Kéo lượng tử hai chiều sinh ra các trạng thái hai qubit có độ đan rối cao khi có mất mát

1 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Như biết kỷ XX kỷ tin học thuyết lượng tử Trong năm cuối kỷ XX, ngành tin học phát triển nhanh chóng nói bắt nguồn từ nhà tốn học Alan Turing với cơng trình cơng bố xác giới hạn khả máy tính vấn đề khơng thể giải máy tính Ơng nghĩ máy tính ảo Máy tính tổng hợp Turing mơ hình trừu tượng tất máy tính để vấn đề khơng tính tốn Trong thông tin cổ điển dùng đơn vị nhỏ bit, địi hỏi liệu phải mã hóa thành chữ số nhị phân (bit), mà số gán cho hai trạng thái định (0 1) Các tính tốn dựa khái niệm bit, cài đặt hệ vật lý bóng bán dẫn dẫn đến việc phát triển vũ bão cơng nghệ máy tính ,đưa đến cách mạng tin học kỷ XX Do nhu cầu tính tốn ngày tăng, máy tính vi tính hóa liên tục, dẫn đến giới hạn khơng thể vượt qua chất vật lý hệ tính tốn Có nhiều vấn đề khơng thể giải khn khổ máy tính thời xây dựng theo mơ hình Turing Trong khoảng đầu năm tám mươi kỷ trước, để tìm lối khỏi tình này, nhà bác học tiếng Richard Feynman đưa ý tưởng tính tốn hệ vật lý không cài đặt hệ vật lý mơ hình máy Turig cổ điển Năm 1983, nhà tốn học Anh David Deutch đưa mơ hình máy Turing lượng tử, mở đầu cho kỷ nguyên tính tốn lượng tử Sau hiệu ứng viễn tải thuật tốn phân tích số tự nhiên lớn thừa số nguyên tố tìm ra, tính tốn lượng tử phát triển vũ bão, đề tài nóng hổi vật lý lý thuyết, hứa hẹn ứng dụng lớn lao tạo cách mạng tin học kỷ XXI Đơn vị tính tốn thơng tin lượng tử qubit (bit lượng tử), hệ hai trạng thái mà để liên hệ với tin học cổ điển, người ta thường ký hiệu chúng Trong khuôn khổ lý thuyết lượng tử, chúng trạng thái chồng chập lượng tử, tức tổ hợp tuyến tính hai trạng thái Như qubit có continuum trạng thái Người ta thực qubit qua hệ vật lý cụ thể hai trạng thái phân cực photon, nhờ hai hình chiếu spin electron Máy tính lượng tử quy mơ lớn có khả giải vấn đề phức tạp cách nhanh máy tính cổ điển sử dụng thuật toán tốt Ta xét hệ phức hợp đơn giản hệ hai qubit Trong trạng thái chồng chất, tồn tập khơng thể phân tích tenxơ hai trạng thái mô tả hệ thành phần Trạng thái kiểu gọi trạng thái đan rối Tính chất đan rối hệ đóng vai trị vơ quan trọng, trạng thái hệ đan rối đọc qubit riêng biệt hai kết với xác suất ta đo qubit thứ hai thu kết qubit thứ (thậm chí khoảng cách xa nhau) Tính chất đan rối hệ ứng dụng giao thức lượng tử mật mã lượng tử, viễn tải lượng tử Hiệu ứng này, khẳng định quan sát thực nghiệm, gây thay đổi nhận thức thông tin vật thể thay đổi tương tác với vật gần Einstein gọi tượng tác động ma quái khoảng cách (spooky action at a distance) Một lớp trạng thái đan rối gọi trạng thái Bell Những tương quan phép đo trạng thái Bell lớn tương quan hệ cổ điển Như tính chất đan rối hệ lượng tử đóng vai trị tiên việc cài đặt thuật toán lượng tử, tiến tới thực máy tính lượng tử tương lai với khả tính tốn mà khơng máy tính thời thực Có nhiều hệ vật lý thực qubit, chẳng hạn như: hệ hai phân cực khác photon, hai trang thái điện tử nguyên tử, hướng spin hạt nhân từ trường… Hệ cài đặt qubit tốt hệ hai phân cực khác photon Trước photon coi khó nắm bắt, khó giam cầm đặc thù khơng khối lượng, chuyển động với vận tốc ánh sáng Tuy nhiên, người ta nắm bắt, quan sát chúng Ngồi hệ lượng tử có hai trạng thái hệ thực qubit Vấn đề đặt ta phải cài đặt hệ vật lý để tạo trạng thái hai qubit có độ đan rối cao trường hợp có mát (có tính đến sư tiêu hao, tiêu