Bài viết Phân tích động học và các cấu hình kỳ dị của tay máy robot song song phẳng 3 bậc tự do phân tích tay máy robot song song phẳng 3 bậc tự do 3-RRR (Revolute – Revolute – Revolute). Để tính toán cho hệ thống điều khiển tay máy robot trong không gian làm việc, mô hình động học ngược và động học thuận của tay máy robot 3-RRR được xây dựng.
Dương Tấn Quốc, Lê Tiến Dũng 76 PHÂN TÍCH ĐỘNG HỌC VÀ CÁC CẤU HÌNH KỲ DỊ CỦA TAY MÁY ROBOT SONG SONG PHẲNG BẬC TỰ DO KINEMATICS AND SINGULARITY ANALYSIS OF DEGREE-OF-FREEDOM PLANAR PARALLEL ROBOTIC MANIPULATORS Dương Tấn Quốc1, Lê Tiến Dũng2 Đại học Duy Tân; duongtanquoc@dtu.edu.vn Trường Đại học Bách khoa, Đại học Đà Nẵng; ltdung@dut.udn.vn Tóm tắt - Bài báo phân tích tay máy robot song song phẳng bậc tự 3-RRR (Revolute – Revolute – Revolute) Để tính tốn cho hệ thống điều khiển tay máy robot không gian làm việc, mơ hình động học ngược động học thuận tay máy robot 3-RRR xây dựng Đó mơ hình thể mối quan hệ khớp chủ động vị trí hệ tọa độ Descartes, góc xoay khâu chấp hành cuối Các ma trận suy từ động học ma trận Jacobian, sau ứng dụng ma trận vào tìm cấu hình kỳ dị Hơn nữa, việc tìm ma trận Jacobian giúp cho việc tính tốn động lực học phục vụ cho việc điều khiển phương pháp điều khiển tính tốn lực Các kết kiểm chứng Matlab/Simulink kết hợp SolidWorks nhằm phục vụ cho việc thiết kế kích thước, quỹ đạo chuyển động, phân tích khơng gian làm việc loại trừ cấu hình kỳ dị, tính mơ hình động lực học điều khiển tay máy robot song song phẳng bậc tự Abstract - This article analyzes degree-of-freedom planar parallel robotic manipulator 3-RRR (Revolute – Revolute – Revolute) For computation of control system of the robot in workspace, inverse kinematic and forward kinematic model of robot 3-RRR are firstly created These models demonstrate the bond of active joints and positions on Descartes coordinates, the angle of end-effector The matrices which are derived from kinematic models are called Jacobian matrices which then are applied to find out singularity configurations Moreover, Jacobian matrices are helpful to calculate dynamic model which is used for computed torque control algorithm The results of this paper are verified by simulation using Matlab/Simulink combined with SolidWorks, which are helpful for