Thuyết tương đối trong việc giải thích một số hiện tượng của vũ trụ

TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN THUYẾT TƢƠNG ĐỐI TRONG VIỆC GIẢI THÍCH MỘT SỐ HIỆN TƢỢNG CỦA VŨ TRỤ Thuộc nhóm ngành khoa học: Khoa học tự nhiên Sơn La, tháng năm 2017 TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN THUYẾT TƢƠNG ĐỐI TRONG VIỆC GIẢI THÍCH MỘT SỐ HIỆN TƢỢNG CỦA VŨ TRỤ Thuộc nhóm ngành khoa học: Khoa học tự nhiên Sinh viên thực hiện: Đỗ Thị Lan Hương Giới tính: Nữ Dân tộc: Kinh Lớp: K55 ĐHSP Vật lý Khoa: Toán – Lý – Tin Năm thứ 3/Số năm đào tạo: Sinh viên thực hiện: Đỗ Thị Lan Hƣơng Giảng viên hướng dẫn: ThS Phạm Ngọc Thƣ Sơn La, tháng năm 2017 LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô ThS Phạm Ngọc Thư, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em suốt trình học tập thực đề tài Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến cô giáo chủ nhiệm thành viên tập thể lớp K55 ĐHSP Vật lí, tới thầy cô tổ môn Vật lí, thầy cô khoa Toán – Lí – Tin, nhiệt tình thầy cô trung tâm Thông tin – Thư viện trường Đại học Tây Bắc Cuối cùng, em xin gửi lời biết ơn tời gia đình khuyến khích tinh thần hỗ trợ tài cho em, phần quan trọng để em hoàn thành đề tài nghiên cứu Trong trình học tập thực đề tài, không tránh khỏi sai sót điều tất yếu, mong thầy cô bỏ qua cho em Đồng thời trình độ kinh nghiệm thực tiễn hạn chế nên báo cáo đề tài không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận ý kiến đóng góp quý báu cúa thầy cô bạn học để kiến thức em lĩnh vực hoàn thiện hơn, đề tài hoàn chỉnh Em xin chân thành cảm ơn! Sơn La, ngày tháng năm 2017 Sinh viên thực Đỗ Thị Lan Hương MỤC LỤC MỞ ĐẦU………………………………………………………… … ………….… 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Giả thuyết khoa học Đối tượng nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Đóng góp đề tài Cấu trúc đề tài CHƢƠNG I TỪ CƠ HỌC CỔ ĐIỂN NEWTON ĐẾN THUYẾT TƢƠNG ĐỐI ENSTEIN 1.1 Cơ học cổ điển Newton .3 1.1.1 Nội dung 1.1.2 Hệ quy chiếu, không gian thời gian Cơ học cổ điển .3 1.1.3 Công thức biến đổi tọa độ nguyên lý tương đối Galileo 1.1.4 Giới hạn ứng dụng học cổ điển Newton .4 1.2 Thuyết tương đối hẹp Einstein 1.2.1 Nội dung 1.2.2 Công thức biến đổi Lorentz 1.2.3 Cấu trúc không – thời gian bốn chiều Minkwoski 1.2.4 Các phép biến đổi tọa độ 10 1.2.5 Vectơ không – thời gian bốn chiều .11 1.3 Thuyết tương đối rộng .13 1.3.1 Nội dung 13 1.3.2 Dịch chuyển song song 14 1.3.3 Liên thông Affine – Chỉ số Christofell .15 1.3.4 Phương trình trắc địa (geodesic equation) 15 1.3.5 Tensor metrix Tensor cong Riemann mối liên hệ chúng .16 1.3.6 Kết luận chương I 18 CHƢƠNG II: LÝ THUYẾT HẤP DẪN EINSTEIN 19 2.1 Định luật vạn vật hấp dẫn Newton 19 2.2 Ba định luật Kepler chuyển động hành tinh .19 2.2.1 Lịch sử 19 2.2.2 Định luật I .21 2.2.3 Định luật II 23 2.2.4 Định luật III 23 2.2.5 Liên hệ với định luật Newton .23 2.3 Lý thuyết hấp dẫn Einstein 23 2.3.1 Trường hấp dẫn .24 2.2.2 Phương trình Einstein 24 2.2.3 Xây dựng phương trình Einstein từ khai triển nhiễu loạn 25 2.3 Kết luận chương II 27 CHƢƠNG III LÝ THUYẾT HẤP DẪN EINSTEIN TRONG VIỆC GIẢI THÍCH MỘT SỐ HIỆN TƢỢNG CỦA VŨ TRỤ 28 3.1 Lời giải Schwarzschild 28 3.2 Giải thích dịch chuyển cận điểm lệch đường tia sáng 35 3.2.1 Phương trình quỹ đạo hạt