tán) trạng thái đan rối thường có thời gian tồn ngắn phá vỡ lượng tử Vì vậy, luận văn đề tài: “Kéo lượng tử hai chiều sinh trạng thái hai qubit có độ đan rối cao có mát” lựa chọn, đề tài mang tính thời cao có nhiều ứng dụng tiềm tàng, thực hệ vật lý cụ thể tạo nguồn tài ngun đan rối cho tính tốn lượng tử, hệ dao động tử kiểu Kerr Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài tìm trạng thái hai qubit kiểu Bell – trạng thái có độ đan rối cao việc dùng kéo lượng tử, phương pháp cắt không gian Hilbert từ vô hạn chiều xuống số chiều thấp, tạo điều kiện lọc trạng thái hai qubit kiểu Mơ hình thực hệ dao động tử kiểu Kerr Phƣơng pháp nghiên cứu - Sử dụng hình thức luận Hamiltonian để mơ tả hệ lượng tử - Sử dụng ma trận mật độ để mơ tả hệ lượng tử có mát - Sử dụng phần mềm Mathematica, Matlab để thực tính tốn số Phạm vi nghiên cứu Trong luận văn này, tập trung nghiên cứu đưa trạng thái hai qubit kiểu Bell – trạng thái có độ đan rối cao đặc trưng định tính độ đan rối xấp xỉ Chƣơng MỘT SỐ VẤN ĐỀ TỔNG QUAN VỀ TRẠNG THÁI ĐAN RỐI 1.1 Tiên đề trạng thái hệ Trạng thái trạng thái hỗn hợp 1.1.1 Tiên đề trạng thái hệ Toán tử mật độ Mỗi trạng thái hệ lượng tử biểu diễn toán tử mật độ (hay ma trận độ) ˆ Toán tử mật độ tốn tử tự liên hợp, khơng âm có vết 1:    pi  i  i Tất thông tin liên quan đến trạng thái i hệ chứa đựng toán tử mật độ Đây xem cách mô tả tổng quát hệ vật lý học lượng tử Với cách mô tả này, cách mơ tả nằng hàm sóng trường hợp riêng để biểu diễn trạng thái mà phần đề cập đến Nếu hệ trạng thái biểu diễn toán tử mật độ  giá trị trung bình   biến số động lực A liên quan tới thời điểm t là: A  Tr ˆ Aˆ Trong trường hợp không gian Hilbert trạng thái hữu hạn chiều, tốn tử tuyến tính quan tâm biểu diễn ma trận mật độ Ma trận mật độ thực chất ma trận toán tử thống kê (hay toán tử mật độ) tốn tử thống kê thường cho dạng ma trận mà thân thành phần ma trận toán tử xác định mật độ xác xuất Ma trận mật độ toán tử tác dụng lên không gian Hilbert hệ biết Trong trường hợp hệ vật lý cho tồn vectơ trạng thái  chứa thơng tin có hệ, muốn biết thơng tin đại lượng động lực học A, ta phải tính tốn giá trị trung bình tốn tử A tương ứng là: A   A (1.1) Trong nhiều trường hợp hệ vật lý cho biết vectơ trạng thái  hệ mà biết xác suất pi để hệ trạng thái  i Trong trường hợp ta khơng tính giá trị trung bình mà cịn phải tính trung bình theo tập hợp thống kê sau: A   pi  i A  i , (1.2) i p pi xác suất để hệ trạng thái  i i  Ta định nghĩa toán i tử ma trận mật độ sau:     i pi  i   pi  i  i i (1.3) i Ma trận mật độ sử dụng để tính tốn giá trị trung bình theo tập hợp thống kê hệ Điều thực cách lấy vết tích số toán tử  A A  Tr   A (1.4) Thật vậy, ta có: Tr  Xˆ    n Xˆ n , đó, n hệ hồn tồn trực n chuẩn thỏa mãn: n n  n Tr   A   n  A n   n pi  i  i A n  Từ suy ra: n n i    i A n n pi  i    i Api  i  n i i   pi  i A  i  A , i tức thu (1.4) Xác suất pi không âm chuẩn hóa (tổng chúng 1: p i  ) Điều có nghĩa ma trận mật độ ˆ toán tử i Hermite xác định Ta chứng minh vết  Tr     (1.6) Thật vậy, ta có: Tr      m  m   m pi  i  i l    i m m pi  i  m m   pi  i  i   pi  1, i i m i i ma trận mật độ ˆ toán tử Hermite nên trị riêng pi thực Từ điều ta suy tính chất quan trọng sau ma trận mật độ    (1.7) Thật vậy, ta có:    pi  i  i , i nên:          p      p     pi  i  i  ˆ i i i i i i i i i      1.1.2 Trạng thái (pure state) Trong vật lý lượng tử, trạng thái lượng tử đối tượng toán học diễn tả