Thuyết tương đối trong việc giải thích một số hiện tượng của vũ trụ

Thuyết tương đối Einstein, với nội dung gồm hai phần: phần thuyết tương đối hẹp chỉ nghiên cứu các hệ quy chiếu quán tỉnh, phần thuyết tương đối rộng nghiên cứu các hệ quy chiếu không qu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN

THUYẾT TƯƠNG ĐỐI TRONG VIỆC GIẢI THÍCH

MỘT SỐ HIỆN TƯỢNG CỦA VŨ TRỤ

Thuộc nhóm ngành khoa học: Khoa học tự nhiên

Sơn La, tháng 5 năm 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN

THUYẾT TƯƠNG ĐỐI TRONG VIỆC GIẢI THÍCH

MỘT SỐ HIỆN TƯỢNG CỦA VŨ TRỤ

Thuộc nhóm ngành khoa học: Khoa học tự nhiên

Sinh viên thực hiện: Đỗ Thị Lan Hương

Giới tính: Nữ

Dân tộc: Kinh

Lớp: K55 ĐHSP Vật lý

Khoa: Toán – Lý – Tin

Năm thứ 3/Số năm đào tạo: 4

Sinh viên thực hiện: Đỗ Thị Lan Hương

Giảng viên hướng dẫn: ThS Phạm Ngọc Thư

Sơn La, tháng 5 năm 2017

Cuối cùng, em xin gửi lời biết ơn tời gia đình đã khuyến khích tinh thần và hỗ trợ tài chính cho em, là một phần quan trọng để em hoàn thành đề tài nghiên cứu này

Trong quá trình học tập và thực hiện đề tài, không tránh khỏi những sai sót là điều tất yếu, rất mong các thầy cô bỏ qua cho em Đồng thời do trình độ cũng như kinh nghiệm thực tiễn còn hạn chế nên bản báo cáo đề tài này không tránh khỏi thiếu sót Em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu cúa các thầy cô và bạn học để kiến thức của em trong lĩnh vực này được hoàn thiện hơn, đề tài cũng hoàn chỉnh hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Sơn La, ngày tháng năm 2017

Sinh viên thực hiện

Đỗ Thị Lan Hương

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU……… … ………….… 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Giả thuyết khoa học 1

