Hàm lồi biến phân và một số ứng dụng trong lí thuyết tối ưu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH VI VĂN SƠN HÀM LỒI BIẾN PHÂN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG LÍ THUYẾT TỐI ƯU LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH VI VĂN SƠN HÀM LỒI BIẾN PHÂN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG LÍ THUYẾT TỐI ƯU LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Chun ngành : TỐN GIẢI TÍCH Mã số : 46 01 02 Cán hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN HUY CHIÊU NGHỆ AN - 2019 Mục lục Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hội tụ đồ thị tính chất mức bị chặn 1.2 Dưới vi phân, tính lồi ánh xạ đơn điệu 11 Hàm lồi biến phân 15 2.1 Định nghĩa ví dụ 15 2.2 Đặc trưng tính lồi biến phân 18 2.3 Ứng dụng lí thuyết tối ưu 32 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 Lời cảm ơn Luận văn thực Trường Đại học Vinh hướng dẫn TS Nguyễn Huy Chiêu Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy hướng dẫn Tôi xin cảm ơn q Thầy Cơ ngành Tốn, Viện Sư phạm Tự nhiên, Trường Đại học Vinh, giảng dạy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, đồng nghiệp bạn lớp Cao học khóa 25, chun ngành Tốn giải tích, cộng tác, giúp đỡ động viên tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng, chắn luận văn tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp q Thầy Cơ, bạn bè đồng nghiệp Phần mở đầu Hàm lồi đóng vai trị quan trọng giải tích biến phân lí thuyết tối ưu Để nghiên cứu tính chất hàm lồi toán tối ưu lồi, đầu năm 1960, R T Rockafellar J.-J Moreau giới thiệu khái niệm vi phân gradient cho hàm lồi Những khái niệm vi phân suy rộng sau định nghĩa cho hàm khơng lồi thập niên 1970 Lí thuyết vi phân suy rộng tiếp tục phát triển năm sau đó, đặc biệt cho ánh xạ đa trị, dẫn tới đời lĩnh vực Giải tích biến phân vào cuối thập niên 1990 Giải tích lồi phần quan trọng giải tích biến phân, dành để nghiên cứu hàm lồi, tập lồi ánh xạ đa trị lồi dựa vào phép tính vi phân suy rộng khái niệm liên quan Ngày nay, giải tích lồi sử dụng rộng rãi khoa học ứng dụng Một hướng nghiên cứu nhiều nhà tốn học lĩnh vực giải tích biến phân lí thuyết tối ưu quan tâm xác định khảo sát lớp hàm rộng lớp hàm lồi mà hàm thuộc giữ tính chất tốt hàm lồi Chẳng hạn, theo hướng đó, có lớp hàm giả lồi (đảm bảo cực tiểu địa phương cực tiểu toàn cục); lớp hàm hàm tựa lồi (đảm bảo tập mức