designing dimension and trajectory, analysing singularities avoidance, computing dynamic model and control algorithm of the robot manipulator Từ khóa - tay máy robot song song phẳng; cấu hình kỳ dị; động học thuận; động học ngược; không gian làm việc Key words - planar parallel robotic manipulators; singularity; forward kinematics; inverse kinematics; workspace Đặt vấn đề Trong thực tế có nhiều loại kiến trúc tay máy khác nghiên cứu sử dụng rộng rãi công nghiệp Tay máy robot song song cho hiệu cao độ xác, độ bền khả tải lớn so với tay máy nối tiếp Nó ứng dụng nhiều ứng dụng từ sản xuất hàng hóa, gia cơng khí đến mơ máy bay, trở nên phổ biến công nghiệp công cụ khí hóa giới [1] Để điều khiển tay máy robot, người ta thường dùng lý thuyết điều khiển robot song song [6] tác giả Lei Liu, Quanmin Zhu, Lei Cheng, Yongji Wang, Dongya Zhao gấp lại Nếu tay máy robot bị rơi vào trường hợp chắn điều việc điều khiển khó khăn khơng bám tốt quỹ đạo đặt ra, hay chí khơng thể điều khiển Chính vậy, việc tìm khơng gian làm việc loại trừ cấu hình kỳ dị coi việc tất yếu thiết kế điều khiển tay máy robot nói chung tay máy robot song song phẳng nói riêng Trong báo trình bày mơ hình động học mơ tả theo dạng hình học, khác với phương phỏp DH nh bi bỏo [4] ca Serdar Kỹỗỹk Từ ma trận Jacobian xây dựng nhằm biểu diễn mối quan hệ vận tốc góc robot hệ tọa độ khớp chủ động tọa độ hệ tọa độ Descartes, góc xoay khâu chấp hành cuối Dựa ma trận Jacobian đó, báo vào phân tích loại cấu hình kỳ dị tay máy robot Sau đó, để kiểm tra kết đạt được, báo thực mơ Matlab/Simulink SimMechanics trích xuất từ SolidWorks Nội dung báo trình bày với phần sau: Phần đặt vấn đề cho việc nghiên cứu Phần mơ hình động học thuận động học ngược Phần trình bày ma trận Jacobian Phần giới thiệu cấu hình kỳ dị không gian làm việc Phần mô kiểm nghiệm kết đạt được, cuối cùng, Phần kết luận báo Mô hình tay máy tổng quát Yang, Guilin, Weihai Chen, I Chen đưa [3] Mơ hình tay máy robot song song phẳng 3-RRR dựa theo phương pháp DH (Denavit & Hartenberg, 1955) ó c Serdar Kỹỗỹk a [4] Trong sách [6] tác giả Lei Liu, Quanmin Zhu, Lei Cheng, Yongji Wang, Dongya Zhao nêu việc ứng dụng kỹ thuật điều khiển điều khiển đồng bộ, điều khiển trượt, điều khiển thích nghi cách tổng quát cho nhiều đối tượng robot khác Đối với