Sử dụng mô hình kéo lượng tử để tạo ra các trạng thái có độ đan rối cao khi không có tắt dần trong trường ngoài ngẫu nhiên

1 MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Cách vài thập niên rối lượng tử trở thành chủ đề nghiên cứu chuyên sâu nhà khoa học quan tâm đến lý thuyết lượng tử Nó mang vai trị đặc biệt để hồn thành nhiệm vụ mang tính chất khơng tưởng như: Mật mã lượng tử, tính tốn lượng tử hay viễn tải trạng thái lượng tử,…Việc tạo trạng thái có độ đan rối cao vấn đề cần quan tâm nhà khoa học Tuy nhiên, trạng thái đan rối thường có thời gian tồn ngắn phá vỡ lượng tử Đây thách thức lớn cho tốn tạo máy tính lượng tử viễn tải lượng tử Do đó, việc tạo trạng thái có độ đan rối cao vấn đề cấp thiết không ước vọng tạo máy tính lượng tử, khả viễn tải nói riêng mà cịn vấn đề quan trọng lý thuyết thông tin lượng tử nói chung Việc tạo trạng thái hai qubit có độ đan rối cao có ý nghĩa tảng cho trình tạo trạng thái phức hợp nhiều qubit khác Đã có nhiều cơng trình nghiên cứu vấn đề cách sử dụng hình thức luận kéo lượng tử tuyến tính [30], [32], [33] kéo lượng tử phi tuyến [20], [27], [29], [30] để tạo trạng thái hữu hạn chiều “chắt lọc” từ trạng thái vô hạn chiều khơng gian Hilbert Các cơng trình xem xét với trường hợp laser đơn sắc, mà laser thực khơng đơn sắc hồn tồn Trong thực tế, cần nghiên cứu ảnh hưởng độ rộng phổ laser đến tượng khác Nếu nghiên cứu khn khổ lý thuyết lượng tử tính tốn phức tạp Vì vậy, trường laser thường mơ hình hóa q trình ngẫu nhiên thường nghiên cứu nguồn hệ nguyên tử [21]-[23], [36], [37] Khi đó, phương trình chứa tham số trường pha, biên độ mật độ trở thành phương trình vi phân ngẫu nhiên Việc lấy trung bình phương trình vi phân ngẫu nhiên cho hội để phản ánh ảnh hưởng thăng giáng laser vào đại lượng nguyên tử mà xem xét Với lí chúng tơi định chọn “Sử dụng mơ hình kéo lượng tử để tạo trạng thái có độ đan rối cao khơng có tắt dần trường ngẫu nhiên” làm đề tài luận văn thạc sĩ để tiếp tục mở rộng nghiên cứu việc vận dụng chế hoạt động mô hình kéo lượng tử, xác định điều kiện để tạo trạng thái có độ đan rối cao khơng có tắt dần trường ngồi ngẫu nhiên Mục đích nghiên cứu Tạo trạng thái có độ đan rối cao khơng có tắt dần trường điện từ ngẫu nhiên Phương pháp nghiên cứu dụng nhóm phương pháp nghiên cứu lí thuyết, phương pháp nhiễu trắng dụng phần mềm Maple để giải phương trình vi phân vẽ đồ thị 3 Chương TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT CÁC Q TRÌNH NGẪU NHIÊN 1.1 Các mơ hình ngẫu nhiên laser 1.1.1 Laser đơn mode với thăng giáng biên độ pha Biên độ trường xạ laser đơn mode có dạng: E  t    E0   E  t   ei t  , E0  const , E  t   t  (1.1) q trình ngẫu nhiên độc lập 1.1.2 Mơ hình laser với thăng giáng bơm Kaminishi cộng [19] cố gắng