Cho X là ∆-tập. Ta biết rằng Z(X) = {Z(Xn)|n > 0} là phức dây chuyền với ∂n = n X i=0 (−1)idi :Z(Xn)−→Z(Xn−1). Cho G là một nhóm Abel tùy ý. Ta xét
Hom(Z(X0), G) ∂ ∗ 0 -Hom(Z(X1), G) ∂ ∗ 1 - Hom(Z(X2), G) ∂ ∗ 2 - · · · , trong đó ∂n∗(f) = f◦∂n, với f ∈Hom(Z(Xn), G). Đặt δn =∂n∗. Khi đó
δn+1◦δn =∂n∗+1◦∂n∗ = (∂n◦∂n+1)∗= 0.
Như vậy dãy các nhóm Hom(Z(X), G) ={Hom(Z(Xn), G)} với vi phân δ là một phức đối dây chuyền. Khi đó đối đồng điều của X với hệ số trong G được định nghĩa bởi
Hn(X;G) =Hn(Hom(Z(X), G)) =Ker(δn)/Im(δn−1), với mọi n.
Từ đây chúng ta được đối đồng điều kỳ dị và đối đồng điều đơn hình. Các lý thuyết đối đồng điều này thỏa mãn các tiên đề Eilenberg-Steenrod.
Kết luận
Trong luận văn này, chúng tôi trình bày các vấn đề sau:
• Trình bày các kiến thức chuẩn bị về tôpô đại cương, đặc biệt trình bày các kết quả cần thiết về tôpô và không gian tôpô thương, tác động của các nhóm trên không gian tôpô và không gian các quỹ đạo.
• Trình bày chi tiết hệ tiên đề Eilenberg-Steenrod và một số tính toán cụ thể minh họa cho lý thuyết đồng điều tổng quát.
• Trình bày chi tiết cách xây dựng lý thuyết đồng điều và đối đồng điều kỳ dị của các không gian tôpô.
Luận văn sẽ đóng góp một tài liệu tham khảo cho lĩnh vực nghiên cứu nhóm cơ bản, lý thuyết đồng điều và đối đồng điều kỳ dị.
Trong quá trình thực hiện luận văn này, tôi luôn được sự gợi ý và giúp đỡ tận tình của PGS. TS. Nguyễn Sum, người đã hướng dẫn luận văn này.
Tài liệu tham khảo
[1] Allen Hatcher, (2002), Algebraic Topology, Cambridge University Press. [2] C. Kosniowski, (1980), A first course in Algebraic topology,Cambridge Uni-
versity Press.
[3] J. Wu, (2008), Lecture Notes on Algebraic Topology, Internet, online at: http://www.math.nus.edu.sg/ matwujie/ma5209.pdf.