Tích chập hanken kontorovich lebedev và các bất đẳng thức chuẩn của tích chập mellin

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————– * ——————— NGUYỄN XUÂN KIÊN TÍCH CHẬP HANKEL-KONTOROVICH-LEBEDEV VÀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CHUẨN CỦA TÍCH CHẬP MELLIN Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo Thanh Hóa, 2013 MỞ ĐẦU Phép biến đổi tích phân nghiên cứu từ sớm hướng phát triển quan trọng giải tích tốn học, gắn liền với việc giải toán toán lý, y học, sinh học Tích chập phép biến đổi tích phân nghiên cứu từ đầu kỷ thứ hai mươi tích chập Fourier, Laplace, Mellin, Năm 1967 Kakicher V.A đưa khái niệm tích chập, mở hướng phát triển cho lý thuyết tích chập, gắn liền với cơng trình nhà tốn học, Vũ Kim Tuấn, Yakubovich S.B, Nguyễn Xuân Thảo, từ xuất hướng nghiên cứu bất đẳng thức tích chập gắn liền với nhà toán học: Saitoh, Castro, Vũ Kim Tuấn, ứng dụng giải toán toán lý Trong luận văn, xem xét hai phép biến đổi tích phân cổ điển Hankel-Kontorovich-Lebedev, Mellin phép biến đổi phép biến đổi kiểu tích chập Một khác hai lớp phép biến đổi tích phân chúng xuất đề tài phép biến đổi tích phân cổ điển, chủ yếu phép biến đổi Mellin, Hankel-Kontorovich-Lebedev sử dụng công cụ để khai thác thuộc tính phép biến đổi khác, để xây dựng tốn tử tổng qt, tích chập, quan hệ toán tử chúng Và sử dụng để phát triển tốn tử tính tốn Luận văn chia thành chương: Chương I giới thiệu định nghĩa,các tính chất bản, ứng dụng phép biến đổi Mellin Chương II giới thiệu hướng phát triển chung cho ứng dụng phép biến đổi Hankel- Kontorovich-Lebedev tích chập tích chập hàm suy rộng phép biến đổi Hankel-Kontorovich-Lebedev Hướng phát triển trình bày Mục Chương II, Mục Chương II giới thiệu số khơng gian hàm đặc biệt cho tích chập Hankel-Kontorovich-Lebedev Chương III trình bày bất đẳng thức chuẩn tích chập Mellin ứng dụng nó, Mục Chương III chứng minh định lí tồn tích chập Mellin Phép biến đổi kiểu tích chập Mellin áp dụng công cụ để nghiên cứu toán toán lý Ở Mục chương III, trình bày số ứng dụng tích chập Mellin, xác định không gian ảnh, đánh giá nghiệm toán toán lý Chương PHÉP BIẾN ĐỔI MELLIN 1.1 1.1.1 Định nghĩa Phép biến đổi Mellin Chương trình bày nguyên lý ứng dụng phép biến đổi Mellin Ta dẫn phép biến đổi Mellin nghịch đảo từ phức hợp phép biến đổi Fourier Tiếp theo vài ví dụ tính chất toán tử cở phép biến đổi Mellin Trình bày vài ứng