Ứng Dụng Phương Trình Dirac Để Giải Thích Một Số Hiện Tượng Lượng Tử.pdf

i LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khóa luận này, trƣớc tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo Nguyễn Thị Dung – là ngƣời đã trực tiếp hƣớng dẫn, tận tình chỉ bảo và dìu dắt tôi trong suốt quá t[.]

LỜI CẢM ƠN Để hồn thành khóa luận này, trƣớc tiên tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới cô giáo Nguyễn Thị Dung – ngƣời trực tiếp hƣớng dẫn, tận tình bảo dìu dắt tơi suốt q trình thực hồn chỉnh khóa luận tốt nghiệp Đồng thời tơi xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm môn Vật lý, thầy giáo, cô giáo môn Vật lý – Trƣờng Đại học Hồng Đức cung cấp cho tảng quý báu giúp đỡ, quan tâm, động viên nhiệt tình để tơi hồn thành khóa luận Cuối tình cảm chân thành xin gửi lời cảm ơn đến ngƣời thân gia đình bạn bè động viên, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực khóa luận Mặc dù cố gắng nhƣng đề tài không tránh khỏi thiếu sót Kính mong đóng góp q báu từ phía thầy bạn để đề tài tơi đƣợc hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Thanh Hóa, tháng 05 năm 2017 Sinh viên Mai Thị Hồng Duyên i MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN i MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài II Mục đích nghiên cứu III Đối tƣợng nghiên cứu IV Phạm vi nghiên cứu V Phƣơng pháp nghiên cứu VI Cấu trúc khóa luận CHƢƠNG I: PHƢƠNG TRÌNH DIRAC TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ TƢƠNG ĐỐI TÍNH Đối xứng hóa tƣơng đối tính Phƣơng trình Klein – Gordon 1.1 Nguyên lý tƣơng đối hệ quan trọng 1.2 Phƣơng trình Klein – Gordon 1.4 Khó khăn phƣơng trình Klein – Gordon Phƣơng trình Dirac cho hạt tự 2.1 Xây dựng phƣơng trình Dirac 2.2 Dạng ma trận phƣơng trình Dirac 2.3 Phƣơng trình Dirac giới hạn phi tƣơng đối tính 11 2.4 Nghiệm phƣơng trình Dirac hạt tự 11 2.5 Phƣơng trình liên tục lý thuyết Dirac 14 CHƢƠNG II: PHƢƠNG TRÌNH DIRAC CHO ELECTRON TRONG ĐIỆN TỪ TRƢỜNG 16 Phƣơng trình Dirac điện - từ trƣờng Phép liên hợp điện tích 16 Phƣơng trình Dirac cho electron trƣờng ngồi giới hạn phi tƣơng đối tính 17 CHƢƠNG III: ỨNG DỤNG PHƢƠNG TRÌNH DIRAC ĐỂ GIẢI THÍCH MỘT SỐ HIỆN TƢỢNG LƢỢNG TỬ 21 ii Năng lƣợng âm khái niệm phản hạt 21 Mơ tả spin hạt phƣơng trình Dirac 24 Tính spinor hàm trạng thái phƣơng trình Dirac 27 Hiệu ứng Zeeman dị thƣờng 28 KẾT LUẬN 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO 31 iii MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Cơ học lƣợng tử đƣợc hình thành vào nửa đầu kỷ 20 lý thuyết vật lý học Nó sở nhiều chuyên ngành khác vật lý hóa học nhƣ vật lý chất rắn, hóa lƣợng tử, vật lý hạt Khái niệm lƣợng tử dùng để số đại lƣợng vật lý nhƣ lƣợng không liên tục mà rời rạc Cơ học lƣợng tử nghiên cứu chuyển động đại lƣợng vật lý liên quan đến chuyển động nhƣ lƣợng xung lƣợng, vật thể vi mô, lƣỡng tính sóng hạt đƣợc thể rõ Lƣỡng tính sóng hạt đƣợc giả định tính chất vật chất, học lƣợng tử đƣợc coi học Newton cho phép mơ tả xác đắn nhiều tƣợng vật lý mà học Newton khơng thể giải thích đƣợc Các tƣợng bao gồm tƣợng quy mô nguyên tử hay nhỏ Cơ học Newton lý giải nguyên tử lại bền vững đến thế, khơng thể giải thích đƣợc số tƣợng