4 Đối tượng nghiên cứu 1

5 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

6 Phạm vi nghiên cứu 2

7 Phương pháp nghiên cứu 2

8 Đóng góp của đề tài 2

9 Cấu trúc của đề tài 2

CHƯƠNG I TỪ CƠ HỌC CỔ ĐIỂN NEWTON ĐẾN THUYẾT TƯƠNG ĐỐI ENSTEIN 3

1.1 Cơ học cổ điển Newton 3

1.1.1 Nội dung 3

1.1.2 Hệ quy chiếu, không gian và thời gian trong Cơ học cổ điển 3

1.1.3 Công thức biến đổi tọa độ và nguyên lý tương đối Galileo 4

1.1.4 Giới hạn ứng dụng của cơ học cổ điển Newton 4

1.2 Thuyết tương đối hẹp của Einstein 5

1.2.1 Nội dung 5

1.2.2 Công thức biến đổi Lorentz 6

1.2.3 Cấu trúc không – thời gian bốn chiều Minkwoski 8

1.2.4 Các phép biến đổi tọa độ 10

1.2.5 Vectơ trong không – thời gian bốn chiều 11

1.3 Thuyết tương đối rộng 13

1.3.1 Nội dung 13

1.3.2 Dịch chuyển song song 14

1.3.3 Liên thông Affine – Chỉ số Christofell 15

1.3.4 Phương trình trắc địa (geodesic equation) 15

1.3.5 Tensor metrix Tensor cong Riemann và mối liên hệ giữa chúng 16

1.3.6 Kết luận chương I 18

CHƯƠNG II: LÝ THUYẾT HẤP DẪN EINSTEIN 19

2.1 Định luật vạn vật hấp dẫn Newton 19

2.2 Ba định luật Kepler về sự chuyển động của các hành tinh 19

2.2.1 Lịch sử 19

2.2.2 Định luật I 21

2.2.3 Định luật II 23

2.2.4 Định luật III 23

2.2.5 Liên hệ với định luật Newton 23

2.3 Lý thuyết hấp dẫn Einstein 23

2.3.1 Trường hấp dẫn 24

2.2.2 Phương trình Einstein 24

2.2.3 Xây dựng phương trình Einstein từ khai triển nhiễu loạn 25

2.3 Kết luận chương II 27

CHƯƠNG III LÝ THUYẾT HẤP DẪN EINSTEIN TRONG VIỆC GIẢI THÍCH MỘT SỐ HIỆN TƯỢNG CỦA VŨ TRỤ 28

3.1 Lời giải Schwarzschild 28

3.2 Giải thích sự dịch chuyển cận điểm và sự lệch đường đi của tia sáng 35

3.2.1 Phương trình quỹ đạo của hạt trong không gian Schwarzschild 35

3.2.2 Sự dịch chuyển cận điểm quỹ đạo của các ngôi sao 37

3.2.3 Sự lệch đường đi của tia sáng 39

3.3 Kết luận chương III 40

KẾT LUẬN ĐỀ TÀI 42 PHỤ LỤC

TÀI LIỆU THAM KHẢO

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Vật lý học ngày càng khằng định vai trò quan trọng trong đời sống và khoa học công nghệ, luôn thu hút rất nhiều sự quan tâm rộng rãi Trong một thời gian dài, cơ học Newton hay còn gọi là cơ học cổ điển, đã chiếm một vị trí quan trọng trong sự phát triển của vật lý học Theo Newton thời gian và không gian là tuyệt đối, không phụ thuộc vào chuyển động, khối lượng của vật là bất biến Tuy nhiên, khi nghiên cứu chuyển động của những vật có vận tốc rất lớn so sánh được với vận tốc ánh sáng trong chân không, người ta thấy rằng cơ học Newton không còn thích hợp nữa, cụ thể là: không gian, thời gian, khối lượng đều phụ thuộc vào chuyển động Như vậy, cần phải xây dựng một môn cơ học tổng quát hơn áp dụng được cho cả các vật chuyển động vào cỡ c Đó là môn cơ học tương đối tính hay còn gọi là thuyết tương đối Einstein Thuyết tương đối Einstein, với nội dung gồm hai phần: phần thuyết tương đối hẹp chỉ nghiên cứu các hệ quy chiếu quán tỉnh, phần thuyết tương đối rộng nghiên cứu các hệ quy chiếu không quán tính và trường hấp dẫn, giữ một vai trò nền tảng quan trọng trong việc xây dựng mô hình và giải thích một số hiện tượng của Vũ trụ Tuy nhiên, trong chương trình đào tạo đại học hiện nay tài liệu tham khảo về vấn đề này dành cho sinh viên còn rất hạn chế, nếu có thì cũng trừu tượng, không chuyên, một số tài liệu nước ngoài khó hiểu, được dịch không sát nghĩa Việc có một tài liệu trình bày

cụ thể vấn đề này là hết sức cần thiết Chính vì nguyên nhân này, với những hiểu biết

và tài liệu đã có, chúng tôi mạnh dạn quyết định thực hiện đề tài: “Thuyết tương đối

rộng trong việc giải thích một số hiện tượng của vũ trụ”

2 Mục đích nghiên cứu

Hiểu và vận dụng lý thuyết tương đối của Einstein để tính toán và giải thích một

số hiện tượng của Vũ trụ

3 Giả thuyết khoa học

Nếu vận dụng lý thuyết tương đối của Einstein và một số kiến thức vật lý liên quan, có thể tính toán và giải thích một số hiện tượng của Vũ trụ

4 Đối tượng nghiên cứu

- Lý thuyết tương đối Einstein, phương trình Einstein và một số định luật liên quan

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu và trình bày các nội dung của thuyết tương đối Einstein

- Giải thích một số hiện tượng của Vũ trụ, kèm theo tính toán cụ thể

6 Phạm vi nghiên cứu

- Nội dung lý thuyết tương đối Einstein và một số kiến thức vật lý liên quan

7 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Tiến hành tìm và đọc hiểu các giáo trình chuyên ngành, các nguồn tài liệu chọn lọc liên quan để xây dựng hệ thống cơ sở lý thuyết

- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia:

+ Nhờ giảng viên hướng dẫn xem xét, nhận xét và đánh giá

+ Tham khảo ý kiến của các giảng viên dạy bộn môn Vật lý lý thuyết

8 Đóng góp của đề tài

- Trình bày chi tiết nội dung lý thuyết tương đối Einstein, bổ sung vào nguồn tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành sư phạm vật lý và những giáo viên quan tâm

9 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo, đề tài gồm 3 chương:

Chương I: Từ cơ học cổ điển Newton đến thuyêt tương đối Einstein

Chương II: Lý thuyết tương đối Einstein

Chương III: Lý thuyết hấp dẫn Einstein trong việc giải thích một số hiện tượng của Vũ trụ

CHƯƠNG I TỪ CƠ HỌC CỔ ĐIỂN NEWTON ĐẾN THUYẾT TƯƠNG ĐỐI

ENSTEIN 1.1 Cơ học cổ điển Newton

1.1.1 Nội dung

Cơ học cổ điển, hay còn gọi là cơ học Newton, là ngành khoa học nghiên cứu

chuyển động của các vật vi mô có vận tốc nhỏ hơn rất nhiều so với vận tốc của ánh sáng

1.1.2 Hệ quy chiếu, không gian và thời gian trong Cơ học cổ điển

- Hệ quy chiếu được chọn để nghiên cứu chuyển động của các vật là hệ quy

chiếu quán tính, là hệ quy chiếu mà trong đó các chất điểm cô lập giữ nguyên trạng thái đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều

- Trong Cơ học cổ điển thừa nhận tiên đề:

+ Tiên đề về tính chất tuyệt đối của thời gian: Khoảng thời gian trôi qua của một quá trình vật lý bất kì trong mọi hệ quy chiếu chuyển động tương đối đối với nhau một cách tùy ý là như nhau, nghĩa là:

t = t’

với t và t’ lần lượt là khoảng thời gian trôi qua của quá trình vật lý nói trên đối với các hệ quy chiếu K và K’ chuyển động tương đối đối với hệ quy chiếu K

+ Tiên đề về tính chất tuyệt đối của không gian:

Thực nghiệm chỉ rằng không gian trong cơ học cổ điển là không gian Euclid ba chiều với đặc tính được xác định bằng đẳng thức: z

dr2 = dx2 + dy2 +dz2 r M

O y

x

trong đó x, y, z là hình chiếu của vectơ r (bán kính vectơ r kẻ từ gốc O đến M xác định

vị trí của chất điểm M ở thời điểm t) trên ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz

Không gian có tính chất tuyệt đối: Khoảng cách giữa hai vị trí của hai chất điểm bất kỳ ở cùng một thời điểm đã cho là như nhau trong mọi hệ quy chiếu

* Biến cố

Biến cố (hay cũng gọi là sự kiện) được hiểu là một sự kiện vật lý xảy ra tại một điểm nào đó trong không gian vào một thời điểm nào đó

1.1.3 Công thức biến đổi tọa độ và nguyên lý tương đối Galileo

1.1.3.1 Công thức biến đổi tọa độ Galileo

Xét bài toán: Tìm công thức biến đổi tọa độ của một biến cố từ hệ quy chiếu quán tính

𝐾 sang hệ quy chiếu quán tính 𝐾′ hay ngược lại 𝑦 𝑦′

Đối với hệ quy chiếu quán tính 𝐾, (+)

biến cố xảy ra tại điểm (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑂 𝑂′ 𝑥′ vào thời điểm 𝑡, đối với hệ quán tính 𝐾′ 𝑧 𝑧′ 𝑥′ thì biến cố trên xảy ra tại điểm (𝑥′, 𝑦′, 𝑧′) vào thời điểm 𝑡′ Gọi (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) và (𝑥′, 𝑦′, 𝑧′, 𝑡′) là tọa độ của cùng một biến cố trên đối với hệ quán tính 𝐾 và 𝐾′

Giả sử ban đầu 𝑡 = 𝑡′ = 0 hệ quán tính 𝐾′ trùng với hệ quán tính 𝐾 (gốc 𝑂′ trùng với gốc 𝑂) Sau đó nếu hệ 𝐾′chuyển động tương đối so với hệ 𝐾 dọc theo chiều dương trục 𝑥 với vận tốc không đổi 𝑉 thì công thức biến đổi Galile có dạng:

 Sự phụ thuộc tọa độ của một biến cố trong hệ 𝐾 và 𝐾′ là phụ thuộc tuyến tính

1.1.3.2 Nguyên lý tương đối Galileo

Phát biểu: “Mọi hiện tượng cơ học diễn ra như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính”

1.1.4 Giới hạn ứng dụng của cơ học cổ điển Newton

Theo cơ học Newton, thế năng tương tác giữa các điểm phụ thuộc khoảng cách tương đối giữa chúng Khi chất điểm này dịch chuyển thì chất điểm kia lập tức chịu ảnh hưởng Như vậy tương tác được truyền đi tức thời và vận tốc truyền tương tác là

vô cùng lớn Song, trong tự nhiên không tồn tại những tương tác xảy ra tức thời như vậy, Khoảng thời gian tương tác ∆t > 0 và từ những sự kiện thực nghiệm người ta thấy rẳng: vận tốc truyền tương tác có giá trị hữu hạn và bằng nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính Thực nghiệm cũng chứng tỏ rằng, vận tốc không đổi này là cực đại và bằng vận tốc lan truyền của ánh sáng trong chân không, được kí hiệu bằng chữ c, c ≈ 3.108

m/s Như vậy, quan niệm về vận tốc truyền tương tác vô cùng lớn trong cơ học Newton không còn đúng nữa Thừa nhận vận tốc của ánh sáng trong chân không đúng với mọi hệ quy chiếu quán tính đều bằng c lại mâu thuẫn với công thức tổng hợp vận tốc Galileo Thật vậy, giả sử hệ quán tính K’ chuyển động với vận tốc không đổi V dọc

theo trục x so với hệ quán tính K Khi đó theo công thức tổng hợp vận tốc Galileo vận tốc ánh sáng truyền theo chiều dương của trục x đối với hệ K’ là c thì đối với hệ K là c + V khác với c Nhưng, như đã nói, vận tốc ánh sáng đối với hệ quán tính K và K’ luôn bằng nhau và bằng c như vậy, công thức tổng hợp vận tốc của Galileo xây dựng trên cơ sở t = t’ không còn đúng nữa

Môn cơ học nghiên cứu chuyển động của vật thể có vận tốc lớn so sánh với vận tốc của ánh sáng trong chân không và coi t’ ≠ t gọi là môn cơ học tương đối tính hay thuyết tương đối của Einstein đối với cơ học Cơ học Newton chỉ là trường hợp giới hạn của cơ học tương đối tính khi vận tốc của chất điểm rất nhỏ so với vận tốc của ánh sáng trong chân không

Về mặt nội dung, thuyết tương đối gồm hai phần: phần thuyết tương đối hẹp chỉ nghiên cứu các hệ quy chiếu quán tỉnh, phần thuyết tương đối rộng nghiên cứu các hệ quy chiếu không quán tính và trường hấp dẫn

1.2 Thuyết tương đối hẹp của Einstein

1.2.1 Nội dung

Để xây dựng lí thuyết tương đối của mình, năm 1905 Einstein đã đưa ra lý

thuyết tương đối hẹp trong không – thời gian phẳng gồm hai tiên đề sau:

* Tiên đề 1: “Mọi hiện tượng vậy lý diễn ra như nhau trong mọi hệ quy chiếu

quán tính” (Phương trình mô tả một định luật vật lý nào đó được biểu diễn qua tọa độ

và thời gian sẽ giữ nguyên dạng trong các hệ quy chiếu quán tính)

Tiên đề 1 là sự mở rộng nguyên lý tương đối Galileo từ các hiện tượng cơ học sang các hiện tượng vật lý nói chung, tiên đề 1 tổng quát hơn nguyên lý tương đối

Galileo về mặt toán học

* Tiên đề 2: “Vận tốc truyền tương tác c là hữu hạn và không phụ thuộc vào các

hệ quy chiếu quán tính”