dùng lý thuyết Haken mô tả kết thực nghiệm họ Phương trình cho biên độ phức trường lý thuyết Haken dẫn đến:  E t    t   A E  E    t , (1.7) với  tham số bơm, A  tham số bão hịa mơi trường hoạt tính gây hoạt động ổn định ngưỡng  t  nhiễu trắng mô tả thăng giáng chân không hay phát xạ tự phát 1.1.3 Laser đa mode ánh sáng ngẫu nhiên Biên độ phức trường xạ laser đa mode có dạng [43]: M E  t    Ek e  i k t k  , (1.9) k 1 M số mode,  k tần số tương đối chúng tính từ tần số  i , E k biên độ không đổi  k pha ngẫu nhiên độc lập 1.2 Nhiễu trắng ứng dụng Chúng ta xét tổng sau z  n   t   z1  t   z  t    z n  t  , (1.16) đó, q trình z i  t  nhiễu điện tín độc lập, l0   / n ,  số Dễ dàng thấy hàm đặc trưng cho trình (1.16) thừa số hóa, tức X tn  X t n X t phiếm hàm đặc trưng nhiễu điện tín Ta có:    ln X tn X   02 J t  e  t  s  /  J s  s ds t X t t (1.17) Khi n   , ta có X t  , X t  , t t ln X t   02 J t  e  t  s  /  J s ds (1.18) Nghiệm phương trình có dạng: t  1t , X t  exp   ds1  J s1 s1 , s2 J s2 ds2  0   (1.19) Q trình có phiếm hàm đặc trưng dạng (1.19) gọi trình Gauss Vì thế, trình (1.16) hội tụ trình Gauss Khi xét giới hạn   , lúc nhiễu Gauss (1.19) trở thành nhiễu trắng Nhiễu trắng nhiễu Gauss với thời gian tương quan không, cụ thể z(t ) nhiễu trắng có tính chất sau: (1.21) z(t ) z (t ' )  2l (t  t ' ) Bây xét trường hợp tuyến tính cụ thể đơn giản có dạng:   G1  izt G2  ,  (1.22) z (t ) q trình Ornstein-Uhlenbeck Tổng qt hóa phương trình (1.22) cho trình ngẫu nhiên phức, ta phương trình sau: d  M a  z t M a1  z* t M a  , dt   (1.36) Trong  a ,  a1 ,  a ma trận tất định 1.3 Kết luận chương Trong chương này, chúng tơi trình bày lý thuyết q trình ngẫu nhiên Đầu tiên, chúng tơi đề cập đến mơ hình ngẫu nhiên ánh sáng laser: laser đơn mode, laser đa mode, laser với thăng giáng bơm au đó, chúng tơi xem xét q trình ngẫu nhiên trường hợp đặc biệt nhiễu trắng ứng dụng nhiễu trắng trường hợp tuyến tính Chương tiếp theo, chúng tơi trình bày trạng thái đan rối mơ hình kéo lượng tử phi tuyến 5 Chương TRẠNG THÁI ĐAN RỐI, MÔ HÌNH KÉO LƯỢNG TỬ PHI TUYẾN 2.1 Lý thuyết sở trạng thái đan rối 2.1.3 Trạng thái đan rối Trạng thái đan rối trạng thái hệ lượng tử bao gồm nhiều hệ mà trạng thái lượng tử chúng có mối quan hệ ràng buộc lẫn [2], [28] Trong không gian Hilbert H  H  H   H n xét trạng thái lượng tử gồm n qubit có dạng   c1 00  c2 01   c2n 11 , 1, n (2.4) c i với ( i = 1,2, 2n) hệ số phức thỏa mãn điều kiện chuẩn 2n c hóa i 1 i  Gọi  ,  , ,  (2.5) n trạng thái không gian Hilbert H , H , , H n Khi đó, trạng thái  1, n gọi trạng thái phân tách ta ln biểu diễn dạng tích tenxơ trạng thái  ,  , ,  n sau  1, n        n (2.6) Trong trường hợp ngược lại, ta viết   1, n 1, n dạng biểu thức gọi trạng thái đan