Một tập ∆n được cho bởi
∆n ={(t0, t1, ..., tn)|ti≥0 và
n
X
i=0
ti= 1}, được gọi là một n-đơn hình chuẩn.
Định nghĩa di: ∆n−1−→∆n và si : ∆n+1−→∆n được cho bởi di(t0, t1, ..., tn−1) = (t0, ..., ti−1,0, ti, ..., tn−1), si(t0, t1, ..., tn+1) = (t0, ..., ti−1, ti+ti+1, ..., tn+1). với 06i6n.
ChoX là một tập đơn hình. Khi đó biễu diễn hình học |X|là mộtCW-phức được định nghĩa |X|= a x∈Xn,n≥0 (∆n, x)/∼= ∞ a n=0 ∆n×Xn/∼,
trong đó (∆n, x) là ∆n được đánh dấu bởi x∈Xn và ∼ được sinh bởi
(z, dix)∼(diz, x)
vớix∈Xn bất kỳ vàz ∈∆n−1xác định bởidixvà(z, six)∼(siz, x)vớix∈Xn, z ∈ ∆n+1được đánh dấu bởisix. Chú ý rằng các điểm trong(∆n+1, six) Và (∆n−1, dix)
Cho f :X →Y là ánh xạ đơn hình. Khi đó ánh xạ hình học |f| được định nghĩa bởi
|f|(z, x) = (z, f(x)
với mọi x ∈ Xn và z ∈ ∆n được đánh dấu bởi x. Khi đó |f| là ánh xạ liên tục. Như vậy việc mô tả hình học cho ta một hàm tử từ phạm trù các tập đơn hình tới phạm trù các CW-phức.
ChoX và Y là các tập đơn hình. Tích trực tiếp X×Y được định nghĩa bởi
(X×Yn =Xn×Yn với dXi ×Y = (dXi , dYi ) và sXi ×Y −(sXi , sYi ). 3.3 Các tập đơn hình kỳ dị và đồng điều kỳ dị Cho ∆n là n-đơn hình hình học. Các ánh xạ di : ∆n−1 −→ ∆n và si : ∆n+1−→∆n được định nghĩa di(t0, t1, ..., tn−1) = (t0, ..., ti−1,0, ti, ..., tn−1), si(t0, t1, ..., tn+1) = (t0, ..., ti−1, ti+ti+1, ..., tn+1). với 06i61.
Cho không gian X bất kỳ, định nghĩa: Sn(X) =Map(∆n, X) là tập tất cả các ánh xạ liên tục từ ∆n vào X với
di=di∗ :Sn(X) =Map(∆n, X)−→Sn−1(X) = Map(∆n−1, X), si=si∗:Sn(X) =Map(∆n, X)−→Sn+1(X) = Map(∆n+1, X).
với 06i 6n. Khi đó S∗(X) = {Sn(X)}n≥0 là một tập đơn hình kỳ dị. Đặc biệt S∗(X) là một ∆-tập. Từ đó cho ta định nghĩa đồng điều kỳ dị:
hệ số trong G được định nghĩa:
H∗(X, A;G) = H∗(S∗(X), S∗(A);G).
Ta có thể kiểm tra được rằng đồng điều kỳ dị thỏa mãn các tiên đề Eilenberg-Steenrod (xem Hatcher [1]).
3.4 ∆-phức và đồng điều đơn hình
Cho ∆n là một n-đơn hình và di : ∆n−1 −→∆n được cho bởi di(t0, t1, ..., tn−1) = (t0, ..., ti−1,0, ti, ..., tn−1), với 06i61. Biên ∂∆n = n [ i=0 di(∆[n−1])
là hợp của tất cả các mặt của ∆n. Lấy Int(∆n = ∆n/∂∆n là phần trong của ∆n
được gọi là đơn hình mở.
Định nghĩa 3.11. Một cấu trúc ∆-phức trên không gian X là tập hợp các ánh xạ
C(X) = {σα: ∆n −→X|α∈Jn, n>0}
sao cho
1)σα|Int(∆n) :Int(∆n)−→X là toàn ánh và mỗi điểm của X nằm trong ảnh của đúng một hạn chế σα|Int(∆n).
2) Với mỗi σα∈ C(X), σα◦di∈ C(X).
3) Một tập A ⊆ X là mở nếu và chỉ nếu σα−1(A) mở trong ∆n với mỗi σα∈ C(X).
Định nghĩa
với di :Cn∆(X)−→Cn∆−1(X) cho bởi di(σα) = σα◦di,06i6n.