vĩ mô nhƣ siêu dẫn, siêu chảy Cơ học lƣợng tử kết hợp chặt chẽ ba loại tƣợng mà học cổ điển khơng tính đến, là: (i) việc lƣợng tử hóa (rời rạc hóa) số đại lƣợng vật lý, (ii) lƣỡng tính sóng hạt, (iii) vƣớng lƣợng tử Trong trƣờng hợp định, định luật học lƣợng tử định luật học cổ điển mức độ xác cao Cơ học lƣợng tử đồng nghĩa với vật lý lƣợng tử Tuy nhiên có nhiều nhà khoa học coi học lƣợng tử có ý nghĩa nhƣ học lƣợng tử phi tƣơng đối tính, mà nhƣ hẹp vật lý lƣợng tử Tuy nhiên, học lƣợng tử phi tƣơng đối tính giải thích tƣợng gắn với vận tốc hạt chuyển động nhỏ nhiều so với vận tốc ánh sáng Đó hạn chế nghiên cứu chuyển động hạt vi mô Trong máy gia tốc đại vận tốc hạt nặng gần với vận tốc ánh sáng trình xạ khác học lƣợng tử phi tƣơng đối tính khơng cịn ứng dụng đƣợc để nghiên cứu chuyển động hạt Mặt khác, hạn chế phƣơng trình Schrodinger phi tƣơng đối tính khơng bao hàm đƣợc tính chất spin hạt vi mô – đại lƣợng liên quan đến hầu hết cấu trúc phổ nguyên tử Để khắc phục đƣợc khó khăn trên, ngƣời ta xây dựng phƣơng trình học lƣợng tử tƣơng đối tính Cơ học lƣợng tử tƣơng đối tính kết hợp học lƣợng tử với thuyết tƣơng đối, đối lập với học lƣợng tử phi tƣơng đối tính khơng tính đến tính tƣơng đối vật thể Các cố gắng ban đầu để kết hợp học lƣợng tử với lý thuyết tƣơng đối hẹp thay phƣơng trình Schrưdinger phƣơng trình hiệp biến nhƣ phƣơng trình Klein Gordon phƣơng trình Dirac Cơ học lƣợng tử tƣơng đối tình thành phần hàm sóng biến đổi lẫn nhau, phát đƣợc phản hạt electron, hiệu ứng tách vạch quang phổ giải mâu thuẫn mật độ lƣợng âm Với vị trí quan trọng học lƣợng tử tƣơng đối tính, khóa luận đặt mục đích xem xét cách đầy đủ ứng dụng phƣơng trình Dirac sở giải thích số hiệu ứng lƣợng tử quan trọng, tìm vài phƣơng trình tìm nghiệm trƣờng Ứng dụng học lƣợng tử tƣơng đối tính để tìm mức lƣợng hạt khơng có spin trƣờng Culơng, tìm mức lƣợng electron tính đến số hiệu tƣơng đối tính spin lên biến đổi khối lƣợng theo vận tốc Đó lý tơi chọn đề tài: “Ứng dụng phương trình Dirac để giải thích số tượng lượng tử” II Mục đích nghiên cứu Thiết lập đƣợc phƣơng trình Dirac cho hạt tự Từ xây dựng đƣợc phƣơng trình Dirac cho hạt trƣờng ngồi Chứng tỏ tồn spin đƣợc suy trực tiếp từ phƣơng trình Dirac Vận dụng phƣơng trình Dirac để giải thích tƣợng lƣợng tử nhƣ xuất phản hạt electron, hay giải thích đƣợc vấn đề lƣợng âm, hiệu ứng Zeeman dị thƣờng III Đối tƣợng nghiên cứu - Cơ sở lý thuyết học lƣợng tử tƣơng đối tính - Phƣơng trình Dirac - Các giáo trình tài liệu tham khảo học lƣợng tử tƣơng đối tính IV Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết: Tìm hiểu khái niệm sở học lƣợng tử tƣơng đối tính; Nghiên cứu tƣợng lƣợng tử học lƣợng tử tƣơng đối tính V Phƣơng pháp nghiên cứu Sƣu tầm, đọc nghiên cứu tài liệu lý thuyết Dirac học lƣợng tử tƣơng đối tính VI Cấu trúc khóa luận Khóa luận bao gồm ba phần chính: Phần mở đầu Phần nội dung Chƣơng I: Phƣơng trình Dirac hạt tự Chƣơng II: Phƣơng trình Dirac cho electron điện từ trƣờng Chƣơng III: Ứng dụng phƣơng trình Dirac để giải thích số hiệu ứng lƣợng tử Phần kết luận CHƢƠNG I: PHƢƠNG TRÌNH DIRAC TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ TƢƠNG ĐỐI TÍNH Đối xứng hóa tƣơng