đầy đủ hệ lượng tử Một trạng thái gọi (Trạng thái pure, gọi trạng thái khiết hay trạng thái Trong luận văn này, sử dụng cụm từ “trạng thái thuần”) khơng thể biểu diễn hỗn hợp nhiều trạng thái khác Nó hệ lượng tử bị lập hay trường mà tương tác hệ với trường ngồi biết xác Khi đó, có trạng thái  khác khơng, cịn tất pi  Do ma trận mật độ hay toán tử mật độ biểu diễn hệ đồng thời toán tử chiếu có dạng:   (1.8) Trong trường hợp này, giá trị trung bình đại lượng động lực A tính theo cơng thức: A  Tr   A   A  , (1.9) ma trận mật độ  có tính chất sau:    hay Tr     Tr     (1.10) Thật vậy, ta có:            , đó: Tr     Tr     1 Từ điều kiện mà toán tử mật độ thỏa mãn, ta suy tốn tử chiếu mơ tả trạng thái khiết tốn tử chiếu lên khơng gian chiều không gian Hilbert Như ta mơ tả trạng thái véctơ không gian Hilbert với lưu ý tất trạng thái khác thừa số pha biểu diễn trạng thái Một hệ lượng tử thái thường biểu diễn vectơ không gian Hilbert phức  ký hiệu  1.1.3 Trạng thái hỗn hợp (mixed state) Trong trường hợp hệ lượng tử không bị cô lập tương tác hệ với hệ xung quanh (hay với trường ngồi) khơng xác định cách xác, khơng thể giải phương trình Schroedinger để xác định hàm sóng hệ, trạng thái hệ lúc gọi trạng thái hỗn hợp Nói chung, nói rằng, trạng thái hỗn hợp (mixed state) trạng thái biểu diễn tập hợp trạng thái  i với xác suất tương ứng pi mà điều kiện là:  pi  p i  Để i mô tả hệ lượng tử ta phải xét hệ xét (hệ con) hệ xung quanh tương tác với (hệ lớn) Khi đó, ma trận mật độ xác định theo cơng thức (1.3) có tính chất sau:    hay Tr     (1.11) Thật vậy, ta có:    pi  i  i p j  j  j   pi p j  i  i  j  j   , i từ suy ra: j i j  ij Tr      n pi p j  i  i  j  j n  n i j   pi p j  i  j  j n n  i  n i j   pi p j  i  j  j  i  i, j   pi p j  i  j i, j   pi  p j  , i j tức ta thu (1.11) Như vậy, tiêu chuẩn để nhận biết trạng thái hay hỗn hợp là: Tr     (trạng thái thuần) hay Tr     (trạng thái hỗn hợp) Thường để mô tả trạng thái hỗn hợp hệ lượng tử người ta dùng ma trận mật độ toán tử thống kê tương tự dùng hàm sóng để mơ tả trạng thái hệ 1.2 Trạng thái đan rối lƣợng tử 1.2.1 Điều kiện chia tách đƣợc trạng thái Tính khơng thể chia tách lượng tử tính chất quan trọng hình thức luận lượng tử Nó phát Einstein, Podolsky Rosen Trong vật lý lượng tử, trạng thái lượng tử đối tượng toán học diễn tả đầy đủ hệ lượng tử Xét hệ lượng tử thái thuần, biểu diễn vectơ không gian Hilbert phức  ký hiệu  Xét hai hệ lượng tử   không gian Hilbert tương ứng     Không gian Hilbert hệ tổng hợp tích tenxơ      Nếu trạng thái  hệ lượng tử biểu diễn dạng:      , (1.12) đó:     ,     trạng thái hệ   tương ứng ta nói trạng thái hệ lượng tử chia tách 1.2.2 Điều kiện chia tách đƣợc trạng thái hỗn hợp Năm 1935 Albert Einstein, Boris Podolsky Nathan Rosen (EPR) công bố báo tạp chí Physical Review Bài báo khởi nguồn cho việc khám phá tính chất vơ định xứ giới lượng tử, khai sinh lĩnh vực có ý nghĩa cách mạng cơng nghệ lượng tử Sau R.Horodecki M.Horodecki đưa nguyên lý tính khơng thể chia tách trạng thái hỗn hợp “Nếu hai hệ tương tác với q khứ tìm thấy tồn hệ trạng thái mà viết dạng hỗn hợp trạng thái tích trực tiếp” Các trạng thái hỗn hợp khơng chia tách xem trạng thái chia tách Nếu trạng thái hỗn hợp chia tách tương đương với trạng thái tạo từ tập hợp trạng thái tích, tức ta gán cho hệ thành phần vectơ trạng thái tích Tuy nhiên, trạng thái hỗn hợp không chia tách ta khơng thể gán cho hệ thành phần vectơ trạng thái Vì vậy, đưa điều kiện cần cho chia tách trạng thái hỗn hợp không thơng qua vectơ trạng thái (hàm sóng) trượng hợp trạng thái mà thông qua ma trận mật độ biểu diễn hệ lượng tử trạng thái hỗn hợp Một hệ lượng tử bao gồm hai hệ không gian Hilbert    A   B chia tách ma trận mật độ  viết dạng:    pi iA iB , (1.13) i đó: iA iB ma trận mật độ hai hệ không gian  A  B , pi thỏa mãn điều kiện: p i 1 i 1.2.3 Tiên đề hệ phức hợp Trạng thái đan rối lƣợng tử Không gian Hilbert hệ phức hợp có cấu trúc tích tenxơ khơng gian Hilbert H1 H2 hệ thành phần Trong trường hợp hệ hạt nhau, tích ten xơ phải đối xứng hóa (các hạt boson) phản đối xứng hóa (các hạt ferrmion) để đảm bảo tính khơng phân biệt lượng tử hạt Như so với lý thuyết cổ điển lý thuyết lượng tử hệ phức hợp đơn giản Số lượng trạng thái có hệ phức hợp lý thuyết lượng tử tích số lượng trạng thái hệ con, cịn lý thuyết cổ điển tổng số lượng trạng thái hệ Trong lý thuyết lượng tử đưa khả trạng thái hệ chồng chất gọi trạng thái đan rối hay trạng thái vướng víu lượng tử Trong luận văn dùng thuật ngữ trạng thái đan rối Như ta biết trên, trạng thái đan rối hai hệ trạng thái mô tả véctơ không gian Hilbert hệ phức hợp mà khơng phải tích véctơ mô tả hệ Điều có nghĩa trạng thái khiết hệ lượng tử gọi đan rối trạng thái  hệ lượng tử biểu diễn dạng (1.12) trạng thái hỗn hợp hệ lượng tử gọi trạng thái đan rối 10 toán tử ma trận mật độ chúng không biểu diễn dạng (1.13) Trong trường hợp đơn giản nhất, trạng thái hệ phức hợp tổng:   a  A A  b  B B , hệ số a, b chọn cho  thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa Ta xét ví dụ cụ thể sau: Cho hai vectơ sở sở B A không gian Hilbert  A hai vectơ A B không gian Hilbert  B Ta đễ dàng chứng minh trạng thái sau trạng thái đan rối:  A1B A B  (1.14) Thật vậy, ta chứng minh điều phản chứng Giả sử tồn số phức a0 , b0 , a1 , b1 thỏa mãn: a 0  a1 A  a0b0  A A   b 0 B  b1 B   B  a0b1 A 0 A1 B A  B  a1b0 A  B B   a1b1  A B  1 A1B  B 2 A Đồng thức hai vế ta có:  a0b0    a0b1    a b     a1b1  Điều xảy Vậy điều giả sử sai, tức trạng thái  A1B A B  trạng thái đan rối 1.3 Tính độ đan rối thơng qua độ tụ hợp (concurrence) Tính đan rối nguồn tài ngun quan trọng cho tính tốn lượng tử nên từ gần hai chục năm gần nhà vật lý tìm cách định lượng tính đan rối nhiều độ đo Ở tập trung vào độ đo thông dụng 48  a b  i a b , B3  a b  i a b , B1  a b  i a b , B1  a b  i a b  B  (3.58) Đối với kéo lượng tử phi tuyến bơm hai chế độ, có trạng thái B , B   ,  đóng góp đáng kể vào tính đan rối chung chí 49 Chƣơng CƠ CHẾ TẠO RA CÁC TRẠNG THÁI BELL CÓ ĐỘ ĐAN RỐI CAO TRONG TRƢỜNG HỢP CĨ MẤT MÁT 4.1 Tiến triển tốn tử mật độ kéo lƣợng tử phi tuyến có mát Các tiến vượt bậc tính tốn lượng tử xử lý thơng tin lượng tử thập kỷ qua kích thích tiến việc tạo trạng thái quang lượng tử đặc biệt trạng thái đan rối Trong số đề án khác đề án kéo lượng tử phi tuyến Leo´nski Miranowicz việc cắt ngắn trạng thái quang học thu hút quan tâm đáng kể Tuy nhiên, đếm quang detector nguồn đơn photon khơng lý tưởng, chế độ đưa không phù hợp hay tong tách chùm tia gây tổn hao, mát định Hơn nữa, thực tế, hệ vật lý khơng phải hồn tồn bị lập Chúng ta cần phải xem xét tác động môi trường đến trình tạo tiến triển theo thời gian trạng thái đan rối Do đó, phần này, tơi phân tích ảnh hưởng mát lên việc cắt ngắn trạng thái liên kết vô hạn chiều thành chồng chập trạng thái chân không trạng thái photon đơn (trạng thái liên