rối hệ gồm n qubit 2.1.4 Các trạng thái có độ đan rối cực đại (trạng thái Bell) Nếu hệ số c00 , c01 , c10 c11 biểu thức (2.7), thỏa mãn điều kiện:  c00  c11    c  c  01  10 ta có trạng thái Bell  c00  c11    c10  c01    Chúng ta biểu diễn trạng thái Bell trường hợp tổng quát dạng B m,n  1  (1) mp p pn (2.10) p 0 2.1.5 Cách tính độ đan rối trạng thái lượng tử 2.1.5.2 Tính độ đan rối concurrente Năm 1998 Wootters [42] đưa cách tính độ đan rối concurrente với trạng thái có qubit Đây xem phương pháp tính độ đan rối đơn giản cách tính xây dựng với bước tính tốn chủ yếu thao tác nhân tính tốn trị riêng ma trận Giả sử ta cần tính độ đan rối trạng thái  , ta đưa vào trạng thái đảo spin ký hiệu sau ~   y  * , (2.22) đó,  * liên hợp phức trạng thái   y ma trận Pauli 0  i   chuyển pha: y   i Ma trận mật độ hệ hai qubit A B đưa dạng phân tích theo trạng thái khiết  i với xác suất tương ứng p i sau  AB   pi  i  i i Khi đó, ma trận mật độ đảo spin có dạng ~ AB   y   y  *  y   y  (2.23) Với trạng thái khiết  i , concurrente C định nghĩa là: C  i    i ~i (2.24) Độ đan rối trạng thái khiết xác định 1 1 C E  i   h   ,    (2.25) hx   x log x  (1  x) log (1  x) (2.26) 2.2 Kéo lượng tử phi tuyến 2.2.2 Kéo lượng tử phi tuyến dựa dao động tử phi tuyến kiểu Kerr Kéo lượng tử phi tuyến cấu sử dụng phần tử phi tuyến nhằm tạo trạng thái không gian Hilbert hữu hạn chiều từ trạng thái không gian Hilbert vơ hạn chiều Mơ hình kéo lượng tử phi tuyến xây dựng dựa hệ hai dao động tử phi tuyến mơ tả theo tính chất phi tuyến kiểu Kerr tương tác với bơm trường ngồi [6] Hình 2.2.Mơ hình chung kéo lượng tử phi tuyến bơm mode [29] Hamiltonian mơ hình kéo lượng tử phi tuyến có dạng sau: ˆ  ˆ  ˆ (2.55) ˆ  H NL int ext 2.3 Kết luận chương Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm qubit (bit lượng tử), trạng thái đan rối cách tính độ đan rối entropy von Neumann đặc biệt tính độ đan rối concurrente làm sở cho việc tính tốn đánh giá kết tính tốn chương Bên cạnh đó, chúng tơi đề cập đến đặc điểm mơi trường phi tuyến kiểu Kerr môi trường tương tác sử dụng mơ hình kéo lượng tử đưa chương 8 Chương SỬ DỤNG KÉO LƯỢNG TỬ PHI TUYẾN ĐỂ TẠO RA CÁC TRẠNG THÁI LƯỢNG TỬ CÓ ĐỘ ĐAN RỐI CAO KHI TRƯỜNG NGỒI ĐƯỢC MƠ HÌNH HĨA BỞI Q TRÌNH NGẪU NHIÊN 3.1 Sử dụng kéo lượng tử phi tuyến dùng nối tương tác tuyến tính bơm mode Mơ hình nối phi tuyến kiểu Kerr xét bao gồm hai dao động ghép tuyến tính với Trong đó, hai dao động tác động trường giả thiết phân tách thành hai thành phần: phần kết hợp nhiễu trắng biểu diễn hình 3.1 Hình 3.1 Mơ hình kéo lượng tử phi tuyến bơm mode a [27] Hệ mơ tả Hamiltonian có dạng [26], [27], [29], [30] Hˆ  Hˆ  Hˆ  Hˆ  Hˆ NL( a)  Hˆ NL(b)  Hˆ int  Hˆ ext , Hˆ   a aˆ  aˆ  b bˆ  bˆ , Hˆ NL ( a )   a aˆ  2 