Sử dụng kéo lượng tử để tạo ra các các trạng thái hai qubit có độ đan rối cao trong trường hợp không tắt dần

1 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trạng thái đan rối (Entangled state) nguồn tài nguyên việc nghiên cứu máy tính lượng tử, cho ta khả viễn tải lượng tử nhiều hiệu ứng lượng tử khác Do đó, việc tạo trạng thái có độ đan rối cao vấn đề cấp thiết không ước vọng tạo máy tính lượng tử, khả viễn tải nói riêng mà vấn đề quan trọng lý thuyết thơng tin lượng tử nói chung Vì tơi định chọn nghiên cứu đề tài: “Sử dụng kéo lượng tử để tạo các trạng thái hai qubit có độ đan rối cao trường hợp khơng tắt dần” Mục đích nghiên cứu Trong đề tài này, chúng tơi sử dụng mơ hình kéo lượng tử tuyến tính kéo lượng tử phi tuyến để tạo trạng thái hữu hạn chiều “chắt lọc” từ trạng thái vô hạn chiều không gian Hilbert Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp lượng tử hóa, nguyên tắc học lượng tử, phương pháp tính tốn thơng tin lượng tử để xác định điều kiện mơ hình kéo lượng tử nhằm tạo trạng thái có độ đan rối cao Sử dụng phần mềm Mathematica Matlab để tính tốn, đánh giá số liệu, giải số vẽ đồ thị Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu Trong đề tài này, chủ yếu tập trung nghiên cứu mơ hình kéo lượng tử phi tuyến chế tạo trạng thái qubit có độ đan rối cao trường hợp khơng có tắt dần (damping) Ý nghĩa khoa học thực tiễn luận văn Các kết nghiên cứu ghóp phần định hướng cho phương án thực nghiệm việc điều chỉnh thơng số mơ hình kéo lượng tử phù hợp để tạo trạng thái đan rối cao Bố cục luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận phụ lục, nội dung luận văn gồm có chương Chương 1: Tổng quan trạng thái đan rối Chương 2: Các mơ hình kéo lượng tử Chương Sử dụng mơ hình kéo lượng tử để tạo trạng thái qubit có độ đan rối cao trường hợp không tắt dần 2 Chương TỔNG QUAN VỀ TRẠNG THÁI ĐAN RỐI 1.1 Khái niệm qubit 1.2 Các trạng thái lượng tử hữu hạn chiều 1.2.1 Trạng thái n – photon ( Trạng thái Fock) 1.2.2 Trạng thái kết hợp (Coherent state) 1.3 Trạng thái đan rối Trạng thái đan rối (entangled state) trạng thái hệ lượng tử bao gồm nhiều hệ mà trạng thái lượng tử chúng có mối quan hệ ràng buộc lẫn [3], [20] Xét trạng thái lượng tử gồm n qubit xác định không gian Hilbert H  H1  H   H n có dạng  1, n ci  c1 00  c2 01   c2n 11 , (1.4) với (i = 1,2, 2n) hệ số phức thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa 2n c i 1 Gọi  ,  , ,  1 i n (1.5) trạng thái không gian Hilbert H1, H2,…,Hn Khi đó, trạng thái  1, n gọi trạng thái phân tách ta ln biểu diễn dạng tích tenxơ trạng thái  ,  , ,   1, n n sau        n Trong trường hợp ngược lại, ta viết thức  1, n (1.6)  1, n dạng biểu gọi trạng thái đan rối hệ gồm n qubit 1.4 Các trạng thái Bell 1.5 Cách tính độ đan rối trạng thái lượng tử 1.5.1 Tính độ đan rối entropy von Neumann Cách tính độ đan rối trạng thái entropy von Neumann cho phép xác định độ đan rối trạng thái có nhiều qubit [12], [13], [24] Giả sử cần tính độ đan rối trạng thái hai qubit A B biểu