tập lồi); lớp hàm hàm quy gần kề (đảm bảo bao Moreau khả vi, có đạo hàm Lipschitz địa phương ánh xạ gần kề tương ứng đơn trị Lipschitz) Một tính chất quan trọng hàm lồi ánh xạ vi phân đơn điệu cực đại Tính dùng nhiều tối ưu số, chẳng hạn phương pháp điểm gần kề giải toán tối ưu lồi Tương tự trường hợp lồi, kết Pennanen ([2]) cho thấy tính chất đơn điệu cực đại địa phương ánh xạ vi phân sử dụng để phân tích hội tụ tốc độ hội tụ số phương pháp giải tốn tối ưu khơng lồi Năm 2018, R T Rockafellar ([5]) giới thiệu nghiên cứu khái niệm hàm lồi biến phân Hàm lồi biến phân đặc trưng tính đơn điệu cực đại địa phương ánh xạ vi phân, sử dụng tối ưu số ([5],[6]) Do đó, lớp hàm lồi biến phân lớp hàm đáng ý góc độ lý thuyết lẫn ứng dụng Với mong muốn tìm hiểu sâu lớp hàm lồi biến phân, chọn đề tài nghiên cứu là: "Hàm lồi biến phân số ứng dụng lí thuyết tối ưu" Mục đích phân tích trình bày chi tiết có hệ thống số kết có hàm lồi biến phân Luận văn tập trung khảo sát đặc trưng hàm lồi biến phân ứng dụng hàm lồi biến phân vào việc nghiên cứu điều kiện cực trị phương pháp điểm gần kề giải toán tối ưu Trên sở nghiên cứu tài liệu tham khảo, luận văn tổng hợp, trình bày chi tiết hầu hết tính chất ứng dụng biết hàm lồi biến phân Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia thành hai chương Chương giới thiệu kiến thức chuẩn bị Mục 1.1 dành cho khái niệm hội tụ đồ thị tính chất liên quan Mục 1.2 dành cho khái niệm vi phân, tính lồi ánh xạ đơn điệu Chương trình bày hàm lồi biến phân số ứng dụng tính lồi biến phân Mục 2.1 trình bày khái niệm ví dụ hàm lồi biến phân Mục 2.2 trình bày đặc trưng hàm lồi biến phân Mục 2.3 dành cho vài ứng dụng lí thuyết tối ưu Nghệ An, tháng năm 2019 Vi Văn Sơn Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số khái niệm tính chất hàm số, ánh xạ đa trị vi phân suy rộng sử dụng chương sau Chi tiết kết tìm thấy tài liệu [1, 7] 1.1 Hội tụ đồ thị tính chất mức bị chặn Mục nhắc lại khái niệm hội tụ đồ thị số tính chất ([7, Chapter 7]) Trước hết, ta cần khái niệm hội tụ (theo nghĩa Painléve-Kuratowski) dãy tập hợp Định nghĩa 1.1.1 ([7, Definition 4.1]) Giả sử {Cm }∞ m=1 dãy tập Rn , tức Cm ⊂ Rn với m ∈ N∗ Giới hạn dãy {Cm } kí hiệu lim sup Cm tập Rn xác định m→∞ lim sup Cm := x ∈ Rn | ∃ dãy số tự nhiên {mk }, ∃xk ∈ Cmk : lim xk = x k→∞ m→∞ Giới hạn dãy {Cm } kí hiệu lim inf Cm , tập Rn m→∞ xác định lim inf Cm := x ∈ Rn | ∃m0 ∈ N∗ , ∃xm ∈ Cm ∀m ≥ m0 : lim xm = x m→∞ m→∞ Ta nói dãy {Cm } có giới hạn C ⊂ Rn lim sup Cm = lim inf Cm = C; m→∞ m→∞ trường hợp ta kí hiệu lim Cm := C m→∞ Ví dụ 1.1.2 a) Cho {Cm } dãy R xác định  m chẵn, [0, + m1 ] Cm =  [−1 − m1 , 0] m lẻ Khi đó, ta có lim inf Cm = {0} lim sup Cm = [−1, 1] m→∞ m→∞ b) Với dãy tập {Cm } R cho Cm = [−1 − 1 , + ], m m ta có lim Cm = [−1, 1] m→∞ Chú ý 1.1.3 Giả sử f : Rn → R := [−∞, ∞] Trong phần sau, ta kí hiệu epi f dom f đồ thị miền hữu hiệu hàm f , tức epi f := {(x, α) ∈ Rn × R : f (x) ≤ α} dom f := {x ∈ Rn : f (x) < ∞} Tập u ∈ Rn : f (u) = infn f (x) kí hiệu argminf (x) Ta nói x∈R x∈Rn hàm f nửa liên tục epi f tập đóng, f thường dom f = ∅ f (x) > −∞ với x ∈ Rn Định nghĩa 1.1.4 ([7, Definition 7.1]) Giả sử f fm (m ∈ N∗ ) hàm số từ Rn vào R Ta nói dãy {fm } hội tụ đồ thị tới f lim epi fm = epi f m→∞ e Nếu dãy {fm } hội tụ đồ thị tới hàm f ta viết fm → f e − lim fm = f m→∞ Mệnh đề 1.1.5 ([7, Proposition 7.2]).Cho f fm (m ∈ N∗ ) hàm e số từ Rn vào R Khi đó, fm → f với x ∈ Rn ta có lim inf fm (xm ) ≥ f (x) ∀{xm } ⊂ Rn : xm → x, m→∞ đồng thời tồn dãy {xm } ⊂ Rn cho xm → x lim sup fm (xm ) ≤ f (x) m→∞ Các ví dụ cho thấy giới hạn điểm giới hạn đồ thị hai khái niệm độc lập với Ví dụ 1.1.6 ([7, p 239]) Xét dãy hàm {fm } fm : R → R cho fm (x) := min{1, |x|2m } ∀x ∈ R, m = 1, 2, Đặt  0 |x| < 1, f (x) = |x| = 1,  ∞ |x| > e Khi đó, ta có lim fm (x) = f (x) với x ∈ R, fm → f (do m→∞ m với x = ta có x = 1− m → x lim inf fm (xm ) < f (x), nên theo m→∞ e Mệnh đề 1.1.5 fm → f ) Ví dụ 1.1.7 ([7, pp 247-248]) Giả sử fm : R → R hàm cho fm (x) = x = x = m, m Ta có lim fm (x) = g(x) := với x Sử dụng Mệnh đề 1.1.5 ta thấy e m→∞ fm → f với f (x) = x = 0, x = Do đó, kể giới hạn điểm giới hạn đồ thị tồn chúng khác Định nghĩa 1.1.8 ([7, p 266]) Giả sử {fm } dãy hàm từ Rn vào R Ta nói dãy {fm } mức bị chặn (eventually level-bounded) ∞ với α ∈ R tồn m0 cho {x | f (x) ≤ α} tập bị chặn m=m0 Định lý 1.1.9 ([7, Theorem 7.33]) Cho {fm } dãy hàm e thường nửa liên tục từ Rn vào R mức bị chặn fm → f Giả sử f hàm thường nửa liên tục Khi đó, ta có lim inf fm (x) = infn f (x) m→∞ x∈Rn x∈R Hơn nữa, tồn m0 ∈ N∗ cho argminfm (x) x∈Rn ∞ m=m0 dãy bị chặn tập khác rỗng thỏa mãn lim sup argminfm (x) ⊂ argminf (x) m→∞ x∈Rn x∈Rn Định nghĩa 1.1.10 ([7, Definition 1.16]) Hàm f : Rn × Rm → R gọi mức bị chặn (level-bounded) theo x địa phương theo u với