kết hai chiều) kéo lượng tử phi tuyến việc áp dụng phương pháp gần từ phương trình tổng quát Trong trường hợp này, Hamiltonian mơ tả hệ có dạng: Hˆ  Hˆ  Hˆ loss (4.1) đó: Hˆ cho (3.40) với biểu thức (3.41), (3.42), (3.43), (3.44) (3.45)   Hˆ loss  ˆ a fˆ  aˆ, aˆ    ˆ a fˆ bˆ, bˆ ,   j 0 j 0 ˆ a   g ja  cˆja  , ˆ b   g jb  cˆjb  toán tử trường (4.2) (4.3) 50 cˆja ,b  toán tử hủy boson dao động tử trường liên kết với chế độ a b tương ứng, g ja ,b số liên kết tương tác với trường fˆ  aˆ, aˆ   , fˆ  bˆ, bˆ  mô tả mát tiêu chuấn mát pha Ta mô tả mát xấp xỉ tiêu chuẩn Born Markov Ta có phương trình tổng qt cho tốn tử mật độ: d ˆ  i  Hˆ , ˆ   Lˆloss ˆ , dt (4.4) đó: Hˆ xác định theo (3.40) Lˆlos s ˆ Liouvillian Bây ta xét trường hợp sau với dạng Liouvillian 4.2 Biên độ tắt dần Quá trình giảm biên độ có liên quan đến mát lượng Trong trường hợp này, mát hệ tắt dần cho (4.2) với fˆ  aˆ, aˆ    aˆ  fˆ  bˆ, bˆ   bˆ Khi đó:   Lˆloss ˆ  a  2aˆ ˆ aˆ   ˆ aˆ  aˆ  aˆ  aˆ ˆ   b  2b b   ˆ bˆbˆ  bˆ bˆˆ   2 ˆ ˆ , ˆ ˆ     b nb bˆ ˆ bˆ  bˆˆ bˆ  bˆbˆˆ  ˆ bb   a na  aˆ  ˆ aˆ  aˆ ˆ aˆ   aˆ  aˆ ˆ  ˆ aa   1  kTa   kTb  B với  a ,  b số mát, na   e  1 , nb   e B  1         (4.5) 1 số photon trung bình nhiễu chế độ a b nhiệt độ môi trường T Theo [10] sử dụng yếu tố toán tử thống kê là: n m,k l  k n  m l kết hợp tính chất tốn tử hủy tốn tử sinh ta có dạng vi phân phương trình tiến triển theo thời gian toán tử mật độ (4.4): 51 d  n m,k l   {i a [n  n  1  m  m  1 ]  i  b [k  k  1  l  l  1 ]+ dt   a [n  m  2na  n  m  1 ]   b [k  l  2nb  k  l  1 ]} n m ,k l   i{ n  k  1  n 1 m,k 1 l   * k  n  1  n 1 m,k 1 l    l  m  1  n m 1,k l 1   * m  l  1  n m 1,k l 1      n  n 1 m,k l  m  n m 1,k l   *  k  n m,k 1 l  l  n m,k l 1   *    n  1 n 1 m,k l  m  1 n m 1,k l   (4.6) k  1 n m,k 1 l  l  1 n m,k l 1 }   a [ 1  na   n  1 m  1 n1 m1,k l  na nm  n 1 m 1,k l ]+   b [ 1  nb   k  1 l  1 n m,k 1 l 1  nb kl  n m ,k 1 l 1 ] Từ hệ phương trình tổng quát cho toán tử mật độ, ta lập hệ phương trình mà biến phần tử ma trận mật độ: d 0000    a na   b nb  0000  i  *  1000  0100    *  0010   0001     a 1  na  1100  dt   b 1  nb  0011 , d 0001      a na   b    2nb   0001  i 0100   *  1001  0101    0000   *  0011   dt      a 1  na  1101 , d 0010      a na   b    2nb   0010  i  * 1000   *  1010   0110    0000   *  0011   dt      a 1  na  1110 , d 0011   a na   b  1  3nb   0011   * 1001  i 0100   *  1011  0111      0001   0010    dt   a 1  na  1111   b nb 0000 , d 0100       a    2na    b nb  0100  i  * 0001   0000   * 1100   *   0110   0101    dt       b 1  nb  0111 , d 0101        a    2na    b    2nb   0101  i 0001   * 1101  0100   *  0111  , dt      d 0110        a    2na    b    2nb   0110  i  * 1100   *  0011   0010   * 1110  dt       0100   *  0111  , d 0111       a    2na    b  1  3nb   0111  i  * 0111  0011   * 1111     0101   0110    dt       b nb 0100 , 52 d 1000       a    2na    b nb  1000  i 1000  0000   * 1100   *  1010  1001   dt       b 1  nb  1011 , d 1001        a    2na    b    2nb   1001  i 0011  1100  0001   * 1101  dt       1000  1011  , d 1010        a    2na    b    2nb   1010  i 0010   * 1110  1000   * 1011  , dt      d 1011       a    2na    b  1  3nb   1011  i 1110  0011   * 1111   *  1001  1010    dt       b nb 1000 , d 1100   a  1  3na    b nb  1100  i 0110   * 1001     0100  1000    *  1110  1101    dt   a na 0000   b 1  nb  1111 , d 1101      a  1  3na    b    2nb   1101  i 