đối tính Phƣơng trình Klein – Gordon 1.1 Nguyên lý tƣơng đối hệ quan trọng Ta biết, A.Einstein xây dựng lý thuyết tƣơng đối, xuất phát từ hai tiên đề sau: Tiên đề 1: Mọi định luật Vật lý học nhƣ hệ quy chiếu qn tính Nói xác hơn, phƣơng trình mơ tả mối liên hệ số đại lƣợng vật lý hệ quy chiếu qn tính có dạng nhƣ chuyển sang hệ quy chiếu qn tính khác phải nhƣ Tiên đề 2: Vận tốc ánh sáng chân không nhƣ hệ quy chiếu quán tính Hệ quan trọng: Hệ 1: Giữa lƣợng E, xung lƣợng p khối lƣợng m hạt có mối liên hệ sau: 2 24 E cp m c Khi hạt có vận tốc ta có: E mc2 Đây cơng thức vĩ đại A.Einstein Hệ 2: Trong phƣơng trình Vật lý mô tả định luật bản, biến số không gian x, y, z biến số thời gian t phải tham gia với bậc 1.2 Phƣơng trình Klein – Gordon Phƣơng trình Schrodinger cho hạt tự có dạng: i t ˆ2 p 2m (1.1) Hay: 2 2  i  2 t m x y z (1.2) Phƣơng trình khơng bình đẳng bậc biến số không gian thời gian, điều dẫn đến tính khơng bất biến chuyển hệ quy chiếu Vì vậy, khơng thể dùng lý thuyết tƣơng đối tính Để “đối xứng hóa tƣơng đối tính” có hai cách: Cách 1: Thay hàm Haminton Hˆ x , y , z 2 2m 2 x2 y2 z2 toán tử chứa cách tuyến tính, nghĩa tốn tử có dạng , , x y z , tốn tử khơng liên quan đến biến số x, y, z (nhƣng số) Cách đƣợc thực P.Dirac dẫn đến phƣơng trình mơ tả hạt có spin bán nguyên Cách 2: Thay vế trái (1.2) biểu thức chứa cho phƣơng t2 trình phù hợp với quan điểm lý thuyết tƣơng đối Ta thực cách xem phƣơng trình nhận đƣợc mô tả hạt tự Tƣơng ứng với hệ thức lƣợng: E c2 p m2c4 ta yêu cầu hàm trạng thái thỏa mãn phƣơng trình: ˆ2 2p ˆ Hc 24 m c (1.3) đó: Hˆ tốn tử lƣợng Vì cpx , cpy , cpz E thành phần vecto bốn chiều, mà cpx cp y i c y , cpz ic z , nên tốt ta coi rằng: Hˆ có khơng xác định dấu Ta chọn Hˆ i t ic toán học, từ đẳng thức i t Hˆ t i t x , Ở tƣơng tự với phƣơng trình Schrodinger Vì phƣơng trình ta có i nghĩa coi i ct ic t Hˆ nên theo nhƣ toán tử lƣợng (Tuy nhiên, mặt ta suy Hˆ i Nhƣ vậy, (1.3) trở thành: t ) 2 2 2 2   c m c 2 t xyz (1.4) Phƣơng trình gọi phƣơng trình Klein – Gordon Cũng gọi phƣơng trình Fock – Gordon – Klein – Schrodinger, bốn ngƣời tìm độc lập với Với m = 0, phƣơng trình (1.4) trở thành phƣơng trình truyền sóng điện từ chân không Nếu chọn hệ đơn vị cho  c , phƣơng trình (1.4) viết lại nhƣ sau: Kí hiệu: 2 2 2 x y z t 2 2 x2 y2 z2 t2 m  (Toán tử d’Alembert), ta đƣợc: m (1.5) Một số nhà khoa học cho phƣơng trình Klein – Gordon dùng cho hạt khơng có spin Trên thực tế, luận ta dùng để xác lập phƣơng trình khơng có ƣu tiên cho hạt khơng có spin Vì vậy, phải đƣợc dùng cho hạt tự Đối với loại hạt có spin, việc mơ tả đƣợc thực xác phƣơng trình khác, nhƣng từ phƣơng trình suy đƣợc phƣơng trình Klein – Gordon Ta làm việc phƣơng trình Dirac (cho hạt có spin ) Đối với hạt khơng có spin, hàm đƣợc chọn hàm vô hƣớng bốn chiều, nghĩa bất biến phép biến đổi Lorentz Đối với loại hạt khác chứa vài thành phần biến đổi theo hệ quy chiếu theo số kiểu khác (vectơ spin) tùy theo đặc trƣng spin hạt 1.4 Khó khăn phƣơng trình Klein – Gordon Phƣơng trình Klein – Gordon áp dụng cho hàm sóng có thành phần, điều có nghĩa hạt tham gia vào q trình phải có spin Phƣơng trình Klein – Gordon dẫn đến khái niệm mật độ xác suất