Các mô hình 3 3 1 với phần higgs tối thiểu và một số ứng dụng trong vũ trụ học

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐH KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÕ QUỐC PHONG CÁC MƠ HÌNH 3-3-1 VỚI PHẦN HIGGS TỐI THIỂU VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG VŨ TRỤ HỌC LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ TP HỒ CHÍ MINH-2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐH KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÕ QUỐC PHONG CÁC MƠ HÌNH 3-3-1 VỚI PHẦN HIGGS TỐI THIỂU VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG VŨ TRỤ HỌC Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết vật lý toán Mã số: 62 44 01 01 Phản biện 1: PGS.TS Nguyễn Thanh Phong Phản biện 2: PGS.TSKH Lê Văn Hoàng Phản biện 3: TS Võ Văn Ớn Phản biện độc lập 1: PGS.TS Huỳnh Thị Thanh Bình Phản biện độc lập 2: TS Trần Đăng Hưng NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS VÕ THÀNH VĂN GS TS HOÀNG NGỌC LONG TP HỒ CHÍ MINH-2015 Lời cảm ơn Những lời có cánh! Luận án, dành tặng bố mẹ! Tôi chân thành cảm ơn thầy cô Bộ môn Vật lý Lý thuyết cho quan sát, trợ giúp hữu ích q trình học tìm hiểu sâu Vật lý Tơi chân thành cảm ơn Thầy Võ Thành Văn Tôi may mắn gặp Thầy chập chững theo đường nghiên cứu, Thầy người khai môn cho theo bước chân tận thời điểm Trong suốt trình từ đại học đến lúc bảo vệ luận án này, Thầy bảo giúp đỡ người Thầy mẫu mực; cịn người anh, người bạn suốt q trình nghiên cứu Tơi chân thành cảm ơn Thầy Hồng Ngọc Long, lẫn lộn Thầy "sư phụ" hay "sư tổ" Với Thầy học nhiều thứ từ kiến thức đến vấn đề đối nhân xử khoa học đời sống Tôi gởi lời cảm ơn đến tất anh chị nhóm làm việc, ln động viên, trao đổi giúp tơi vượt qua khó khăn Đấy kinh nghiệm quý báu mà học Tôi gửi lời cảm ơn đến người bạn động viên, lắng nghe, dành cho giây phút trải lịng q giá lúc tơi thấy mệt mỏi Võ Quốc Phong Lời cam đoan Luận án kết tơi thực làm nghiên cứu sinh Đại học Khoa Học Tự Nhiên-Tp HCM, với hai thầy hướng dẫn Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu riêng tôi, mới, không trùng lấp với nghiên cứu khác Võ Quốc Phong Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Mục lục iii Những kí hiệu iii Bảng hình vẽ luận án iv Phần mở đầu Chương CÁC MƠ HÌNH 3-3-1 VỚI HAI TAM TUYẾN HIGGS 1.1 Dẫn nhập 1.2 Mơ hình 3-3-1 tối giản 1.2.1 Các hệ hạt 1.2.2 Thành phần Higgs 1.2.3 Thành phần boson chuẩn 1.2.4 Thành phần fermion 1.3 Mơ hình 3-3-1 tiết kiệm 11 1.3.1 Các hệ hạt 12 1.3.2 Thế Higgs 12 1.3.3 Thành phần boson chuẩn 14 1.3.4 Thành phần fermion 16 