diễn dạng ma trận mật độ  AB   pi  i  i (1.12) i Trong  i trạng thái khiết hệ với xác suất tương ứng p i Khi đó, xác định vết thành phần qubit A B sau [13], [24]  A  TrB   i  i   B  TrA  i  i  Với trạng thái khiết  i , độ đan rối riêng trạng thái định nghĩa entropy hai qubit A B E i   S    S      A B j A j log  Aj   kB log kB (1.13) k A Trong  j  kB trị riêng tương ứng  A  B Cuối cùng, độ đan rối trạng thái (1.12) hệ xác định theo biểu thức [13] E     pi E   i  (1.14) i Đương nhiên, với trạng thái khiết độ đan rối E   i  xác định theo biểu thức (1.13) 1.5.2 Tính độ đan rối concurrente Cách tính độ đan rối entropy von Neumann cho phép tính tốn độ đan rối trạng thái nhiều qubit Tuy nhiên có qubit, có cách tính đơn giản concurrente đưa William K Wootters [31] 4 Giả sử ta cần tính độ đan rối trạng thái  , ta đưa vào trạng thái đảo spin ký hiệu sau ~   y  * (1.22) Trong đó,  * liên hợp phức trạng thái   y ma trận Pauli 0  i   y   i chuyển pha: Ma trận mật độ hệ hai qubit A B đưa dạng phân tích theo trạng thái khiết  i với xác suất tương ứng p i sau  AB   pi  i  i i Khi đó, ma trận mật độ đảo spin có dạng ~      *    AB y y y y  (1.23) Với trạng thái khiết  i , concurrente C  i    i ~i C định nghĩa (1.24) Độ đan rối trạng thái khiết 1 1 C E  i   h   với  ,   (1.25) hx    x log x  (1  x) log1 (1  x) (1.26) Đối với trạng thái trộn có ma trận mật độ  AB độ đan rối tính theo biểu thức 1 1 C E  AB   h   với    ,  (1.27)  C  AB   max 0, 1  2  3  4 (1.28) Trong đó, giá trị i ( i  1,2,3,4 ) trị riêng ma trận Hermitian * R   AB ~AB   AB  y   y  AB  y   y  (1.29) Chương CÁC MƠ HÌNH KÉO LƯỢNG TỬ 2.1 Kéo lượng tử tuyến tính 2.1.1 Kéo lượng tử tuyến tính dựa tách chùm 2.1.1.1 Bộ tách chùm (Beam Spliter) 2.1.1.2 Mơ hình kéo lượng tử tuyến tính sử dụng tách chùm 2.1.2 Kéo lượng tử tuyến tính dựa giao thoa kế MachZehnder 2.1.2.1 Giao thoa kế Mach-Zehnder 2.1.2.2 Mơ hình kéo lượng tử tuyến tính sử dụng giao thoa kế Mach-Zehnder 2.2 Kéo lượng tử phi tuyến 2.2.1 Môi trường phi tuyến kiểu Kerr 2.2.2 Kéo lượng tử phi tuyến dựa dao động tử phi tuyến kiểu Kerr Kéo lượng tử phi tuyến cấu phần tử sử dụng phần tử phi tuyến nhằm tạo trạng thái chứa số hữu hạn trạng thái không gian Hilbert hữu hạn chiều từ trạng thái khơng gian Hilbert vơ hạn chiều Hình 2.8 Mơ hình chung kéo lượng tử phi tuyến bơm mode Hamiltonian mơ hình kéo lượng tử phi tuyến có dạng tổng quát sau Hˆ = Hˆ NL + Hˆ int + Hˆ extra (2.76) Chương SỬ DỤNG KÉO LƯỢNG TỬ ĐỂ TẠO RA CÁC TRẠNG THÁI QUBIT CÓ ĐỘ ĐAN RỐI CAO 3.1 Sử dụng kéo lượng tử tuyến tính 3.2 Sử dụng kéo lượng tử dùng nối tương tác tuyến tính 3.2.1 Kéo lượng tử dùng nối tương tác tuyến tính bơm mode Chúng ta giả thuyết tác động trường tuyến tính có biên độ khơng đổi Các mode liên kết với tương tác tuyến tính Hệ mơ tả Hamiltonian có dạng [17], [18], [21], [22] Hˆ  Hˆ  Hˆ ,  Hˆ  Hˆ NL  Hˆ int  Hˆ ext   Với Hˆ  a aˆ aˆ  b bˆ bˆ , Hình 3.2 Mơ hình kéo lượng tử phi tuyến bơm mode a   2   Hˆ NL  a aˆ  aˆ  b bˆ  bˆ , 2 Hˆ  aˆ  bˆ   * aˆbˆ  , (3.3) Hˆ ext  aˆ    * aˆ (3.4)   int Trong đó, Hˆ NL mơ tả dao động tử điều hịa phi tuyến, Hˆ int mơ tả tương tác bên hai dao động tử điều hịa, Hˆ ext mơ tả liên kết trường mode trường bên hệ tương ứng với dao động tử điều hòa a Các tham số  a,b số phi tuyến tương ứng với dao động tử điều hòa a b Độ lớn liên kết hai dao động tử a b  độ lớn tương tác trường ngồi với dao động tử điều hịa a  Hàm sóng biểu diễn thơng qua tổ hợp tuyến tính sở trạng thái Fock sau  (t )   c m , n 0 mn (t ) m a n b (3.5) Phương trình chuyển động cho cmn (t ) với m, n  0,1 sau i d c00 (t )   *c10 (t ) , dt (3.15) i d c01 (t )   *c10 (t )   *c11 (t ) , dt (3.16) i d c10 (t )  c01 (t )  c00 (t ) , dt (3.17) i d c11 (t )  c01 (t ) dt (3.18) Với giả thuyết thời điểm t=0, hệ trạng thái chân không, xác định nghiệm hệ bốn phương trình nói c00 (t )   t t            cos        cos    , 2  2  (3.19) c01 (t )    (3.20) c10 (t )   i  t t     sin     sin    ,   2  (3.21) c11 (t )  i  t t            sin        sin    , 2  2  (3.22) t t      cos     cos    ,  2  2 với   4   (3.23) Độ tin cậy trạng thái (3.5) xác định theo biểu thức sau [18], [21] F   (t )  (t ) cut (3.30)   Với tính số sau  (t )  exp  iHˆ t a b Kết tính tốn số độ tin cậy trạng thái  (t) cut tiến triển theo thời gian chúng tơi tính tốn số thể Hình 3.3 8 Hình 3.3 Độ tin cậy trạng thái đầu kéo lượng tử phi tuyến bơm mode trường hợp α=ε=5.105 rad/s Kết độ đan rối trạng thái (3.14) tính theo phương pháp concurrente  trường hợp ε = α = 5.105 rad/s trường hợp   = 4.105 rad/s thể 10 Hình 3.5 Hình 3.5 Độ đan rối trạng thái tạo kéo lượng tử phi tuyến bơm mode trường hợp ε=α=5.105 rad/s (hình a) ε=α/10=5.104 rad/s (hình b) Đường chấm chấm kết tính số tương ứng Để thể rõ ràng hơn, khai triển trạng thái (3.14) sở trạng thái Bell có dạng sau  (t ) cut   b j (t ) B j j 1 (3.31) Khi đó, xác suất tìm thấy hệ trạng thái Bell với giá trị     5.10 rad/s tương ứng Hình 3.6 10 Hình 3.6 Xác suất để hệ tồn trạng thái Bell trường hợp ε=α/10=5.104 rad/s Kết Hình 3.6 cho thấy rằng, dao động với tần số lớn (Chu kỳ 16  T1= ) bị biến điệu dao động có tần số nhỏ (Chu kỳ T2=  )  Độ đan rối đạt giá trị cực đại ebit thời điểm t xác định gần [21] t(m,n) = (m-0,5)T1 + (n-0,5)T2 3.2.2 Kéo lượng tử phi tuyến dùng nối tương tác tuyến tính bơm mode Hamiltonian hệ có dạng [21] Hˆ  Hˆ  Hˆ   Trong Hˆ  a aˆ aˆ  b bˆ bˆ , Hˆ  Hˆ NL( a )  Hˆ NL(b)  Hˆ int  Hˆ ext ( a )  Hˆ ext (b) ,  Hˆ NL( a )  a aˆ  aˆ ,   Hˆ int  aˆ  bˆ   * aˆbˆ  Hˆ ext ( a )    Hˆ NL(b )  b bˆ  bˆ ,  aˆ    * aˆ Hˆ Hình 18 Mơ hình kéo lượng tử phi tuyến bơm mode ext ( b )  bˆ    *bˆ 10 Trong đó, thành phần Hˆ ext ( a ) Hˆ ext (b ) tương ứng với liên kết mode a mode b với trường Các tham số α β mô tả độ lớn tương tác tỉ lệ với biên độ trường Trạng thái cắt có dạng  (t )  c00 (t ) a b  c10 (t ) a b  c01 (t ) a b  c11 (t ) a b Hệ phương trình vi phân cho biên độ xác suất i d c00 (t )   *c10 (t )   *c01 (t ) , dt (3.47) i d c01 (t )   * c10 (t )   * c11 (t )  c00 (t ) , dt (3.48) i d c10 (t )  c01 (t )  c00 (t )   * c11 (t ) , dt (3.49) i d c11 (t )  c01 (t )  c10 (t ) dt (3.50) 3.2.2.1 Trường hợp trạng thái ban đầu mode trạng thái chân khơng 3.2.2.1.1 Khi trường ngồi bơm cho mode biên độ pha Trong trường hợp ta có    Bằng việc giải hệ phương trình vi phân (3.47) đến (3.50) với điều kiện ban đầu c00 (0)  , c01 (0)  c10 (0)  c11 (0)  thu kết [21] it   t i t    c00 (t )  1  cos  sin e  , 2   2  (3.53) it 1 t     t i c11 (t )    cos  sin  e  , 2  2   (3.54) 2 it  t   c01 (t )  c10 (t )  i sin e  2 Trong   16   (3.55) (3.56) 11 Kết cho thấy độ tin cậy ứng với trình cắt bơm mode cao so với trường hợp bơm mode với nhóm giá trị tham số cho Hình 3.9 Hình 3.9 Kết giải số độ tin cậy trạng thái cắt kéo lượng tử phi tuyến bơm mode (đường chấm chấm) trường hợp hệ số phi tuyến mode có giá trị  a =  b =108 rad/s β=α=ε=5.105 rad/s Đường liền nét ứng với trường hợp bơm mode Kết độ đan rối trạng thái cắt thu phương pháp phương pháp giải tích tương đồng khoảng thời gian đủ nhỏ thể Hình 3.11 Kết thu cho thấy trường hợp β=ε=α=5.105 rad/s, độ đan rối trạng thái (3.51) biến thiến theo thời gian với giá trị cực đại giảm dần sau chu kỳ T  2  Độ đan rối đạt giá trị cực đại 1  thời điểm t (n)   n  T Chẳng hạn thời điểm t (1)  T , độ đan rối đạt  2 giá trị lớn 0,998 ebits 12 Hình 3.11 Độ đan rối trạng thái tạo kéo lượng tử phi tuyến bơm mode trường hợp β=ε=α=5.105 rad/s (hình a) β=ε=α/10=5.104 rad/s (hình b) Đường chấm chấm kết tính số tương ứng Khi biểu diễn sở trạng thái Bell, xác suất tìm thấy hệ  trạng thái Bell với giá trị     5.105 rad/s    5.10 10 rad/s tương ứng Hình 3.12 Hình 3.12 Xác suất để hệ tồn trạng thái Bell B1 (đường liền nét), B2 (đường đứt nét) – Hình a trạng thái B3, B4 – Hình b trường hợp β=α=10ε=105 rad/s Từ kết thu Hình 3.12 thấy trường hợp β=α=10ε=105 rad/s, xác suất để hệ tồn trạng thái Bell B1 B2 biến thiên theo thời gian tương ứng với biến điệu dao động 13 có tần số lớn (chu kỳ T1  kỳ T2  2  20  ) theo dao động có tần số nhỏ (chu ) Xác suất để hệ tồn trạng thái Bell B1 B2 đạt 1 1   giá trị cực đại thời điểm t (m, n)   m  T1   n  T2 [21] Cũng  2  2 trường hợp này, xác suất để hệ tồn trạng thái Bell B3 B4 Tuy nhiên giá trị cực đại ứng với trường hợp vào khoảng 0,25 ebits 3.2.2.1.2 Khi trường bơm cho mode biên độ ngược pha 3.2.2.1.3 Khi trường bơm cho mode biên độ lệch pha  3.2.2.2 Trường hợp trạng thái ban đầu mode trạng thái chân khơng Khi đó, kết thu ngược lại trường hợp trạng thái ban đầu mode trạng thái chân không, nghĩa trạng thái ban đầu 01 10 tiến triển hệ trạng thái Bell B3 B4 có xác suất cao so với trạng thái B1 B2 - ngược lại với kết 3.2.2.1.1 3.3 Sử dụng kéo lượng tử phi tuyến dùng nối tương tác phi tuyến 3.3.1 Kéo lượng tử phi tuyến dùng nối tương tác phi tuyến bơm mode Để đơn giản, trước hết xét mơ hình kéo lượng tử bơm mode Khi Hamiltonian hệ có dạng [16] Hˆ  Hˆ  Hˆ 11  Hˆ  Hˆ NL  Hˆ int  Hˆ ext (3.81) 14 Trong thành phần Hamiltonian khác so với trường hợp kéo lượng tử phi tuyến có mode tương tác