Luận án Tiến sĩ Bất đẳng thức tích chập suy rộng KontorovichLebedev – Fourier và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ——————————- PHẠM VĂN HOẰNG BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH CHẬP SUY RỘNG KONTOROVICH-LEBEDEV - FOURIER VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ——————————- PHẠM VĂN HOẰNG BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH CHẬP SUY RỘNG KONTOROVICH-LEBEDEV - FOURIER VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Mã ngành: 62460102 TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS NGUYỄN XUÂN THẢO PGS TS TRỊNH TUÂN Hà Nội - 2017 MỤC LỤC MỤC LỤC Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Không gian Lebesgue Lp (Ω) Lp (Ω; ρ) 1.2 Biến đổi tích phân Fourier 1.2.1 Định nghĩa tính chất 1.2.2 Bất đẳng thức tích chập Fourier 1.3 Biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev 1.3.1 Tích chập Kontorovich-Lebedev 1.3.2 Tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev 1.4 Trường nhiễu xạ sóng âm, sóng điện từ với biên hình nón trịn 1.4.1 Biểu diễn trường nhiễu xạ sóng âm 1.4.2 Biểu diễn Debye trường nhiễu xạ sóng điện từ 15 15 17 17 18 20 24 25 27 27 32 LỜI CAM ĐOAN MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN MỞ ĐẦU Chương BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP SUY RỘNG KONTOROVICH-LEBEDEV-FOURIER 2.1 2.2 2.3 Tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier sine - Fourier cosine 2.1.1 Định nghĩa 2.1.2 Tính chất tốn tử 2.1.3 Tính khơng có ước khơng Biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier Phương trình vi-tích phân liên quan tích chập suy rộng 34 34 34 36 42 44 49 Chương BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH CHẬP SUY RỘNG KONTOROVICHLEBEDEV 53 3.1 Bất đẳng thức tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier 53 53 57 62 62 66 68 74 Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG 4.1 Trường nhiễu xạ sóng âm với trở kháng dạng nón 4.1.1 Biểu diễn trường nhiễu xạ sóng âm theo tích chập suy rộng 4.1.2 Tính bị chặn trường nhiễu xạ sóng âm khơng gian Lp (R+ ), p > 4.1.3 Ước lượng lân cận đỉnh nón 4.2 Thế Debye trường nhiễu xạ sóng điện từ 4.2.1 Xác định hàm phổ Debye trường nhiễu xạ 4.2.2 Biểu diễn Debye trường nhiễu xạ theo tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier 4.2.3 Ước lượng địa phương 4.3 Phương trình dạng parabolic 4.3.1 Phương trình parabolic tuyến tính liên quan tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev 4.3.2 Phương trình parabolic phi tuyến liên quan tích chập Kontorovich-Lebedev KẾT LUẬN DANH MỤC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ CỦA LUẬN ÁN TÀI LIỆU THAM KHẢO 82 82 3.2 3.3 3.1.1 Bất đẳng thức kiểu Young 3.1.2 Bất đẳng thức kiểu Saitoh Bất đẳng thức tích chập Kontorovich-Lebedev 3.2.1 Bất đẳng thức kiểu Young 3.2.2 Bất đẳng thức kiểu Saitoh 3.2.3 Bất đẳng thức kiểu Saitoh ngược Phương trình vi-tích phân liên quan đến tốn tử Bessel 83 84 87 88 91 91 92 93 94 102 106 107 108 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi, hướng dẫn thầy PGS TS Nguyễn Xuân Thảo PGS TS Trịnh Tuân Tất kết trình bày Luận án hồn tồn trung thực chưa tác giả khác cơng bố cơng trình