u ¯ ∈ Rm α ∈ R tồn lân cận V u¯ tập bị chặn B ⊂ Rn cho {x | f (x, u) ≤ α} ⊂ B ∀u ∈ V Định lý 1.1.11 ([7, Theorem 1.17]) Cho f : Rn × Rm → R hàm thường nửa liên tục dưới, mức bị chặn theo x địa phương theo u Với u ∈ Rm , đặt p(u) := infn f (x, u), x∈R P (u) := argminf (x, u) x∈Rn Khi đó, ta có: (a) Hàm p : Rm → R, u → p(u), thường nửa liên tục dưới; (b) Với u ∈ dom p tập P (u) khác rỗng compact, P (u) = ∅ với u ∈ Rm \dom p 10 λ = min{1, ε/6} Ta có ∂gx,v (u) = ∂f (x + λu) − v, (2.14)  gx,v (u) < λ, x) + ε, f (x + λu) < f (¯ x) + ε f (x) < f (¯  u < 2, v < (2.15) Thật vậy, sử dụng Định lý 1.2.13, ta có (2.14) Tiếp theo, giả sử gx,v (u) < λ, f (x) < f (¯ x) + ε u < 2, v < Khi đó, f (x + λu) = λgx,v (u) + λ v, u + f (x) x) + λ < λ2 + λ v · u + f (¯ < f (¯ x) + λ2 + 5λ ≤ f (¯ x) + 6λ (do < λ ≤ 1) ≤ f (¯ x) + ε (do λ := min{1, ε/6}), tức (2.15) Vì dom f bị chặn nên domgx,v bị chặn với (x, v) ∈ gph∂f Ngồi ra, ta có gx,v (0) = ∈ ∂gx,v (0) (2.16) Từ (2.13), (2.14) (2.15) suy ∂gx,v đơn điệu (u, w) ∈ 2B◦ × 2B◦ | gx,v (u) < λ} (2.17) miễn (x, v) ∈ (¯ x, v¯) + [B◦ × B◦ ], f (x) < f (¯ x) + Tiếp theo, giả sử (u, v) ∈ gph∂f thỏa mãn (x, v) ∈ (¯ x, v¯) + [B◦ × B◦ ], f (x) < f (¯ x) + λ (2.18) Ta chứng minh tồn lân cận cho điểm cực tiểu gx,v lân cận Với r ≥ 0, đặt γx,v (r) := gx,v (u) Ta u ≤r 23 có γx,v (·) nửa liên tục γx,v (r) ≤ gx,v (0) = γx,v (0) = (2.19) Hơn nữa, ta có: gx,v đạt cực tiểu địa phương (2.20) tồn r > cho γx,v (r) = Để thu (iii), ta tồn r0 > cho γx,v (r0 ) = với (x, v) ∈ gph∂f đủ gần (¯ x, v¯) thỏa mãn f (x) < f (¯ x) + Gọi θ : R → R hàm xác định    (t − 1)2 θ(t) = et−2    3−t ∞ t ∈ (−∞, 1], t ∈ (1, 2], t ∈ (2, 3), t ∈ [3, ∞) (2.21) Ta có θ(·) hàm lồi R, khả vi (−∞, 3), θ (t) = 2(t − 1) với t ∈ [1, 2], tăng (2, 3) lim− θ(t) = ∞, θ (2) = 2, θ(2) = t→3 n Gọi h : R × R → R hàm cho  rθ(r−1 u ) h(u, r) = δ{0} (u)  ∞ r > 0, r = 0, r < (2.22) Khi đó, h hàm lồi, khơng âm, domh = {(0, 0)} ∪ {(u, r)| u < 3r} (2.23) h khả vi điểm (u, r) ∈ dom h\{(0, 0)} với  {(0, 0)} u r, (u, r) = (0, 0),    ∇h(u, r) = θ (r−1 u ) uu , θ(r−1 u ) − θ (r−1 u )(r−1 u )    r < u < 3r (2.24) Đặt bx,v (u, r) := gx,v (u) + h(u, r) 24 (2.25) βx,v (r) = inf bx,v (u, r), Ux,v (r) = argmin bx,v (u, r) u (2.26) u Với r ≥ 0, bx,v (u, r) nửa liên tục có tập mức bị chặn nên Ux,v (r) = ∅; nữa, bx,v (0, r) = với r ≥ Tiếp theo, chứng minh hàm (u, r) → bx,v (u, r) bị chặn mức theo u