không gian Schwarzschild 35 3.2.2 Sự dịch chuyển cận điểm quỹ đạo 37 3.2.3 Sự lệch đường tia sáng .39 3.3 Kết luận chương III 40 KẾT LUẬN ĐỀ TÀI .42 PHỤ LỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vật lý học ngày khằng định vai trò quan trọng đời sống khoa học công nghệ, thu hút nhiều quan tâm rộng rãi Trong thời gian dài, học Newton hay gọi học cổ điển, chiếm vị trí quan trọng phát triển vật lý học Theo Newton thời gian không gian tuyệt đối, không phụ thuộc vào chuyển động, khối lượng vật bất biến Tuy nhiên, nghiên cứu chuyển động vật có vận tốc lớn so sánh với vận tốc ánh sáng chân không, người ta thấy học Newton không thích hợp nữa, cụ thể là: không gian, thời gian, khối lượng phụ thuộc vào chuyển động Như vậy, cần phải xây dựng môn học tổng quát áp dụng cho vật chuyển động vào cỡ c Đó môn học tương đối tính hay gọi thuyết tương đối Einstein Thuyết tương đối Einstein, với nội dung gồm hai phần: phần thuyết tương đối hẹp nghiên cứu hệ quy chiếu quán tỉnh, phần thuyết tương đối rộng nghiên cứu hệ quy chiếu không quán tính trường hấp dẫn, giữ vai trò tảng quan trọng việc xây dựng mô hình giải thích số tượng Vũ trụ Tuy nhiên, chương trình đào tạo đại học tài liệu tham khảo vấn đề dành cho sinh viên hạn chế, có trừu tượng, không chuyên, số tài liệu nước khó hiểu, dịch không sát nghĩa Việc có tài liệu trình bày cụ thể vấn đề cần thiết Chính nguyên nhân này, với hiểu biết tài liệu có, mạnh dạn định thực đề tài: “Thuyết tƣơng đối rộng việc giải thích số tƣợng vũ trụ” Mục đích nghiên cứu Hiểu vận dụng lý thuyết tương đối Einstein để tính toán giải thích số tượng Vũ trụ Giả thuyết khoa học Nếu vận dụng lý thuyết tương đối Einstein số kiến thức vật lý liên quan, tính toán giải thích số tượng Vũ trụ Đối tƣợng nghiên cứu - Lý thuyết tương đối Einstein, phương trình Einstein số định luật liên quan Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu trình bày nội dung thuyết tương đối Einstein - Giải thích số tượng Vũ trụ, kèm theo tính toán cụ thể Phạm vi nghiên cứu - Nội dung lý thuyết tương đối Einstein số kiến thức vật lý liên quan Phƣơng pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí luận: Tiến hành tìm đọc hiểu giáo trình chuyên ngành, nguồn tài liệu chọn lọc liên quan để xây dựng hệ thống sở lý thuyết - Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: + Nhờ giảng viên hướng dẫn xem xét, nhận xét đánh giá + Tham khảo ý kiến giảng viên dạy bộn môn Vật lý lý thuyết Đóng góp đề tài - Trình bày chi tiết nội dung lý thuyết tương đối Einstein, bổ sung vào nguồn tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành sư phạm vật lý giáo viên quan tâm Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, đề tài gồm chương: Chương I: Từ học cổ điển Newton đến thuyêt tương đối Einstein Chương II: Lý thuyết tương đối Einstein Chương III: Lý thuyết hấp dẫn Einstein việc giải thích số tượng Vũ trụ CHƢƠNG I TỪ CƠ HỌC CỔ ĐIỂN NEWTON ĐẾN THUYẾT TƢƠNG ĐỐI ENSTEIN 1.1 Cơ học cổ điển Newton 1.1.1 Nội dung Cơ học cổ điển, hay gọi học Newton, ngành khoa học nghiên cứu chuyển động vật vi mô có vận tốc nhỏ nhiều so với vận tốc ánh sáng 1.1.2 Hệ quy chiếu, không gian thời gian Cơ học cổ điển - Hệ quy chiếu chọn để nghiên cứu chuyển động vật hệ quy chiếu quán tính, hệ quy chiếu mà chất điểm