việc nghiên cứu cấu hình kỳ dị nêu cách tổng quát cho loại robot song song [1] tác giả Merlet J.P Merlet J.P [1], trình bày cách tìm cấu hình kỳ dị tổng quát cho loại tay máy robot song song Cấu hình kỳ dị xảy góc chủ động vị trí, góc xoay khâu chấp hành cuối theo mối quan hệ vơ nghiệm, hay nói cách khác, xét Tốn học không tồn giá trị biến phương trình góc chủ động tọa độ, góc xoay khâu chấp hành cuối Xét phương diện Vật lý mơ hình thực tế, tay máy robot bị căng Mô hình động học Xét mơ hình tay máy robot song song phẳng bậc tự 3-RRR Hình 1, hoạt động mặt phẳng nằm ngang hệ tọa độ Descartes Các vector sau: • 𝒒𝒂 = [𝑞𝑎1 , 𝑞𝑎2 , 𝑞𝑎3 ]𝑇 vector góc chủ động ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 5(114).2017-Quyển 𝑇 • 𝒒𝒑 = [𝑞𝑝1 , 𝑞𝑝2 , 𝑞𝑝3 ] vector góc bị động • 𝑿 = [𝑥𝑃 , 𝑦𝑃 , 𝜙𝑃 vector tọa độ góc xoay khâu chấp hành cuối ]𝑇 𝑥𝑜𝑖 + 𝑙1 𝑐𝑜𝑠𝒒𝒂𝒊 + 𝑙2 𝑐𝑜𝑠(𝒒𝒂𝒊 + 𝒒𝒑𝒊 ) 𝑥𝑃 [𝑦 ] = [ 𝑃 𝑦𝑜𝑖 + 𝑙1 𝑠𝑖𝑛𝒒𝒂𝒊 + 𝑙2 𝑠𝑖𝑛(𝒒𝒂𝒊 + 𝒒𝒑𝒊 ) +𝑙3 𝑐𝑜𝑠(𝒊 + 𝜙𝑃 ) +𝑙3 𝑠𝑖𝑛(𝒊 + 𝜙𝑃 ) 3 3 −𝑙3 𝜙̇𝑃 𝑠𝑖𝑛(𝒊 + 𝜙𝑃 ) ] +𝑙3 𝜙̇𝑃 𝑐𝑜𝑠( + 𝜙𝑃 ) Góc chủ động 3 Góc bị động 1 Từ (7) rút gọn, thu phương trình thể quan hệ 𝒒̇ 𝒂 𝑿̇: 𝑱𝒛𝟏 𝑿̇ = 𝑱𝒐 𝒒̇ 𝒂 (8) 2 Hình Tay máy robot song song phẳng bậc tự 3-RRR Với mơ hình tay máy robot này, lực tác động đưa vào khớp chủ động (𝑞𝑎1 , 𝑞𝑎2 , 𝑞𝑎3 ) để điều khiển tọa độ quỹ đạo chuyển động khâu chấp hành cuối hệ tọa độ (x, y) Điều dẫn đến việc tìm mơ hình động học thuận động học ngược xây dựng theo quan hệ hệ tọa độ khớp chủ động (𝑞𝑎1 , 𝑞𝑎2 , 𝑞𝑎3 ) hệ tọa độ (x, y) góc xoay 𝜙𝑃 , hay nói cách khác, quan hệ vector 𝒒𝒂 vector 𝑿 2.1 Động học thuận Để tìm động học thuận tay máy robot song song phẳng 3-RRR, theo mơ tả hình học [5] Hình có được: 2 𝑦𝐴𝑖 − 𝑙1 𝑠𝑖𝑛 𝒒𝒂𝒊 − 𝑙3 𝑠𝑖𝑛(𝜙𝑃 + 𝒊 )] = 𝑙22 (1) Phương trình thể mối quan hệ vector góc chủ động 𝒒𝒂 vector 𝑿 Giải phương trình (1) theo phương pháp số, thu mơ hình động học thuận, mối quan hệ vector 𝑿 vector 𝒒𝒂 Trong q trình tính tốn, để điều khiển bám quỹ đạo đặt ra, cần thêm giá trị tham số tính tốn, vector góc bị động 𝒒𝒑 Để tìm góc bị động 𝒒𝒑 , dựa vào mơ tả hình học, thu được: 2𝑙1 𝑙2 ) (2) Với tọa độ điểm 𝐶𝑖 tính từ phương trình: 𝑥𝐶𝑖 = 𝑥𝑃 + 𝑙3 𝑐𝑜𝑠(𝜙𝑃 + 𝒊 ) − 𝑥𝐴𝑖 (3) 𝑦𝐶𝑖 = 𝑥𝑃 + 𝑙3 𝑠𝑖𝑛(𝜙𝑃 + 𝑖 ) − 𝑦𝐴𝑖 (4) 2.2 Động học ngược Tương tự mơ hình động học thuận, mơ hình động học ngược tính dựa mơ tả hình học, góc chủ động 𝒒𝒂 