tìm thấy hạt Điều hồn tồn vơ lý Phƣơng trình Dirac cho hạt tự 2.1 Xây dựng phƣơng trình Dirac Nhƣ biết phƣơng trình Klein – Gordon mơ tả hạt tƣơng đối tính dẫn đến mật độ xác suất âm khơng mơ tả đƣợc hạt có spin ½ Điều buộc phải tìm phần tử khác thích hợp cho việc mơ tả electron Để khắc phục khái niệm mật độ xác suất âm thỏa mãn phƣơng trình phải nghiệm hệ tọa độ tƣơng đối tính ( bất biến Lorents) nên Dirac xây dựng phƣơng trình sau: i  t ' ' ' ˆ ˆ ˆ ˆ x y z x y z (1.6) Đây phƣơng trình dạng tuyến tính tổng quát nhất, chứa đạo hàm bậc hàm cần tìm Để thuận tiện cho việc áp dụng, ta viết lại phƣơng trình dƣới dạng sau: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ i  ˆ p p p x x y y z z t Trong đó: Với pˆ x i ; pˆ y x i y (1.7) ; pˆ z i z ˆ i x, y,z,0 toán tử không thứ nguyên i Ở điều kiện phi tƣơng đối tính, phƣơng trình (1.7) trở thành phƣơng trình Schrodinger: i ˆ H (1.8) Ở điều kiện tƣơng đối tính: 22 24 ˆ2 p H c m c 22 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ Hpppcm c x y z (1.9) Từ (1.7) (1.8) ta có: ˆp ˆ ˆp ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ H p xx y y zz Phƣơng trình (1.10) tƣơng đƣơng: (1.10) Phƣơng trình (2.4) mơ tả hạt có khối lƣợng m, spin điện tích e Do phƣơng trình (2.3) phƣơng trình cho electron (2.4) phƣơng trình cho hạt có khối lƣợng spin giống nhƣ electron nhƣng có điện tích đối dấu với electron Ta gọi hạt positron Việc (2.4) có nghiệm nói lên rằng, khái niệm positron có ý nghĩa vật lý Sự tồn trạng thái với lƣợng E < nhƣ nghiệm phƣơng trình Dirac đƣợc nhìn nhận dƣới góc độ khác: hồn tồn tƣơng ứng với nghiệm có lƣợng dƣơng E' E phƣơng trình (2.4) Nói cách khác, việc phƣơng trình Dirac cho nghiệm với tham số lƣợng E lấy giá trị âm tƣơng đƣơng với việc phƣơng trình (2.4) có nghiệm với lƣợng dƣơng, điều thể có tồn đối hạt electron Khi ˆ đƣợc gọi phép liên hợp điện tích tốn tử C Phƣơng trình Dirac cho electron trƣờng giới hạn phi tƣơng đối tính Xuất phát từ phƣơng trình Dirac cho electron trƣờng ngồi dạng tắc ta có:   e ( x )  i  c p A e A m cx ( ) 0 t c (2.5) Để nghiên cứu giới hạn phi tƣơng đối tính cho phƣơng trình (2.5), thuận tiện ta viết spinor hai thành phần: , u d u d , (2.6) Nhƣ vậy, phƣơng trình (2.5) biến thành hệ phƣơng trình:  e c p 0Ad e Am c 0 t c  e i  d c p 0Au e Am c 0 t c i  u u (2.7) d Trong số u kí hiệu “trên” (hai thành phần trên) d – “dƣới” (hai thành phần dƣới) Kể thêm: 17 v 0( ) ( ) i e A m c O u , d , d u t c (2.8) Phƣơng trình thứ hai hệ (2.7) đƣa đến nghiệm dƣơng (+):  d () v e p0 A O u 2 m c c c (2.9) Cịn phƣơng trình đầu hệ (2.7) đƣa đến nghiệm âm (-):  ( ) u () v e pA d O 2 m c c c (2.10) Điều có nghĩa nhƣ sau: trƣờng hợp nghiệm dƣơng spinor liên hệ với số v u trƣờng hợp nghiệm âm spinor u liên hệ với d d thừa c Thay (2.9) (2.10) vào phƣơng trình cịn lại (2.7) nghiệm dƣơng ta có: O (vc /) u  e   v i  p A m c e A O u t mc c d (2.11) Và nghiệm âm:  e   v p A m c e A O d mc c i  t u O (v/c ) d (2.12) Cùng với việc sử dụng đồng thức sau:        ABA (B )i( A B ) ,  e  e  e  p Ap A B c c i c (2.13) Những hệ thức cuối hệ thống phƣơng trình Dirac: 18 i n r H t  e e   v ˆ m c p A e A B O , m c m c c 0   ˆ  n r H đến bậc v c2 (2.14) với toán tử tự liên hợp H nr Nếu giới hạn nghiệm dƣơng, có nghĩa hai thành phần đầu, phƣơng trình với độ xác mc trùng với phƣơng trình Pauli hạt có spin trƣờng điện từ Thật đáng ý đặc biệt chỗ trình giới hạn phi tƣơng đối tính hóa phƣơng trình Dirac trƣờng ngồi tự động dẫn đến số hạng  tƣơng tác MB mômen từ (hay spin) hạt với từ trƣờng ngồi, electron có moment từ khác với tỉ số từ hồi chuyển đắn:  e g ( e ) e M S , m c2 m c 0 g (thừa số Lande) (2.15) Ngƣợc lại phƣơng trình Pauli số hạng đƣa vào phƣơng trình theo kiểu tƣợng luận – “đƣa vào tay” Đối với hạt bản, nhƣ proton hay neutron trình  giới hạn dẫn đến kết sai M p  eS / m p c Rõ ràng trƣờng hợp liên kết tối thiểu không đủ để kể thêm trƣờng điện từ ngồi Chính với hạt này, nhận đƣợc phƣơng trình phi tƣơng đối tính với moment từ đắn phải cách tƣợng luận cộng “bằng tay” số hạng moment Để hoàn chỉnh phần này, phải lƣu ý biểu thức mật độ xác suất mật độ dịng xác suất tƣơng ứng với phƣơng trình (2.14) với độ xác v c2  † , j i m † † 19 i e † A  c (2.16) Chúng liên hệ với phƣơng trình liên tục / t j trƣờng hợp nghiệm dƣơng, biểu thức trùng với cơng thức lý thuyết phi tƣơng đối tính 20 CHƢƠNG III: ỨNG DỤNG PHƢƠNG TRÌNH DIRAC ĐỂ GIẢI THÍCH MỘT SỐ HIỆN TƢỢNG LƢỢNG TỬ Năng lƣợng âm khái niệm phản hạt Khi giải toán chuyển động hạt tự nhận thấy phƣơng trình Dirac chấp nhận nghiệm tƣơng ứng với giá trị lƣợng dƣơng lƣợng âm học lƣợng tử tƣơng đối tính lƣợng E hạt tự đƣợc xác định hệ thức: E2 = p2c + m02 c4 ˆ2c2 m 0c E= Hai miền giá trị lƣợng âm ngăn cách khoảng 2m0c2 Phần lƣợng âm giá trị hoàn toàn mà vật lý cổ điển không chấp nhận nhiên theo quan điểm lƣợng tử hạt hồn tồn có lƣợng âm Khơng có trạng thái bình thƣờng ổn định chuyển dời tự phát sang trạng thái lƣợng âm thấp đƣợc thực liên tục trạng thái sau dài tới vô cực Nếu tồn electron với lƣợng âm đƣợc gia tốc theo hƣớng ngƣợc với hƣớng lực tác dụng Sơ đồ mức lƣợng electron tự theo phƣơng trình Dirac: m0c 2m0c m0 c Nhìn vào sơ đồ lƣợng electron miền lƣợng dƣơng có mốc lƣợng nghĩ m0c2 cịn lƣợng âm có giá trị lớn m0c2 khoảng cách hai miền lƣợng 2m0c2 Nghĩa có mức 21 nhảy lƣợng từ miền lƣợng dƣơng sang miền âm ngƣợc lại Mỗi bƣớc nhảy có lƣợng 2m0c2 điều phù hợp với quan điểm lƣợng tử lƣợng gián đoạn Đối với vật lý lƣợng tử lƣợng hạt gián đoạn vật lý cổ điển lƣợng hạt nhận giá trị liên tục miền Do khơng chấp nhận đồng thời tồn mức lƣợng (+) (-) nói Năm 1930 khó khăn lƣợng âm đƣợc Dirac khắc phục dựa vào lý thuyết gọi “ lý thuyết lỗ trống” Các electron với lƣợng (+) quan sát bình thƣờng, phần electron mang lƣợng (-) Dirac cho hạt quan sát trực tiếp đƣợc Dirac giả thiết tất mức lƣợng âm đƣợc chiếm đầy electron, đồng thời theo nguyên lý Pauli mức có electron electron với lƣợng có khoảng cách 2m0c2 Mật độ electron trạng thái lƣợng âm vô lớn Các dời chuyển electron từ trạng thái có lƣợng âm sang trạng thái có lƣợng âm khác bị cấm nguyên lý pauli Ngƣời ta giả thiết electron với lƣợng âm không liên quan tới hiệu ứng điện từ hay hiệu ứng hấp dẫn Giữa electron mang lƣợng âm electron mang lƣợng dƣơng có khoảng 2m0c2 Nếu electron mang lƣợng âm từ biển Dirac truyền cho lƣợng lớn 2m0c2 chuyển sang trạng thái có lƣợng dƣơng trở