cô lập giữ nguyên trạng thái đứng yên chuyển động thẳng - Trong Cơ học cổ điển thừa nhận tiên đề: + Tiên đề tính chất tuyệt đối thời gian: Khoảng thời gian trôi qua trình vật lý hệ quy chiếu chuyển động tương đối cách tùy ý nhau, nghĩa là: t = t’ với t t’ khoảng thời gian trôi qua trình vật lý nói hệ quy chiếu K K’ chuyển động tương đối hệ quy chiếu K + Tiên đề tính chất tuyệt đối không gian: Thực nghiệm không gian học cổ điển không gian Euclid ba chiều với đặc tính xác định đẳng thức: z r dr2 = dx2 + dy2 +dz2 M O y x x, y, z hình chiếu vectơ r (bán kính vectơ r kẻ từ gốc O đến M xác định vị trí chất điểm M thời điểm t) ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz Không gian có tính chất tuyệt đối: Khoảng cách hai vị trí hai chất điểm thời điểm cho hệ quy chiếu * Biến cố Biến cố (hay gọi kiện) hiểu kiện vật lý xảy điểm không gian vào thời điểm 1.1.3 Công thức biến đổi tọa độ nguyên lý tƣơng đối Galileo 1.1.3.1 Công thức biến đổi tọa độ Galileo Xét toán: Tìm công thức biến đổi tọa độ biến cố từ hệ quy chiếu quán tính 𝐾 sang hệ quy chiếu quán tính 𝐾′ hay ngược lại 𝑦 𝑦′ Đối với hệ quy chiếu quán tính 𝐾, (+) biến cố xảy điểm (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑂 vào thời điểm 𝑡, hệ quán tính 𝐾 ′ 𝑧 𝑂′ 𝑧′ 𝑥′ 𝑥′ biến cố xảy điểm (𝑥′, 𝑦′, 𝑧′) vào thời điểm 𝑡 ′ Gọi (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) (𝑥 ′ , 𝑦 ′ , 𝑧 ′ , 𝑡′) tọa độ biến cố hệ quán tính 𝐾 𝐾′ Giả sử ban đầu 𝑡 = 𝑡 ′ = hệ quán tính 𝐾 ′ trùng với hệ quán tính 𝐾 (gốc 𝑂′ trùng với gốc 𝑂) Sau hệ 𝐾 ′ chuyển động tương đối so với hệ 𝐾 dọc theo chiều dương trục 𝑥 với vận tốc không đổi 𝑉 công thức biến đổi Galile có dạng: 𝑥 = 𝑥 ′ + 𝑉𝑡 ′ 𝑦 = 𝑦′ 𝑧 = 𝑧′ 𝑡 = 𝑡′ hay 𝑥 ′ = 𝑥 − 𝑉𝑡 ′ 𝑦 = 𝑦′ 𝑧 = 𝑧′ 𝑡 = 𝑡′ (1-2)  Sự phụ thuộc tọa độ biến cố hệ 𝐾 𝐾′ phụ thuộc tuyến tính 1.1.3.2 Nguyên lý tương đối Galileo Phát biểu: “Mọi tượng học diễn hệ quy chiếu quán tính” 1.1.4 Giới hạn ứng dụng học cổ điển Newton Theo học Newton, tương tác điểm phụ thuộc khoảng cách tương đối chúng Khi chất điểm dịch chuyển chất điểm chịu ảnh hưởng Như tương tác truyền tức thời vận tốc truyền tương tác vô lớn Song, tự nhiên không tồn tương tác xảy tức thời vậy, Khoảng thời gian tương tác ∆t > từ kiện thực nghiệm người ta thấy rẳng: vận tốc truyền tương tác có giá trị hữu hạn hệ quy chiếu quán tính Thực nghiệm chứng tỏ rằng, vận tốc không đổi cực đại vận tốc lan truyền ánh sáng chân không, kí hiệu chữ c, c ≈ 3.108 m/s Như vậy, quan niệm vận tốc truyền tương tác vô lớn học Newton không Thừa nhận vận tốc ánh sáng chân không với hệ quy chiếu quán tính c lại mâu thuẫn với công thức tổng hợp vận tốc Galileo Thật vậy, giả sử hệ quán tính K’ chuyển động với vận tốc không đổi V dọc theo trục x so với hệ quán tính K Khi theo công thức tổng hợp vận tốc Galileo vận tốc ánh sáng truyền theo chiều dương trục x hệ K’ c hệ K c + V khác với c Nhưng, nói, vận tốc ánh sáng hệ quán tính K K’ c vậy, công thức tổng hợp vận tốc Galileo xây dựng sở t = t’ không Môn học nghiên cứu chuyển động vật thể có vận tốc lớn so sánh với vận tốc ánh sáng chân không coi t’ ≠ t gọi môn học tương đối tính hay thuyết tương đối Einstein học Cơ học Newton trường hợp giới hạn học tương đối tính vận tốc chất điểm nhỏ so với vận tốc ánh sáng chân không Về mặt nội dung, thuyết