1.4 Kết luận 17 Mục lục iv Chương BẤT ĐỐI XỨNG BARYON TRONG VŨ TRỤ 19 2.1 Bất đối xứng baryon 19 2.2 Chuyển pha điện yếu 23 2.3 Sphaleron điện yếu 27 2.4 Kết luận 30 Chương CHUYỂN PHA ĐIỆN YẾU TRONG MƠ HÌNH 3-3-1 TỐI GIẢN 32 3.1 Dẫn nhập 33 3.2 Thế hiệu dụng RM331 35 3.3 Chuyển pha điện yếu 37 3.3.1 Chuyển pha SU (3) → SU (2) 39 3.3.2 Chuyển pha SU (2) → U (1) 40 3.3.3 Các điều kiện khối lượng boson Higgs mang điện 44 3.4 Kết luận thảo luận 45 Chương SPHALERON ĐIỆN YẾU TRONG MƠ HÌNH 3-3-1 TỐI GIẢN 47 4.1 Dẫn nhập 48 4.2 Năng lượng Sphaleron 50 4.3 Xác suất Sphaleron 52 4.3.1 Cận xác suất sphaleron 53 4.3.2 Xác suất sphaleron gần tường mỏng 55 4.4 Kết luận thảo luận 61 Chương CHUYỂN PHA ĐIỆN YẾU TRONG MƠ HÌNH 3-3-1 TIẾT KIỆM 63 Mục lục v 5.1 Dẫn nhập 64 5.2 Thế hiệu dụng mơ hình E331 64 5.3 Chuyển pha điện yếu 72 5.3.1 Chuyển pha SU (3) → SU (2) 73 5.3.2 Chuyển pha SU (2) → U (1) 77 5.3.3 Các điều kiện ràng buộc khối lượng boson Higgs mang điện 81 5.4 Kết luận thảo luận 83 Phần kết luận, hướng phát triển 84 Danh mục cơng trình tác giả 88 Tài liệu 89 Phụ lục A: CHUYỂN PHA ĐIỆN YẾU TRONG SM 97 A.1 Thế hiệu dụng 97 A.2 Mơ hình U (1) 100 A.2.1 Phá vỡ tự phát đối xứng U (1) 100 A.2.2 Thế hiệu dụng 101 A.3 Chuyển pha điện yếu 104 A.3.1 Boson chuẩn 104 A.3.2 Thế hiệu dụng 104 Phụ lục B: XÁC SUẤT SPHALERON 107 B.1 Công thức tính xác suất sphaleron 107 B.2 Sphaleron SM 108 Những kí hiệu Trong luận án này, chúng tơi dùng dấu chấm (".") để ngăn cách phần nguyên với phần thập phân số SM (Standard model) Mô hình chuẩn RM331 (Reduced minimal 3-3-1) Mơ hình 3-3-1 tối giản E331 (Economical 3-3-1) Mơ hình 3-3-1 tiết kiệm VEV (Vacuum expectation value) Trị trung bình chân khơng CMB (Cosmic Microwave Background) Bức xạ vũ trụ COBE The Cosmic Background Explorer ABJ Dị thường Adler-Bell-Jackiw WMAP Wilkinson Microwave Anisotropy Probe AMS-01 The Alpha Magnetic Spectrometer SSB (Spontaneous symmetry breaking) Phá vỡ đối xứng tự phát EWPT (Electroweak Phase Transition) Chuyển pha điện-yếu BAU (Baryon Asymmetry Univeersity) Bất đối xứng baryon vũ trụ QED Điện động lực học lượng tử B, C, CP Số lượng tử B, C, CP EB Electroweak baryogenesis Bảng hình vẽ Hình 2.1 Thế hiệu dụng Hình 2.2 Tường mỏng Hình 3.1 Cường độ chuyển pha giai đoạn RM331 Hình 3.2 Cường độ chuyển pha giai đoạn RM331 Hình 3.3 Thế hiệu dụng giai đoạn theo nhiệt độ RM331 Hình 4.1 Cận xác suất sphaleron giai đoạn RM331 Hình 4.2 Bán kính sphaleron hai giai đoạn RM331 Hình 5.1 Cường độ chuyển pha giai đoạn E331 với ω0 = TeV Hình 5.2 Cường độ chuyển pha giai