thành electron thơng thƣờng Trong biển Dirac nơi mà electron mang lƣợng âm vừa chuyển xuất “ lỗ trống” có lƣợng dƣơng, điện tích dƣơng ngƣợc dấu với điện tích electron theo nguyên lý Dirac hạt có khối lƣợng electron Hạt gọi pôzitrôn nhƣ chuyển dời electron từ trạng thái lƣợng âm sang trạng thái lƣợng dƣơng làm xuất hạt electron pơzitrơn Năm 1933 ngƣời ta phát minh đƣợc trình sản sinh cặp hạt giả thuyết tồn pơzitrơn có thực 22 m0 c Hình vẽ: sinh cặp: electron với lƣợng âm hấp thụ xạ chuyển sang lƣợng dƣơng Mức lƣợng âm bỏ trống lâu đƣợc electron trạng thái lƣợng dƣơng chuyển xuống mức chuyển dịch làm biến electron lỗ trống nghĩa biến electron pôzitrôn hiệu lƣợng đƣợc toả dƣới dạng lƣợng lƣợng tử nhƣ xảy tƣợng huỷ cặp electron - pôzitrôn kèm theo xạ lƣợng tử Quá trình huỷ quan sát thực nghiệm (hình vẽ) huỷ cặp: electron với lƣợng (+) chuyển sang trạng thái lƣợng (-) phát xạ E m0 c e xạ m0c lỗ trống 23 Qua ta thấy electron pôzitron trƣờng hợp riêng quy mô quy luật tổng quát Mỗi hạt tƣơng ứng với phản hạt Phản hạt đƣợc sinh thành cặp với hạt huỷ với Mơ tả spin hạt phƣơng trình Dirac Cho đến sử dụng rộng rãi khái niệm spin.Vậy spin đại lƣợng học lƣợng tử tƣơng đối tính đặc trƣng cho chuyển động nội hạt vi mô đại lƣợng không liên quan đến chuyển động quỹ đạo hạt Khái niệm spin đƣợc xây dựng từ sớm từ sau thí nghiệm Stein Gerlock chứng minh tồn đại lƣợng vật lý có tính chất nhƣ mômen động lƣợng nhƣng lại không liên quan đến quỹ đạo hạt Muốn chứng tỏ tồn spin đƣợc suy trực tiếp từ phƣơng trình Dirac ta xét định luật bảo tồn đƣợc rút từ phƣơng trình Dirac.Vì lý thuyết Dirac giữ nguyên tất quan điểm tổng quát học lƣợng tử nên để tìm định luật bảo tồn cần phải thiết lập giao hốn tử với toán tử Hamintơn Đối với hạt chuyển động khơng gian trống rỗng mơmen hạt đƣợc bảo tồn Do tốn tử mơmen tồn phần hạt giao hoán với Hamintơn Đối với hạt chuyển động chân khơng, momen hạt đƣợc bảo tồn ˆ Do tốn tử momen tồn phần hạt giao hốn với H ˆ (Trong H ˆ pˆ x x ˆ pˆ y y ˆ pˆ z z ˆ tốn tử Hamilton) ˆ ˆ (trong L Xét giao hoán Lˆ H ˆ ˆ ) Để đơn giản, ta xét r.p chuyển động hạt tự Chọn trục z có hƣớng tùy ý ta có:     2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆL ˆ ˆc ˆL ˆ H L H p m c L c p m c z z z z Vì: Lˆ z  y i y giao hoán với ˆ ˆ z pˆ z nên: ˆ ˆL ˆ ˆ ˆL ˆ ˆL ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ H L H c p L p p L p z z x x z z xc y y z z y Dùng tính chất giao hốn ta có: 24 (3.1) ˆ ,p ˆx L z ˆ ,p ˆy L z ˆy, ip ˆx i p Thế vào (3.1) ta có: ˆ ˆ L ˆ ˆi ˆ ˆ ˆ ˆ H L H  c p p z z y x x y (3.2) Kết tƣơng tự thu đƣợc cho hình chiếu khác momen xung lƣợng Nhƣ vậy, momen xung lƣợng hạt tự trƣờng hợp khơng phải tích phân chuyển động khơng bảo tồn., ta đƣa vào khái niệm momen toàn phần: ˆ ˆ ˆ J L S ˆ Trong đó: S tốn tử chƣa biết, với điều kiện cho:  ˆ ˆ J, H 0, i x, y, z Ta xét Jˆ z : ˆ, ˆ,H ˆ, ˆ 0L ˆ S ˆ ˆ,H ˆ S ˆ J hay L zH z zH z z Từ (3.2) ta rút kết quả: ˆS ˆ ˆ ˆi ˆ ˆ ˆ H S H  c ˆ p p z z x y y x (3.3) Để thõa mãn (3.3) ta đặt: ˆ S z A ˆx ˆy (3.4) Trong đó: A số chƣa biết Dùng hệ thức giao hoán cho toán tử ˆ , ˆ ta đƣợc: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ H S S H A H H Ac p p p p z z x y x y x x