Sự tồn tại đa tạp quán tính ngẫu nhiên của lớp phương trình truyền sóng tắt dần

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– MAI THỊ NGA SỰ TỒN TẠI ĐA TẠP QUÁN TÍNH NGẪU NHIÊN CỦA LỚP PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SĨNG TẮT DẦN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THANH HĨA, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————– * ——————— MAI THỊ NGA SỰ TỒN TẠI ĐA TẠP QN TÍNH NGẪU NHIÊN CỦA LỚP PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SĨNG TẮT DẦN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 Người hướng dẫn khoa học: TS ĐỖ VĂN LỢI THANH HÓA, 2017 Danh sách hội đồng chấm thi luận văn thạc sĩ theo Quyết định số 1279/QĐĐHHĐ ngày 10 tháng năm 2017 Hiệu trưởng Trường Đại học Hồng Đức: Học hàm, học vị, Họ tên Cơ quan công tác Chức danh hội đồng GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng Học viện QLGD Chủ tịch PGS.TS Nguyễn Minh Mẫn Trường ĐH Mỏ địa chất Phản biện PGS.TS Đinh Huy Hoàng Trường ĐH Vinh Phản biện TS Hoàng Nam Trường ĐH Hồng Đức Ủy viên TS Vũ Trọng Lưỡng Trường ĐH Tây Bắc Thư ký Xác nhận người hướng dẫn Học viên chỉnh sửa theo ý kiến hội đồng Ngày tháng năm 2017 (ký, ghi rõ họ tên) TS Đỗ Văn Lợi i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn không trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu công bố Người cam đoan Mai Thị Nga ii LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Khoa Tự Nhiên, Trường Đại học Hồng Đức - Thanh Hóa hướng dẫn Thầy TS Đỗ Văn Lợi Tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới dạy Thầy Tôi xin cảm ơn tất thầy cô giảng dạy cảm ơn tất bạn bè giúp đỡ chân tình người Tơi xin gửi lời cảm ơn tới phòng Sau đại học, Trường Đại học Hồng Đức - Thanh Hóa giúp đỡ mặt thủ tục để hoàn thiện luận văn Thanh Hóa, tháng năm 2017 Mai Thị Nga iii LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỘT SỐ KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN iv MỞ ĐẦU Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương : SỰ TỒN TẠI CỦA ĐA TẠP QN TÍNH NGẪU NHIÊN CỦA LỚP PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SÓNG TẮT DẦN 13 Chương : SỰ TỒN TẠI CỦA ĐA TẠP QUÁN TÍNH NGẪU NHIÊN CỦA LỚP PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SĨNG TẮT DẦN TRÊN KHƠNG GIAN HÀM CHẤP NHẬN ĐƯỢC 28 KẾT LUẬN 33 Tài liệu tham khảo 34 iv MỘT SỐ KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN • R: tập hợp số thực; • A: Tốn tử tuyến tính; • C0 (R, R): Không gian hàm giá trị thực liên tục R, triệt tiêu • Ω: tập σ - đại số (trong luận văn xét Ω ⊂ C0 (R, R)) • ω ∈ Ω: biến c ã U(t, ) : R ì R q trình ngẫu nhiên; • Lipu G: số Lipschitz hàm G theo biến u MỞ ĐẦU Một hướng nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân nghiên cứu tồn đa tạp quán tính.