tính từ: 𝒒𝒂 = 𝑡𝑎𝑛−1 ( 𝑦𝐶𝑖 𝑥𝐶𝑖 2 𝑙2 −𝑙22 +𝑥𝐶𝑖 +𝑦𝐶𝑖 ) + 𝑐𝑜𝑠 −1 ( +𝑦 2𝑙1 √𝑥𝐶𝑖 𝐶𝑖 Các ma trận Jacobian Từ mơ tả hình học Hình 1, có được: ) 𝑇 • 𝑿̇ = [𝑥̇ 𝑃 , 𝑦̇ 𝑃 , 𝜙̇𝑃 ] vector vận tốc khâu chấp hành cuối • 𝒒̇ 𝒂 = [𝑞̇ 𝑎1 , 𝑞̇ 𝑎2 , 𝑞̇ 𝑎3 ]𝑇 vector vận tốc góc chủ động Các ma trận Jacobian thu sau: 𝑎𝑧11 𝑏𝑧11 𝑐𝑧11 𝑱𝒛𝟏 = [𝑎𝑧12 𝑏𝑧12 𝑐𝑧12 ] 𝑎𝑧13 𝑏𝑧13 𝑐𝑧13 𝑑𝑧11 0 𝑑𝑧12 ] 𝑱𝒐 = [ 0 𝑑𝑧13 (9) (10) 𝑎𝑧1𝑖 = 𝑐𝑜𝑠(𝒒𝒂𝒊 + 𝒒𝒑𝒊 ) 𝑏𝑧1𝑖 = 𝑠𝑖𝑛(𝒒𝒂𝒊 + 𝒒𝒑𝒊 ) Với: 𝒊 = [𝜋⁄6 ; 𝜋⁄6 ; 3𝜋⁄2]; 𝑖 = 1, 2, 2 𝑙2 +𝑙22 −𝑥𝐶𝑖 −𝑦𝐶𝑖 Trong đó: Với: 𝑖 = 1, 2, [𝑥𝑃 − 𝑥𝐴𝑖 − 𝑙1 𝑐𝑜𝑠 𝒒𝒂𝒊 − 𝑙3 𝑐𝑜𝑠 (𝜙𝑃 + 𝒊 )] + [𝑦𝑃 − 𝒒𝒑 = 𝜋 − 𝑐𝑜𝑠 −1 ( (7) 𝒊 1 (6) −𝑙1 𝒒̇ 𝒂𝒊 𝑠𝑖𝑛𝒒𝒂𝒊 − 𝑙2 (𝒒̇ 𝒂𝒊 + 𝒒̇ 𝒑𝒊 ) 𝑠𝑖𝑛(𝒒𝒂𝒊 + 𝒒𝒑𝒊 ) 𝑥̇ [ 𝑃] = [ 𝑦̇ 𝑃 𝑙1 𝒒̇ 𝒂𝒊 𝑐𝑜𝑠𝒒𝒂𝒊 + 𝑙2 (𝒒̇ 𝒂𝒊 + 𝒒̇ 𝒑𝒊 ) 𝑐𝑜𝑠(𝒒𝒂𝒊 + 𝒒𝒑𝒊 ) ] Đạo hàm phương trình (6) theo thời gian thu được: 77 (5) 𝑐𝑧1𝑖 = −𝑙3 𝑠𝑖𝑛(𝒒𝒂𝒊 + 𝒒𝒑𝒊 − 𝒊 − 𝜙𝑃 ) 𝑑𝑧1𝑖 = 𝑙1 𝑠𝑖𝑛𝒒𝒑𝒊 { Phương trình (8) viết lại là: 𝒒̇ 𝒂 = 𝑱𝒐𝒛 𝑿̇ (11) 𝑱−𝟏 𝒐 𝑱𝒛𝟏 𝑱𝒐𝒛 = (12) Như vậy, Phần giới thiệu ma trận Jacobian cách đầy đủ, ma trận dùng để phân tích cấu hình kỳ dị tay máy robot phần Hơn nữa, ma trận Jacobian cịn dùng cho mơ hình động lực học phục vụ cho việc điều khiển tay máy robot Các cấu hình kỳ dị không gian làm việc Theo Merlet J.P [1] trình bày cách tìm cấu hình kỳ dị tổng quát cho loại tay máy robot song song Trong cách tìm cấu hình kỳ dị khác dựa vào ma trận Jacobian kết cấu hình học [12, 13] tay máy robot đượcs xét báo này, xảy cấu hình kỳ dị phương trình (12) trở nên vơ nghiệm Tức 𝑱𝒐 vô nghiệm 𝑱𝒛𝟏 vô nghiệm, 𝑱𝒐 𝑱𝒛𝟏 vô nghiệm Như dẫn đến có tất khả xảy cấu hình kỳ dị 4.1 Cấu hình kỳ dị loại Cấu hình kỳ dị loại xảy 𝑑𝑒𝑡(𝑱𝒐 ) = 𝑑𝑒𝑡(𝑱𝒛𝟏 ) ≠ Điều xảy 𝑙1 𝑙2 xếp thẳng hàng bị gập lại Hình Hình Dương Tấn Quốc, Lê Tiến Dũng 78 Trong trường hợp này, lực tác động vào khớp chủ động làm lệch tay máy robot, bị căng bị gập lại [11, 12, 13] Hình Cấu hình kỳ dị loại vừa bị căng, vừa song song Hình Cấu hình kỳ dị loại bị căng Hình Cấu hình kỳ dị loại bị gấp 4.2 Cấu hình kỳ dị loại Cấu hình kỳ dị loại xảy 𝑑𝑒𝑡(𝑱𝒐 ) ≠ 𝑑𝑒𝑡(𝑱𝒛𝟏 ) = Điều xảy tay máy cắt điểm tay máy song song Hình Hình Rõ ràng thấy xảy cấu hình kỳ dị phương trình (12) khơng thỏa mãn, hay nói cách khác khơng có nghiệm Từ dẫn đến tay máy robot song song độ cứng vững nó, vốn ưu điểm so sánh với tay máy nối tiếp Để loại trừ cấu hình kỳ dị, dựa vào kích thước hình học