Cho ∆n là một n-đơn hình và di : ∆n−1 −→∆n được cho bởi di(t0, t1, ..., tn−1) = (t0, ..., ti−1,0, ti, ..., tn−1), với 06i61. Biên ∂∆n = n [ i=0 di(∆[n−1])
là hợp của tất cả các mặt của ∆n. Lấy Int(∆n = ∆n/∂∆n là phần trong của ∆n
được gọi là đơn hình mở.
Định nghĩa 3.11. Một cấu trúc ∆-phức trên không gian X là tập hợp các ánh xạ
C(X) = {σα: ∆n −→X|α∈Jn, n>0}
sao cho
1)σα|Int(∆n) :Int(∆n)−→X là toàn ánh và mỗi điểm của X nằm trong ảnh của đúng một hạn chế σα|Int(∆n).
2) Với mỗi σα∈ C(X), σα◦di∈ C(X).
3) Một tập A ⊆ X là mở nếu và chỉ nếu σα−1(A) mở trong ∆n với mỗi σα∈ C(X).
Định nghĩa
với di :Cn∆(X)−→Cn∆−1(X) cho bởi di(σα) = σα◦di,06i6n.
Khi đó C∗∆(X) = {Cn∆(X)}n>0 là một ∆-tập. Đồng điều kỳ dị của X với hệ số trong G được định nghĩa
H∗∆(X;G) = H∗(C∗∆(X);G).
Nếu A là một phức con của X, định nghĩa
H∗∆(X, A;G) =H∗(C∗∆(X), C∗∆(A);G).
Vì mỗi σα : G∆n −→ X là một ánh xạ nhúng của ∆-ánh xạ C∗∆ −→ S∗(X) và cảm sinh một phép biến đổi tự nhiên H∗∆(X, A;G) −→ H∗(X, A;G) với bất kỳ cặp∆-phức (X, A).
Định lý 3.12. Cho X là một ∆-phức và A là một tập hợp con phức. Khi đó,
Hn∆(X, A;G)−→Hn(X, A;G) là một đẳng cấu với mọi n.
Chứng minh sơ lược. Chỉ cần chứng minh A =∅. Để chứng minh H∗∆(X;G) ∼=
H∗(X;G), ta có thể chứng minh bằng phương pháp quy nạp trên khung của X. Ta thấy
skn(X)/skn−1(X)∼= _
α∈Jn Sn. Theo định nghĩa của đồng điều đơn hình chúng ta có
Hk∆(skn(X), skn−1(X);G) = L α∈JnG nếu k=n, 0 các trường hợp còn lại.
Điều này chứng minh rằng
H∗∆(skn(X), skn−1(X);G)∼=H∗(sk n(X), skn−1(X);G). trong đó ta cần phải chỉ ra rằng H∗(skn(X), skn−1(X);G)∼=H∗(_ α∈Jn Sn;G).
H∗∆(skn(X);G)∼=H∗(sk
n(X);G)
bằng cách áp dụng dãy khớp dài cho đồng điều.