aˆ , (3.1) (3.2)     *   * Hˆ NL ( b )  b bˆ  bˆ , Hˆ int  aˆ bˆ   aˆbˆ , Hˆ ext  aˆ   aˆ , Hˆ NL ( a ) Hˆ NL (b ) mô tả dao động tử điều hòa phi tuyến, Hˆ int mô tả tương tác bên hai dao động tử điều hịa, Hˆ ext mơ tả liên kết trường mode trường bên hệ tương ứng với dao động tử điều hòa a Các tham số  a  b số phi tuyến tương ứng với dao động tử điều hòa a b  độ lớn liên kết hai dao động a b,  độ lớn tương tác trường với dao động a Áp dụng phương trình chrodinger hình thức luận tương tác ta có: i   d  (t )  Hˆ NL ( a )  Hˆ NL (b)  Hˆ int  Hˆ ext  (t ) dt (3.7) Từ phương trình thu hệ phương trình chuyển động cho biên độ xác suất sau: i d 1  cm n (t )    a m(m  1)   b n(n  1)cm n (t )   n(m  1)cm1,n1 (t ) dt 2  (3.12)   * m(n  1)cm1,n1 (t )   m  1cm1,n (t )   * mcm1,n (t ) Bây giả thiết biên độ trường ngồi có dạng:      (t ) , (3.16)  phần kết hợp tất định trường  (t ) đặc trưng cho nhiễu trắng  (t ) * (t ' )  a0 (t  t ' ) (3.17) Dấu ngoặc kép (3.17) trung bình tồn q trình ngẫu nhiên  (t ) Khi đó, phương trình động lực học hệ có dạng tổng quát sau: dQ   A  x(t ) B  x* (t )C  Q, dt (3.18) Q hàm vector theo thời gian A, B, C ma trận Như biết từ lý thuyết trình ngẫu nhiên, hàm Q thỏa mãn phương trình: d dt Q   A  a0 B, C / 2 Q {B,C} phản giao hốn tử B C (3.19) 10 Khi đó, từ dạng phương trình chuyển động tổng quát (3.12), xét trường hợp trạng thái ban đầu mode trạng thái chân không Với giả thiết thời điểm t  , hệ trạng thái chân không (  (0)  a b ) ta xét trường hợp   số thực    thu phương trình chuyển động cho trung bình ngẫu nhiên biên độ xác suất c m n (t ) với m, n  0,1 sau: i a a d c00 (t )  c00  t   c01 (t )   0*c10 (t ) , dt 2 (3.20) i a d c01 (t )  c00 (t )  a0c01 (t )  0*c10 (t )  0*c11 (t ) , dt (3.21) i a d c10 (t )   0c00 (t )   0c01 (t )  a0c10 (t )  c11 (t ) , dt (3.22) i a a d c11 (t )   0c01 (t )  c10 (t )  c11 (t ) dt 2 (3.23) Giải hệ phương trình vi phân (3.20) đến (3.23) với điều kiện ban đầu c00 (0)  , c01 (0)  c10 (0)  c11 (0)  nghiệm thu ứng với giá trị cij (với i, j=0,1) là:  c00 (t )  e i 0t   i20t  i i    sin 1t   e  cos2t  sin 2t   (3.24) e  cos1t  5     ,  3ia0t c01 (t )  i  e c10 (t )  i  e  c00 (t )  e 3ia0t 3ia0t 3ia0t i 0t   i20t  e sin  t  e sin 2t    , i 0t   i20t  e sin  t  e sin 2t    , (3.25) (3.26) i 0t   i20t  i i    c os  t  sin  t  e sin 2t   (3.27) e 1    cos2t  5     ,  11 1   a0  2  , 2   a0  2  4 Xác suất để tìm thấy hệ trạng thái 1a1 b a b , a b , a b mơ tả hình 3.2 đến hình 3.5 Hình 3.2 Xác suất tìm thấy hệ kéo lượng tử phi tuyến bơm mode tồn trạng thái a b Đường liền nét ứng với a0  , đường vạch đứt ứng với a0  10 rad/s, đường vạch chấm ứng với a0  105 rad/s trường hợp tham số 0  105 rad/s Đơn vị thời gian 1/  Hình 3.3 Xác suất tìm thấy