địa phương theo r Lấy r¯ ∈ R α ∈ R Ta có {u | bx,v (u, r) ≤ α} ⊂ dom gx,v (·) ⊂ (dom f − x) ∀r λ Mặt khác, theo giả thiết dom f bị chặn Do đó, hàm số (u, r) → bx,v (u, r) bị chặn mức theo u địa phương theo r (xem Định nghĩa 1.1.10) Từ đó, theo Định lí 1.1.11, ta có hàm βx,v (·) nửa liên tục Nếu r < h(u, r) = ∞ với u ∈ Rn , βx,v (r) = ∞ với r < Hàm βx,v (·) không tăng theo nghĩa r1 , r2 ∈ R mà r1 < r2 βx,v (r1 ) ≥ βx,v (r2 ) Thật vậy, r1 < βx,v (r1 ) = ∞ ≥ βx,v (r2 ) Nếu r1 = h(u, r1 ) =  ∞ u = 0,  u = Do đó, trường hợp này, βx,v (r1 ) = gx,v (0) + h(0, r1 ) = 0, r2 > βx,v (r2 ) ≤ bx,v (0) + h(0, r2 ) = = βx,v (r1 ) Nếu < r1 < r2 ∇r h(u, r) ≤ với r > mà (u, r) ∈ dom h nên ta suy h(u, r1 ) ≥ h(u, r2 ) ∀u Do βx,v (r2 ) ≤ βx,v (r1 ) Vậy βx,v (·) hàm khơng tăng Vì βx,v (r) ≤ với r ≥ bx,v (u, r) ≤ bx,v (u, r¯) với r ≥ r¯, nên βx,v (r) = inf bx,v (u, r) | bx,v (u, r¯) ≤ ≤ 0, u 25 (2.27) Ux,v (r) = argmin bx,v (u, r) | bx,v (u, r¯) ≤ u ⊂ u | gx,v (u) ≤ , với r ≥ r¯ ≥ Mặt khác, từ (2.21) suy γx,v (r) ≥ βx,v (r) ≥ γx,v (3r) ∀r ≥ (2.28) Vì thế, tồn ρ > cho βx,v (r) ≡ với r ∈ [0, 3ρ] Điều dẫn đến γx,v (r) ≡ với r ∈ [0, ρ] gx,v đạt cực tiểu ρB Với r ∈ (0, r¯], ta có −βx,v (r) = A(¯ r) := − α − h(u, r) , max (2.29) (u,α)∈A(¯ r) (u, α) | α ≥ gx,v (u), α + h(u, r¯) ≤ Lưu ý A(¯ r) compact Vì r¯ > chọn gần tùy ý nên suy −βx,v hàm dưới-C (0, ∞) (xem Định nghiã 1.2.6) Do đó, −βx,v có đạo hàm trái đạo hàm phải r ([7, Theorem 10.31]) Từ suy với r > ta có (βx,v )− (r) ≥ (βx,v )+ (r)  lim(β ) (s) = lim(βx,v )− (s) = (βx,v )− (r),   s r x,v + s r (2.30)   lim(βx,v )− (s) = lim(βx,v )+ (s) = (βx,v )+ (r) s r s r Do đó, ∂βx,v (r) =   βx,v (r)  (βx,v )− (r) = (βx,v )+ (r), (βx,v )− (r), (βx,v )+ (r) (βx,v )− (r) > (βx,v )+ (r) (2.31) Sử dụng Định lý 1.2.12, ta có ∂βx,v (r) ⊂ s | ∃u ∈ Ux,v (r) : (0, s) ∈ ∂bx,v (u, r) (2.32) Vì h(·, ·) khả vi (u, r) r > u < 3r nên, sử dụng quy tắc tính vi phân, với r > u < 3r ta có ∂bx,v (u, r) ⊂ ∂gx,v (u), + ∇h(u, r) 26 (2.33) Vì thế, với r > u < 3r ta có ∂βx,v (u, r) ⊂ s | ∃u ∈ Ux,v (r) : (0, s) ∈ ∂gx,v (u) + ∇h(u, r) (2.34) Kết hợp với (2.24) ta suy  {0} ∃u ∈ Ux,v (r) : u < 3r,      θ(r−1 u ) − θ (r−1 u )(r−1 u ) ∂βx,v (r) ⊂   ∃u ∈ Ux,v (r) : r < u < 3r    −θ (r−1 u ) uu ∈ ∂gx,v (u) (2.35) (KĐ1) Nếu < r < trường hợp thứ hai (2.35) khơng xảy u ≥ 2r Thật xảy trường hợp thứ hai (2.35) gx,v (u) ≤ Giả sử < r < r < u < 2r Khi đó, ta