Hà Nội, Ngày 10 tháng 10 năm 2017 Thay mặt tập thể hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo Tác giả Phạm Văn Hoằng LỜI CẢM ƠN Luận án thực hồn thành hướng dẫn tận tình thầy PGS TS Nguyễn Xuân Thảo PGS TS Trịnh Tuân Tác giả xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người dẫn dắt tác giả từ bước đường nghiên cứu, động viên tác giả vượt qua khó khăn q trình làm NCS Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô thành viên Seminar Giải tích-Đại số trường ĐHKHTN-ĐHQGHN, Seminar Giải tích Trường ĐHBK Hà Nội, người gần gũi, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả học tập trao đổi chuyên môn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy GS TSKH Vũ Kim Tuấn (Đại học West Georgia, Mỹ), người động viên cho tác giả nhiều ý kiến quý báu trình học tập Trong thời gian làm NCS Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, tác giả nhận nhiều tình cảm giúp đỡ từ thầy cô Bộ mơn Tốn bản, thầy Viện Tốn ứng dụng Tin học Tác giả xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy cô Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến TS Nguyễn Thanh Hồng (ĐHSP Hà Nội), TS Nguyễn Hoàng Thoan (Viện Vật lý kĩ thuật, ĐHBK Hà Nội), TS Tưởng Duy Hải (Khoa Vật lý, ĐHSP Hà Nội) giúp đỡ trình làm NCS Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Lãnh đạo Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, Ban Giám hiệu đồng nghiệp thuộc Tổ Toán-Tin, Trường THPT Kim Liên tạo điều kiện thuận lợi q trình tác giả học tập, cơng tác hoàn thành Luận án Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu nặng đến gia đình, bố mẹ, vợ con, anh chị em Niềm tin yêu hi vọng người nguồn động viên động lực to lớn để tác giả vượt qua khó khăn suốt q trình học tập, nghiên cứu hoàn thành Luận án Tác giả MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN • R tập tất số thực • R+ = {x ∈ R, x > 0} • Rα = {x ∈ R, < x < α}, với α số thực dương • C tập tất số phức • : µ(x ∈ R+ : |f (x)| > M ) = 0, h.k.n.} • (· ∗ ·) tích chập Kontorovich-Lebedev (xem trang 9) • (· ∗ ·) tích chập Fourier (xem trang 10) • (· ∗ ·) tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier cosine thứ KL F (xem trang 25) • (· ∗ ·) tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier cosine thứ hai (xem trang 25) • (· ∗ ·) tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier sine (xem trang 25) • (· ∗ ·) tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier sine - Fourier cosine (xem trang 34) • T1,h biến đổi tích phân kiểu tích chập Kontorovich-Lebedev (xem trang 25) • Th biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Kontorovich-LebedevFourier (xem trang 45) dn (Fs f )(c) n ≤ · n! · M · |y − y0 |n = M |y − y0 |n , (y − y ) n! n! dy n với c điểm y y0 Do (Fs f )(y) giải tích lân cận điểm y0 Vì y0 điểm thuộc R+ nên (Fs f )(y) hàm giải tích R+ Vậy (Fs f )(y) có khai triển Taylor hội tụ R+ , nên hàm giải tích Tương tự, (Fc h)(y) hàm giải tích, y ∈ R+ Từ tính giải tích hàm (2.19), suy (Fs f )(y) ≡ 0, y ∈ R+ , (Fc h)(y) ≡ 0, y ∈ R+ Do tính biến đổi Fourier sine biến đổi Fourier cosine không gian L1 (R+ ), ta suy f (x) ≡ 0, x ∈ R+ , h(x) ≡ 0, x ∈ R+ Vậy định lý chứng minh 43 2.2 Biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier Như biết, biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng  γ  γ