tương đối gồm hai phần: phần thuyết tương đối hẹp nghiên cứu hệ quy chiếu quán tỉnh, phần thuyết tương đối rộng nghiên cứu hệ quy chiếu không quán tính trường hấp dẫn 1.2 Thuyết tƣơng đối hẹp Einstein 1.2.1 Nội dung Để xây dựng lí thuyết tương đối mình, năm 1905 Einstein đưa lý thuyết tương đối hẹp không – thời gian phẳng gồm hai tiên đề sau: * Tiên đề 1: “Mọi tượng lý diễn hệ quy chiếu quán tính” (Phương trình mô tả định luật vật lý biểu diễn qua tọa độ thời gian giữ nguyên dạng hệ quy chiếu quán tính) Tiên đề mở rộng nguyên lý tương đối Galileo từ tượng học sang tượng vật lý nói chung, tiên đề tổng quát nguyên lý tương đối Galileo mặt toán học * Tiên đề 2: “Vận tốc truyền tương tác c hữu hạn không phụ thuộc vào hệ quy chiếu quán tính” Theo quan điểm tiên đề 2, vận tốc ánh sáng giới hạn vận tốc vật thể Tiên đề thực chất bác bỏ quan niệm tính tuyệt đối thời gian không gian học cổ điển Newton, coi khái niệm không, thời gian có tính chất tương đối, không mâu thuẫn với phép biến đổi cổ điển học cổ điển Trái lại, theo quan điểm thuyết mới, ta thấy rõ vật lý cổ điển trường hợp bị giới hạn đâu 𝑅11 = 𝑅11 𝑔 11 ′′ 𝑁 ′ 𝑁 ′ − 𝐿′ 𝐿′′ = 𝑁 + − (−𝑒 −𝐿 ) 2 𝑟 ′′ 𝑁 ′ 𝑁 ′ − 𝐿′ 𝑁 ′ 𝐿′ 𝑁 ′ 𝑁 + − − + (−𝑒 −𝐿 ) 2 𝑟 𝑟 𝑟 = ′′ 𝑁 ′ 𝑁 ′ − 𝐿′ 𝑁′ −𝐿′ + 𝑁 ′ −𝐿 −𝐿 = 𝑁 + + (−𝑒 ) − 𝑒 2 𝑟 𝑟 = 𝑅00 + 𝑒 −𝐿 𝑅22 = 𝑅22 𝑔22 = 𝑅33 −𝐿′ + 𝑁 ′ 𝑟 −1 −𝐿 𝑁 ′ − 𝐿′ −𝐿 𝑒 + 𝑟𝑒 − 𝑟2 = 𝑅33 𝑔 33 −1 𝑁 ′ − 𝐿′ 2 −𝐿 = 2 −𝑠𝑖𝑛 𝜃 + 𝑠𝑖𝑛 𝜃𝑒 + 𝑟𝑠𝑖𝑛2 𝜃𝑒 −𝐿 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜃 −1 𝑁 ′ − 𝐿′ −𝐿 −𝐿 = −1 + 𝑒 + 𝑟𝑒 = 𝑅22 𝑟 Phương trình Einstein chân không: 𝜇 𝜇 𝑅𝜈 − 𝛿𝜈 𝑅 = 𝑅00 𝑅00 + 𝑅11 + 𝑅22 + 𝑅33 𝑅00 − 𝑅11 − 𝑅22 − 𝑅33 − 𝑅 = 𝑅0 − = 2 ′ ′ ′ 𝐿 +𝑁 𝑁 − 𝐿′ −𝐿 −𝐿 −𝐿 = −𝑒 + −𝑒 + 𝑟𝑒 − 2 𝑟 −𝑒 −𝐿 𝐿′ + 𝑁 ′ 𝑒 −𝐿 𝑁 ′ − 𝐿′ −𝐿 = + + 𝑒 − 2 𝑟 𝑟 2𝑟 𝑟 = −𝑒 −𝐿 𝐿′ + 𝑁 ′ 𝑁 ′ − 𝐿′ 𝐿′ 1 − 2− − = −𝑒 −𝐿 − − 2𝑟 𝑟 2𝑟 𝑟 𝑟 𝑟 𝑟 =0 𝑅11 𝑅00 + 𝑅11 + 𝑅22 + 𝑅33 𝑅11 − 𝑅00 − 𝑅22 − 𝑅33 − 𝑅 = 𝑅1 − = 2 ′ ′ ′ ′ 𝐿 +𝑁 𝑁 − 𝐿 −𝐿 = 𝑒 −𝐿 + 𝑒 −𝐿 + 𝑟𝑒 − 𝑟 𝑟 −𝐿 𝐿′ + 𝑁 ′ 𝑒 −𝐿 𝑁 ′ − 𝐿′ −𝐿 = 𝑒 + + 𝑒 − 2 𝑟 𝑟 𝑟 𝑟 2𝑒 −𝐿 𝑁 ′ −𝐿 = + 𝑒 −1 𝑟 𝑟 33 𝑁 ′ 𝑒 −𝐿 𝑒 −𝐿 − = + 𝑟 𝑟2 = 𝑒 −𝐿 𝑅22 𝑁′ 1 + − 2= 𝑟 𝑟 𝑟 𝑅00 + 𝑅11 + 𝑅22 + 𝑅33 𝑅22 − 𝑅00 − 𝑅11 − 𝑅33 − 𝑅 = 𝑅2 − = 2 𝐿′ + 𝑁 ′ = −2𝑅00 − 𝑒 −𝐿 𝑟 −1 ′′ 𝑁 ′ 𝑁 ′ − 𝐿′ 𝑁′ 𝐿′ + 𝑁 ′ −𝐿 −𝐿 = −2𝑒 𝑁 − − −𝑒 2 2 𝑟 𝑟 𝑁 ′ − 𝐿′ 2𝑁 ′𝑒 = 𝑒 −𝐿 𝑁 ′′ + 𝑒 −𝐿 𝑁 ′ + 2 𝑟 =𝑒 −𝐿 − 𝑒 −𝐿 𝐿′ + 𝑁 ′ 𝑟 𝑁 ′′ 𝑁 ′ 𝑁 ′ − 𝐿′ 𝑁 ′ 𝐿′ + 𝑁 ′ + + − =0 𝑟 2𝑟 −𝐿 𝑅33 − 𝑅00 − 𝑅11 − 𝑅22 𝐿′ + 𝑁 ′ 𝑅33 − 𝑅 = = −2𝑅00 − 𝑒 −𝐿 2 𝑟 −𝐿 =𝑒 𝑁 ′′ 𝑁 ′ 𝑁 ′ − 𝐿′ 𝑁 ′ 𝐿′ + 𝑁 ′ + + − =0 𝑟 2𝑟 Có hệ phương trình: 𝐿′ 1 −𝐿 − 𝑅 = −𝑒 − − 2 𝑟 𝑟 𝑟 ′ 𝑁 1 𝑅11 − 𝑅 = 𝑒 −𝐿 + − 2 𝑟 𝑟 𝑟 ′′ ′ 𝑁 𝑁 𝑁 ′ − 𝐿′ 𝑁 ′ 𝐿′ + 𝑁 ′ 𝑅22 − 𝑅 = 𝑒 −𝐿 + + − 2 𝑟 2𝑟 𝑁 ′′ 𝑁 ′ 𝑁 ′ − 𝐿′ 𝑁 ′ 𝐿′ + 𝑁 ′ −𝐿 𝑅3 − 𝑅 = 𝑒 + + − 2 𝑟 2𝑟 𝑅00 (3-7)  −𝑒 −𝐿 𝐿′ 𝑟 − 𝑟2 − 𝑟2 (3 − 7) (3 − 8) (3 − 9) (3 − 10) =  𝑒 −𝐿 −𝑟𝐿 + − =  𝑒 𝐿(𝑟) = với 𝑐 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 Kiểm tra: 𝑒 𝐿(𝑟) = 𝐿 𝑟 = − ln − 𝑐 1− 𝑟 => 𝐿 𝑟 = ln 𝑐 1− 𝑟 𝑐 𝑟 𝑐 −(1 − )′ −𝑐 𝑟 𝐿′ 𝑟 = 𝑐 = 𝑟(𝑟 − 𝑐) 1− 𝑟  −𝑟𝐿′ = 𝑐 −𝑟+𝑐 34 = − ln − 𝑐 𝑟 Thay vào (3-7): 𝑐 𝑟 1− Lấy (3-7) trừ (3-8): −𝑒 −𝐿 𝐿′ 𝑟 − 𝑟 + 𝑁′ 𝑟 + =0 𝑟2 𝐿′ +𝑁′ 𝑟 =  𝐿′ = −𝑁′ Khi 𝑟 → ∞: không gian phẳng 𝑁 𝑟 →0 => 𝐿 = −𝑁 𝐿 𝑟 →0 Lời giải cho 𝑁 𝑟 𝑒 𝑁(𝑟) = − 𝑐 𝑟 Vậy với không gian hấp dẫn có tính đối xứng cầu: 𝑐 𝑑𝑟 2 𝑑𝑠 = − 𝑑𝑡 − − 𝑟 𝑑𝜃 − 𝑟 𝑠𝑖𝑛2 𝜃𝑑𝜙2 𝑐 𝑟 1− 𝑟 So sánh với giới hạn cổ điển Newton (gần tuyến tính) 2𝐺𝑀 𝑟 𝑉 𝑥 = 𝑕00 = 𝑑𝑠 = − => 𝑔00 = 𝜂00 + 𝑕00 = − 2𝐺𝑀 𝑟 2𝐺𝑀 2𝐺𝑀 𝑑𝑡 − + (𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 + 𝑑𝑧 ) 𝑟 𝑟 Đồng nhất: 𝑐 = 2𝐺𝑀  Metrix mô tả không gian hấp dẫn có khối lượng có tính chất đối xứng cầu: 𝑑𝑠 = − 2𝐺𝑀 𝑟 𝑑𝑡 − 𝑑𝑟 2𝐺𝑀 𝑟 1− − 𝑟 𝑑𝜃 − 𝑟 𝑠𝑖𝑚2 𝜃𝑑𝜙2 Lời giải Schwarzchild 3.2 Giải thích dịch chuyển cận điểm lệch đƣờng tia sáng 3.2.1 Phương trình quỹ đạo hạt không gian Schwarzschild *Theo thuyết tương đối tổng quát: Qũy đạo chuyển động hạt mô tả phương trình trắc địa: 𝑑2𝑥𝜇 𝑑𝜏  𝜇 𝑑𝑥 𝛼 𝑑𝑥 𝛽 𝑑𝜏 𝑑𝜏 − 𝛤𝛼𝛽 =0 (3-11) Độ cong không gian định tính chất chuyển động hạt *Hạt chuyển động trường hấp dẫn tĩnh có tính chất đối xứng cầu: Metrix có dạng: 𝑑𝑠 = 𝑒 𝑁 𝑑𝑡 − 𝑒 𝐿 𝑑𝑟 − 𝑟 𝑑𝜃 − 𝑟 𝑠𝑖𝑛2 𝜃𝑑𝜙2 Từ − 11 có hệ phương trình: 𝑑2 𝑡 𝑑𝑥 𝛼 𝑑𝑥 𝛽 + 𝛤𝛼𝛽 =0 𝑑𝜏 𝑑𝜏 𝑑𝜏 35 𝑑2 𝑟 𝑑𝑥 𝛼 𝑑𝑥 𝛽 + 𝛤 =0 𝛼𝛽 𝑑𝜏 𝑑𝜏 𝑑𝜏 𝑑2 𝜃 𝑑𝑥 𝛼 𝑑𝑥 𝛽 + 𝛤 =0 𝛼𝛽 𝑑𝜏 𝑑𝜏 𝑑𝜏 𝑑2 𝜙 𝑑𝑥 𝛼 𝑑𝑥 𝛽 + 𝛤𝛼𝛽 =0 𝑑𝜏 𝑑𝜏 𝑑𝜏 𝜇 Có 𝛤𝛼𝛽 = 𝑔𝛼𝛽 (𝜕𝛼 𝑔𝛽𝜈 + 𝜕𝛽 𝑔𝛼𝜈 − 𝜕𝜈 𝑔𝛼𝛽 ) Trong hình học Schwarzschild, phương trình trắc địa cho thành phần là: 𝑡 + 𝑁 ′ 𝑟𝑡 =0 (3 − 12) 1 𝑟 + 𝑁 ′ 𝑒 𝑁−𝐿 (𝑡)2 + 𝐿′ 𝑟 − 𝑟𝑒 −𝐿 𝜃 2 2 𝜃 + 𝑟𝜃 − 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃 𝜙 = 𝑟 𝜙 + 𝑟 𝜙 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜃 𝜙 = 𝑟 Với 𝑟 = − 𝑟𝑠𝑖𝑛2 𝜃 𝑒 −𝐿 𝜙 =0 (3 − 13) (3 − 14) 𝑑𝑟 𝑑𝜏 Do phương trình chuyển động hạt có dạng − 12 , − 13 , (3 − 14) nên quỹ đạo chuyện động hạt nằm mặt phẳng qua gốc tọa độ O 𝜋 Vì tính chất đối xứng cầu nên chọn 𝜃 = , mặt phẳng (Oxyz) 𝜃 = 0, 𝜃 =  Phương trình (2 − 12) có nghiệm: 𝑡 = 𝜀𝑒 −𝑁 ; 𝑁 = 𝑁′𝑟 𝜙= 𝑒 𝑟2 => 𝜙 = −2 𝑙𝑟 𝑟3 𝜀, 𝑙 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 Ý nghĩa vật lý 𝜀, 𝑙: 𝐸 𝜀 = : lượng đơn vị khối lượng 𝐸 = 𝑚𝑒 𝑁 𝑡 𝑚 𝐿 𝑙 = : momen góc (angular momentum) đơn vị khối lượng 𝐿 = 𝑚𝑟 𝜙 𝑚 Khảo sát chuyển động không gian thực: quỹ đạo time – like: 𝑒 𝑁 (𝑡 )2 − 𝑒 𝐿 𝑟 Thay 𝑡 = − 𝑟2 𝜃 𝑑𝑟 𝑑𝜏 − 𝑟 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 𝜙 nhân hai vế với 1− 𝐺𝑀 𝑟 =1 thu được: 36 𝑑𝑠 𝑑𝜏 =1 𝜀 𝑑𝑟 − 2 𝑑𝜏  𝜀 −1 𝑣 𝑙2 2𝑚 𝑚 − 1− = − 2𝑟 𝑟 𝑟 𝑑𝑟 𝑙2 𝑑𝜏 2𝑟 = ( )2 + 𝜀 −1  1− 2𝑚 − 𝑟 𝑑𝑟 = ( )2 + 𝑉𝑒𝑓𝑓 𝑚 =− 𝑟 𝑚 𝑟 với 𝑉𝑒𝑓𝑓 = − 𝑑𝜏 + 𝑚 𝑟 𝑙2 𝑙 2𝑚 2𝑟 𝑟3 + − 𝑑𝑟 + ( )2 𝑑𝜏 𝑙2 𝑙2𝑚 2𝑟 𝑟3 − : hiệu dụng Phương trình chuyển động hành tinh hệ Mặt Trời Lý thuyết Kepler: 𝑉𝑒𝑓𝑓 = − 𝑚 𝑟 + 𝑙2 2𝑟 Số hạng sai khác xuất hiệu dụng đưa lời giải cho dịch chuyển cận điểm quỹ đạo sao, lệch đường truyền tia sáng qua vật có khối lượng hấp dẫn lớn 3.2.2 Sự dịch chuyển cận điểm quỹ đạo Với: 𝑡 = 𝜀𝑒 −𝑁 ; 𝜙 =  𝜀2 2𝐺𝑀 1− 𝑟 − 𝑙 𝑒2 𝑟 2𝐺𝑀 1− 𝑟 𝜋 2𝐺𝑀 𝑟 ; 𝜃 = ; 𝑒 −𝐿 = 𝑒 𝑁 = − − 𝐿2 𝑟2 =1 (2-13) Ta dựa vào biến thường sử dụng học thiên văn phi tương đối tính: 𝑢= 𝑟 Khi đó: 𝑟=  𝐸 − 𝐿2 𝑑𝑢 𝑑𝜙 𝑑𝑟 𝑑𝑢 𝐿 𝑑𝑢 𝜙=− =− 𝐿 𝑑𝜙 𝑢 𝑑𝜙 𝑟 𝑑𝜙 − 𝐿2 𝑢2 − 2𝐺𝑀𝑢 = − 2𝐺𝑀𝑢 Lấy vi phân hai vế theo 𝜙  𝑑2𝑢 𝑑𝜙 +𝑢− 𝐺𝑀 𝐿2 − 3𝐺𝑀𝑢2 = (3-14) So sánh với phương trình quỹ đạo lý thuyết Newton: 𝑑2𝑢 𝑑𝜙 +𝑢− 𝐺𝑀 𝐿2 = (3 − 15) thấy sai khác số hạng 3𝐺𝑀𝑢2 bổ đính tương đối tính vào chuyển động Giải phương pháp bổ chính: Nghiệm (3 − 15) có dạng: 𝑢 = 𝐺𝑀 𝐿2 số Thay vào (3 − 14): 37 − 𝜀cos⁡ (𝜙 − 𝜙0 ) 𝜀 𝜙0 𝑑2 𝑢 𝐺𝑀 3(𝐺𝑀)3 6𝜀(𝐺𝑀)3 (𝐺𝑀)3 + 𝑢 − − − cos⁡ (𝜙 − 𝜙 ) − 3𝜀 cos 𝜙 − 𝜙0 = 0 𝑑𝜙2 𝐿2 𝐿4 𝐿4 𝐿4 Đây phương trình tương đương với dao động tử điều hòa lực phục hồi – 𝑢, hai lực cưỡng tỉ lệ với cos⁡ (𝜙 − 𝜙0 ) hai lực thêm không đổi Bỏ qua số hạng 3(𝐺𝑀)3 𝐿4 (𝐺𝑀)3 lực cưỡng 3𝜀 𝑑2𝑢 𝐺𝑀 𝑑𝜙 𝐿2 +𝑢 − − 𝐿4 6𝜀 (𝐺𝑀)3 𝐿4 Ta có phương