tuyến tính bơm mode thành phần tương tác   bˆ Hˆ int   aˆ  2   2   * aˆ  bˆ  , (3.84) Khi đó, trạng thái hệ viết lại dạng [16]  (t ) cut  c02 (t ) a b  c12 (t ) a b  c20 (t ) a b (3.89) Trong biên độ xác suất c02 (t ) , c12 (t ) c20 (t ) c20 (t )  c12 (t )    4 cos(t ) , (3.93) 2 cos(t )  1 , 2 (3.94) c02 (t )  2i 2 sin(t )  , (3.95) 2 với     4 (3.96) Khi kết độ tin cậy trạng thái cắt thu phương pháp tính số thể Hình 3.19 Hình 3.19 Kết tính số độ tin cậy trạng thái cắt kéo lượng tử phi tuyến mode tương tác phi tuyến bơm mode trường hợp hệ số phi tuyến mode có giá trị χa =χb =25.108 rad/s α=ε=π.108 /20 rad/s 15 Từ (3.89) ta có tiến triển độ đan rối theo thời gian trường hợp α =  10 108 ,    108 rad/s thể Hình 3.20 Hình 3.20 Độ đan rối trạng thái tạo kéo lượng tử phi tuyến tương tác phi tuyến bơm mode trường hợp α=ε= π.108 /20 rad/s So sánh kết tính số (đường chấm chấm) kết giải tích (đường liền nét) Kết thu Hình 3.20 cho thấy trạng thái đạt từ kéo lượng tử phi tuyến mà tương tác mode tương tác phi tuyến cho độ đan rối cao Tại thời điểm ban đầu, cực đại độ đan rối xấp xỉ 1, chẳng hạn thời điểm t1=0,267.10-7 s, độ đan rối có giá trị cực đại E=0,999 ebits, thời điểm t2 =1,553.10-7 s t3 = 2,092 s độ đan rối có giá trị 0,998 ebits 2 B1,  B3,  2 a   B5  2 B6  2  a a a b i 0 b i1 a 0b1a2 0b1 a a b b b , , b  , (3.101) (3.103) (3.105) (3.106) 16 Theo lý thuyết vật lý lượng tử, xác suất để hệ tồn trạng thái kiểu Bell Bi xác định theo biểu thức P( Bi )  Bi  cut (t ) (3.107) Kết tính thể Hình 322 Hình 3.22 Xác suất để hệ tồn trạng thái kiểu Bell B1, B2 (đường liền nét) B3, B4 (đường đứt nét) hình a, trạng thái kiểu Bell B5 (đường liền nét) B6 (đường đứt nét) hình b Các hệ số α=ε=π.108/20 rad/s Từ kết tính Hình 3.22, thấy nhiểu thời điểm định trạng thái kiểu Bell tạo thành với độ xác cao Đặc biệt trạng thái kiểu Bell B1 B2 có độ tin cậy gần Tuy nhiên, tăng hệ số liên kết  dao động (chẳng  hạn đến giá trị 10 rad/s) xác suất tạo trạng thái a b giảm Khi đó, độ tin cậy tương ứng với trạng thái B1 B2 hầu hết kết hệ xét có khuynh hướng trở hệ hai qubits có độ đan rối 3.3.2 Kéo lượng tử phi tuyến dùng nối tương tác phi tuyến bơm mode Từ kết thu khẳng định kết tương ứng tài liệu [16], [18] [21] mở rộng nghiên cứu 17 hệ kéo lượng tử mà tương tác mode tương tác phi tuyến mode bơm trường ngồi có độ lớn   Hamiltonian hệ tương ứng với mơ hình chúng tơi trường hợp có dạng Hˆ  Hˆ  Hˆ 12  Hˆ  Hˆ NL  Hˆ int  Hˆ ext , (3.108) Hamiltonian trường hợp khác trường hợp bơm mode thành phần Hˆ ext  Hˆ ext ( a )  Hˆ ext (b)  aˆ    * aˆ  bˆ    *bˆ (3.112) Trạng thái cắt hệ lúc có dạng  (t ) cut  c02 (t ) a b  c21 (t ) a b  c12 (t ) a b  c20 (t )        c20 (t )     cos1t      cos 2t  , 2 c21 (t )  i    1 sin  t       sin 1t  , 2    cos1t   cos 2t , 2  i 1 sin1t    sin 2t  c02 (t )  2 c12 (t )  Trong    2  , 1    2       2   a b (3.116) (3.121)  (3.122) (3.123) (3.124) (3.125) (3.127) Bằng cách tính độ tin cậy tương tự trường hợp trước, kết tính số độ tin cậy trạng