y y x y x y x x y y ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ H S S H Ac p p Ac p p z z y xx y x yy x So sánh biểu thức với (3.3) ta có: A i Vậy tốn tử Sˆ z bằng: ˆ ˆ ˆ 0 ˆ ˆ i i i   i  yi x y x z ˆ ˆ ˆ S z x y ˆ ˆ ˆ 0 ˆ ˆ 0 i 22 y x y2 x z 25 1000 ˆ ˆ  z 0 10 S z 20 ˆz 20 000 (3.5) Bằng cách tƣơng tự ta thu đƣợc: ˆ S x 0100 1000 i  ˆ x  ˆ ˆ yz 0001 20 ˆ x 0010 (3.6) ˆ S y i 00 i 000 i  ˆ y  ˆ ˆ zx 000 i 20 ˆ y 00 i (3.7) Cịn tốn tử: ˆ2 S ˆ2 S ˆ2 S ˆ2 S x y z Dùng tính chất tốn tử ˆ x , ˆ y , ˆ z thu đƣợc: 1ˆ 21 ˆ ˆ S  I I 2 (3.8) ˆ Gọi J momen toàn phần hạt (bảo toàn theo thời gian) Momen toàn phần tổng momen quỹ đạo momen spin hạt Các toán tử Sˆ z Sˆ (1.38) (1.41) đƣợc đƣa dạng chéo Khi hình chiếu spin trục z lấy hai giá trị  Các trị riêng toán tử Sˆ có dạng: 2 s s Trong đó: s Từ ta thấy rõ hạt có spin  Nhƣ hàm Hamintơn tƣơng đối tính phƣơng trình Dirac ta tìm đƣợc spin từ lý thuyết có giá trị phù hợp với kết đo thực nghiệm 26 Tính spinor hàm trạng thái phƣơng trình Dirac Xét phép quay hệ trục tọa độ Oxyz quanh trục Oz góc Khi đó, ta nhận đƣợc hệ trục Ox ' y' z' cho: ' x x' co s ys in ' ' y xsin yco s ' z z (3.9) Các toán tử ˆi cần thỏa mãn: ˆ ˆ I i ˆˆ ˆˆ i k i k ki lại hoàn toàn tùy ý Tuy nhiên, chọn biểu thức cụ thể cho ˆi hệ tọa độ Ox ' y ' z ' ta phải có biểu thức cho chúng Có thể chứng minh rằng, cần phải thay ˆi ma trận sau: ' ' cos 1sin sin s co ' ' Nhƣ vậy, nói , , , vecto (hiệp biến) ba chiều Tƣơng ứng, muốn bảo đảm để phƣơng trình Dirac giữ nguyên dạng, hàm trạng thái , , , Tr Transposition – ký hiệu phép chuyển vị (đổi (Tr dòng thành cột)) phải đƣợc biến đổi nhƣ sau thành: ' ' ' ' e i 0 (3.10) chứng tỏ i e ' , ' , ' , ' Tr : 0 i e ' i e (3.10) biến đổi nhƣ spinor ba chiều Nhƣ vậy, phƣơng trình Dirac mơ tả hạt có spin 27 Chú ý: Khi ta nói đến spinor hay vecto chiều hay chiều, điều không liên quan đến số thành phần spinor hay vecto, mà liên quan đến công thức biến đổi theo phép quay không gian chiều hay chiều (không – thời gian) Những nghiên cứu sâu cho thấy phƣơng trình Dirac phù hợp để mơ tả electron Đối với hạt khác có spin , nhƣ proton neutron, chúng tham gia vào loại tƣơng tác phức tạp – tƣơng tác mạnh – nên phƣơng trình Dirac cho kết sai lệch đáng kể Trong phƣơng trình Pauli cho hạt có spin , trƣờng điện từ Haminton khơng phụ thuộc tốn tử spin i , tức hạt thể nhƣ spin Trong đó, hạt tự do, haminton phƣơng trình Dirac phụ thuộc toán tử diễn qua i i , tốn tử liên quan đến spin (vì biểu ) Hiệu ứng Zeeman dị thƣờng Trong lý thuyết Schrödinger, trạng thái nguyên tử đƣợc đặc trƣng ba số lƣợng tử: số lƣợng tử chính, số lƣợng tử quĩ đạo số lƣợng tử từ.Ba số lƣợng tử đủ để giải thích đa số quang phổ vạch nguyên tử hiệu ứng tách vạch phổ nguyên tử đặt điện trƣờng từ trƣờng Tuy nhiên, ba số lƣợng tử khơng đủ để giải thích hiệu ứng Zeeman dị thƣờng, từ trƣờng phân tách vạch phổ số nguyên tử thành nhiều nhánh so với thứ giải thích n, l, ml Nhƣ vậy, ta cần phải bổ sung cho lý thuyết Schrưdinger ngun tử để giải thích đƣợc hiệu ứng Zeeman dị thƣờng Quay trở lại năm 1921, kết gây ấn tƣợng phát sinh từ thí nghiệm nhà vật lý ngƣời Đức Stern Gerlach Và trƣớc nữa, năm 1915, thí nghiệm Einstein de