đoạn E331 với ω0 = TeV Hình 5.3 Cường độ chuyển pha giai đoạn E331 với ω0 = TeV Hình 5.4 Cường độ chuyển pha giai đoạn E331 với ω0 = TeV Hình 5.5 Cường độ chuyển pha giai đoạn E331 với ω0 = TeV Hình 5.6 Cường độ chuyển pha giai đoạn E331 Hình 5.7 Cường độ chuyển pha giai đoạn E331 vói Hình 5.8 Thế hiệu dụng giai đoạn theo nhiệt độ mô hình E331 Hình 5.9 Thế hiệu dụng giai đoạn nhiệt độ thấp mơ hình E331 mboson T < 2.2 Bảng 1.1 Phổ khối lượng hạt mơ hình RM331 Bảng 1.2 Phổ khối lượng hạt mơ hình E331 Bảng 4.1 Năng lượng bán kính sphaleron mơ hình RM331 Bảng 4.2 Năng lượng bán kính sphaleron mơ hình E331 Phần mở đầu Từ năm cuối kỉ 20 đến nay, tượng Vũ trụ giãn nở tăng tốc, vật chất tối, lượng tối, bất đối xứng vật chất-phản vật chất, vấn đề thúc đẩy Vũ trụ học vật lý học phát triển mơ hình lý thuyết phù hợp để giải thích Hiện tại, tượng mơ tả nhiều mơ hình liệu thực nghiệm, có thành cơng đáng kể chưa mơ hình đạt lời giải thích triệt để Vật lý nói chung, Vật lý lý thuyết nói riêng, nay, bước sang giai đoạn mới, giai đoạn đưa hiểu biết người gần thời sơ khai Vũ trụ Trong ngữ cảnh đó, gần Vũ trụ học Vật lý hạt đại lộ Tất vấn đề Vật lý có mối quan hệ mật thiết với nhau, từ tượng chất Vì vậy, mơ hình giải thích vật lý tốn, trả lời tốt khía cạnh (bản chất hay tượng) toán khác Đơn cử, lý thuyết tương đối rộng, cho thấy tượng Vũ trụ giãn nở tăng tốc, lý thuyết tiên đốn nan đề cho Vật lý hạt, vật chất tối, lượng tối Cũng thể ví dụ đơn cử trên, nhìn chung Vũ trụ học chưa thể đưa câu trả lời sâu chất vấn đề Ví dụ như, vật chất tối, Vũ trụ học khơng thể cho câu trả lời rõ gì? Hay trả lời cho chất toán bất đối xứng vật chất-phản vật chất, tồn xuyên suốt từ sơ khai Vũ trụ Bởi theo vật lý, đến thứ tương tác, thứ tưởng chừng cố hữu khối lượng tương tác hạt với trường Higgs Vì việc Tài liệu tham khảo 95 of supersymmetric economical 3-3-1 model", Nucl Phys B 795, 361 (2008); D T Huong, L T Hue, M C.Rodriguez, H N Long, "Supersymmetric reduced minimal 3-3-1 model", Nucl Phys B 870, 293 (2013); J G.Ferreira, C A de S Pires, P S Rodrigues da Silva, A Sampieri, "The Higgs sector of the SUSY reduced 3-3-1 model", e-Print: arXiv:1308.0575; D T Binh, L T Hue, D T Huong, H N Long, "Higgs revised in Supersymmetric Economical 3-3-1 model with B/µ-type terms", Eur Phys J C 74, 2851 (2014) [44] V A Kuzmin, V A Rubakov, M E Shaposhnikov, "On anomalous electroweak baryon-number non-conservation in the early universe", Physics Letters B 155, 3642 (1985) [45] V Mukhanov, Physical Foundations of Cosmology, Cambridge University