Khi đó C∗∆(X) = {Cn∆(X)}n>0 là một ∆-tập. Đồng điều kỳ dị của X với hệ số trong G được định nghĩa
H∗∆(X;G) = H∗(C∗∆(X);G).
Nếu A là một phức con của X, định nghĩa
H∗∆(X, A;G) =H∗(C∗∆(X), C∗∆(A);G).
Vì mỗi σα : G∆n −→ X là một ánh xạ nhúng của ∆-ánh xạ C∗∆ −→ S∗(X) và cảm sinh một phép biến đổi tự nhiên H∗∆(X, A;G) −→ H∗(X, A;G) với bất kỳ cặp∆-phức (X, A).
Định lý 3.12. Cho X là một ∆-phức và A là một tập hợp con phức. Khi đó,
Hn∆(X, A;G)−→Hn(X, A;G) là một đẳng cấu với mọi n.
Chứng minh sơ lược. Chỉ cần chứng minh A =∅. Để chứng minh H∗∆(X;G) ∼=
H∗(X;G), ta có thể chứng minh bằng phương pháp quy nạp trên khung của X. Ta thấy
skn(X)/skn−1(X)∼= _
α∈Jn Sn. Theo định nghĩa của đồng điều đơn hình chúng ta có
Hk∆(skn(X), skn−1(X);G) = L α∈JnG nếu k=n, 0 các trường hợp còn lại.
Điều này chứng minh rằng
H∗∆(skn(X), skn−1(X);G)∼=H∗(sk n(X), skn−1(X);G). trong đó ta cần phải chỉ ra rằng H∗(skn(X), skn−1(X);G)∼=H∗(_ α∈Jn Sn;G).
H∗∆(skn(X);G)∼=H∗(sk
n(X);G)
bằng cách áp dụng dãy khớp dài cho đồng điều.
3.5 Đối đồng điều kỳ dị
Cho X là ∆-tập. Ta biết rằng Z(X) = {Z(Xn)|n > 0} là phức dây chuyền với ∂n = n X i=0 (−1)idi :Z(Xn)−→Z(Xn−1). Cho G là một nhóm Abel tùy ý. Ta xét
Hom(Z(X0), G) ∂ ∗ 0 -Hom(Z(X1), G) ∂ ∗ 1 - Hom(Z(X2), G) ∂ ∗ 2 - · · · , trong đó ∂n∗(f) = f◦∂n, với f ∈Hom(Z(Xn), G). Đặt δn =∂n∗. Khi đó
δn+1◦δn =∂n∗+1◦∂n∗ = (∂n◦∂n+1)∗= 0.
Như vậy dãy các nhóm Hom(Z(X), G) ={Hom(Z(Xn), G)} với vi phân δ là một phức đối dây chuyền. Khi đó đối đồng điều của X với hệ số trong G được định nghĩa bởi
Hn(X;G) =Hn(Hom(Z(X), G)) =Ker(δn)/Im(δn−1), với mọi n.
Từ đây chúng ta được đối đồng điều kỳ dị và đối đồng điều đơn hình. Các lý thuyết đối đồng điều này thỏa mãn các tiên đề Eilenberg-Steenrod.
Kết luận
Trong luận văn này, chúng tôi trình bày các vấn đề sau:
• Trình bày các kiến thức chuẩn bị về tôpô đại cương, đặc biệt trình bày các kết quả cần thiết về tôpô và không gian tôpô thương, tác động của các nhóm trên không gian tôpô và không gian các quỹ đạo.
• Trình bày chi tiết hệ tiên đề Eilenberg-Steenrod và một số tính toán cụ thể minh họa cho lý thuyết đồng điều tổng quát.
• Trình bày chi tiết cách xây dựng lý thuyết đồng điều và đối đồng điều kỳ dị của các không gian tôpô.
Luận văn sẽ đóng góp một tài liệu tham khảo cho lĩnh vực nghiên cứu nhóm cơ bản, lý thuyết đồng điều và đối đồng điều kỳ dị.
Trong quá trình thực hiện luận văn này, tôi luôn được sự gợi ý và giúp đỡ tận tình của PGS. TS. Nguyễn Sum, người đã hướng dẫn luận văn này.
Tài liệu tham khảo
[1] Allen Hatcher, (2002), Algebraic Topology, Cambridge University Press. [2] C. Kosniowski, (1980), A first course in Algebraic topology,Cambridge Uni-
versity Press.
[3] J. Wu, (2008), Lecture Notes on Algebraic Topology, Internet, online at: http://www.math.nus.edu.sg/ matwujie/ma5209.pdf.