thái (3.116) thể Hình 3.23 18 Hình 3.23 Kết tính số độ tin cậy trạng thái cắt kéo lượng tử phi tuyến mode tương tác phi tuyến bơm mode trường hợp hệ số phi tuyến mode có giá trị χa =χb =25.108 rad/s α=ε=π.108 /20 rad/s Kết Hình 3.23 cho thấy độ tin cậy trạng thái cắt (3.116) sai khác lượng khoảng 10-3 so với giá trị cực đại lần nưa cho thấy độ xác trạng thái so với phương pháp tính số Tương tự với trường hợp kéo lượng tử dùng nối tương tác phi tuyến bơm mode, để tính độ đan rối trạng thái cắt (3.116), sử dụng phương pháp tính độ tin cậy Entropy von Neumann Kết thu thể Hình 3.24 Kết thu Hình 3.24 cho thấy trạng thái đạt từ kéo lượng tử phi tuyến mà tương tác mode tương tác phi tuyến, bơm mode cho độ đan rối cao Rất nhiều thời điểm cực đại độ đat rối đạt xấp xỉ 1, chí Xác suất để hệ tồn trạng thái kiểu Bell định theo biểu thức P( Bi )  Bi ˆ cut Bi  Bi  cut (t ) Hình 3.26 Bi xác với i  1, ,6 thể 19 Hình 34 Độ đan rối trạng thái tạo kéo lượng tử phi tuyến tương tác phi  tuyến bơm mode trường hợp α=ε= 108 rad/s So sánh kết 20 tính số (đường chấm chấm) kết giải tích (đường liền nét) Hình 3.26 Xác suất để hệ tồn trạng thái kiểu Bell B1, B2 (đường đứt nét), B3, B4 (đường liền nét đậm), B5 (đường liền nét) B6 (đường chấm chấm) trường hợp hệ số α=ε=π.108 /20 rad/s Kết Hình 3.26 cho thấy tồn thời điểm mà trạng thái hệ tương đương với trạng thái kiểu Bell B1, B2 B5 với xác suất gần Khi đó, trạng thái hệ có khuynh hướng trở thành trạng thái hệ qubits có độ đan rối gần 20 KẾT LUẬN Trong đề tài này, chúng tơi trình bày lý thuyết sở trạng thái lượng tử mà trọng tâm trạng thái đan rối, phương pháp tính độ đan rối trạng thái lượng tử Bên cạnh đó, chúng tơi tìm hiểu mơ hình kéo lượng tử tuyến tính đưa tài liệu [17], [22], [25] kéo lượng tử phi tuyến đưa tài liệu [16], [17], [21], [22], đánh giá trạng thái đầu mô hình kéo lượng tử theo tham số hệ Về mục đích sử dụng mơ hình kéo lượng tử để tạo trạng thái qubit có độ đan rối cao, tập trung vào mô hình kéo lượng tử phi tuyến Những kết thu tóm tắt sau + Đối với mơ hình kéo lượng tử phi tuyến mà mode tương tác tuyến tính bơm mode, chúng tơi thấy mơ hình kéo lượng tử tạo trạng thái tổ hợp trạng thái a b , a b , a b a b với độ tin cậy cao thể giá trị phương pháp giải tích đưa Kết tính độ đan rối cho thấy độ đan rối trạng thái thu tiến triển theo thời gian với giá trị cực đại thu xấp xỉ ebits tương đương với kết đưa tài liệu [21] [22] Xác suất để hệ tồn trạng thái Bell B1 B2 có cực đại xấp xỉ trường hợp biên độ trường ngồi có độ lớn hệ số liên kết mode tài liệu [21] Khi tăng biên độ trường gấp 10 lần hệ số tương tác mode độ đan rối hệ có giá trị cực đại tiến triển hệ theo trạng thái Bell B1, B2, B3 B4 có cực đại + Đối với mơ hình kéo lượng tử phi tuyến mà mode tương tác tuyến tính bơm mode, thấy với độ đan rối trạng thái tạo kéo lượng tử phụ thuộc vào độ lớn trường độ lệch pha hai trường bơm cho mode Với biên độ trường hệ số tương tác mode, độ đan rối có giá trị lớn đạt cực đại 0.998 ebits cho trường hợp