Press, (2005); A D Sakharov, J Exp and Theor Phys 5: 24–27 (1967) [46] Vo Quoc Phong, Hoang Ngoc Long, Vo Thanh Van, Nguyen Chi Thanh, "Electroweak sphalerons in the reduced minimal 3-3-1 model", Physical Review D 90, 085019 (2014) [47] Vo Quoc Phong, Hoang Ngoc Long, Vo Thanh Van, Le Hoang Minh, "Electroweak Phase Transition in The Economical 3-3-1 Model", Eur Phys J C 75:342 (2015), arXiv:1409.0750 [hep-ph] [48] Vo Quoc Phong, Vo Thanh Van, and Hoang Ngoc Long, "Electroweak Phase Transition in The Reduced Minimal 3-3-1 Model", Phys Rev D 88, 096009 (2013) [49] W A Ponce, Y Giraldo and L A Sanchez, "Minimal scalar sector of 3-3-1 models without exotic electric charges", Phys Rev D 67, 075001 (2003); P V Dong, H N Long, D T Nhung and D V Soa, "SU (3)C ⊗ SU (3)L ⊗ U (1)X model with two Higgs triplets", Phys Rev D 73, 035004 (2006); P V Dong and H N Long, " The Economical SU (3)C ⊗ SU (3)L ⊗ U (1)X model", Adv High Energy Tài liệu tham khảo 96 Phys 2008, 739492 (2008); P V Dong, Tr T Huong, D T Huong, and H N Long, "Fermion masses in the economical 3-3-1 model", Phys Rev D 74, 053003 (2006); P V Dong, H N Long, and D V Soa, "Higgs-gauge boson interactions in the economical 3-3-1 model", Phys Rev D 73, 075005 (2006); P V Dong, H N Long, and D V Soa, "Neutrino masses in the economical 3-3-1 model", Phys Rev D 75, 073006 (2007); P V Dong, H T Hung, and H N Long, "Question of Peccei-Quinn symmetry and quark masses in the economical 3-3-1 model", Phys Rev D 86, 033002 (2012) [50] Y Brihaye, J Kunz, "Normal modes around the SU(2) sphalerons", Phys Rev D 48, 3884-3890 (1993) Phụ lục A: CHUYỂN PHA ĐIỆN YẾU TRONG SM A.1 Thế hiệu dụng Trước tiên xem xét mơ hình giả định mô tả trường vô hướng thực tự tương tác thấy trường vơ hướng trường Higgs Các trường vô hướng thỏa mãn phương trình chuyển động sau ′ χ;α ;α + V (χ) = 0, V ′ = ∂V ∂χ , (A.1) V chưa biết Trường χ khai triển cách thêm vào thành phần thể dao động nhiệt ϕ: (A.2) χ(x) = χ ¯(t) + ϕ(x) Sử dụng khai triển Taylor cho V (¯ χ + ϕ), ta V (χ) = V (¯ χ) + ϕ ( 4) ∂V (¯ χ) ϕ2 ∂ V (¯ χ) ϕ3 ∂ V (¯ χ) + + + O ϕ ∂χ ∂2χ ∂3χ (A.3) (A.4) Chú ý ∂ϕ ∂χ = (χ) ¯ ∂ ( ∂V∂χ ) ∂χ =0⇒ V ′ (χ) = V ′ (¯ χ) + ϕV ′′ (¯ χ) + ϕ2 V ′′′ (¯ χ) (A.5) A.1 Thế hiệu dụng 98 Thay phương trình (A.5) vào phương trình (A.1), xem xét thành phần lấy trung bình tồn khơng gian, ta ⟨ ⟩ ′ χ;α χ) + V ′′′ (¯ χ) ϕ2 = ;α + V (¯ (A.6) Hai thành phần cuối phương trình (A.6) viết lại đạo hàm hiệu dụng Đối với lý thuyết trường vô hướng, có ( ) ∫ ⟨ 2⟩ k2 √ ϕ = + nk dk 2π k + m2 (¯ χ) (A.7) ϕ có m2ϕ = V ′′ viết lại thành phần thừ phương trình (A.6) sau χ) ∫ χ) ∫ ⟨ 2⟩ ′′′ ∂mϕ (¯ k dk ∂mϕ (¯ k nk dk √ √ V (¯ χ) ϕ = + 2 8π ∂χ ¯ 4π ∂χ ¯ m2ϕ (¯ χ) + k m2ϕ (¯ χ) + k (A.8) = ∂Vϕ1 ∂χ ¯ Vϕ1 = 4π ∂Vϕ2 + ∂χ ¯ ∫ k2 √ m2ϕ (¯ χ) + k dk [ ( )] √ √ k k + m2 (2k + m2 ) − m4 log k + k + m2 = 32π ∂Vϕ2 χ) ∂mϕ (¯ = ∂χ ¯ 4π ∂χ ¯ ∫ √ k nk dk (A.9) (A.10) m2ϕ (¯ χ) + k Sử dụng khai triển Taylor cho (A.9), ta suy M4 m2 M m4 m4 m4 + + + ln m + ln + 16π 16π 128π 32π 32π 2M M4 m2 M m4 m4 m4 = + + ln m − ln µ + ln µ 16π 16π 32π 32π 32π m4 m4 1/4 ln e + ln + 2 32π 32π 2M( ) ) ( M4 m2 M m4 m2 m4 2M = + + + ln − ln 1/4 16π 16π 64π µ2 32π e µ Vϕ = m4 = ln 64π ( m2 µ2 ) + V∞ (A.11) A.1 Thế hiệu dụng 99 V∞ M4 m2 M m4 = + − ln 16π 16π 32π ( ) 2M + e1/4 µ (A.12) √ k + m2ϕ Số hạt nk cho thống kê Bose-Einstein, ωk = ⟨ 2⟩ ϕ T = 2π = 2π ∫ ∞ ωk ωk e T − √ ∫ ∞ mϕ √ T T2 = 2π k dk ∫ ∞ mϕ ωk2 T2 T e −1 m2ϕ T2 ωk2 T2 − ωk T −1 e T ωk T − m2ϕ Td (ω ) k T (A.13) (ω ) k d T J (1)± có dạng sau ∫ (ν) J∓ (α, β ) ∞ = α (x2 − α2 )ν/2 dx + ex−β ∓ ∫ ∞ α (x2 − α2 )ν/2 dx ex+β ∓ (A.14) Thay ν = 1, suy khai triển hàm J∓1 ∫ ∞ (x − α2 )1/2 (1) J∓ (α, β = 0) = dx ex ∓ α  √ ) (   π − β − π α2 − β − α2 ln ( α ) + C − + α2 O (A.15) 2 4π = ( )   π + β + α2 ln ( α ) + C − + α2 O 2 π suy ⟨ 2⟩ ϕ T = T2 2π ∫ √ ∞ mϕ T = T2 ( (1) J− 4π m2ϕ T2 ωk2 T2 − ωk T −1 e d ) mϕ (¯ χ) ,0 (ω ) k T (A.16) T ⟨ ⟩ ∂mϕ T 1 ′′′ V (¯ χ) ϕ2 T = mϕ J ∂χ ¯ 4π − = ∂VϕT ∂χ ¯ , (A.17) A.2 Mơ hình U (1) 100 VϕT α = mϕ T , T4 = 4π ∫ mϕ T αJ− (α, 0)dα = mϕ T4 F ( ) − 4π T (A.18) có ∂VϕT ∂VϕT ∂α ∂VϕT ∂mϕ = = , ∂χ ¯ ∂α ∂ χ ¯ ∂α T ∂ χ ¯ (A.19) Thay phương trình (A.19) vào phương trình (A.18), ∫ mTϕ (α, 0)] ∂VϕT ∂ [αJ− ∂mϕ T = dα ∂χ ¯ ∂χ ¯ 4π ∂α (A.20) ∂mϕ T (α, 0), m ϕ J− = ∂χ ¯ 4π Vì phương trình (A.20)≡ phương trình (A.17) V∞ bỏ qua cách định nghĩa lại số trần Thế V có dạng V (¯ χ) = λ0 χ ¯4 + m20 χ ¯2 + Λ0 , (A.21) Kết cuối cùng, bao gồm đóng góp nhiệt lượng tử ( ) m4ϕ (¯ m2ϕ (¯ χ) χ) mϕ T4 Vef f = V + ln + F− ( ) 2 64π µ 4π T (A.22) nhiệt độ không thành phần cuối phương trình (A.22) triệt tiêu, hiệu dụng trờ thành T =0 Vef f =V + m4ϕ (¯ χ) 64π A.2 Mơ hình U (1) A.2.1 Phá vỡ tự phát đối xứng U (1) ( ln m2ϕ (¯ χ) µ2 ) (A.23) Lagrangian có dạng L = ([∂ µ + ieAµ ]φ)∗ ([∂ µ + ieAµ ]φ) − V (φ∗ φ) − F (A) (A.24) A.2 Mơ hình U (1) 101 Chúng ta tham số trường phức φ hai trường thực χ ξ φ = χexp(ieξ ) (A.25) Lagrangian viết lại e2 µ L = ∂ χ∂µ φ − V (χ ) − F (G) + χ G Gµ (A.26) Gµ = Aµ + ∂ξ (A.27) µ A.2.2 Thế hiệu dụng Các thành phần trường vơ hướng dẫn có dạng χ ¯;αα + V ′ (¯ χ ) − e2 χ ¯ ⟨Gµ Gµ ⟩ = (A.28) Trường vector với khối lượng mG (¯ χ) = eχ ¯ (A.29) ⟨G Gµ ⟩ = 2π µ ∫ √ k2 k + m2G (¯ χ) ( ) + nk dk Sử dụng cách tương tự cho phương trình (A.6), kết cuối ( ) mG (¯ χ) 3m4G (¯ χ) 3T mG ln + F− ( ) Vef f (¯ χ, T ) = Vef f = V + V∞ + 2 64π µ 4π T (A.30) (A.31) Từ phương trình (A.31) chuyển thành A.33, thấy việc chọn tham số tái chuẩn hoá tuỳ ý Chúng ta lưu ý biểu thức khối lượng (A.29) chọn tham số µ = aχ0 , a tuỳ ý (chính điều làm cho việc chọn tuỳ ý) Vì phương trình (A.31) trở thành A.2 Mơ hình U (1) 102 ( 2) 3m4G (¯ χ) e χ mG 3T Vef f (¯ χ, T ) = Vef f = V + V∞ + ln F− ( ) + 2 2 64π 4π T a χ0 ( 2) ( 2) (A.32) 3m4G (¯ χ) 3m4G (¯ χ) 3T mG χ e + = V + V∞ + ) ln ln + F− ( 64π 64π a 4π T χ20 ( 2) 3m4G (χ) ¯ Thành phần 64π2 ln ae2 thành phần tỷ lệ với χ4 (do có nhân với m4G ) Do gộp chung vào tham số λR (A.33) Chính điều làm cho việc chọn số tái chuẩn hoá tuỳ ý hay nói cách khác số độc lập đoạn nói tập 4.17 trang 169 sách Mukhanov Việc chọn 246 GeV tức a = chuyện dễ Và thức tế a tuỳ ý kết làm ko phụ thuộc vào [Lưu ý rắng kết phụ thuộc vào µ sai mặt vật lý Việc cực tiểu thứ hội tụ nhanh, chậm hay lệch so với 246 GeV miền khối lượng chuyển pha loại định, điều kiện mạnh để bóp nhỏ vùng khối lượng ta tính ra.] Tại nhiệt độ không thành phần cuối triệt tiêu từ hiệu dụng (A.21) suy Vef f = λR ¯4 m2R 3e4 χ¯ χ + χ ¯ + ΛR + χ ¯ ln 32π χ0 (A.33) Giải phương trình Vef f (χ0 ) = 0, Vef′ f (χ0 ) = Vef′′ f (χ0 ) = m2H [Thực tế phương trình điều kiện chuẩn hố],   λR   χ0 + m2R χ20 + ΛR =    3e4 λR χ30 + m2R χ0 + 32π χ0 =      3λR χ20 + m2 + 3e42 χ20 + 9e42 χ20 = m2 , R H 8π 32π thu được,   9e4  H  λR = m − 32π  2χ   χ0 m2R = − m2H + 3e 16π    [ ]   ΛR = χ0 mH − 3e χ20 32π (A.34) (A.35) A.2 Mơ hình U (1) 103 Ở nhiệt độ cao, Vef f = λR ¯4 m2R 3e4 χ¯ 3T mG χ ¯ + ΛR + χ ¯ ln + F ( ), χ + − 32π χ0 4π T (A.36) Sử dụng phương trình (A.15) mG 3T 3T F ( ) = − 4π T 4π ∫ mG T (1) αJ− (α, 0)dα )] ( ( ) 2 α +C − dα = α π − πα − α ln 4π 4π −e3 T χ ¯3 e2 χ¯2 T 3e4 χ¯4 bT 9e4 = + + + ln χ ¯, 4π 64π 128π m2G 3T ∫ mG T [ (A.37) ln b = ln 4π − 2C ( Vef f (A.38) ) ( ) mR 3e4 bT 3e4 χ ¯ 9e4 e2 T = + ln 2 + ln + χ ¯ + + χ ¯2 2 64π e χ ¯ 32π χ0 128π 3 e Tχ ¯ − + ΛR π ( ) ( ) (A.39) mR λR 3e4 bT 9e4 e2 T e3 T χ ¯3 = + ln + χ ¯ + + χ ¯ − + ΛR 64π e2 χ20 128π 2 4π m2 e3 T χ ¯3 λ = T χ¯4 + T χ¯2 − + ΛR 4π λR   m2H 3e4 bT 9e4 3e4 bT   λT = λR + 16π ln 2 + 32π = + 16π ln 2  e χ0 2χ0 e χ0   2 m2T = m2R + e 4T = e4 (T − T02 )     2  T02 = 2m2H − 3e χ2 e 4π (A.40) A.3 Chuyển pha điện yếu 104 A.3 Chuyển pha điện yếu A.3.1 Boson chuẩn Chúng ta