hệ kéo lượng tử phi tuyến bơm mode tồn trạng thái Đường liền nét ứng với a0  , đường vạch đứt ứng với a0  104 rad/s a b đường vạch chấm ứng với a0  105 rad/s trường hợp tham số   105 rad/s Đơn vị thời gian 1/  12 Hình 3.4 Xác suất tìm thấy hệ kéo lượng tử phi tuyến bơm mode tồn trạng thái Đường liền nét ứng với a0  , đường vạch đứt ứng với a0  104 rad/s, a b đường vạch chấm ứng với a0  105 rad/s trường hợp tham số   105 rad/s Đơn vị thời gian /  Hình 3.5 Xác suất tìm thấy hệ kéo lượng tử phi tuyến bơm mode tồn trạng thái a b Đường liền nét ứng với a0  , đường vạch đứt ứng với a0  104 rad/s, đường vạch chấm ứng với a0  105 rad/s trường hợp tham số 0  105 rad/s Đơn vị thời gian /  13 Chúng ta thấy có mặt tham số nhiễu ( a0  ) xác suất tìm thấy hệ tồn trạng thái a b , a b , a b a b bị giảm giảm tham số nhiễu tăng lên Như tham số nhiễu đóng vai trị điều khiển xác suất tìm thấy hệ tồn trạng thái Bây sử dụng phương pháp concurrente để đánh giá độ đan rối trường hợp Theo cách tính độ đan rối trạng thái (3.15) xác định sau [29] E(t )   p log p  (1  p).log (1  p) Trong p    C C  c00 (t )c11(t )  c01 (t )c10 (t ) Kết độ đan rối trạng thái (3.15) với giá trị khác tham số nhiễu thể hình 3.6 Hình 3.6 Độ đan rối trạng thái tạo kéo lượng tử phi tuyến bơm mode trường hợp 0  105 rad/s Đường liền nét ứng với a0  , đường vạch đứt ứng với a0  104 rad/s, đường vạch chấm ứng với a0  105 rad/s Đơn vị thời gian /  Từ hình 3.6 thấy khơng có tham số nhiễu ( a0  ) độ đan rối trạng thái (3.15) biến thiên theo thời gian biến điệu 14 dao động nhanh có chu kỳ T1   dao động chậm có chu kỳ T  8   Những thời điểm độ đan rối cao xác định gần theo biểu thức 1  1  t (m, n)   m  T1   n  T2 Chẳng hạn thời điểm t (1,1) , khơng có nhiễu độ  2  2 đan rối rối đo E[t (1,1)]  0,997 ebits thời điểm tiếp t (m, n) với m , n >2, độ đan rối có giá trị cực đại giảm dần [3] Khi có mặt tham số nhiễu ( a0  ) độ đan rối khoảng  t  giảm dần theo gia tăng tham số nhiễu, trong khoảng  t  độ đan rối tăng lên độ tăng tỉ lệ nghịch với gia tăng tham số nhiễu khoảng  t  tham số nhiễu tăng độ đan rối tăng Bây biểu diễn hàm sóng thu sở trạng thái Bell sau:   b1 B1  b2 B2  b3 B3  b4 B4   bi (t ) Bi , (3.28) i 1 Xác suất tìm thấy hệ trạng thái Bell thể hình 3.7 đến 3.10 Có thể thấy xác suất để hệ tồn trạng thái Bell hàm thời gian Khi khơng có tham số nhiễu Hình 3.7 Xác suất để hệ tồn trạng thái Bell B1 trường hợp 0  105 rad/s Đường liền nét ứng với a0  , đường vạch đứt ứng với a0  104 rad/s, đường vạch chấm ứng với a0  105 rad/s Đơn vị thời gian 1/  15 Hình 3.8 Xác suất để hệ tồn trạng thái Bell B2 trường hợp   105 rad/s Đường liền nét ứng với a0  , đường vạch đứt ứng với a0  104 rad/s, đường vạch chấm ứng với a0  105 rad/s Đơn vị thời gian /  Hình 3.9 Xác suất để hệ tồn trạng thái Bell B3 trường hợp 0  105 rad/s Đường liền nét ứng với a0  , đường vạch đứt ứng với a0  104 rad/s, đường vạch chấm ứng với a0  105 rad/s Đơn vị thời gian 1/  16 Hình 3.10 Xác suất để hệ tồn trạng thái Bell B4 trường hợp 0  105 rad/s Đường liền nét ứng với a0  , đường vạch đứt ứng với a0  104 rad/s, đường vạch chấm ứng với a0  105 rad/s Đơn vị thời gian 1/  ( a0  ), thấy 0  105 rad/s hệ bơm mode a, với trạng thái ban đầu mode trạng thái chân khơng xác suất để hệ tồn trạng thái Bell B1 B2 cho kết cao so với trạng thái Bell B3 B4 Khi a0  xác suất để hệ tồn trạng thái B1 B2 cho kết cao so với trạng thái B3 B4 Nhưng xác suất để hệ tồn trạng thái Bell thay đổi ngược lại so với trường hợp khơng có nhiễu Đối với trạng thái Bell B3 B4, độ đan rối thu đạt kết nhỏ trường hợp trạng thái Bell B1 B2, có giá trị độ đan rối cao vào khoảng 0,8 ebits [3] Điều đặc biệt có mặt nhiễu độ đan rối cao trạng thái B1 0,992 ebits B3 0,796 ebits lớn khơng có nhiễu B1 0,982 ebits B3 0,781 ebits Như vậy, tham số nhiễu tham số quan trọng để điều khiển xuất độ đan rối cực đại 17 3.2 Kéo lượng tử phi tuyến dùng nối tương tác tuyến tính bơm mode Hình 3.11 Mơ hình kéo lượng tử phi tuyến bơm mode Hamiltonian hệ có dạng [29] Hˆ  Hˆ  Hˆ , Hˆ   a aˆ  aˆ  b bˆ  bˆ , Hˆ  Hˆ NL ( a )  Hˆ NL (b)  Hˆ int  Hˆ ext( a )  Hˆ ext(b) ,    Hˆ NL (b )  b bˆ  bˆ ,  Hˆ NL ( a )  a aˆ  aˆ ,   (3.29) Hˆ int  aˆ  bˆ   * aˆbˆ   * Hˆ ext( a )  aˆ    * aˆ Hˆ ext(b )  bˆ   bˆ (3.30) Trong đó, thành phần Hˆ ext( a ) Hˆ ext(b) tương ứng với liên kết mode a mode b với trường Các tham số   mô tả độ lớn tương tác tỉ lệ với biên độ trường Tương tự [29], áp dụng phương trình chrodinger hình thức luận tương tác ta có i   d  (t )  Hˆ NL ( a )  Hˆ NL (b )  Hˆ int  Hˆ ext( a )  Hˆ ext(b )  (t ) dt (3.31) 18 Từ phương trình trên, thu hệ phương trình chuyển động cho biên độ xác suất c m n (t ) sau i d 1  c m n (t )    a m(m  1)   b n(n  1) c m n (t )   * n(m  1)c m 1,n 1 (t ) dt 2    m(n  1)cm1,n1 (t )   * m  1cm1,n (t )   mcm1,n (t )   * n  1cm,n1 (t )   ncm,n1 (t ) Giả thiết độ lớn tham số  ,   nhỏ so với hệ số phi tuyến kiểu Kerr  a  b ,      thời điểm ban đầu t = 0, mode hệ trạng thái chân không Trạng thái cắt hệ trường hợp  (00) (t )  c00 (t ) a b  c10 (t ) a b  c01 (t ) a b  c11 (t ) a b ,  ( 00) (0)  a b , (3.33) (3.34) áp dụng hình thức luận sử dụng cho trường hợp kéo lượng tử phi tuyến dùng nối tương tác tuyến tính bơm mode thu phương trình chuyển động cho trung bình ngẫu nhiên biên độ xác suất c m n (t ) sau: i a  d  c00 (t )  a0 c00  t     0*   c01 (t )   0*c10 (t ) , dt 2  (3.35) i a  3a d  c01 (t )      c00 (t )  c01 (t )   0*  a0  c10 (t )   0*c11 (t ) , dt 2  (3.36) i 3a a  d  c10 (t )   c00 (t )    a0  c01 (t )  c10 (t )    0*   c11 (t ) , dt 2  (3.37) i a  d  c11 (t )   c01 (t )      c10 (t )  a0 c11 (t ) dt 2  (3.38) Giải hệ phương trình vi phân (3.35) đến (3.38) với điều kiện ban đầu c00 (0)  , c01 (0)  c10 (0)  c11 (0)  thu nghiệm sau: 19  i  a0  2   1t    t  sin    cos     1     ,  i  a0  2 t  i  3a0  2    2t     2t    e sin     cos          c00 (t )   e i  a0  2 t i  a  2 t  a  i3a0 20 t   t   a  4     t  , c01 (t )  i  e sin    e sin    2       1 i  a  2 t  a  i3a0 20 t   t   a  4     t  c10 (t )  i  e sin    e sin    2       1 c11 (t )   e   e i  a0  2 t i  a0  2 t  i  a0  2   t    t  sin    cos     1     ,  (3.39) (3.40) (3.41) (3.42)  i  3a0  2   t    t  sin    cos     2      1  5a02  4a00  402 , 2  13a02  44a00  6802 , Hình 3.12 Độ đan rối trạng thái tạo kéo lượng tử phi tuyến bơm mode trường hợp   105 rad/s Đường liền nét ứng với a0  , đường vạch đứt ứng với a0  104 rad/s, đường vạch chấm ứng với a0  105 rad/s Đơn vị thời gian /  20 Kết độ đan rối trạng thái (3.33) biễu diễn (hình 3.12) Kết thu cho thấy khơng có thành phần nhiễu a0  độ đan rối trạng thái (3.33) biến thiên theo thời gian với giá trị cực đại giảm dần sau chu kỳ T  2 , độ đan rối đạt giá trị cực đại thời điểm  1  t (n)   n  T Tại thời điểm t (1)  T , độ đan rối đạt giá trị lớn 0,995 2  ebits [3] Khi có mặt thành phần nhiễu, độ đan rối trạng thái (3.33) biến thiên theo thời gian với giá trị cực đại tăng dần Độ đan rối đạt giá trị lớn khoảng 0,995 ebits vị trí lại thay đổi so với a0  Khi biểu diễn (3.33) sở trạng thái Bell, xác suất tìm thấy hệ trạng thái mơ tả từ hình 3.13 đến 3.16 Hình 3.13 Xác suất để hệ tồn trạng thái Bell B1 trường hợp 0  105 rad/s Đường liền nét ứng với a0  , đường vạch đứt ứng với a0  104 rad/s, đường vạch chấm ứng với a0  105 rad/s Đơn vị thời gian /  21 Hình 3.14 Xác suất để hệ tồn trạng thái Bell B2 trường hợp 0  105 rad/s Đường liền nét ứng với a0  , đường vạch đứt ứng với a0  104 rad/s, đường vạch chấm ứng với a0  105 rad/s Đơn vị thời gian /  Hình 3.15 Xác suất để hệ tồn trạng thái Bell B3 trường hợp 0  105 rad/s Đường liền nét ứng với a0  , đường vạch đứt ứng với a0  104 rad/s, đường vạch chấm ứng với a0  105 rad/s Đơn vị thời gian /  22 Từ hình 3.13 hình 3.14, thấy khơng có thành phần nhiễu a0  , xác suất để hệ tồn trạng thái Bell B1 B2 biến thiên theo thời gian tương ứng với biến điệu dao động có tần số lớn (chu kỳ T  20 ) theo dao động có tần số nhỏ (chu kỳ T  2 )   Độ đan rối cao trạng thái B1 0,992 ebits B2 0,997 ebits [3] Khi a0  xác suất để hệ tồn trạng thái B1 B2 biến thiên theo thời gian vị trí cực đại thay đổi so với a0  Độ đan rối cao trạng thái Bell giảm, a0  104 rad/s B1 0,980 ebits B2 0,989 ebits Khi a0  105 rad/s B1 0,880 ebits B2 0,983 ebits