Theo quan điểm của tiên đề 2, vận tốc ánh sáng là giới hạn trên của vận tốc mọi vật thể Tiên đề 2 thực chất là bác bỏ quan niệm về tính tuyệt đối của thời gian và không gian trong cơ học cổ điển Newton, và coi rằng khái niệm không, thời gian có tính chất tương đối, không hề mâu thuẫn với phép biến đổi cổ điển và cơ học cổ điển Trái lại, theo quan điểm của thuyết mới, ta thấy rõ vật lý cổ điển đúng trong trường hợp nào và bị giới hạn ở đâu

Sự bất nhất cơ học Newton với phương trình Maxwell về điện không có khả năng phát hiện chuyển động của Trái Đất trong chân không đã dẫn đến sự phát triển thuyết tương đối hẹp Lý thuyết này được gọi là “hẹp” vì nó áp dụng trong trường hợp đặc biệt của hệ quy chiếu quán tính Thay vì một khoảng thời gian bất biến giữa hai sự kiện, có một khoảng không – thời gian bất biến Kết hợp các định luật khác, hai tiên đề của lý thuyết tương đối hẹp dự đóan được sự chuyển đổi tương đương giữa khối lượng

và năng lượng, thể hiện trong công thức 𝐸 = 𝑚𝑐2, với c là tốc độ ánh sáng trong chân không

Một đặc điểm nổi bật của thuyết tương đối hẹp là sự thay thế những biến đổi Galileo của cơ học Newton bằng biến đổi Lorentz Phép biến đổi cổ điển chỉ là một trường hợp đặc biệt, giới hạn của phép biến đổi Lorentz Chỉ có thể tồn tại một phép biến đổi duy nhất từ hệ tọa độ này sang hệ tọa độ khác, đó chính là phép biến đổi Lorentz

1.2.2 Công thức biến đổi Lorentz

* Khoảng giữa hai biến cố

Xét hai biến cố M1 và M2 Tọa độ của hai biến cố M1 và M2 đối với hệ quán tính

K là x1, y1, z1, t1 và x2, y2, z2, t2 Tọa độ của hai biến cố M1 và M2 đối với hệ quán tính K’ là x’1, y’1, z’1, t’1 và x’2, y’2, z’2, t’2

Kí hiệu:

∆x = x2 – x1; ∆y = y2 – y1; ∆z = z2 – z1; ∆t = t2 – t1

∆x’ = x’2– x’1; ∆y’ = y’2 – y’1; ∆z’ = z’2 – z’1; ∆t’ = t’2 – t’1

∆l = ∆x2 + ∆y2 + ∆z2, ∆l’ = ∆x’2 + ∆y’ 2 + ∆z’2

Các lượng ∆l và ∆t là khoảng không gian và khoảng thời gian giữa hai biến cố

M1 và M2 trong hệ quán tính K Các lượng ∆l’ và ∆t’ là khoảng không gian và khoảng thời gian giữa hai biến cố M1 và M2 trong hệ quán tính K’ Trong lý thuyết tương đối, khoảng giữa hai biến cố là sự thống nhất các khái niệm khoảng không gian và khoảng thời gian, được xác định bằng các hệ thức:

∆s = c2∆t2 − ∆l2 = c2∆t2 − ∆x2 − ∆y2 − ∆z2

∆s’ = c2∆t’2 − ∆l’2 = c2∆t’2 − ∆x’2− ∆y’ 2 − ∆z’2

Khoảng giữa hai biến cố là bất biến nên:

∆s2 = c2∆t2 − ∆l2 = ∆s’2 = c2∆t’2 − ∆l’2

Điều kiện áp dụng: công thức Lorentz phải thỏa mãn điều kiện khoảng bất biến giữa hai biến cố (thỏa mãn các tiên đề Einstein)

Xét hai biến cố O và M ở thời điểm ban đầu khi 𝐾 ≡ 𝐾′ có một biến cố xảy ra

ở gốc 𝑂 Tọa độ của gốc 𝑂 trong hệ 𝐾 là 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 = 𝑡 = 0, trong hệ 𝐾′ là 𝑥′ =

𝑦′ = 𝑧′ = 𝑡′ Tọa độ của biến cố M trong hệ 𝐾 là (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) trong hệ 𝐾′ là

𝑥′, 𝑦′, 𝑧′, 𝑡′ Khoảng giữa hai biến cố là bất biến nên ta có:

𝑠2 = 𝑐2𝑡2 − 𝑥2 − 𝑦2 − 𝑧2 = 𝑠′ 2 = −𝑥′ 2− 𝑦′ 2 − 𝑧′ 2+ 𝑐2𝑡′2 (1-2)

Để đơn giản, xét hệ 𝐾′ ban đầu trùng hệ 𝐾, sau đó chuyển động thẳng đều so với

𝐾 theo chiều (+) trục 𝑥 với vận tốc 𝑉, khi đó 𝑦 = 𝑦′và 𝑧 = 𝑧′, điều kiện (1-2) chuyển

thành:

c 2 t 2 – x 2

= c 2 tʹ 2 - xʹ 2 (1-3) Phép biến đổi tuyến tính thỏa mãn điều kiện (1-3) có dạng:

𝑥 = 𝑎𝑥𝑐𝑡 = 𝑏𝑥′′+ 𝑏𝑐𝑡+ 𝑎𝑐𝑡′′ trong đó 𝑎, 𝑏 là những hệ số thỏa mãn hệ thức 𝑎2 + 𝑏2 = 1