xem xét Lagrangian cho nhóm bất biến chuẩn SU (2) ⊗ U (1) L = (Dµ φ)† (Dµ φ) − V (φ† φ) (A.41) i Dµ = ∂µ + igAaµ σa − g ′ Bµ trường vô hướng viết dạng  ( ) χ∗2 ξ1 φ=χ = χ ξ2 (A.42)  χ1 −χ∗1  = χξφ0 (A.43) χ2 Thay (A.43) vào (A.41) suy ( )( ) χ2 † ′ ′ µ µ µ L = ∂ χ∂µ χ − V (χ ) + φ0 gGµ − g Bµ gG − g B φ0 , 2 (A.44) i Gµ = ξ −1 Aµ ξ − ξ −1 ∂µ ξ g (A.45) viết lại phương trình (A.44) dạng sau L = ∂ χ∂µ χ − V (χ ) + µ A.3.2 g + g ′2 µ χ Zµ Z + g χ2 Wµ+ W −µ (A.46) Thế hiệu dụng Phương trình cho trường χ¯ có dạng g2 ⟨ + −⟩ Wµ Wµ + ft ⟨tt⟩ = (A.47) ( ) m2W m2z m2t 4 mz ln + 2mW ln − 4mt ln =V + 64π µ µ µ ) m m m 3T ( + F− ( z ) + 2F− ( W ) + 4F+ ( t ) 4π T T T (A.48) ′ χ) − χ ¯;α ;α + V (¯ Từ ta suy Vef f g + g ′2 χ ¯ ⟨Zµ Z µ ⟩ − A.3 Chuyển pha điện yếu 105 Khai triển nhiệt độ cao cho hiệu dụng, thu Vef f = λT χ ¯4 − Θ γ (T − T02 ) Tχ ¯ + χ ¯ + ΛR , (A.49) đó, m2 λT = H2 + 2χ0 16π χ40 T02 ( m4z ln bT bT bF T 4 + m ln − m ln t W µ2 µ2 µ2 ) (A.50) ln b = ln 4π − C ≈ 3.5 (A.51) ln bF = ln π − 2C ≈ 1.14 (A.52) (m3Z + 2m2W ) Θ= ≈ 2.7 × 10−2 4πχ0 (A.53) m2Z + 2m2W + 4m2t γ= ≈ 0.3 4χ20 (A.54) = 2γ ( (m4Z + 2m4W − 4m4t ) mH − 8π χ20 ) (A.55) Khối lượng boson Higgs MH = 125.5Gev −→ T02 = 173.3972 Từ phương trình (A.49), ∂Vef f = λT χ¯3 − ΘT χ¯2 + γ (T − T02 )¯ χ ∂χ ¯ Chúng tơi giải phương trình ∂Vef f ∂χ ¯ (A.56) = 0, suy   χ¯ =  λT χ¯2 − ΘT χ¯ + γ (T − T ) = (A.57) Phân tích phương trình thứ hai hệ (A.57), ∆ < 0, hiệu dụng có cực tiểu χ¯ = Từ phương trình thứ hai hệ (A.57), có ∆ = (ΘT )2 − 4λT γ (T − T02 ), (A.58) A.3 Chuyển pha điện yếu 106 Nếu ∆ < 0, suy T0 T >√ 1− (A.59) , Θ2 4γλTc hiệu dụng có cực tiểu χ¯ = hay đối xứng phục hồi trường chưa có khối lượng Nếu ∆ > có cực tiểu χ¯ = cực tiểu khác lời giải thứ hai hai phương trình sau   λT χ¯2 − ΘT χ¯ + γ (T − T ) = 0  Vef f (¯ χc ) = Vef f (¯ χ = 0), ⇐⇒   λT χ¯2 − ΘT χ¯ + γ (T − T ) = 0   λT χ¯4 − ΘT χ¯3 + γ(T −T02 ) χ¯2 = 0, (A.60) (A.61) Tc = √ T0 1− (A.62) 2Θ2 9γλTc χ ¯c = 2ΘTc 3λTc (A.63) Phụ lục B: XÁC SUẤT SPHALERON B.1 Cơng thức tính xỏc sut sphaleron T phng trỡnh Schrăodinger mụ t ht hố ( ) ∂2 − + V (q ) ψ (q ) = Eψ (q ) 2M ∂q (B.1) M khối lượng hạt, q tọa độ suy rộng, hệ đơn vị tự nhiên = 1, phương trình chuyển động )2 d2 ψ (√ + 2M (E − V ) ψ = dq dễ thấy phương trình có dạng dao động điều hịa, hàm sóng có dạng ( ∫ √ ) ψ (q ) ∝ exp i 2M (E − V )dq E < V hàm sóng ( ∫ √ ) ψ ∝ exp − 2M (V − E )dq xác suất thoát khỏi hố P1 (B.2) (B.3) (B.4) ( ) ∫ √ P1 = ψ ψ ∝ exp −2 2M (V − E )dq ∗ (B.5) Trong vùng E > V xác suất thoát hạt thay đổi theo nhiệt độ thật