Hình 3.16 Xác suất để hệ tồn trạng thái Bell B4 trường hợp 0  105 rad/s Đường liền nét ứng với a0  , đường vạch đứt ứng với a0  104 rad/s, đường vạch chấm ứng với a0  105 rad/s Đơn vị thời gian /  23 Từ hình 3.15 hình 3.16, thấy khơng có nhiễu xác suất để hệ tồn trạng thái Bell B3 B4 Tuy nhiên giá trị cực đại ứng với trường hợp vào khoảng 0,235 ebits [3] Đặc biệt có nhiễu, xác suất để hệ tồn trạng thái Bell B3 B4 khác vị trí cực đại có giá trị lớn nhiều so với khơng có nhiễu Độ đan rối cao trạng thái Bell tăng mạnh, a0  104 rad/s B3 0,277 ebits B4 0,275 ebits Khi a0  105 rad/s B3 0,499 ebits B4 0,332 ebits 3.3 Kết luận chương Trong chương sử dụng mơ hình kéo lượng tử phi tuyến dùng nối tương tác tuyến tính bơm mode mode để tạo trạng thái lượng tử có độ đan rối cao trường ngồi mơ hình hóa q trình ngẫu nhiên Hơn chúng tơi khảo sát phụ thc trạng thái có độ đan rối cao vào tham số nhiễu Qua đó, so sánh độ đan rối cao có khơng có nhiễu Chúng ta thấy có mặt nhiễu vị trí độ lớn cực đại thay đổi, đặc biệt độ đan rối cao trạng thái Bell B3 B4 tăng lên nhiều so sách với trường hợp khơng có nhiễu Từ rút rằng, tham số nhiễu có vai trị quan trọng việc điều khiển độ đan rối cực đại trạng thái Bell 24 KẾT LUẬN CHUNG Trong đề tài này, chúng tơi trình bày lý thuyết sở trình ngẫu nhiên trạng thái lượng tử mà trọng tâm trạng thái đan rối, phương pháp tính độ đan rối trạng thái lượng tử Bên cạnh đó, chúng tơi tìm hiểu mơ hình kéo lượng tử phi tuyến kích thích tuyến tính trường ngồi có thăng giáng biên độ Những kết thu tóm tắt sau: - Đối với mơ hình kéo lượng tử phi tuyến mà mode tương tác tuyến tính bơm mode Chúng tơi chứng tỏ có tham số nhiễu, trạng thái đan rối cực đại hệ có thay đổi vị trí độ lớn so với trường hợp khơng có nhiễu Khi khơng có mặt tham số nhiễu kết độ đan rối trạng thái đạt giá trị cực đại xấp xỉ ebits tương đương với kết đưa tài liệu [29] [30] - Đối với mô hình kéo lượng tử phi tuyến mà mode tương tác tuyến tính bơm mode Trường hợp trường bơm cho mode biên độ pha chúng tơi thấy có mặt thành phần nhiễu, độ đan rối trạng thái biến thiên theo thời gian vị trí cực đại thay đổi so với khơng có mặt nhiễu Đặc biệt số trường hợp độ đan rối cao trạng thái Bell tăng lên rõ rệt so trường hợp khơng có nhiễu Từ kết thu chúng tơi kết luận tham số liên quan đến thành phần nhiễu có vai trị quan trọng việc điều khiển độ đan rối cực đại trạng thái Bell mơ hình chúng tơi với ánh sáng laser mơ hình hóa nhiễu trắng thực mơ hình mơ tả trường hợp khơng có nhiễu trắng, biên độ ánh sáng laser sử dụng thực nghiệm luôn chứa số thành phần thăng giáng Trong tương lai, mở rộng mơ hình chúng tơi cho trường hợp trạng thái ban đầu mode trạng thái chân khơng tính đến ảnh hưởng yếu tố môi trường dẫn đến tắt dần