Đa tạp quán tính Constantin, Foias, Nicolaenko, Sell Temam giới thiệu đa tạp bất biến Lipschitz hữu hạn chiều, hút nghiệm phương trình vi phân với tốc độ mũ Một tính chất quan trọng đa tạp qn tính chứa tập hút toàn cục, quỹ đạo nghiệm nằm đa tạp qn tính mơ tả xác quỹ đạo nghiệm hệ phi tuyến vơ hạn chiều Đa tạp qn tính tồn cho phép ta nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ phi tuyến vô hạn chiều thông qua việc nghiên cứu hệ phương trình vi phân thường hữu hạn chiều Việc nghiên cứu tồn đa tạp quán tính thu nhiều kết cho nhiều lớp phương trình vi phân, phương trình tiến hóa, phương trình vi phân có trễ, đặc biệt phương trình vi phân ngẫu nhiên Trong khn khổ luận văn thạc sĩ này, sử dụng phương pháp Lyapunov - Perron chứng minh tồn đa tạp quán tính ngẫu nhiên lớp phương trình truyền sóng tắt dần với nhiễu trắng cộng tính Nội dung luận văn ngồi phần kiến thức chuẩn bị trình bày chương 1, gồm 02 chương Chương 2: Sự tồn đa tạp qn tính ngẫu nhiên lớp phương trình truyền sóng tắt dần Trong chương này, chúng tơi giới thiệu khái niệm hệ động lực ngẫu nhiên, phát biểu toán trừu tượng, nêu giả thiết chứng minh tồn đa tạp quán tính ngẫu nhiên cho lớp phương trình trừu tượng Sau đó, chúng tơi phát biểu tốn phương trình truyền sóng tắt dần với nhiễu trắng cộng tính, xây dựng không gian hàm phù hợp, ứng dụng kết tồn đa tạp quán tính ngẫu nhiên lớp phương trình truyền sóng tắt dần Chương 3: Sự tồn đa tạp quán tính ngẫu nhiên lớp phương trình truyền sóng tắt dần không gian hàm chấp nhận Trong chương này, trước hết xây dựng khái niệm đa tạp qn tính khơng gian hàm chấp nhận được, phát biểu kết tồn đa tạp quán tính ngẫu nhiên không gian hàm chấp nhận Chương 1.1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Nửa nhóm toán tử tham số Định nghĩa 1.1.1 ([3]) Một họ tốn tử tuyến tính bị chặn (T (t))t>0 không gian Banach E gọi nửa nhóm liên tục mạnh (C0 - nửa nhóm) điều kiện sau thỏa mãn: (i) Với t, s > T (t + s) = T (t)T (s) (ii) T (0) = I (I toán tử đồng E) (iii) Với x ∈ E, ánh xạ ξx : R+ → E t 7→ T (t)x liên tục Mệnh đề 1.1.2 ([3]) Cho (T (t))t>0 nửa nhóm khơng gian Banach E Khi đó, mệnh đề sau tương đương (i) (T (t))t>0 liên tục mạnh (ii) Với x ∈ E ta có lim T (t)x = x t↓0 (iii) Tồn δ > 0, M > 1, tập trù mật D ⊂ E cho (a) ||T (t)|| M với t ∈ [0, δ ] (b) lim T (t)x = x với x ∈ D t↓0 Định nghĩa 1.1.3 ([3], Tốn tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh) Trên khơng gian Banach E, tốn tử A : D(A) ⊂ E → E xác định Ax := lim (T (h)x − x) h↓0 h   D(A) = x ∈ E : lim (T (h)x − x) tồn h↓0 h gọi toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t>0 Mệnh đề 1.1.4 sau nêu số tính chất tốn tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh −As+ s0 z(θr ω)dr ˜ + Liph e PF(θs ω, w(s))ds ∞  ≤ K | − Qu(0) + h(Pu(0), ω)| + KLiph · Lipu G R −ηt− 0t z(θr ω)dr e |Tw(t)| R −ηt− 0t z(θr ω)dr ≤ Ke Z t R β (t−s)+ st z(θr ω)dr ˜ s ω, w(s))|ds) |F(θ Z t  Rt α(t−s)+ s z(θr ω)dr ˜ F(θs ω, w(s))ds + e ∞ e  |w| + α − η Cη 18 R −ηt− 0t z(θr ω)dr ≤ KLipu Ge Z t Rt eβ (t−s)+ z(θr ω)dr |w(s)|ds Z ∞  R α(t−s)+ st z(θr ω)dr + e |w(s)|ds t Z ∞ Z t  −(η−β )(t−s) (α−η)(t−s) ≤ KLipu G e ds + e ds |w|Cη+ t  1 ≤ KLipu G + )|w|Cη+ η −β α −η Tiếp theo, ta với điều kiện khe hở phổ (2.8), ánh xạ T˜ + T : Cη+ → Cη+ co Để làm điều này, ta giả sử w, w¯ ∈ Cη+ Khi Rt e−ηt− z(θr ω)dr s |T˜ w(t) − T˜ w(t)| ¯ ≤ Ke−(η−β )t |h(Pu(0) + Pw(0), ω) − h(Pu(0) + Pw(0), ¯ ω)| ≤ KLiph|Pw(0) − Pw(0)| ¯ Z R −As+ s0 z(θr ω)dr ˜ e ≤ KLiph