hợp lí dùng phân bố Boltzmann để biểu diễn P2 ∝ e− T E (B.6) B.2 Sphaleron SM 108 Tổng xác suất P hai trường hợp ( ) ∫ √ E P ∝ exp − − 2ϑ 2M (V − E )dq T (B.7) với ϑ = E < Vmax ϑ = vùng cịn lại Trong Vmax giá trị lớn rào Năng lượng sphaleron tương ứng với độ cao cực đại rào Esph = Vmax (B.8) xác suất sphaleron hay nói cách khác xác suất thoát khỏi hố E = V = Esph ( Esph Γ = B exp − T ) (B.9) T [29], κ số không thứ nguyên nên chọn κ = Như hệ số B = καw xác suất sphaleron hàm phụ thuộc vào nhiệt độ T 4 − Γ(T ) = αw T e B.2 Esph T (B.10) Sphaleron SM SM mơ hình xây dựng nhóm SU(2) có tensor cường độ điện trường Wµν ˜ µν = ϵµνρσ Wρσ giả tensor W Xét số hạng W ∫ ˜ ) = 16π (ν1 − ν0 ) d4 xtr(W W (B.11) ν1 ν0 số winding hai siêu mặt định nghĩa ∫ ∫ ν1 = d x∂0 K ν0 = d4 x∂j K j , j = (1, 2, 3) (B.12) g ∂µ K µ = g2 ˜ µν = g ϵµνρσ W µν Wρσ W W µν 16π 32π (B.13) B.2 Sphaleron SM 109 Áp dụng bất đẳng thức Schwartz (∫ ( tr W ) ) (∫ ( ˜ tr W d x ) ) (∫ d x ) ˜ d4 x tr W W ≥ ( ) (B.14) ( 2) ˜ = tr (W ) Tác dụng Euclid có dạng [45] chuyển qua khơng gian Euclid tr W ∫ ( 2) 8π SE = tr W d x ≥ |ν1 − ν0 | (B.15) g ˜ ν1 − ν0 = [45], tác trình instanton ứng với trường hợp W = ±W dụng instanton SI = 8π g2 = 2π (B.16) αw αw = g /4π ≈ 1/30 số cấu trúc tinh tế Một nhóm tác giả ước lượng độ cao cực đại rào Vmax tỉ lệ với tỉ số SI ρmax [45] Vmax ∼ SI (B.17) ρmax −1 ρmax ∼ MW bán kính cực đại bọt (instanton), MW = 80.39 GeV [48] khối lượng boson chuẩn W Năng lượng sphaleron Esph ≃ Vmax ≃ 2π MW ≃ 15TeV αw (B.18) Theo tính tốn xác F R Klinkhamer N S Manton cho giá trị lượng sphaleron khoảng 7.9 − 13.7 TeV [11] Ở nhiệt độ chuyển pha điện yếu T ≈ 100 GeV xác suất sphaleron đơn vị thể thích tính theo (B.10) Γ(100) V ( = 100 30 )4 e− 15×103 100 ∼ 10−65 (B.19) xác suất sphaleron SM gần 0, có nghĩa gần khơng xảy q trình sphaleron SM, khơng thể sinh vi phạm số baryon trình sphaleron SM ... án: ? ?Các mơ hình 3-3-1 với phần Higgs tối thiểu số ứng dụng Vũ trụ học? ?? Ngoài phần mở đầu kết luận, luận án gồm năm chương, Chương một, tóm tắt hai mơ hình RM331 E331 Các thành phần boson Higgs. ..ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐH KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÕ QUỐC PHONG CÁC MƠ HÌNH 3-3-1 VỚI PHẦN HIGGS TỐI THIỂU VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG VŨ TRỤ HỌC Chuyên ngành: Vật lý... baryon cách sử dụng mơ hình 3-3-1, cụ thể hai mơ hình 3-3-1 có hai tam tuyến Higgs, mơ hình 3-3-1 tối giản (The reduced minimal 3-3-1, viết tắt RM331) mơ hình 3-3-1 tiết kiệm (The economical 3-3-1,