để tìm kích thước hợp lý, nhiên khơng thể loại trừ hết tất cấu hình kỳ dị Một cách khác tìm vùng khơng gian làm việc khơng có cấu hình kỳ dị, tức vùng làm việc loại trừ điểm kỳ dị, sau thiết kế quỹ đạo làm việc vùng khơng gian làm việc để đảm bảo khơng có cấu hình kỳ dị xảy ra, báo chọn trình bày theo cách 4.4 Khơng gian làm việc Để tìm khơng gian làm việc loại trừ điểm kỳ dị, trước tiên tìm cấu hình kỳ dị dựa vào ma trận Jacobian 𝑱𝒐 𝑱𝒛𝟏 với điều kiện 𝑑𝑒𝑡(𝑱𝒐 ) = 𝑑𝑒𝑡(𝑱𝒛𝟏 ) = [1, 14] Trong báo này, mơ hình robot 3-RRR lựa chọn kích thước với chiều dài sau: 𝑙1 = 0,2 𝑚; 𝑙2 = 0,2 𝑚; 𝑙3 = 0,0722 𝑚; khoảng cách hai khớp chủ động: 0,5 𝑚 Kết mô không gian làm việc Matlab trình bày từ Hình đến Hình11 tương ứng độ thay đổi góc 𝜙𝑃 ban đầu khâu chấp hành cuối Hình Cấu hình kỳ dị loại cắt điểm Hình Cấu hình kỳ dị loại song song 4.3 Cấu hình kỳ dị loại Cấu hình kỳ dị loại xảy đồng thời 𝑑𝑒𝑡(𝑱𝒐 ) = 𝑑𝑒𝑡(𝑱𝒛𝟏 ) = Điều xảy vừa bị căng, vừa cắt điểm vừa bị căng, vừa song song Hình Hình Hình Cấu hình kỳ dị loại vừa bị căng, vừa cắt điểm Hình Khơng gian làm việc 𝜙𝑃 = 00 Hình Khơng gian làm việc 𝜙𝑃 = 300 ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 5(114).2017-Quyển 79 • 𝑲𝒗 𝑲𝒑 ma trận đường chéo xác định dương • 𝑴𝒂 ma trận qn tính • 𝑪𝒂 ma trận Coriolis lực hướng tâm • 𝑭𝒂 vector lực ma sát Các ma trận 𝑴𝒂 , 𝑪𝒂 𝑭𝒂 tính từ thông số động học ma trận Jacobian tay máy robot Các thông số thực mơ hình tay máy robot mơ từ mơ hình khí vẽ phần mềm SolidWorks xuất sang Matlab/Simulink, nên coi thơng số mơ hình gần xác với thực tế Kích thước tay máy robot lấy Mục 4.4 Trước tiên, quỹ đạo đặt kiểm tra không gian làm việc để tránh cấu hình kỳ dị Với quỹ đạo chuyển động khâu chấp hành cuối chọn hình trịn có bán kính 0,03m với tâm hệ tọa độ Descartes (0,25; 0,1443), góc xoay ban đầu 𝜙𝑃 = 00 Tọa độ điểm tay máy robot (0,2573; 0,1452) Các ma trận 𝑲𝒗 𝑲𝒑 chọn: 𝑲𝒗 = [40 0; 40 0; 0 40] 𝑲𝒑 = [200 0; 200 0; 0 200] Mơ hình tay máy vẽ hình sau: Hình 10 Khơng gian làm việc 𝜙𝑃 = 600 Hình 11 Khơng gian làm việc 𝜙𝑃 = 900 Từ kết trên, nhận thấy tăng góc 𝜙𝑃 ban đầu khâu chấp hành cuối giữ nguyên giá trị q trình điều khiển, khơng gian làm việc tay máy robot nhỏ dần, điều dễ dàng thấy kích thước hình học Mơ kiểm chứng Để điều khiển mơ hình tay máy robot song song phẳng, báo dựa vào thuật