trường bơm cho mode pha ngược pha Xác suất để hệ tồn trạng thái Bell B1 B2 đạt giá trị cực đại xấp xỉ xác suất để hệ tồn trạng thái Bell B3 B4 thấp Trong trường hợp trường bơm cho mode vuông pha, độ đan rối trạng thái tạo kéo lượng tử đạt cực đại 21 khoảng 0,5 ebits, xác xuất để hệ tồn trạng thái Bell B1, B2, B3 B4 có cực đại vào khoảng 0,5 Tất kết tính tốn nêu tương đương với kết mà tác giả thu tài liệu [17], [21] [22] + Đối với mơ hình kéo lượng tử phi tuyến mà mode tương tác phi tuyến bơm mode, trạng thái tạo kéo lượng tử tương đương với hệ qubit-qutrit có độ đan rối đạt cực đại 0,999 ebits, cao so với độ đan rối cực đại trạng thái tạo kéo lượng tử phi tuyến có mode tương tác tuyến tính Kết đạt tương ứng với tài liệu [16] Thay đánh giá độ tin cậy trạng thái cắt so với trạng thái kiểu Bell tác giả tài liệu [16], đánh giá xác suất để hệ tồn trạng thái kiểu Bell thu xác suất để hệ tồn trạng thái  2 a b i a b  2 a b i a b   đạt giá trị cực đại cao Khi tăng hệ số tương tác mode  xác suất để hệ tồn trạng thái tăng đần đến giá trị Khi đó, trạng thái hệ tạo có khuynh hướng trở thành hệ qubit có độ đan rối + Cuối cùng, dựa kết đó, chúng tơi nghiên cứu mở rộng với mơ hình kéo lượng tử phi tuyến mà mode tương tác phi tuyến bơm mode Chúng thấy trạng thái tạo kéo lượng tử phi tuyến trường hợp gần phụ thuộc vào độ lớn trường ngồi mà khơng chịu tác động nhiều độ lệch pha trường bơm cho mode Độ đan rối trạng thái có giá trị cực đại hệ số tương tác mode với độ lớn trường ngồi có giá trị vào  108 rad/s Trong trường hợp này, 20 trạng thái tạo kéo lượng tử tương đương với hệ qutrit-qutrit Xác suất để hệ tồn trạng thái kiểu Bell  2 a b i a b   1 a 2b a b  2 a b i a b ,  đạt giá trị cực đại hệ số tương tác tăng đến giá trị vào khoảng  108 15 rad/s Vào số thời điểm, trạng thái tạo kéo lượng tử tương đương với trạng thái qubit có độ đan rối 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Landau L.D, Lifshitz E.M (1975), Điện động lực học môi trường liên tục, NXB KH-KT Cao Long Vân, Đinh Xuân Khoa, Trippenbach M (2003), Nhập môn quang học phi tuyến, ĐH Vinh Cao Long Vân (2005), “Tin học lượng tử máy tính lượng tử (II)”, Tạp Chí Ứng Dụng Tốn Học, 3(2), tr 77-100 Tiếng Anh Babichev S, Ries J, Lvovsky A (2003), “Quantum scissors: Teleportation of single-mode optical state by means of nonlocal single photon”, Europhys Lett 64, pp 1-7 Bimbard E, Jain N, MacRae A, Lvovsky A.I (2010), “Quantum-optical state engineering up to the two-photon level” Nature Photonic, 10(1038) Christopher C and Knight P.L (2010), Introductory Quantum Optics, pp 20-25, Cambridge University Press Dodonov V.V, Manko V.I (2003), Theory of Nonclassical states of light, pp 278-281 Dung N.T, Leonski W, Van C.L (2013), “Computer Simulation of Two – mode Nonlinear Scissors”, CMST 19, pp175 – 181 Faisal A, El-Orany A, Sebawe Abdalla M, Peˇrina J (2013), “Single mode quantum properties of the codirectional Kerr nonlinear coupler: frequency mismatch and exact solution”, arXiv, 0908 0381 