Xác định 𝑎, 𝑏:

Xét chuyển động của gốc 𝑂′ của hệ 𝐾′so với hệ 𝐾 Tọa độ gốc 𝑂′(𝑥′ = 𝑦′ =

𝑧′ = 0) Phương trình chuyển động thẳng đều của gốc 𝑂′ so với hệ 𝐾:

𝑉𝑥 𝑐2

- Không gian mà không chứa vật chất thì tọa độ là thẳng, quỹ đạo chuyển động

của hạt là đường thẳng

- Trong một khoảng không gian khá nhỏ, ta coi không gian là phẳng, nghĩa là tại bất cứ điểm nào của không gian cũng tồn tại đạo hàm, và đạo hàm bậc hai lấy theo các hướng khác nhau là như nhau

1.2.3.2 Không – thời gian Minkowski

tả cấu trúc đồng nhất không – thời gian gọi là hình học Minkowski

- Trong không gian Minkowski, không gian và thời gian đã được đồng nhất nên mỗi một sự kiện sẽ được mô tả bởi 1 điểm

- Ta kí hiệu một sự kiện trong không gian Minkowki là (𝑐𝑡, 𝑥, 𝑦, 𝑧) ≡ 𝑥𝜇 =(𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) Khoảng không – thời gian (Space – Time interval) giữa 2 sự kiện diễn

𝑑𝑠2 = − 𝑐∆𝑡 2 + ∆𝑥2 + ∆𝑦2 + ∆𝑧2 = 𝑑𝑠2 = − 𝑐∆𝑡′ 2 + ∆𝑥′2 + ∆𝑦′ 2 + ∆𝑧′ 2

= 𝜂𝜇𝜈𝑑𝑥𝜇𝑑𝑥𝜈 với (𝜇, 𝜈 = 0, 1, 2, 3)

trong đó 𝜂𝜇𝜈 là Tensor Metrix hay Tensor Minkowski có dạng chéo

𝜂𝜇𝜈 = 𝜂𝜇𝜈 = 𝑑𝑖𝑎𝑔(−1, −1, −1, −1)

Ta sẽ đi khảo sát các phép biến đổi tọa độ đồng thời đảm bảo các tính chất bất biến của khoảng không – thời gian giữa hai sự kiện

1.2.4 Các phép biến đổi tọa độ

Các phép biến đổi tọa độ từ hệ quy chiếu quán tính này sang hệ quy chiếu quán tính khác, bảo toàn khoảng không – thời gian giữa hai sự kiện trong không – thời gian Minkowski, tạo thành một nhóm gọi là nhóm các phép biến đổi Lorentz

1.2.4.1 Phép tịnh tiến

Phép biến đổi tịnh tiến từ hệ quy chiếu quán tính này sang hệ quy chiếu quán tính khác có dạng như sau:

𝑥′𝜇 = 𝑥𝜇 + 𝑎𝜇

1.2.4.2 Phép biến đổi Lorentz thuần nhất

Là phép biến đổi từ hệ tọa độ không – thời gian 𝑥𝜇 sang hệ khác 𝑥′𝜇 có dạng:

1.2.4.3 Phép biến đổi Lorentz không thuẩn nhất – phép biến đổi Poincare

Phép biến đổi Poincare kết hợp giữa phép biến đổi Lorentz và phép tịnh tiến không thời gian Hay, phép biến đổi Poincare là phép biến đổi từ hệ tọa độ không – thời gian 𝑥𝜇 sang hệ khác 𝑥′𝜇 thỏa mãn quy luật:

𝑥′𝜇 = Λ𝜇𝜈𝑥𝜈 + 𝑎𝜇

1.2.4.4 Phép biến đổi tọa độ Boots

Là phép quay giữa các tọa độ không gian và thời gian Cụ thể:

𝑑𝑥′𝜇 = Λ𝜇𝜈𝑥𝜈

1.2.5 Vectơ trong không – thời gian bốn chiều

1.2.5.1 Vectơ

- Trong không gian Euclid ba chiều (không gian phẳng), vectơ là đường thẳng có

hướng biếu diễn từ điểm này sang điểm khác trong không gian

- Trong không – thời gian bốn chiều, mỗi một điểm trong không gian sẽ tồn tại

một tổ hợp các vectơ bốn chiều định xứ tại điểm này, gọi là không gian các vectơ tiếp tuyến tại điểm khảo sát

Mỗi một vectơ bất kì 𝑉 trong không gian bốn chiều sẽ được khai triển theo các vectơ cơ sở và các thành phần của nó như sau:

𝑉 = 𝑉𝜇𝑒𝜇, 𝜇 = 0, 1, 2, 3

Trong đó 𝑉𝜇 là các thành phần của vectơ 𝑉 và 𝑒𝜇 là các vectơ cơ sở trong không gian vectơ

1.2.5.2 Quy luật biến đổi dưới phép biến đổi Lorentz

Để tìm hiểu quy luật biến đổi của các thành phần của vectơ hiệp biến – đồng

biến, ta khảo sát vectơ tiếp tuyến của đường cong 𝑥𝜇(𝜆) trong không – thời gian bốn chiều Các thành phần được xác định như sau:

𝑉𝜇 𝜆 = 𝑑𝑥𝑑𝜆𝜇 Dưới phép biến đổi Lorentz, tọa độ không – thời gian bốn chiều biến đổi theo quy luật 𝑥′𝜇 = Λ𝜇𝜈𝑥𝜈 Do đó, có thể thu được quy luật biến đổi của các thành phần vectơ tiếp tuyến như sau:

+ Chỉ số trên của các thành phần vectơ 𝑉 biến đổi giống quy luật biến đổi của tọa độ 4 chiều không – thời gian 𝑥𝜇 dưới phép biến đổi Lorentz

+ Chỉ số dưới của vectơ 𝑉 biến đổi giống như phép biến đổi nghịch đảo của phép biến đổi Lorentz

- Thành phần phản biến của một vectơ: các thành phần của vectơ trong không gian

vectơ tiếp tuyến được gọi là các thành phần phản biến của vectơ và có chỉ số trên: 𝑉𝜇

- Thành phần hiệp biến của một vectơ: các thành phần vectơ trong không gian

đối ngẫu của vectơ tiếp tuyến được gọi là các thành phần hiệp biến của vectơ và có chỉ

số dưới: 𝑉𝜇

- Các thành phần phản biến và hiệp biến của vectơ là biến đổi nghịch đảo nhau

dưới phép biến đổi Lorentz

- Không gian vectơ đối ngẫu của không gian các vectơ tiếp tuyến: là không gian

mà hệ vectơ cơ sở của không gian này và hệ vectơ cơ sở (𝜃𝜇) của không gian vectơ tiếp tuyến (𝜃𝜈) thỏa mãn điều kiện:

- Đại lượng vô hướng (nhiệt độ, khối lượng,…): chỉ quan hệ với giá trị bằng số

- Đại lượng vectơ (vận tốc, gia tốc,…): ngoài giá trị số còn phải kể đến hướng của chúng trong không gian

- Đại lượng tổng quát được đặc trưng bởi các tensor, không phụ thuộc vào cách chọn hệ tọa độ dùng để mô tả chúng, có thể bao quát mọi đặc trưng của tất cả các đại lượng, xem chúng như những tensor hạng không (vô hướng), tensor hạng nhất (vectơ)

và hạng bất kỳ Trong mỗi hệ tọa độ có thể định nghĩa cho tensor các thành phần của

nó và các thành phần này sẽ được xác định trong một hệ tọa độ bất kỳ khác Do tính chất tuyến tính và đồng nhất, tính bất biến của hệ thức tensor đối với phép biến đổi tọa

độ, nên các phương trình dưới dạng tensor luôn đúng trong các hệ tọa độ khác nhau

*Tensor là tổ hợp của nhiều thành phần mà mỗi thành phần tensor biến đổi như

1 vectơ Số lượng các thành phần của tensor là hạng của tensor

- Tensor hiệp biến là tensor mà các thành phần của tensor biến đổi như một

vectơ hiệp biến Tensor hiệp biến hạng n:

𝛤𝛼𝛽 …𝛾 → 𝛤𝐿 𝛼𝛽 …𝛾′ = Λ𝛼𝛼1 Λ𝛽𝛽1 … (Λ𝛾𝛾1)𝛤𝛼1𝛽1…𝛾1

- Tensor phản biến là tensor mà các thành phần của tensor biến đổi như một

vectơ phản biến Tensor phản biến hạng n:

+ Tensor (0, 0) là một đại lượng vô hướng

+ Tensor (1, 0) là một vectơ phản biến

+ Tensor (0, 1) là một vectơ hiệp biến

1.3 Thuyết tương đối rộng

1.3.1 Nội dung

Ngay sau khi phát triển thuyết tương đối hẹp, Einstein bắt đầu suy nghĩ về sự mâu thuẫn giữa lực hấp dẫn Newton với lý thuyết này Lực hấp dẫn Newton chỉ đúng trong trường hợp hệ quy chiếu quán tính của vật lý cổ điển, mối liên hệ giữa lực và khoảng cách là bất biến với phép biến đổi cổ điển Nhưng định luật này không phù hợp với khuôn khổ thuyết tương đối hẹp, khoảng cách không bất biến dưới phép biến đổi Lorentz Từ đó, ông xây dựng thuyết tương đối rộng để phát biểu các định luật vật lý cho tất cả các hệ tọa độ Thuyết tương đối rộng được phát biểu như sau: “Mọi hiện tượng vật lý diễn ra như nhau trong mọi hệ quy chiếu” Nói cách khác, các phương trình mô tả các hiện tượng vật lý là như nhau trong mọi hệ quy chiếu Thuyết tương đối hẹp là trường hợp giới hạn khi bỏ qua lực hấp dẫn

Để chứng minh sự bất biến của các phương trình mô tả các hiện tượn vật lý khi chuyển từ hệ quy chiếu này sang hệ quy chiếu khác, Einstein đã làm việc trong không – thời gian Minkwoski – cấu trúc không thời gian bốn chiều

1.3.2 Dịch chuyển song song

- Trong không gian phẳng, đạo hàm không gian của tensor hạng (m, n) là tensor hạng (m, n+1), ví dụ: đạo hàm của trường vô hướng là tensor hạng nhất, đạo hàm của tensor hạng nhất là tensor hạng hai Tuy nhiên, trong không gian cong thì điều này không đúng, đạo hàm của một vectơ không biến đổi như tensor hạng hai Việc tìm một đại lượng đặc trưng cho sự thay đổi của một vectơ tại hai điểm, biến đổi như một tensor, chính là lý do để đưa ra khái niệm về dịch chuyển song song