trình: cos⁡ (𝜙 − 𝜙0 ) = (3- 16) Nghiệm (2-15) có dạng: 𝑢= 𝐺 𝐿2 − 𝜀cos⁡ (𝜙 − 𝜙0 ) + 3𝜀 (𝐺𝑀)3 𝐿4 𝜙sin 𝜙 − 𝜙0 (3- 17) Dạng gần đúng: 𝑢≃ 𝐺𝑀 𝐿4 + 𝜀cos 𝜙 − 𝜙0 − 3𝜀(𝐺𝑀)2 𝐿4 𝜙 ⁡ (3- 18) Lý thuyết Newton: 𝑢 = 𝐺𝑀 𝐿2 + 𝜀cos⁡ (𝜙 − 𝜙0 ) = (3- 𝑟 19) 𝑟𝑚𝑎𝑥  cos 𝜙 − 𝜙0 = −1  𝜙 − 𝜙0 = 𝜋 => 𝜙 = 𝜙0 + 𝜋 𝑟𝑚𝑖𝑛  cos 𝜙 − 𝜙0 =  𝜙 − 𝜙0 = => 𝜙 = 𝜙0 𝜙 − 𝜙0 = 𝑘2𝜋 => 𝜙 = 𝜙0 + 𝑘2𝜋 Ban đầu 𝜙 = 𝜙0 => 𝑟𝑚𝑖𝑛 : khoảng cách từ đến Mặt Trời nhỏ 𝜙 = 𝜙0 + 𝜋 => 𝑟𝑚𝑎𝑥 𝜙 = 𝜙0 + 𝑘2𝜋 => 𝑟𝑚𝑖𝑛 : quay lại vị trí có cận điểm ban đầu *Lý 𝑢= 𝐺𝑀 𝐿4 thuyết + 𝜀cos 𝜙 − 𝜙0 − 𝑟𝑚𝑖𝑛  cos 𝜙 − 𝜙0 −  𝜙= 𝜙 +𝑘2𝜋 3𝜀(𝐺𝑀 )2 1− 𝐿4 3𝜀(𝐺𝑀)2 𝐿4 3𝜀(𝐺𝑀)2 𝐿4 Einstein: 𝜙 ⁡ (3-20) 𝜙 =  𝜙 − 𝜙0 − ≈ 𝜙0′ + − −1 3𝜀 𝐺𝑀 𝐿4 3𝜀 𝐺𝑀 𝐿4 𝜙 = 𝑘2𝜋 𝑘2𝜋 Ban đầu: 𝜙 = 𝜙0′ : cận điểm 𝜙 = 𝜙0′ + − 3𝜀 𝐺𝑀 𝐿4 𝑘2𝜋: cận điểm vị trí lệch góc ∆𝜙 3𝜀(𝐺𝑀)2 ∆𝜙 = 𝑘2𝜋 𝐿4 38 Lý thuyết Einstein giải thích chuyển động dị thường điểm cận nhật Thủy mà không cần tới bất lý tham số 3.2.3 Sự lệch đường tia sáng Đường truyền ánh sáng nằm nón ánh sáng: 𝑑𝑠 = 𝑐 𝑑𝑡 − 𝑑𝑙 = (3-20) 𝜋 Với: 𝜃 = ; 𝑒 −𝐿 = 𝑒 −𝑁 = − 𝜀2 2𝐺𝑀 𝑟 1− − 𝑟2 2𝐺𝑀 𝑟 1− − 𝐿2 𝑟2 𝑟 =  𝜀 − 𝐿2 𝑢′2 − 𝐿2 𝑢2 − 2𝐺𝑀𝑢 =  𝑢′ (𝑢′′ + 𝑢 − 3𝐺𝑀𝑢2 ) = 𝑢= 2𝐺𝑀 hay 𝑢′′ + 𝑢′ − 3𝐺𝑀𝑢2 = (3-21) − 22 với 𝑟 Giải phương trình (3-22) phương pháp nhiễu loạn: Đặt 3𝐺𝑀 = 𝜀 giả thiết nghiệm tổng quát phương trình có dạng: 𝑢 = 𝑢0 + 𝜀𝑢1 + 0(𝜀 ) Bỏ qua số hạng đóng góp bậc cao ε có: 𝑢′ = 𝑢0′ + 𝜀𝑢1′ => 𝑢′′ = 𝑢0′′ + 𝜀𝑢1′′ Lấy gần 3𝐺𝑀𝑢2 = 𝜀𝑢2 = 𝜀𝑢02  (3-22)  𝑢0′′ + 𝜀𝑢1′ + 𝑢0 + 𝜀𝑢1 = 𝜀𝑢02 Đồng hệ số 𝜀 hai vế ta có: 𝑢0′′ + 𝑢0 = 𝑢1′′ + 𝑢1 = 𝑢02 Nghiệm tổng quát: 𝑢0 = 𝐴𝑠𝑖𝑛𝜙 + 𝐵𝑐𝑜𝑠𝜙 Chọn đường truyền ánh sáng ứng với 𝐵 = 𝑢0 = 𝐴𝑠𝑖𝑛𝜙  𝑢1′′ 𝑢 = 𝐴𝑠𝑖𝑛𝜙 + 𝜀𝑢1 + 𝑢1 = 𝐴2 𝑠𝑖𝑛2 𝜙 = 𝑢02 (3 − 24) Giải (3 − 24): Phương trình 𝑢1′′ + 𝑢1 = có nghiệm 𝑢1𝐻 = 𝐵𝑠𝑖𝑛𝜙 + 𝐶𝑠𝑖𝑛𝜙 (3 − 24) có nghiệm riêng: 𝑢𝑝 = 𝐷𝑠𝑖𝑛2 𝜙 + 𝐸𝑐𝑜𝑠 𝜙 Lấy vi phân 𝑢𝑝 ta có: 𝑢𝑝′ = 2𝐷𝑠𝑖𝑛𝜙𝑐𝑜𝑠𝜙 − 2𝐸𝑐𝑜𝑠𝜙𝑠𝑖𝑛𝜙 𝑢𝑝′′ = 2𝐷𝑐𝑜𝑠 𝜙 − 2𝐷𝑠𝑖𝑛2 𝜙 − 2𝐸𝑐𝑜𝑠 + 2𝐸𝑠𝑖𝑛2 𝜙 39 (3-23) 𝑢𝑝′ + 𝑢𝑝′′ = 2𝐷𝑐𝑜𝑠 𝜙 − 𝐷𝑠𝑖𝑛2 𝜙 − 𝐸𝑐𝑜𝑠 + 2𝐸𝑠𝑖𝑛2 𝜙 = 𝐴2 𝑠𝑖𝑛𝜙 Đồng hai vế: 2𝐷 − 𝐸 = 𝑢𝑝′ + 𝑢𝑝′′ = 𝐷= 𝐴2 𝐴2 2𝐴2 𝐴2 𝑠𝑖𝑛2 𝜙 + 𝑐𝑜𝑠 𝜙 = (1 + 𝑐𝑜𝑠 𝜙) 3 (3-24) có nghiệm: 𝑢𝑝 = 𝑢𝐻 + 𝑢𝑝 = 𝐴2 + 𝑘𝑐𝑜𝑠𝜙 + 𝑐𝑜𝑠 𝜙 với 𝑘 ~ 𝑐 𝐴 (3-23) có nghiệm: 𝑢 = 𝐴𝑠𝑖𝑛𝜙 + 𝐺𝑀𝐴2 + 𝑘𝑐𝑜𝑠𝜙 + 𝑐𝑜𝑠 𝜙 Nhận xét: 𝑢0 = 𝐴𝑠𝑖𝑛𝜙 -> Phương trình mô tả chuyển động thẳng với 𝑟 = 𝑛 Tọa độ cầu: 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜙 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜙 = 𝑦 = 𝑟 𝐴 𝐴 số biểu diễn khoảng cách ngắn từ đường truyền ánh sáng đến góc Thuyết tương đối tổng quát tiên đoán quỹ đạo ánh sáng bị bẻ cong trường hấp dẫn, ánh sáng lan truyền gần vật thể khối lượng lớn bị kéo phía vật Hiệu ứng xác nhận từ quan sát ánh sáng phát từ sao, thiên hà hay quasar xa bị lệch gần Mặt trời Ánh sáng bị bẻ cong (phát từ nguồn điểm màu xanh) gần vật thể nén đặc (có màu xám) 3.3 Kết luận chƣơng III Việc giải phương trình Einstein, với lời giải Shwarzschild, giúp giải thích số tượng: - Sự tiến động điểm cận nhật (sự dịch chuyển cận điểm quỹ đạo Thủy): 40 Trong thuyết tương đốí rộng, cận điểm quỹ đạo (điểm quỹ đạo gần với khối tâm hệ) tiếng động, hay quỹ đạo elip, gần giống với elip quay quanh khối tâm, mà đường cong giống cánh hoa hồng Einstein lần tìm kết ông sử dụng phương pháp xấp xỉ metrix giới hạn Newton coi hành tinh có khối lượng không đáng kể so với Mặt Trời Với ông, kết tính toán lượng dịch chuyển điểm cận nhật Sao Thủy