10 Goyal S.K, Konrad T (2013), “Teleporting photonic qudits using multimode quantum scissor Scientific report”, J.Phys B: At.Phys 10 11 Grygiel K, Szlachetka A (2001), “Quantum Semiclass”, J.Opt 3(104) 12 Henderson L (2003), “The von Neumann Entropy“, Brit J.Phil Sci 54(13), pp 291-296 13 Jaeger G (2009), “Entanglement, information and the interpretation of quantum mechanics”, Phys Rev, A(18), pp 50-52 23 14 Korolkova N, Perina J (2006), “Quantum statistics and dynamics of Kerr nonlinear couplers” J.Phys B: At Mol Opt Phys 391684 15 Kowalewska-Kudlaszyk A, Leonski W, Van C.L, Dung N.T (2014), “Kicked nonlinear quantum scissors and entanglement generation”, Phys.Scr 160 (014023) 16 Kowalewska –Kudlaszyk A, Leonski W (2006), “Finite –dimentional and entanglement generation for a nonlinear coupler”, Physics Review A(74), 042318 17 Leonski W and Kowalewska – Kudlaszyk A (2010), “Quantum scissors – Finite-dimensional states engineering”, aXiv: 1312(118), pp 2-9 18 Leonski W, Miranowicz A (2004), “Kerr nonlinear coupler and entanglement “, J.Opt B: Quantum Semiclass Opt, 6, pp 37-42 19 Lukˇs A and Peˇrinov V (2006), “Cosine-of-phase sensitivity of a Mach–Zehnder interferometer for the Fock state inputs“, Journal of Physics: Conference Series, 36, pp 103–112 20 Mark R (2005), Preparation of Entangled States and Quantum Teleportation with Atomic Qubits, pp 14, 89-94, Innsbruck University Press 21 Miranowicz A, Leonski W (2006), “Two-mode optical state truncation and generation of maximally entangled states in pumped nonlinear couplers”, J.Phys B: At Mol Opt Phys 39 22 Miranowicz A, Leonski W (2004), “Dissipasion in systems of linear and nonlinear quantum scissors”, J.Opt B: Quantum Semiclass Op 6, pp 43-46 23 Miranowicz A, Sahin K, Ozdemir S.K, Yuxi L, Koashi M, Imoto N (2002), “Physical realizations and Wigner representation of coherent states of finite-dimensional Hilbert spaces”, Phys Rev, A(49) 24 Nielsen M, Chuang I (2010), Quantum Computation and Quantum Information, pp 13-16, 73-75, 98-100, 105-108, Cambridge University Press 24 25 Ozdemir S.K, Mizanowicz A, Koashi, N Imoto (2001), “Quantum scissors device for optical state truncation: a proposal for practical realization”, Phys Rev, A(64) 26 Paris M.G.A (2000), “Optical qubit by conditional interferometry“, Phys Rev A(62) 27 Pirrandola S, Eisert J, Weedbook C, Braustein S.L (2015), “Advances in quantum teleproration”, Arxiv: 1505.07831 28 Shabbi S, Anders J, Hilt S, Lutz E(2010), “Landauer’s principle in the quantum domain“, EPTCS, 26, pp 13–18 29 Thomas H, Arecchi C, Courtens E, Gilmore R (1972), “Atomic coherent states in quantum optics” Phys Rev A(6) 30 Windhager A, Suda M, Pacher C, Peev M, Poppe A (2011), “Quantum Interference between a Single – Photon Fock State and a Coherent State“, Optics Communications, 284(7), pp 1907–1912 31 Wootters W.K (2001), “Entanglement of fomation and concurrente, Quantum information and computation”, J.Phys B: At Mol Opt Phys, 1(1), pp 27-44