dụng phép biến đổi Mellin giải toán toán lý phép lấy tổng chuỗi vô hạn Các phép biến đổi Weyl đạo hàm phân số Weyl với ví dụ trình bày Trong lịch sử, Riemann (1876) người công nhận phép biến đổi Mellin hồi ký tiếng ơng số ngun tố Cách trình bày rõ ràng đưa Cahen (1894), gần đồng thời Mellin (1896, 1902) đưa cơng trình chi tiết phép biến đổi Mellin cơng thức nghịch đảo Chúng ta suy phép biến đổi Mellin nghịch đảo từ phép biến đổi Fourier nghịch đảo nó, xác định tương ứng F {g (ξ)} = G(k) = √ 2π Z∞ e−ikξ g (ξ) dξ, (1.1) −∞ F −1 {G (k)} = g (ξ) = √ 2π Z∞ eikξ G (k) dk (1.2) −∞ Đổi biến exp (ξ) = x ik = c − p, c số, từ (1.1) (1.2) nhận G(ip − ic) = √ 2π g (log x) = √ 2π Z∞ xp−c−1g (log x) dx, (1.3) c+i∞ Z xc−pG(ip − ic)dp (1.4) c−i∞ Bây đặt √ x−cg (log x) ≡ f (x) G(ip − ic) ≡ fe(p), để 2π xác định phép biến đổi Mellin f (x) phép biến đổi nghịch đảo Mellin sau: M {f (x)} = fe(p) = M−1 n o Z∞ xp−1f (x)dx, (1.5) fe(p) = f (x) = 2πi c+i∞ Z c−i∞ x−p fe(p)dp, (1.6) Trong f (x) hàm có giá trị thực xác định (0; ∞) phép biến đổi Mellin biến số p số phức Đôi khi, phép biến đổi Mellin f (x) ký hiệu fe(p) = M [f (x), p] Rõ ràng, M M−1 tốn tử tích phân tuyến tính 1.1.2 Một số ví dụ Ví dụ 1.1 Nếu f (x) = e−nx , với n > 0,  M e−nx = fe(p) = Z∞ xp−1e−nx dx đó, cách đặt nx = t, Z∞ Γ(p) = p tp−1e−t dt = p n n (1.7) (b) Nếu f (x) = , 1+x   Z∞ dx M , = fe(p) = xp−1 · 1+x 1+x đó, cách thay x = = Z1 t x t = , 1−t 1+x tp−1 (1 − t)(1−p)−1 dt = B(p, − p) = Γ(p)Γ(1 − p), Khi đó, kết nhiều người biết đến cho hàm số gamma, = π cos ec(pπ), < Re(p) < (1.8) (c) Nếu f (x) = (ex − 1)−1,   Z∞ 1 dx, = fe(p) = xp−1 x M x e −1 e −1 Khi đó, cách sử dụng ∞ P −nx e n=1 , ex − ∞ Z X ∞ = n=1 x p−1 −nx e dx = ∞ P = e−nx = dó, −x 1−e n=1 ∞ X Γ(p) n=1 np = Γ(p)ς(p), (1.9) ∞ P ς(p) = , (Rep > 1) hàm quen thuộc Zeta p n=1 n Riemann , (d) Nếu f (x) = 2x e −1   Z∞ ∞ X dx p−1 e xp−1e−2nx dx =2 = f (p) = x M 2x 2x e −1 e −1 n=1 =2 ∞ X n=1 (e) Nếu f (x) = ∞ X Γ(p) 1−p Γ(p) = 21−pΓ(p)ς(p) (1.10) p =2 p (2n) n n=1 , ex +  
= − 2p−1 Γ(p)ς(p) M x e +1 (1.11) Điều xuất phát từ kết   1 − x = 2x x e −1 e +1 e −1 Kết hợp với (1.9) (1.10) (f) Nếu f (x) = , (1 + x)n   Z∞ M = xp−1 (1 + x)−n dx, n (1 + x) đó, cách đặt x = = Z1 x t t = 1−t 1+x tp−1 (1 − t)n−p−1 dt = B(p, n − p) = Γ(p)Γ(n − p) , Γ(n) Trong B(p, q) hàm Beta Do đó, M {Γ(p)Γ(n − p)} = Γ(n) (1 + x)n (1.12) (g) Dưới phép biến đổi Mellin cos kx vàsin kx