di z, x) với x ∈ Xn z ∈ ∆n−1 xác định di x (z, si x) ∼ (si z, x) với x ∈ Xn , z ∈ ∆n+1 đánh dấu si x Chú ý điểm (∆n+1 , si x) Và (∆n−1 , di x) đồng với điểm (∆n , x) download by : skknchat@gmail.com 43 Cho f : X → Y ánh xạ đơn hình Khi ánh xạ hình học |f | định nghĩa |f |(z, x) = (z, f (x) với x ∈ Xn z ∈ ∆n đánh dấu x Khi |f | ánh xạ liên tục Như việc mô tả hình học cho ta hàm tử từ phạm trù tập đơn hình tới phạm trù CW-phức Cho X Y tập đơn hình Tích trực tiếp X × Y định nghĩa (X × Yn = Xn × Yn X×Y Y Y với dX×Y = (dX − (sX i , di ) si i , si ) i 3.3 Các tập đơn hình kỳ dị đồng điều kỳ dị Cho ∆n n-đơn hình hình học Các ánh xạ di : ∆n−1 −→ ∆n si : ∆n+1 −→ ∆n định nghĩa di (t0 , t1 , , tn−1 ) = (t0 , , ti−1 , 0, ti , , tn−1 ), si (t0 , t1 , , tn+1 ) = (t0 , , ti−1 , ti + ti+1 , , tn+1 ) với i Cho không gian X bất kỳ, định nghĩa: Sn (X) = Map(∆n , X) tập tất ánh xạ liên tục từ ∆n vào X với di = di∗ : Sn (X) = Map(∆n , X) −→ Sn−1 (X) = Map(∆n−1 , X), si = si∗ : Sn (X) = Map(∆n , X) −→ Sn+1 (X) = Map(∆n+1 , X) với i n Khi S∗ (X) = {Sn (X)}n≥0 tập đơn hình kỳ dị Đặc biệt S∗ (X) ∆-tập Từ cho ta định nghĩa đồng điều kỳ dị: download by : skknchat@gmail.com 44 Định nghĩa 3.10 Cho cặp không gian (X, A), đồng điều kỳ dị H∗ (X, A; G) với hệ số G định nghĩa: H∗ (X, A; G) = H∗ (S∗ (X), S∗ (A); G) Ta kiểm tra đồng điều kỳ dị thỏa mãn tiên đề Eilenberg-Steenrod (xem Hatcher [1]) ∆-phức đồng điều đơn hình 3.4 Cho ∆n n-đơn hình di : ∆n−1 −→ ∆n cho di (t0 , t1 , , tn−1 ) = (t0 , , ti−1 , 0, ti , , tn−1 ), với i Biên n n di (∆[n − 1]) ∂∆ = i=0 hợp tất mặt ∆n Lấy Int(∆n = ∆n /∂∆n phần ∆n gọi đơn hình mở Định nghĩa 3.11 Một cấu trúc ∆-phức không gian X tập hợp ánh xạ C(X) = {σα : ∆n −→ X|α ∈ Jn , n 0} cho 1) σα |Int(∆n ) : Int(∆n ) −→ X toàn ánh điểm X nằm ảnh hạn chế σα |Int(∆n ) 2) Với σα ∈ C(X), σα ◦ di ∈ C(X) 3) Một tập A ⊆ X mở σα−1 (A) mở ∆n với σα ∈ C(X) Định nghĩa Cn∆ = {σα : ∆n −→ X|α ∈ Jn } ⊆ C(X), download by : skknchat@gmail.com 45 ∆ (X) cho d (σ ) = σ ◦ di , với di : Cn∆ (X) −→ Cn−1 α i α Khi C∗∆ (X) = {Cn∆ (X)}n i n ∆-tập Đồng điều kỳ dị X với hệ số G định nghĩa H∗∆ (X; G) = H∗ (C∗∆ (X); G) Nếu A phức X , định nghĩa H∗∆ (X, A; G) = H∗ (C∗∆ (X), C∗∆ (A); G) Vì σα : G∆n −→ X ánh xạ nhúng ∆-ánh xạ C∗∆ −→ S∗ (X) cảm sinh phép biến đổi tự nhiên H∗∆ (X, A; G) −→ H∗ (X, A; G) với cặp ∆-phức (X, A) Định lý 3.12 Cho X ∆-phức A tập hợp phức Khi đó, Hn∆ (X, A; G) −→ Hn (X, A; G) đẳng cấu với n Chứng minh sơ lược Chỉ cần chứng minh A = ∅ Để chứng minh H∗∆ (X; G) ∼ = H∗ (X; G), ta chứng minh phương pháp quy nạp khung X Ta thấy skn (X)/skn−1 (X) ∼ = S n α∈Jn Theo định nghĩa đồng điều đơn hình có    α∈Jn G k = n, Hk∆ (skn (X), skn−1 (X); G) =  0 trường hợp lại Điều chứng minh H∗∆ (skn (X), skn−1 (X); G) ∼ = H∗ (skn (X), skn−1 (X); G) ta cần phải H∗ (skn (X), skn−1 (X); G) ∼ = H ∗( S n ; G) α∈Jn download by : skknchat@gmail.com 46 Giả sử H∗∆ (skn−1 (X); G) ∼ = H∗ (skn−1 ; G), người ta kết luận H∗∆ (skn (X); G) ∼ = H∗ (skn (X); G) cách áp dụng dãy khớp dài cho đồng điều 3.5 Đối đồng điều kỳ dị Cho X ∆-tập Ta biết Z(X) = {Z(Xn )|n với 0} phức dây chuyền n (−1)i di : Z(Xn ) −→ Z(Xn−1 ) ∂n = i=0 Cho G nhóm Abel tùy ý Ta xét Hom(Z(X0 ), G) ∂0∗ ✲ Hom(Z(X1 ), G) ∂1∗ ✲ Hom(Z(X2 ), G) ∂2∗ ✲ ··· , ∂n∗ (f ) = f ◦ ∂n , với f ∈ Hom(Z(Xn ), G) Đặt δn = ∂n∗ Khi ∗ δn+1 ◦ δn = ∂n+1 ◦ ∂n∗ = (∂n ◦ ∂n+1 )∗ = Như dãy nhóm Hom(Z(X), G) = {Hom(Z(Xn ), G)} với vi phân δ phức đối dây chuyền Khi đối đồng điều X với hệ số G định nghĩa H n (X; G) = Hn (Hom(Z(X), G)) = Ker(δn )/Im(δn−1 ), với n Từ đối đồng điều kỳ dị đối đồng điều đơn hình Các lý thuyết đối đồng điều thỏa mãn tiên đề Eilenberg-Steenrod download by : skknchat@gmail.com 47 Kết luận Trong luận văn này, chúng tơi trình bày vấn đề sau: • Trình bày kiến thức chuẩn bị tơpơ đại cương, đặc biệt trình bày kết cần thiết tôpô không gian tôpô thương, tác động nhóm khơng gian tơpơ khơng gian quỹ đạo • Trình bày chi tiết hệ tiên đề Eilenberg-Steenrod số tính tốn cụ thể minh họa cho lý thuyết đồng điều tổng qt • Trình bày chi tiết cách xây dựng lý thuyết đồng điều đối đồng điều kỳ dị khơng gian tơpơ Luận văn đóng góp tài liệu tham khảo cho lĩnh vực nghiên cứu nhóm bản, lý thuyết đồng điều đối đồng điều kỳ dị Trong trình thực luận văn này, gợi ý giúp đỡ tận tình PGS TS Nguyễn Sum, người hướng dẫn luận văn download by : skknchat@gmail.com 48 Tài liệu tham khảo [1] Allen Hatcher, (2002), Algebraic Topology, Cambridge University Press [2] C Kosniowski, (1980), A first course in Algebraic topology, Cambridge University Press [3] J Wu, (2008), Lecture Notes on Algebraic Topology, Internet, online at: http://www.math.nus.edu.sg/ matwujie/ma5209.pdf download by : skknchat@gmail.com Quyết định giao đề tài luận văn thạc sĩ download by : skknchat@gmail.com ... đồng điều kỳ dị, nhà tốn học nghiên cứu tìm nhiều lý thuyết đồng điều khác Chẳng hạn, lý thuyết đồng điều phức hợp đơn hình, lý thuyết đồng điều CW −phức, lý thuyết đồng điều phổ, lý thuyết đồng. .. họa cho lý thuyết đồng điều tổng quát Chương Lý thuyết đồng điều đối đồng điều kỳ dị Trình bày cách xây dựng lý thuyết đồng điều đối đồng diều kỳ dị không gian tôpô Các tư liệu luận văn trình... vi phân, Lý thuyết phạm trù, v.v Mục đích luận văn tìm hiểu trình bày lý thuyết đồng điều đối đồng điều theo hệ tiên đề sử dụng vào việc xây dựng lý thuyết đồng điều đối đồng điều kỳ dị khơng