với giá trị mà nhà thiên văn Urbain Le Verrier phát vào năm 1859, điều củng cố cho ông tin vào dạng phương trình trường hấp dẫn HIệu ứng suy trực tiếp từ nghiệm xác metrix Schwarzschild Sự tiến động cận điểm quan sát cho số hành tinh với độ xác cao (Sao Thủy, Sao Kim Trái Đất) Quỹ đạo Newton (đỏ) Einstein (xanh) hành tinh quay quanh - Thuyết tương đối tổng quát tiên đoán quỹ đạo ánh sáng bị bẻ cong trường hấp dẫn, ánh sáng lan truyền gần vật thể khối lượng lớn bị kéo phía vật Hiệu ứng xác nhận từ quan sát ánh sáng phát từ sao, thiên hà hay quasar xa bị lệch gần Mặt trời Hiệu ứng tiên đoán liên quan thực tế ánh sáng truyền theo đường trắc địa Một hiệu ứng có liên hệ gần gũi với ánh sáng bị bẻ cong hiệu ứng trễ thời gian hấp dẫn (hay trể Shapiro), tượng tín hiệu ánh sáng truyền từ điểm A tới điểm B thời gian lâu có trường hấp dẫn hai điểm so với trường hấp dẫn Đã có nhiều thí nghiệm thành công kiểm tra hiệu ứng với độ xác cao 41 KẾT LUẬN ĐỀ TÀI Cơ học Newton với vai trò tảng vật lý học cổ điển, áp dụng cho vật chuyển động với vận tốc lớn so sánh với vận tốc ánh sáng chân không Từ đó, môn học tương đối tính hay thuyết tương đối Einstein đời, với nội dung gồm hai phần: - Phần thuyết tương đối hẹp nghiên cứu hệ quy chiếu quán tính, thay biến đổi Galileo học Newton biến đổi Lorentz, dự đoán chuyển đổi tương đương khối lượng lượng - Phần thuyết tương đối rộng nghiên cứu quy chiếu phi quán tính trường hấp dẫn, phát biểu thuyết cho tất định luật vật lý hệ tọa độ, bao gồm phương trình Einstein Việc giải phương trình Einstein, với lời giải Shwarzschild, giúp giải thích xác dịch chuyển cận điểm Thủy trường hấp dẫn Mặt trời lệch đường tia sáng trường hấp dẫn quanh Mặt trời, số tượng khác vũ trụ 42 PHỤ LỤC XÂY DỰNG PHƢƠNG TRÌNH TRẮC ĐỊA Cách 1: Xuất phát từ lập luận dịch chuyển song song Khảo sát đường cong C không gian N chiều Gọi 𝑠 𝑠 + 𝛿𝑠 hai giá trị ứng với hai điểm gần P P’ đường cong C Gọi 𝑥 𝜇 tọa độ P 𝑥 𝜇 hàm 𝑠: 𝑥 𝜇 = 𝑥 𝜇 (𝑠) Giả sử 𝑑𝑥 𝜇 𝑑𝑠 vectơ tiếp tuyến đường cong P Giả sử vectơ tiếp tuyến điểm song song nhau, tức hướng không gian điểm Trong không gian ba chiều, đường cong thỏa mãn tính chất đường thẳng Trong không gian bốn chiều, đường cong gọi đường trắc địa Xét hai điểm lân cận P P’ có tọa độ 𝑥 𝜇 𝑥 𝜇 + 𝑑𝑥 𝜇 đường trắc địa Nếu vectơ tiếp tuyến P dịch chuyển song song tới điểm P’ vectơ sau dịch chuyển lại trùng với vectơ tiếp tuyến điểm Theo phép dịch chuyển song song vectơ tiếp tuyến 𝑑ị𝑐𝑕 𝑐𝑕𝑢𝑦 ể𝑛 𝑠𝑜𝑛𝑔 𝑠𝑜𝑛𝑔 𝑑𝑥 𝜇 (𝑠) 𝑑𝑥 𝜇 (𝑠) 𝑑𝑠 𝑠 𝑑𝑠 𝑠+𝛿𝑠 = 𝑑𝑥 𝜇 (𝑠) 𝑑𝑠 +𝛿 𝑑𝑥 𝜇 𝑑𝑠 từ 𝑠 → 𝑠 + 𝛿𝑠 𝑑𝑥 𝜇 (𝑠) 𝑑𝑠 = 𝑑𝑥 𝜇 (𝑠) 𝑑𝑠 𝜇 − 𝛤𝛼𝛽 𝑑𝑥 𝛼 𝑑𝑥 𝛽 𝑑𝑠 (1-4) Mặt khác 𝑥 𝜇 𝑠 đường trắc địa (vectơ tiếp tuyến điểm song song với nhau), dịch chuyển vectơ tiếp tuyến từ vị trí 𝑠 → 𝑠 + 𝛿𝑠, thu vectơ tiếp tuyến 𝑠 + 𝛿𝑠: 𝑑𝑥 𝜇 𝑑𝑠 𝑠+𝛿𝑠 𝑑𝑥 𝜇 𝑠 + 𝛿𝑠 𝑑𝑥 𝜇 = = 𝑑𝑠 𝑑𝑠 𝑑 𝑑𝑥 𝜇 𝑑𝑥 𝜇 + 𝑑𝑠 = 𝑑𝑠 𝑑𝑠 𝑑𝑠 𝑠 𝑑2 𝑥 𝜇 + 𝑑𝑠 𝑑𝑠 𝑠 (1 − 5) Từ 𝑑2𝑥𝜇 𝑑𝑠 + 𝛤𝜇𝛽𝛼 𝑑𝑥 𝛼 𝑑𝑥 𝛽 𝑑𝑠 𝑑𝑠 =0  Phương trình mô tả chuyển động hạt tự quỹ đạo cong không gian bốn chiều Phương trình cho điểm đường trắc địa, 𝑠 chưa có ý nghĩa vật lý Cách 2: Áp dụng nguyên lý biến phân 𝛅𝐬 = 𝟎 phƣơng trình Euler – Lagrange Xây dựng phương trình chuyển động dựa phương trình Euler – Lagrange Xét quỹ đạo chuyển động hạt qua hai điểm không – thời gian P1, P2 Tác động tích phân theo thời gian riêng: 𝑠= 