0111    0101  1001   1100   * 1111   dt      a na 0001 , d 1110      a  1  3na    b    2nb   1110  i  * 1011     0111  1011   1100   * 1111   dt      a na 0010 , d 1111   a  1  3na    b  1  3nb   1111  i   0111  1011     1101  1110    dt   a na 0011   b nb 1100 Trên hệ phương trình tổng qt mà từ ta tính độ đan rối tất trường hợp Cả trường hợp khơng có mát, tức  a    trường hợp có mát  a ,  b  Q trình xử lý phân tích b cho thấy sở đặc tính quan sát có phạm vi định Nếu hệ khơng mát trạng thái tạo chồng chập liên kết trạng thái ia ib chứa i cặp photon Nếu hệ mát có dự suy giảm mật độ phát xạ tự phát mở ra, kết hệ mô tả toán tử thống kê ˆ Theo [12] tốn tử thống kê đưa khơng gian qubit-qubit có dạng tổng quát sau: 53  a11 a ˆ   21  a31   a41 a12 a13 a22 a23 a32 a33 a42 a43 a14  a24  , a34   a44  (4.7) akl phần tử ma trận mật độ cho thấy hệ xem xét tình cụ thể xác định dạng trạng thái ban đầu Các yếu tố ma trận khác không giảm đáng kể Trong thực tế ma trận mật độ mơ tả hệ chúng tơi có dạng sau: ˆ1red  a11 0  0   a41 0 a22 0 a33 0 a14   a11 0   red ˆ , 2   0    a44   a41 0 a22 a23 a32 a33 0 a14     a44  (4.8) Trong ˆ1red (ma trận mật độ kiểu “X”) tương ứng với trạng thái Bell: 0 B1  a 0b i a i b , ˆ 2red tương ứng với trạng thái B2  (4.9) 0 a i b i a b  Bây ta tính độ đan rối trường hợp ma trận mật độ biểu diễn hệ ˆ1red để phân tích tiến triển hệ ta áp dụng phương pháp Wooters Ta tính ma trận sau:     R  ˆ ˆ y a   ˆ yb ˆ * ˆ y a   ˆ yb , (4.10) ˆ y a ,b ma trận Pauli qubit a b Thực việc tính trị riêng ma trận thu bốn trị riêng 1  2  a22 a33 , 3,4    2 a14  a41  2a11a44   a14  a41  a142  2a14 a41  a41  4a11a44 (4.11) 54 Bây ta tính cụ thể giá trị aij ma trận mật độ (4.7) cách áp dụng hệ phương trình (4.5) Vì ma trận (4.7) có 12 phần tử không phần tử khác không nên ta lập hệ phương trình sau: da11    a na   b nb  a11   a 1  na  a41   b 1  nb  a14 , dt da14   a na   b  1  3nb   a14   a 1  na  a44   b nb a11 , dt da22        a    2na    b    2nb   a22 , dt      (4.12) da33        a    2na    b    2nb   a33 , dt      da41   a  1  3na    b nb  a41   a na a11   b 1  nb  a44 , dt da44   a  1  3na    b  1  3nb   a44   a na a14   b nb a41 dt Các nghiệm hệ xác định từ dạng ma trận sau:  a11   x01  a   x   14   02   a22   x03  X       e At ,  a33   x04  a   x   41   05   a44   x06  (4.13) đó: x01 , x02 , x03 , x04 , x05 , x06 xác định điều kiện ban đầu: 0  a 1  na   a na   b nb  b 1  nb      a na   b  1  3nb  0  a 1  na   b nb        0   a    2na    b    2nb  0       A       0  0  a    2na    b    2nb             0  a  1  3na    b nb  b 1  nb   a na     a na 0  a  1  3na    b  1  3nb    b nb 55  At   Ta tìm At  At   At  Sử dụng biếu thức: e       1! 2! 3! n! n At nghiệm hệ (4.12) Từ tính được:   C   AB   max 0, max i   2a22 a33  a142  a41  2a11a44  , suy độ đan rối theo công thức (1.26): E     x log x  1  x  log 1  x  , với x  AB    C   AB  Hình 4.1 Hình 4.2 kết tính toán độ đan rối trạng thái hệ độ xác Fˆ  ˆ , ˆcut  trạng thái tạo (theo [20]) trường hợp biên độ tắt dần Trên hai hình với hệ số tắt dần  a   b  (đường nét liền),  a   b  a 500 (đường nét gạch ngang),  a   b  a 200 (đường nét chấm-gạch ngang) So sánh kết tính số (đường chấm) kết giải tích (đường liền nét) Hình 4.1: Ảnh hưởng tắt dần trường hợp biên độ giảm dần với na  nb  ,  a  b  108 rad / s ,  = a 40 , 56 Hình 4.2: Ảnh hưởng tắt dần trường hợp biên độ giảm dần với na  nb  0.1 ,  a  b  108 rad / s ,  = a 20 , = a 40 Trên Hình 4.1 Hình 4.2 ta nhận thấy độ đan rối trạng thái đạt từ việc sử dụng kéo lượng tử phi tuyến trường hợp có ảnh hưởng tắt dần thấp đáng kể so với trường hợp khơng có tắt dần (đường nét liền) độ đan rối thấp hệ số tắt dần cao Trong tắt dần ta thu trạng thái đan rối tối đa tức có độ đan rối khó để thu điều có ảnh hưởng tắt dần Tuy nhiên trạng thái thu có độ đan rối tương đối cao xấp xỉ Ta nhận thấy mát không mát lượng làm tắt dần biên độ hay tắt dần pha mà bao gồm nhiễu khoang chứa số photon nhiệt trung bình na  nb Số photon hệ tăng lên cách hấp thụ photon nhiệt từ khoang chứa Tuy nhiên, giới hạn hấp thụ không vượt mát photon hệ hai hình 4.1 hình 4.2 ta nhận thấy điều không tạo suy giảm đáng kể độ đan rối so với mát khác 4.3 Pha tắt dần Mơ hình thứ hai mát trường hợp khơng có mát lương mật độ trạng thái đặc trưng yếu tố ma trận đường chéo không bị phân rã có hiệu ứng liên kết đan rối bị 57 giảm dần Sự bất liên kết gây mát pha liên quan tới thay đổi ngẫu nhiên tương quan pha trạng thái suốt qua trình tiến triển theo thời giam hệ Trong trường hợp này, mát hệ tắt dần cho (4.2) với    fˆ  aˆ, aˆ    aˆ  aˆ   fˆ bˆ, bˆ  bˆbˆ Khi đó:  Hˆ loss  ˆ a  ˆ a  aˆ  aˆ  ˆ b  ˆ b  bˆbˆ Tương tác hiểu trình tán xạ Trong số lượng photon khơng thay đổi Bây mô tả tắt dần pha hệ phi tuyến hai mode phương trình tiến triển ma trận mật độ (4.4) cho Liovillian sau: 2  Lˆloss ˆ  a  2na  1  2aˆ  aˆ ˆ aˆ  aˆ   aˆ  aˆ  ˆ  ˆ  aˆ  aˆ      2  + b  2nb  1  2bˆ bˆ bˆ bˆ  bˆ bˆ ˆ  ˆ bˆ bˆ      (4.14)   Phương trình tiến triển theo thời gian tốn tử mật độ (4.4) trở thành: 2  d ˆ  i  Hˆ , ˆ   a  2na  1  2aˆ  aˆ ˆ aˆ  aˆ   aˆ  aˆ  ˆ  ˆ  aˆ  aˆ      dt 2  + b  2nb  1 2bˆ bˆ bˆ bˆ  bˆ bˆ ˆ  ˆ bˆ bˆ      (4.15)   Trong trường hợp ma trận mật độ mơ tả hệ chúng tơi có dạng sau: red ˆ ph  a11 0  0   a41 0 0 0 0 a14  0 0   , ˆ phred2   0    a44  0 a22 a23 a32 a33 0 0 0 0  0 (4.16) Tương tự trường hợp ta tính độ đan rối trường hợp ma trận mật độ biểu diễn hệ ˆ phred1 Để phân tích tiến triển hệ ta áp dụng phương pháp Wooters Ta tính ma trận sau:     Rph  ˆ ˆ y a   ˆ yb ˆ * ˆ y a   ˆ yb , (4.17) ˆ y a ,b ma trận Pauli qubit a b Thực việc tính trị riêng ma trận thu bốn trị riêng: 1  2  0, 3,4    2 a14  a41  2a11a44   a14  a41  a142  2a14 a41  a41  4a11a44 (4.18) 58 Ta tính C   AB   max  0, max i   a142  a412  2a11a44   từ tính độ đan rối theo cơng thức (1.26) Hình 4.3 Hình 4.4 kết tính tốn độ đan rối trạng thái hệ trường hợp (theo [20]) Trên hai hình hệ số tắt dần  a   b  (đường nét liền),  a   b  a 500 (đường nét gạch ngang),  a   b  a 200 (đường nét chấm-gạch ngang) So sánh kết tính số (đường chấm) kết giải tích (đường liền nét) Hình 4.3: Ảnh hưởng tắt dần trường hợp pha giảm dần với na  nb  ,  a  b  108 rad / s,  = a 40 Hình 4.4: Ảnh hưởng tắt dần trường hợp pha giảm dần với na  nb   a  b  108 rad / s,  = a 40 , 59 So sánh kết thu cặp Hình 4.3 Hình 4.1, Hình 4.4 Hình 4.2 ta nhận thấy với tham số độ đan rối độ xác trạng thái đạt trường hợp biên độ tắt dần thấp đáng kể so với trường hợp pha tắt dần Ta nhận thấy phân tích so sánh kết Hình 4.3 Hình 4.4 với tham số trường hợp pha tắt dần, số photon nhiệt trung bình na  nb khác gây ảnh hưởng định đến độ đan rối độ xác trạng thái tạo 60 KẾT LUẬN Trong luận văn, giới thiệu tổng quan trạng thái đan rối lượng tử, phân tích tính toán độ đan rối theo hai cách khác Chúng giới thiệu hệ quang học phi tuyến kiểu Kerr mơ hình kéo