1.3.2.1 Định nghĩa

- Trong không gian phẳng, với tọa độ hình chữ nhật 𝑥𝜇, khi dịch chuyển song song vectơ 𝐴𝜇 từ vị trí này sang vị trí khác thì vectơ 𝐴𝜇 không thay đổi hướng và độ lớn, dễ dàng xây dựng các tensor hạng cao hơn bằng cách lấy vi phân

y

𝐴𝜇 𝐴𝜇

O x

- Trong không gian cong, khi dịch chuyển song song vectơ 𝐴𝜇 từ vị trí này đến

vị trí khác, thì hướng của vectơ sẽ thay đổi, hay nói cách khác là các thành phần của vectơ sẽ thay đổi:

𝐴𝜇 𝑑ị𝑐𝑕 𝑐𝑕𝑢𝑦 ể𝑛 𝑠𝑜𝑛𝑔 𝑠𝑜𝑛𝑔 𝐴𝜇 +𝛿𝐴𝜇 với 𝛿𝐴𝜇 gọi là dịch chuyển song song của một vectơ

- Trong không gian phẳng: 𝛿𝐴𝜇 = 0

- Trong không gian cong 𝛿𝐴𝜇 ≠ 0: độ cong của không gian tạo ra sự khác biệt của vectơ trước và sau dịch chuyển song song

1.3.2.2 Tìm 𝛿𝐴𝜇

Khảo sát một vectơ trong hệ tọa độ 𝑥𝜇 có các thành phần là 𝐴𝜇, trong hệ tọa độ

𝑦𝜇 có các thành phần là 𝐵𝜇 Khi thực hiện phép biến đổi tọa độ tổng quát từ hệ 𝑥𝜇

sang hệ 𝑦𝜇 thì:

𝐴𝜇 =𝜕𝑦𝛼

𝜕𝑥 𝜇 𝐵𝛼 và 𝐵𝜇 =𝜕𝑥𝛼

𝜕𝑦 𝜇𝐴𝛼

1.3.3 Liên thông Affine – Chỉ số Christofell 𝐴𝜇′

𝛤𝜇𝛽𝛼 =𝜕𝑥𝜕𝜇2𝑦𝜕𝑥𝛼𝛽𝜕𝑥𝜕𝑦𝛼𝜇 𝑥𝜇 + ∆𝑥𝜇

𝐴𝜇′ = 𝐴𝜇 + 𝛿𝐴𝜇 = 𝐴𝜇 + 𝛤𝜇𝛽𝛼 𝑑𝑥𝛽𝐴𝛼 𝐴𝜇 𝑥𝜇

𝛤𝜇𝛽𝛼 kết nối 2 điểm trong không gian cong là đối xứng với hai chỉ số 𝛼, 𝛽 và không phải tensor hạng ba

1.3.4 Phương trình trắc địa (geodesic equation)

Phương trình trắc địa (phương trình quỹ đạo) là phương trình mô tả dịch chuyển song song của một vectơ tiếp tuyến trên quỹ đạo chuyển động của một hạt

Dạng của phương trình:

𝑥 𝜈 + 𝛤𝛼𝛽𝜈 𝑥 𝛼𝑥 𝛽 = 0 với 𝛤𝛼𝛽𝜈 =1

2 𝑔𝜇𝛼 ,𝛽 + 𝑔𝜇𝛽 ,𝛼 − 𝑔𝛼𝛽 ,𝜇 là liên thông Affine kết nối hai điểm trong không gian

1.3.5 Tensor metrix Tensor cong Riemann và mối liên hệ giữa chúng

1.3.5.1 Tensor metrix

*Định nghĩa

- Trong không gian phẳng, khoảng bất biến giữa hai sự kiện: 𝑑𝑠2 = 𝑑𝑡2 − 𝑑𝑥 =

𝜂𝜇𝜈𝑑𝑥𝜇𝑑𝑥𝜈 với 𝜂𝜇𝜈 = 𝐷𝑖𝑎𝑔 −1, −1, −1, −1 gọi là tensor metrix

- Trong không gian cong: metrix 𝜂𝜇𝜈 được thay bằng yếu tố 𝑔𝜇𝜈 vàkhoảng cách không – thời gian giữa hai điểm cách nhau bởi dịch chuyển 𝑑𝑥𝜇

𝑑𝑠2 = 𝑑𝑡2− (𝑑𝑟2 + 𝑟2𝑑𝜃2 + 𝑟2𝑠𝑖𝑛2𝜃 𝑑𝜙2 = 𝑔𝜇𝜈𝑑𝑥𝜇𝑑𝑥𝜈 bất biến

𝑔𝜇𝜈 = (−1, −1, −𝑟2, −𝑟2𝑠𝑖𝑛2𝜃)

*Quy ước

- Thành phần thời gian là dương (𝑔00 > 0)

- Thành phần không gian là âm (𝑔𝑘𝑘 < 0)

𝑑𝑠2 < 0> 0

= 0

*Tính chất

- Tensor metrix là đối xứng: 𝑔𝜇𝜈 = 𝑔𝜈𝜇

- Tensor 𝑔𝜇𝜈 là tensor hiệp biến hạng hai

Chứng minh: Dựa vào tính bất biến của 𝑑𝑠2

1.3.5.2 Tensor cong Riemann

*Định nghĩa

Tensor cong Riemann được định nghĩa dưới dạng:

𝑅𝛽𝜇𝜈𝛼 = −Γ𝛽𝜇 ,𝜈𝛼 + Γ𝛽𝜈 ,𝜇𝛼 + Γ𝛽𝜈𝜎 Γ𝜎𝜇𝛼 − Γ𝛽𝜇𝜎 Γ𝜎𝜈𝛼

* Ý nghĩa

- Dưới tác dụng của phép dịch chuyển song song một vectơ, trong không gian

phẳng và không gian cong thu được hai kết quả không trùng nhau, sai khác một lượng