𝜏2 𝐿𝑑𝜏 𝜏1 Trong Lagrangian 𝐿 = 𝐿(tọa độ 𝑥 𝜇 , vận tốc 𝑢𝜇 = 𝑑𝑥 𝜇 𝑑𝜏 ) Thay đổi quỹ đạo 𝑥 𝜇 𝜏 → 𝑥 𝜇 𝜏 + 𝛿𝑥 𝜇 𝜏 vận tốc thay đổi lượng 𝛿𝑢𝜇 = 𝑑 𝑑𝜏 (𝛿𝑢𝜇 )  𝑢𝜇 + 𝛿𝑢𝜇 =  𝛿𝑠 = ( Có 𝐼 = 𝜕𝐿 𝜕𝑥 𝜇 𝜕𝐿 𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝑥 𝜇 𝑑 + 𝑑𝜏 𝛿𝑥 𝜇 + 𝜕𝑢 𝜇 𝑑𝜏  𝛿𝑠 = ( 𝑑𝑥 𝜇 𝑑𝜏 (𝛿𝑢𝜇 ) 𝜕𝐿 𝛿𝑢𝜇 )𝑑𝜏 = ( 𝜕𝑢 𝜇 𝜕𝐿 𝛿𝑥 𝜇 𝑑𝜏 = − 𝑑 𝜕𝐿 𝑑𝜏 𝜕𝑢 𝜇 𝜕𝑢 𝜇 𝜕𝐿 𝜕𝑥 𝜇 𝜕𝐿 𝑑 𝛿𝑥 𝜇 + 𝑑 𝛿𝑥 𝜇 = − 𝜕𝑢 𝜇 𝑑𝜏 𝜕𝐿 𝜕𝑢 𝜇 𝛿𝑢𝜇 )𝑑𝜏 𝛿𝑥 𝜇 )𝛿𝑢𝜇 𝑑𝜏 Nguyên lý biến phân: 𝛿𝑠 =  ( 𝜕𝐿 𝜕𝑥 𝜇 − 𝑑 𝜕𝐿 𝑑𝜏 𝜕𝑢 𝜇 )𝛿𝑢𝜇 𝑑𝜏 =  𝜕𝐿 𝜕𝑥 𝜇 − 𝑑 𝜕𝐿 𝑑𝜏 𝜕𝑢 𝜇 =0 (1 − 6) Phương trình Euler – Lagrange Momen liên hợp 𝜋𝜇 = 𝜕𝐿 𝜕𝑢 𝜇 => Phương trình Euler – Lagrange: 𝜕𝐿 𝜕𝑥 𝜇 − 𝑑 𝑑𝜏 𝜋𝜇 = Xét chuyển động hạt tự do: 𝐿𝑚2 𝑚 𝑚 𝑑𝑥 𝜇 𝑑𝑥 𝜈 𝑚 𝜇 𝜈 𝐿= = 𝑔𝜇𝜈 𝑢 𝑢 = 𝑔𝜇𝜈 = 𝑔𝜇𝜈 𝑥 𝜇 𝑥 𝜈 2 𝑑𝜏 𝑑𝜏 𝜕𝐿 𝜕𝑥 𝜇 = 𝑚𝑔𝜇𝜈 𝜕𝑥 𝛼 => 𝑑 𝜕𝐿 𝑑𝜏 𝜕𝑥 𝜇 = 𝑚𝑔𝜇𝛼 𝑥 𝛼 + 𝑚𝑔𝜇𝛼 ,𝛽 𝑥 𝛼 𝑥 𝛽 𝜕𝐿 𝑚 = 𝐿 = 𝑔𝛼𝛽 ,𝜇 𝑥 𝛼 𝑥 𝛽 𝜇 𝜇 𝜕𝑥 Phương trình − : 𝑚 𝑔𝛼𝛽 ,𝜇 𝑥 𝛼 𝑥 𝛽 − 𝑚𝑔𝜇𝛼 𝑥 𝛼 − 𝑚𝑔𝜇𝛼 ,𝛽 𝑥 𝛼 𝑥 𝛽 =  −1 𝑔𝛼𝛽 ,𝜇 𝑥 𝛼 𝑥 𝛽 + 𝑔𝜇𝛼 𝑥 𝛼 + 𝑔𝜇𝛼 ,𝛽 𝑥 𝛼 𝑥 𝛽 = Viết: 𝑔𝜇𝛼 ,𝛽 𝑥 𝛼 𝑥 𝛽 = 𝑔𝜇𝛼 ,𝛽 + 𝑔𝜇𝛽 ,𝛼 𝑥 𝛼 𝑥 𝛽 Nhân với 𝑔𝜇𝜈 lấy tổng theo 𝜇: 1−7 𝑔𝜇𝜈 𝑔𝜇𝛼 𝑥 𝛼 + 𝑔𝜇𝜈 (𝑔𝜇𝛼 ,𝛽 + 𝑔𝜇𝛽 ,𝛼 − 𝑔𝛼𝛽 ,𝜇 )𝑥 𝛼 𝑥 𝛽 = 𝜇  𝛿𝛼𝜈 𝑥 𝛼 + 𝑔𝜇𝛼 ,𝛽 + 𝑔𝜇𝛽 ,𝛼 − 𝑔𝛼𝛽 ,𝜇 𝑥 𝛼 𝑥 𝛽 = 𝜈 𝛼 𝛽 𝜈  𝑥 𝜈 + 𝛤𝛼𝛽 𝑥 𝑥 = với 𝛤𝛼𝛽 = Phương trình trắc địa 𝑔𝜇𝛼 ,𝛽 + 𝑔𝜇𝛽 ,𝛼 − 𝑔𝛼𝛽 ,𝜇 PHỤ LỤC PHƢƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG CỦA MỘT HẠT TỰ DO TRONG GIỚI HẠN CỔ ĐIỂN (HẠT CHUYỂN ĐỘNG CHẬM) Phương trình trắc địa: phương trình chuyển động hạt tự trường hấp dẫn (lý thuyết tương đối tổng quát) 𝛽 𝛼 𝑑2 𝑥 𝜇 𝛼 𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝛤𝜇𝛽 =0 𝑑𝜏 𝑑𝜏 𝑑𝜏 Đối với thành phần thứ 𝑖: 𝑑2 𝑥𝑖 𝑑𝜏2 + Γ𝛼𝜇𝛽 𝑑𝑥𝛼 𝑑𝑥𝛽 𝑑𝜏 𝑑𝜏 =0 Trong giới hạn cổ điển (hạt chuyển động chậm): 𝑑𝑥 𝑖 𝑑𝜏 → => 𝑑2𝑥 𝑖 𝑑𝜏 𝑖 + Γ00 =0 𝑑𝑥 𝑖 ≈ 1, 0, 0, 𝑑𝜏 Khảo sát trường hấp dẫn tĩnh bỏ qua số hạng đạo hàm theo thời gian: 𝜂 𝜇𝛾 = (𝜕𝛼 𝑕𝛾𝛽 + 𝜕𝛽 𝑕𝛾𝛼 − 𝜕𝛾 𝑕𝛼𝛽 ) 𝜂𝜇𝜇 𝜕00 𝑕00 + 𝜕𝑖 𝑕00 = 𝜕0 𝑕𝜇0 + 𝜕0 𝑕𝜇0 − 𝜕𝜇 𝑕00 = = Γ000 + Γ𝑖00 2 𝛼 Γ𝜇𝛽 Γ𝜇00 Phương trình trắc địa cho hạt chuyển động chậm: 𝑑 2𝑥 𝑖 𝑑𝜏 𝜕𝑕 00 =2 𝜕𝑥 𝑖 𝑖 = −Γ00 =− 𝜕𝑉 𝑥 𝜕𝑥𝑖 với 𝑉 𝑥 = 𝑕00 Trong không gian phẳng: 𝜕𝜇 𝑇𝜇𝜈 = (điểu kiện bảo toàn Tensor xung lượng 𝑇𝜇𝜈 ) Trong không gian cong: 𝐷𝜇 𝑇𝜇𝜈 = Khảo sát hạt chuyển động chậm, hấp dẫn tuân theo phương trình Poission: ∇2 𝑉 𝑥 = 4𝜋𝐺𝑁 𝑇00 với 𝑇00 : mật độ vật chất  ∇2 𝑕00 = 4𝜋𝐺𝑁 𝑇00 => 𝜕 𝑕00 = 8𝜋𝐺𝑁 𝑇00 Tóm lại, giới hạn không tương đối tính, hạt chuyển động chậm, phương trình mô tả trường hấp dẫn khai triển tuyển tính có dạng: 𝑑 2𝑥 𝑖 𝑑𝜏 =− 𝜕𝑉 𝑥 𝜕𝑥𝑖 ; 𝑉 𝑥 = 𝑕00 𝜕 𝑕00 (𝑥) = 8𝜋𝐺𝑁 𝑇00 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Hữu Mình (2003), “Cơ học lý thuyết tương đối”, NXB Đại học sư phạm Bộ Giáo dục đào tạo, “Giáo trình thiên văn” A Einstein – L Infeld (2005), “Sự tiến triển vật lý học”, NXB khoa học kĩ thuật ... lý thuyết tương đối Einstein để tính toán giải thích số tượng Vũ trụ Giả thuyết khoa học Nếu vận dụng lý thuyết tương đối Einstein số kiến thức vật lý liên quan, tính toán giải thích số tượng Vũ. .. thuyêt tương đối Einstein Chương II: Lý thuyết tương đối Einstein Chương III: Lý thuyết hấp dẫn Einstein việc giải thích số tượng Vũ trụ CHƢƠNG I TỪ CƠ HỌC CỔ ĐIỂN NEWTON ĐẾN THUYẾT TƢƠNG ĐỐI ENSTEIN... học tương đối tính hay gọi thuyết tương đối Einstein Thuyết tương đối Einstein, với nội dung gồm hai phần: phần thuyết tương đối hẹp nghiên cứu hệ quy chiếu quán tỉnh, phần thuyết tương đối rộng