tích chập suy rộng f ∗ h xác định công thức f → D f ∗ h (x) với h hàm cho, D toán tử vi phân Trong báo [26], tác giả tìm điều kiện cần đủ để nhận lớp biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine - Kontorovich-Lebedev unita không gian L2 (R+ ) Ý tưởng quan trọng để chứng minh tính chất khai thác tính chất biến đổi Fourier cosine d2 Fc h(x) = −Fc [y h(y)](x), dx (2.20) d2 Một ý quan trọng dx2 đẳng thức nhân tử hóa tích chập suy rộng nghiên cứu [26], biến đổi Fourier cosine bên trái, tác động vào tích chập suy rộng, biến đổi Kontorovich-Lebedev tác động vào tích chập suy rộng đẳng thức nhân tử hóa (2.4) Do đó, ta khơng thể dùng tính chất (2.20) [26] để nghiên cứu tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev-Fourier Trong báo [69], tác giả dùng toán tử vi phân bậc vô hạn    d2 d −x  x x− N  Y dx dx   (2.21) D = D1∞ = lim  1 + N →∞ (2k − 1)2   từ nghiên cứu tốn tử vi phân bậc hai D = − k=1 để xây dựng biến đổi tích phân kiểu tích chập Kontorovich-Lebedev Tuy nhiên, khơng thể sử dụng toán tử vi phân D1∞ để xây dựng biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier (2.1) khác biệt đẳng thức nhân tử hố đẳng thức Parseval tích chập suy rộng (2.1) với tích chập Kontorovich-Lebedev Để giải vấn đề này, chúng tơi giới thiệu tốn tử vi phân bậc vô hạn sau    d2 d x x− −x  N  Y dx dx   D∞ = lim DN = lim (2.22) 1 +  N →∞ N →∞ k2   k=1 44 Từ hàm Macdonald Kiy (x) nghiệm phương trình Bessel biến dạng (1.20), ta có   d d 2 x + x − (x + (iy) ) Kiy (x) = 0, dx2 dx tương đương với   d d2 x x− − x Kiy (x) = y Kiy (x) dx dx (2.23) Do đó, từ cơng thức (2.23), nhận  ∞  Y y sinh πy + Kiy (x) = D∞ [Kiy (x)] = Kiy (x) k πy k=1 Bây giờ, xét biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng KontorovichLebedev - Fourier: Th : L2 (R+ ) −→ L2 (R+ ; x), f 7−→ g, g xác định công thức   Z∞ Z∞ x g(x) = Th [f ](x) = D∞  K(x, τ, θ)f (τ )h(θ)dτ dθ x π (2.24) Chúng nhận định lý kiểu Watson cho biến đổi tích phân Th Tìm điều kiện cần đủ hàm h để Th đẳng cấu, đẳng cự hai không gian L2 (R+ ) L2 (R+ ; x) tương ứng nhận công thức biến đổi ngược biến đổi tích phân Định lý 2.2.1 Giả sử hàm h thuộc khơng gian L1 (R+ ) Phép biến đổi tích phân Th đẳng cấu, đẳng cự hai không gian L2 (R+ ) L2 (R+ ; x) h thỏa mãn điều kiện π4θ |(Fc h)(θ)| = sinh πθ (2.25) Hơn nữa, ta có cơng thức biến đổi ngược  Z∞ Z∞ ∞  d Y d2 f (x) = − 1− 2 (e−θ cosh(x−τ ) + e−θ cosh(x+τ ) )h(τ )g(θ)dτ dθ π dx k dx k=1 0 (2.26) 45 Chứng minh Điều kiện đủ Giả sử h ∈ L1 (R+ ) Xét f ∈ L2 (R+ ) Theo Định lý 2.1.3, ta có (f ∗ h) thỏa mãn đẳng thức Parseval (2.3) Vì vậy, ta biểu diễn biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng (2.24) dạng ∞ D [x(f ∗ h)(x)] x  d d2  ! Z∞ N x x− −x 2 Y dx dx 1+ yKiy (x)(Fs f )(y)(Fc h)(y)dy = lim N →∞ π x k2 g(x) = (Th [f ])(x) = k=1 (2.27) Thật vậy, chúng tơi tích phân công thức (2.27) hội tụ tuyệt đối √ R+ cách sử dụng công thức 2.16.48.1 [48] tính y y|(Fs f )(y)| √ bị chặn Cụ thể, ta có sinh πy Z∞ π2 √ |yKiy (x)(Fs f )(y)(Fc h)(y)|dy = Z∞ √ y y|(Fs f )(y)| √ |Kiy (x)| dy sinh πy Z∞