lượng tử tuyến tính kéo lượng tử phi tuyến Chúng tơi tập trung nghiên cứu mơ hình kéo lượng tử phi tuyến có mode tương tác tuyến tính bơm mode tạo không gian Hilbert hữu hạn chiều trường hợp khơng có mát thu trạng thái có độ đan rối Cuối cùng, chúng tơi mở rộng cho trường hợp có tính đến mát Qua nghiên cứu, khảo sát, thu số kết sau: Trong trường hợp khơng có mát, chúng tơi thu trạng thái lượng tử hai qubitcó độ đan rối xấp xỉ chí từ việc sử dụng kéo lượng tử phi tuyến để cắt trạng thái không gian Hilbert vô hạn chiều Chất lượng trạng thái tạo tương đối cao đánh giá qua đồ thị độ xác trạng thái thực tạo trạng thái lý tưởng theo mong muốn Độ xác xấp xỉ sai lệch cỡ 2.10-4 Các kết tính tốn so sánh phương pháp tính số phương pháp giải tích xác nhận giá trị phương pháp giải tích mà chúng tơi đưa Trong trường có mát, chúng tơi phân tích đồ thị độ đan rối trạng thái tạo độ xác so với trạng thái lý tưởng theo mong muốn rõ ảnh hưởng mát tới kết trạng thái cắt từ không gian Hilbert vô hạn chiều thiết bị kéo lượng tử phi tuyến 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Cao Long Vân, Tạ Phương Hạnh (2005), “Tin học lượng tử máy tính lượng tử (I)”, tạp chí ứng dụng tốn học tập III, (số 1), 2005, 83-102 Cao Long Vân (2005), “Tin học lượng tử máy tính lượng tử (II)”, tạp chí ứng dụng tốn học tâp III, (số 2), 2005, 77-100 Cao Long Vân (2006), “Tin học lượng tử máy tính lượng tử (III): Các thuật tốn lượng tử”, tạp chí ứng dụng tốn học tâp IV, (số 1), 73-90 Cao Long Vân (2008), Vật lý đại cương (tập 1), NXBGD Tiếng Anh Babichev S A., Ries J and Lvovsky A I (2003), Europhys Lett 64 Gree Jaeger (2009) Entanglement, information and the interpretation of quantum mechanics, 50-52 Kuang L.M., Wang F.B and Zhou Y.G (1993), Phys Lett A 183, Kuang L.M., Wang F.B and Zhou Y.G (1994), J Mod.opt 41, 1607 Kowalewska-Kudlaszyk A and Leoński W (2006), Phys.Rev A 73 042318 10 Kowalewska-Kudłaszyk A., Leoński W., Jan Peˇ rina Jr (2011), Phys Rev A 83, 052326 11 Pegg D.T and Barnett S.M (1989), Phys.Rev.A 39 1665 12 coupler Kowalewska-Kudłaszyk A and Leoński W (2014), “Nonlinear operating on Werner-like states-entanglemant creation, its enhancement, and preservation”, Opt Soc Am.B/Vol 31, No.6 13 Dakna M (1999), “Quantum state engineering by alternate state displacement and photon adding”, et al Phys.Rev A 59 1658 14 Leoński W., Kowalewska-Kudlaszyk A and Miranowicz A (2010), “Computer Simulations of Entanglement Dynamics for Nonlinear System”, CMST 16, 169-172 62 15 Leoński W and Kowalewska-Kudłaszyk A (2011), “Quantum scissors - finite-dimensional states engineering Prog”, Opt.56 131–85 16 Miranowicz A., Leon´ski W., and Imoto (2001), “Quantum-Optical State in Finite-Dimensional Hilbert Space”, J Mod.opt 155, 193 17 Miranowicz A and Leoński W (2006), “Two-mode optical state truncation and generation of maximally entangled states in pumped nonlinear couplers”, J.Phys B: At Mol Opt Phys 39 18 Ozdemir S.K., Miranowicz A., Koasi M and Imoto N (2001), Phys.Rev A 64 063818 19 Peˇrinov´a V and Lukˇs A (1990) Phys Rev A 41 414 20 Pegg D.T., Philips L.S and Barnett S.M (1998), Phys Rev Lett 81 1604 21 Scott Hill and Wootters W.K (1997), “Entanglemen of a pair of quantum Bits” Phys Rev Lett 26, 78 22 Sebas tian Ahner (2006), “Topics in Quantum Information Theory”, Lent Term 23 Wootters W.K (1998), “Entanglemen of Formation of an Arbitrary State of Two Qubits”, Phys Rev Lett 26, 78