Haas xác nhận tỉ số từ - mà họ đo đƣợc không giống với lý thuyết đƣơng thời Một số nhà vật lý lý thuyết, đáng ý nhà vật lý gốc Áo Wolfgang Pauli (1900– 1958) trƣờng đại học Hamburg, Đức, cố gắng giải thích 28 kết Năm 1924, Pauli đề xuất từ tính electron khơng thu đƣợc từ chuyển động quĩ đạo giống nhƣ hành tinh quay xung quanh Mặt trời, mà từ “spin” hay chuyển động quay xung quanh trục riêng Năm 1925, lý thuyết đầy đủ spin đƣợc Uhlenbeck Goudsmit đƣa nhằm giải thích kết thí nghiệm Stern Gerlach Khám phá Uhlenbeck Goudsmit giúp nhà vật lý giải thích đƣợc khơng thí nghiệm Einstein de Haas mà cịn giải thích đƣợc hiệu ứng Zeeman dị thƣờng Từ đó, nhà vật lý xây dựng đƣợc lý thuyết lƣợng tử đầy đủ cấu trúc nguyên tử có đƣa thêm số lƣợng tử thứ tƣ – số lƣợng tử spin Hiệu ứng Zeeman dị thƣờng thúc đẩy Cơ học lƣợng tử phát triển thêm bƣớc Nếu nhƣ lý thuyết lƣợng tử trƣớc giải thích cách bán cổ điển lý thuyết tiền lƣợng tử khái niệm spin lại khái niệm túy lƣợng tử Chỉ khảo sát cấu trúc nguyên tử, nhà vật lý nhìn thấy đƣợc hiệu ứng spin gây Hiệu ứng Zeeman dị thƣờng xuất đòi hỏi khái niệm spin phải đời theo lẽ tất nhiên quy luật phát triển vật lý học.Những thí nghiệm Stern – Gerlach Einstein – de Haas chất xúc tác quan trọng để khái niệm spin đời lý thuyết spin đƣợc xây dựng 29 KẾT LUẬN Luận văn đƣợc hình thành dựa sở lý thuyết giảng học lƣợng tử tƣơng đối tính phần Cơ học lƣợng tử II cho sinh viên năm thứ chuyên ngành Sƣ phạm Vật lý Nội dung trình bày sở lý thuyết cách khái quát phƣơng trình Dirac, cách xây dựng phƣơng trình Dirac cho hạt tự phƣơng trình Dirac cho hạt trƣờng Cuối ứng dụng từ phƣơng trình Dirac để giải thích tƣợng lƣợng tử nhƣ lƣợng âm, hạt phản hạt, spin hạt tƣợng Zeeman dị thƣờng Qua nội dung khóa luận tốt nghiệp, hình thành đƣợc nhìn tổng quát phƣơng trình Dirac ứng dụng Với phạm vi cách trình bày khóa luận tốt nghiệp, mong khóa luận giúp cho bạn sinh viên dễ nắm bắt phƣơng trình Dirac, cách xây dựng phƣơng trình Dirac cho hạt tự cho hạt trƣờng ngồi Bên cạnh bổ sung thêm kiến thức khái niệm phản hạt, hay mô tả spin hạt Do thời gian có hạn thân lần đầu tập làm nghiên cứu, chƣa có nhiều kinh nghiệm nên khóa luận chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, mong đƣợc góp ý bảo thầy để khóa luận đƣợc hồn thiện Thanh Hóa, tháng 05 năm 2017 Mai Thị Hồng Duyên 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ học lượng tử, NXB ĐHQG, Hà Nội Vũ Văn Hùng, Cơ học lượng tử, NXB ĐHSP, 2004; 2006; 2008 Phạm Quý Tƣ (1986), Cơ học lượng tử, NXB Giáo dục, Hà Nội Nguyễn Hữu Mình, Tạ Duy Lợi, Đỗ Đình Thanh, Lê Trọng Tƣởng (1990), Bài tập vật lý lý thuyết tập II, NXB Giáo dục, Hà Nội Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ sở lý thuyết trường lượng tử, NXB ĐHQG, Hà Nội Phạm Thúc Tuyền (2007), Lý thuyết hạt bản, ĐHQG, Hà Nội A.N Matveev (1975 – 1980), Cơ học lượng tử cấu trúc nguyên tử (I, II), NXB Giáo dục, Hà Nội Tiếng Anh F Gross (2001), Relativistic Quantum Mechanics and Field Theory, A Wiley – Interescience Publication Claude Cohen-Tannoudji, B Diu and Franck Laloe, Quantum Mechanics, John Wiley & Sons Publisher, 1977 10 Amit Goswami, Quantum Mechanics, Wm C.Brow Publishers, 1997 31