𝑅𝛽𝜇𝜈𝛼 𝐴𝛼, chính độ cong của không gian tạo ra sự khác biệt này

- Tensor cong 𝑅𝛽𝜇𝜈𝛼 đặc trưng cho độ cong của không gian

- Trong không gian phẳng 𝑅𝛽𝜇𝜈𝛼 = 0 và 𝑅𝛽𝜇𝜈𝛼 ≠ 0 trong không – thòi gian cong

Vì nếu 𝑔𝜇𝜈 là hằng số thì kí hiệu Christofell bằng không ở mọi nơi, nếu 𝑔𝜇𝜈 = 𝜂𝜇𝜈 thì tensor metrix sẽ là 𝜂𝜇𝜈 ở mọi nơi Do vậy sự tồn tại trường hấp dẫn chỉ qua sự khác không của tensor Riemann 𝑅𝛽𝜇𝜈𝛼 ≠ 0

1.3.5.3 Mối liên hệ giữa tensor metrix và hình học Riemann

- Hình học Riemann: là hình học mô tả không gian cong thỏa mãn tính chất: khi khảo sát vùng không gian là nhỏ thì một cách gần đúng có thể coi vùng không gian đó

1.3.5.5 Độ cong vô hướng

Độ cong vô hướng:

- Phần thuyết tương đối hẹp chỉ nghiên cứu các hệ quy chiếu quán tính, thay thế những biến đổi Galileo của cơ học Newton bằng biến đổi Lorentz, đã dự đoán được những sự chuyển đổi tương đương giữa khối lượng và năng lượng

- Phần thuyết tương đối rộng nghiên cứu các quy chiếu phi quán tính và trường hấp dẫn, phát biểu thuyết cho tất cả các định luật vật lý trong mọi hệ tọa độ

Để chứng minh lý thuyết của mình, Einstein đã làm việc trong không thời gian Minkwoski – cấu trúc không thời gian bốn chiều, đưa vào một số khái niệm: tensor metrix, tensor độ cong Riemann, phép dịch chuyển song song để tìm phương trình trắc địa mô tả quỹ đạo chuyển động của một hạt

CHƯƠNG II: LÝ THUYẾT HẤP DẪN EINSTEIN

Từ xa xưa, con người đã chú ý đến những hiện tượng thiên nhiên hàng ngày xảy

ra trên bầu trời Một nhu cầu tự nhiên của con người là tìm cách giải thích những hiện tượng đó, và do đó ngay từ thời Hy Lạp cổ đại, thiên văn học đã ra đời nhằm hướng đến việc giải thích các hiện tượng xảy ra trong vũ trụ

Từ những năm 140 SCN, Ptolemy đã cho rằng Trái Đất là trung tâm của vũ trụ,

Mặt trời và các thiên thể khác đều quay xung quanh nó (thuyết địa tâm), quan điểm này tồn tại hơn 1500 năm

Hình 2.1 Bức tranh nghệ thuật thể hiện hệ địa tâm có các dấu hiệu của hoàng đạo và

hệ Mặt trời với Trái Đất ở trung tâm

Khi thuyết nhật tâm của Copernicus ra đời (1543) thì quan điểm của Ptolemy

mới bị phá bỏ Theo thuyết nhật tâm, Trái Đất chỉ là một trong nhiều hành tinh quay xung quanh Mặt trời Thuyết nhật tâm đã đặt nền móng vững chắc cho thiên văn học Tuy nhiên nó vẫn tồn tại hạn chế về sự sai khác quỹ đạo chuyển động của hành tinh là

hình tròn

Hình 2.2 So sánh mô hình địa tâm (bên trên) và mô hình nhật tâm (bên dưới)

Kiên trì theo quan điểm trong thuyết nhật tâm của Nicolaus Copernicus và phân tích các dữ liệu từ những quan sát trong 20 năm của nhà thiên văn Đan Mạch Tycho Brahe, năm 1571 nhà vật lý người Đức Johannes Kepler đã phát triển nhiều phép tính thay thế chứ không hề vi tích phân để ước tính đường đi của Sao Hỏa, ông công bố hai

định luật đầu tiên của ông năm 1609 Một vài năm sau Kepler mới phát hiện ra định luật thứ ba và công bố nó năm 1619

Những tính toán từ dữ liệu quan sát từ Sao Hỏa lần đầu tiên cho Kepler thấy quỹ đạo của nó phải là hình elip thì mới phù hợp với dữ liệu quan sát, và từ đây ông suy luận tương tự cho những hành tinh quay xung quanh Mặt Trời

Khoảng 8 thập kỉ sau, Isaac Newton chứng minh rằng các định luật Kepler có

thể được áp dụng trong những điều kiện lý tưởng và là hệ quả của các định luật về chuyển động và định luật vạn vật hấp dẫn của ông Bởi vì khối lượng của các hành tinh khác không và sự ảnh hưởng nhiễu loạn của các hành tinh khác, ba định luật Kepler chỉ áp dụng một cách xấp xỉ và không miêu tả độ chính xác cao chuyển động của các vật thể trong hệ Mặt Trời Cùng với các lý thuyết của Newton, các định luật Kepler có vai trò quan trọng trong thiên văn học và vật lý học cũng như ứng dụng cho

vệ tinh nhân tạo