tốn điều khiển tính tốn lực (Computed Torque Control) nêu [2, 7, 8, 9, 10, 11, 14] theo công thức: 𝒂 = 𝑴𝒂 (𝒒̈ 𝒂 + 𝑲𝒗 𝒆̇ + 𝑲𝒑 𝒆) + 𝑪𝒂 𝒒̇ 𝒂 + 𝑭𝒂 Hình 12 Mơ hình SolidWorks xuất sang Matlab/Simulink Kết kiểm tra không gian làm việc Hình 13 kết mơ Hình 14 Hình 15 (13) Trong đó: • 𝒂 vector mô-men đầu vào khớp chủ động tay máy robot • 𝒒̈ 𝒂 vector gia tốc quỹ đạo mong muốn khớp chủ động tay máy robot 𝒒̈ 𝒂 = [𝑞̈ 𝑎1 , 𝑞̈ 𝑎2 , 𝑞̈ 𝑎3 ]𝑇 (14) • 𝒆̇ vector sai lệch vận tốc góc mong muốn góc thực khớp chủ động tay máy robot 𝒆̇ = 𝒒̇ 𝒅𝒂 − 𝒒̇ 𝒂 (15) • 𝒆 vector sai lệch giá trị góc mong muốn góc thực khớp chủ động tay máy robot 𝒆 = 𝒒𝒅𝒂 − 𝒒𝒂 (16) Hình 13 Không gian làm việc loại trừ điểm kỳ dị Từ kết kiểm tra không gian làm việc loại trừ điểm Dương Tấn Quốc, Lê Tiến Dũng 80 kỳ dị, nhận thấy với quỹ đạo chuyển động chọn loại trừ cấu hình kỳ dị kỳ dị tìm khơng gian làm việc loại trừ điểm kỳ dị ứng dụng thành công việc điều khiển Kết báo giúp cho việc thiết kế kích thước, thiết kế quỹ đạo chuyển động, phân tích khơng gian làm việc loại trừ điểm kỳ dị, nhằm phục vụ tính tốn mơ hình động lực học điều khiển tay máy robot 3-RRR Lời ghi nhận Bài báo kết nghiên cứu đề tài cấp Bộ Giáo dục & Đào tạo, mã số KYTH-17 năm 2017, tên đề tài “Nghiên cứu thiết kế điều khiển đồng thích nghi cho tay máy robot song song phẳng” TÀI LIỆU THAM KHẢO Hình 14 Kết điều khiển bám theo quỹ đạo đường trịn Hình 15 Sai số giá trị đặt giá trị thực Kết mô cho thấy khâu chấp hành cuối robot bám tốt theo quỹ đạo hình trịn mong muốn, có nghĩa kết tính tốn mơ hình động học, ma trận Jacobian phân tích cấu hình kỳ dị xác áp dụng thành cơng Kết luận Bài báo trình bày tính tốn mơ hình động học tay máy robot song song phẳng bậc tự 3-RRR Các ma trận Jacobian xây dựng Dựa ma trận Jacobian đó, báo phân tích loại cấu hình [1] Merlet J.P., Parallel Robots, Springer, 2006 [2] Kok-Meng Lee, Dharman K Shah, “Dynamic Analysis of a ThreeDegrees-of-Freedom In-Parallel Actuated Manipulator”, IEEE Journal of Robotics and Automation, Vol 4, 1988, pp 361-367 [3] Yang, Guilin, Weihai Chen, I Chen, “A geometrical method for the singularity analysis of 3-RRR planar parallel robots with different actuation schemes”, Conference on Intelligent Robots and Systems EPFL, Vol 3, 2002, pp 2055-2060 [4] Serdar Kỹỗỹk, Serial and