Xuất phát từ ví dụ 1.1 (a)  −ikx M e Γ(p)  pπ  pπ Γ(p) = p cos − i cos sin = (ik)p k 2  Tách phần thực ảo, nhận thấy  πp  −p M [cos kx] = k Γ(p) cos , −p M [sin kx] = k Γ(p) sin  πp  , (1.13) (1.14) Các kết sử dụng tính tốn phép biến đổi cos Fourier sin Fourier xp−1 Khi (1.13) viết Z∞ x p−1  πp  Γ(p) cos kxdx = p cos k Hoặc tương ứng, Fc r π p−1 x Hoặc Một cách tương tự,  Fc xp−1 =  Fs xp−1 = 1.2   πp  Γ(p) = p cos k r  πp  Γ(p) cos π kp (1.15) r  πp  Γ(p) sin π kp (1.16) Một số tính chất tốn tử Nếu M {f (x)} = fe(p), cố định tính chất toán tử sau đây: (a) ( Phép đồng dạng) M {f (ax)} = a−p fe(p), a > (1.17) Chứng minh Theo định nghĩa, có M {f (ax)} = Z∞ xp−1f (ax)dx, Khi đó, cách thay ax = t, = p a Z∞ p−1 t fe(p) f (t)dt = p a (b) (Phép tịnh tiến) M [aa f (x)] = fe(p + a) (1.18) Việc chứng minh xuất phát từ định nghĩa (c) (Phép lũy thừa) e p  M {f (x )} = f , a a    1 M f = fe(1 − p), x x dn e n n = 1, 2, 3, M {(log x) f (x)} = n f (p), dp a (1.19) (1.20) (1.21) Lập luận ta nhận (1.19) (1.20) Khẳng định (1.21) dễ dàng chứng minh cách sử dụng kết d p−1 x = (log x) xp−1 dp (1.22) (d) (Phép biến đổi Mellin đạo hàm) M [f ′(x)] = − (p − 1) fe(p − 1), (1.23) M [f ”(x)] = (p − 1) (p − 2) fe(p − 2) , (1.24)   Với điều kiện xp−1f (x) triệt tiêu x −→ x −→ ∞ Tổng quát hơn, h i (n) M f (x) = (−1)n Γ(p) e f (p − n) Γ(p − n) Γ(p) = (−1)n M [f (x), p − n] , Γ(p − n) (1.25) Với điều kiện xp−r−1 = x −→ 0, cho r = 0, 1, 2, , (n − 1) Chứng minh Ta có, theo định nghĩa M [f ′(x)] = Z∞ xp−1f ′(x)dx, Khi đó, lấy tích phân phần,  = xp−1f (x) ∞ − (p − 1) Z∞ xp−2f (x)dx = − (p − 1) fe(p − 1) Lập luận tương tự nhận (1.24) (1.25) (e) Nếu M {f (x)} = fe(p), M {xf ′(x)} = −pfe(p), (1.26) Với điều kiện xpf (x) triệt tiêu x = x −→ Tổng quát hơn,  M x2 f ′′(x) = (−1)2p(p + 1)fe(p) n o Γ(p + n) e n (n) f (p) M x f (x) = (−1)n Γ(p) (1.27) (1.28) l (2) Dx Hiτ (x) ≤ Ce (3sgnτ −1) X l1 +l2 +l3 =l l1 ,l2 ,l3 ≥0  1 x− −l1 −l3 −qτ q , Cl,q Γ q + q=0  l3 X (2.23) với số nguyên l ≥ 0, Cl,q biểu thị số dương biết Mệnh đề 2.1 Giả sử ω(ν) thỏa mãn (2.19) điều kiện đủ để ω (ν) nhân tử thỏa mãn tích chập *   −pπ|Imν| ω (ν) = O e , với |Imν| → ∞, p > Chứng minh Cho T1 > 0, T2 > đủ lớn, ta có Zi∞ E (x, y, z) = − νω (ν) Jν (x)Hν(2)(y)Hν(2) (z)dν −i∞   −T Z ZT2 Z∞ (2) (2) +  τ ω (iτ ) Jiτ (x)Hiτ (y)Hiτ (z)dτ =  + −∞ −T1 T2 Sử dụng ([11], [16]) suy trị số lớn τ i x (2) iτ ln y τ J (x)H (y) = e iτ