parallel robot manipulators kinematics, dynamics, control and optimization, InTech, 2012 [5] K.V.Varalakshmi, Dr.J.Srinivas, “Stiffness Metrics for Design of 3RRR Flexible Manipulator”, International Journal of Modern Engineering Research (IJMER), Vol.2, 2012, pp 2021-2027 [6] Lei Liu, Quanmin Zhu, Lei Cheng, Yongji Wang, Dongya Zhao, Applied Methods and Techniques for Mechatronic Systems, Springer, 2014 [7] Quang Dan Le, Hee-Jun Kang, Tien Dung Le, “Adaptive Extended Computed Torque Control of DOF Planar Parallel Manipulators Using Neural Network and Error Compensator”, Lecture Notes in Computer Science, Vol 9773, 2016, pp 437-448 [8] Tien Dung Le, Hee-Jun Kang, “An Adaptive Tracking Controller for Parallel Robotic Manipulators Based on Fully Tuned Radial Basic Function Networks”, Neurocomputing – Elsevier, Vol.137, 2014 [9] Tien Dung Le, Hee-Jun Kang, Young-Soo Suh, “Chattering-Free Neuro-Sliding Mode Control of 2-DOF Planar Parallel Manipulators”, International Journal of Advanced Robotic Systems, 10(22), 2013, pp 1-15 [10] Lu Ren, James K Mills, Dong Sun, “Adaptive Synchronization Control of a Planar Parallel Manipulator”, Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control, Vol 128, 2006, pp 976-979 [11] Lu Ren, James K Mills, “Performance Improvement of Tracking Control for a Planar Parallel Robot Using Synchronized Control”, International Conference on Intelligent Robots and Systems, 2006, pp 2539-2544 [12] H.R Mohammadi Daniali, P.J Zsombor-Murray, J Angeles, “Singularity Analysis of a General Class of Planar Parallel Manipulators”, International Conference on Intelligent Robots and Systems, 1995, pp 1547-1552 [13] K.H Patel, V.C Nayakpara, Y.K Patel, Y.D Patel, “Workspace and singularity analysis of 3-RRR planar parallel manipulator”, International and 16th National Conference on Machines and Mechanisms, 2013, pp 1071-1077 [14] Lê Tiến Dũng, Đoàn Quang Vinh, “Phân tích động học cấu hình kỳ dị tay máy robot song song phẳng hai bậc tự do”, Chuyên san Kỹ thuật Điều khiển & Tự động hóa, Tạp chí Tự động hóa Ngày nay, Số 8, 2013, tr.26-32 (BBT nhận bài: 27/04/2017, hoàn tất thủ tục phản biện: 15/05/2017) ... song song Hình Cấu hình kỳ dị loại bị căng Hình Cấu hình kỳ dị loại bị gấp 4.2 Cấu hình kỳ dị loại Cấu hình kỳ dị loại xảy