có u ) ∈ gph∂gx,v , u < θ (r−1 u ) < θ (2) = u, −θ (r−1 u ) u Do đó, sử dụng tính chất đơn điệu địa phương gph∂gx,v ta suy u ≤ − θ (r−1 u ) − 0, u − = −θ (r−1 u ) u u Điều mâu thuẫn với θ (r−1 u ) > u > Như khẳng định chứng minh (KĐ2) Nếu u ≥ 2r trường hợp thứ hai (2.35) kéo theo θ(r−1 u ) − θ (r−1 u )(r−1 u ) ≤ −3 (2.36) Thật vậy, với t < s = θ (t), ta có θ∗ (s) := sup{τ s − θ(τ )} = − τ ∈R inf τ ∈(−∞,3) {θ(τ ) − τ s} = st − θ(t), ϕ(τ ) := θ(τ ) − τ s hàm lồi khả vi (−∞, 3) ∇ϕ(t) = s − θ (t) = Mặt khác, với s ∈ (0, ∞), ϕ(0) = θ(τ ) ≥ với τ ∈ R nên θ∗ (s) ≥ θ∗ (s) := sup{τ s − θ(τ )} = τ ∈R sup {τ s − θ(τ )} = sup {τ s − θ(τ )} τ ∈(−∞,3) 27 τ ∈[0,3) Từ suy θ∗ (s) hàm tăng (0, ∞) Lấy s ∈ [0, 2] đặt t := + 12 s Ta có t ∈ [1, 2] s = 2(t − 1) = θ (t) Theo ta có 1 θ∗ (s) = st − θ(t) = st − (t − 1)2 = s(1 + s) − s2 = s + s2 4 Với t := r−1 u , nhờ giả thiết (KĐ2) ta có t ∈ [1, 3) s := θ (t) ∈ [2, ∞) Do đó, θ (r−1 u )(r−1 u ) − θ(r−1 u ) = st − θ(t) = θ∗ (s) ≥ θ∗ (2) = Từ suy (2.36) (KĐ3) Tồn rx,v ∈ [0, 1] cho βx,v (r) =0 ≤ r < rx,v , ≥ 3(r − rx,v ) rx,v ≤ r < 1, (2.37) γx,v (r) =0 ≥ r − rx,v ≤ r < rx,v , rx,v ≤ r < (2.38) Hơn nữa, v ∈ ∂f (x) rx,v ∈ (0, 1] Thật vậy, nhờ (KĐ1) (KĐ2), ta có ∂βx,v (r) ⊂ (−∞, −3] ∪ {0} ∀r ∈ (0, 1) Từ (2.30) (2.35) suy βx,v khả vi liên tục (0, 1) ngoại trừ điểm rx,v ∈ (0, 1) mà βx,v (r) = bên trái βx,v (r) < −3 bên phải Nếu khơng, ta có βx,v = với r ∈ (0, 1) βx,v < −3 với r ∈ (0, 1) Điều suy (2.37) nhờ (2.28), (2.38) Nếu v ∈ ∂f (x) ∈ ∂gx,v (0) gx,v (u) ≥ gx,v (0) + o( u ), gx,v (0) = Do đó, γx,v (r) = gx,v (u) ≥ inf o( u ) ≥ o(r) u ≤r u ≤r Điều cho thấy (2.38) với rx,v = Vậy ta có (KĐ3) 28 Từ (KĐ3) suy gx,v (u) ≥ gx,v (0) = u < rx,v , (2.39) Do đó, nhờ (2.15), ta có x ∈ argmin{f (x ) − v, x − x : x − x¯ < λrx,v } (2.40) x (KĐ4) Nếu dãy {(xk , v k )} thỏa mãn (xk , v k ) → (¯ x, v¯), xk − x¯ < 1, v k − v¯ < 1, f (xk ) < f (¯ x) + λ f (xk ) → f (¯ x) rxk ,vk → rx¯,¯v Thật vậy, giả sử {(xk , v k )} dãy thỏa mãn giả thiết (KĐ4) Trước hết ta chứng minh bx,v (u, r) = f (x + u) − f (x) − v, u + h(u, r), (2.41) bxk ,vk hộ tụ đồ thị tới hàm bx¯,¯v Do f , h hàm nửa liên tục f (xk ) → f (¯ x), nên từ (2.41) suy lim inf bxk ,vk (uk , rk ) ≥ bx¯,¯v (u, r) ∀(uk , rk ) → (u, r) k→∞ (2.42) Nếu r > cách chọn rk := r uk := u + x ¯ − xk , nhờ tính liên tục h (0, ∞), ta có lim sup bxk ,vk (uk , rk ) ≤ bx¯,¯v (u, r) (2.43) k→∞ Nếu r = u = chọn (uk , rk ) := (0, 0) ta có lim sup bxk ,vk (uk , rk ) ≤ bx¯,¯v (u, r) (2.44) k→∞ Nếu r = u = từ định nghĩa hàm h suy với dãy (uk , rk ) → (r, u) ta có lim sup bxk ,vk (uk , rk ) ≤ bx¯,¯v (u, r) (2.45) k→∞ Kết hợp (2.42)-(2.45) ta thấy bxk ,vk hội tụ đồ thị tới hàm bx¯,¯v Từ suy βxk ,vk hội tụ đên đồ thị tới βx¯,¯v Tiếp theo, nhờ tính chất Lipschitz địa phương βx,v (0, ∞) tính hội tụ đồ thị βxk ,vk tới βx¯,¯v ta có βxk ,vk hội tụ tới βx¯,¯v 29 khoảng đóng bị chặn (0, ∞) Do đó, với tập compact Cδ,ρ := {(r, µ) | r ∈ [δ, ρ], µ ¯ ≤ µ ≤ βx,v (r)} với [δ, ρ] ⊂ (0, 1), (2.46) µ ¯ cận giới βx,v [0, 1] với (x, v) thỏa mãn (2.18), Cδ,ρ (xk , v k ) → Cδ,ρ (¯ x, v¯) Vì thế, với hàm số φ liên tục R2 , ta có lim sup argmax{φ(r, µ) | (r, µ) ∈ Cδ,ρ (xk , v k )} (2.47) k→∞ ⊂ argmax{φ(r, µ) | (r, µ) ∈ Cδ,ρ (¯ x, v¯)} Đặc biết với φ(r, µ) := r + µ, nhờ cấu trúc βx,v (KĐ3), ta có argmax{φ(r, µ) | (r, µ) ∈ Cδ,ρ (¯ x, v¯)} = argmax{r + βx,v (r)} δ≤r≤ρ = mδ,ρ (x, v),  βx,v (δ) rx,v < δ, mδ,ρ (x, v) := rx,v δ ≤ rx,v ≤ ρ,  rx,v > ρ (2.48) Do đó, từ (2.47), lim mδ,ρ (xk , v k ) = mδ,ρ (¯ x, v¯) k→∞ (2.49) Vì v¯ ∈ ∂f (¯ x) nên theo (KĐ3) ta có rx¯,¯v > Do đó, khơng tính tổng qt ta giả thiết δ < rx¯,¯v Khi đó, nhờ (2.47), mδ,ρ (¯ x, v¯) = Từ đó, nhờ hội tụ βxk ,vk đến βx¯,¯v [δ, ρ], kết hợp (2.49) (2.48) ta suy rxk ,vk → rx¯,¯v rx¯,¯v ≤ ρ Do ρ lấy gần tùy ý, ta có (KĐ4) Theo (KĐ3), ta có rx¯,¯v > Điều kết hợp với (KĐ4) suy tồn r¯ > ε¯ > (có thể lấy khơng lớn λ (2.18)) cho rx,v ≥ r¯ (x, v) ∈ (¯ x, v¯) + 2¯ ε[B◦ × B◦ ], f (x) ≤ f (¯ x) + ε¯ 30 (2.50) ¯ × V¯ = (¯ Sau đó, cách lấy X x, v¯) + εB◦ × B◦ ta nhận từ lân ¯ ε × V¯ ) f -địa phương hóa ∂f thỏa mãn (iv) Như vậy, cận (X Định lý 2.2.1 chứng minh Kết sau cung cấp đặc trưng hàm lồi biến phân mạnh Định lý 2.2.2 ([5, Theorem 2]) Giả sử f : Rn → R hàm thường nửa liên tục dưới, x ¯ ∈ dom f, v¯ ∈ ∂f (¯ x) Khi đó, tính chất sau tương đương: (i’) ∂f đơn điệu mạnh f -địa phương quanh (¯ x, v¯) với môđun σ > 0; (ii’) ∂f đơn điệu cực đại mạnh f -địa phương quanh (¯ x, v¯) với môđun σ > 0; (iii’) f lồi biến phân mạnh x ¯ v¯ với môđun σ > 0; (iv’) Tồn lân cận lồi X × V (¯ x, v¯) tồn > cho với (x, v) ∈ [X × V ] ∩ gph∂f , ta có f (x ) f (x) + v, x − x + σ x −x 2 ∀x ∈ X (2.51) Chứng minh Đặt fσ (x) := f (x) − σ x − x¯ , x ∈ Rn Ta có ∂fσ (x) = ∂f (x) − σ(x − x¯), fσ (¯ x) = f (¯ x), ∂fσ (¯ x) = ∂f (¯ x) Do đó, điều kiện (iii ) (iv ) Định lý 2.2.2 cho f tương ứng đồng với điều kiện (iii) (iv) Định lý 2.2.1 cho fσ Gọi T : Rn ⇒ Rn ánh xạ đa trị xác định gphT := gph∂f − (¯ x, v¯) Khi đó, T σ -đơn điệu mạnh lân cận W (0, 0) Tσ := T − σI đơn điệu lân cận L(W ) (0, 0), L(x, v) := (x, v − σx), (x, v) ∈ Rn × Rn 31 Từ suy điều kiện (ii ) Định lý 2.2.2 cho f đồng với điều kiện (ii) Định lý 2.2.1 cho hàm fσ Mặt khác, L(gph∂f ) = gph∂fσ L biến lân cận (0, 0) thành lân cận (0, 0) Do điều kiện (i ) Định lý 2.2.2 cho f đồng với điều kiện (i) Định lý 2.2.1 cho hàm fσ Từ đó, áp dụng Định lý 2.2.1 cho hàm fσ ta có điều phải chứng minh 2.3 Ứng dụng lí thuyết tối ưu Mục trình bày số ứng dụng tính lồi biến phân lí thuyết tối ưu ¯ đối Mệnh đề 2.3.1 ([5]) Giả sử f : Rn → R hàm lồi biến phân x với ∈ ∂f (¯ x) Khi đó, x¯ điểm cực tiểu địa phương f Chứng minh Vì f : Rn → R hàm lồi biến phân x ¯ ∈ ∂f (¯ x) nên tồn lân cận lồi mở X × V (¯ x, 0), tồn ε > tồn hàm lồi nửa liên tục f : Rn → R cho f (x) f (x) ∀x ∈ X, [X × V ] ∩ gph∂f = [X × V ] ∩ gph∂ f , (2.52) (2.53) f (x) = f (x) ∀x ∈ Π1 [Xε × V ] ∩ gph∂f , Π1 [Xε × V ] ∩ gph∂f = x ∈ Rn | ∃v : (x, v) ∈ ([Xε × V ] ∩ gph∂f Rõ ràng ta có (¯ x, 0) ∈ [X × V ] ∩ gph∂f Do f (¯ x) = f (¯ x) từ (2.53) suy ∈ ∂ f (¯ x) Kết hợp điều kiện f lồi, ta có f (x ) ≥ f (¯ x) ∀x ∈ Rn Vì vậy, nhờ (2.52) đẳng thức f (¯ x) = f (¯ x), ta có f (x ) ≥ f (¯ x) ∀x ∈ X 32 Mặt khác, X lân cận x ¯ Do x¯ điểm cực tiểu địa phương f Khái niệm điểm cực tiểu địa phương ổn định xiên Poliquin Rockafellar giới thiệu năm 1998 ([3]) Định nghĩa 2.3.2 ([5]) Hàm f : Rn → R gọi có cực tiểu địa phương ổn định xiên x ¯ ∈ dom f tồn lân cận X x¯ lân cận V v¯ = cho ánh xạ M (·) xác định M (v) := argmin {f (x ) − v, x − x¯ } , v ∈ V, (2.54) x ∈X ánh xạ trị đơn, Lipschitz thỏa mãn M (0) = x ¯ Định lí sau cung cấp số điều kiện đủ để điểm dừng cực tiểu địa phương ổn định xiên Định lý 2.3.3 ([5, Theorem 3]) Giả sử f : Rn → R hàm thường nửa liên tục dưới, x ¯ ∈ dom f, v¯ := ∈ ∂f (¯ x) Khi đó, tính chất (i ) − (iv ) Định lí 2.2.2 thỏa mãn, x ¯ điểm cực tiểu địa phương ổn định xiên ánh xạ M (·) đơn điệu cực đại địa phương Lipschitz với số σ −1 Chứng minh Theo Định lí 2.2.2, tính chất (i )−(iv ) Định lí 2.2.2 tương đương Giả sử (iv) Ta cần chứng minh M (·) đơn trị, đơn điệu cực đại địa phương Lipschitz với số σ −1 Thật vậy, (iv ) nên tồn lân cận lồi X × V (¯ x, v¯) tồn >0 cho với (x, v) ∈ [X × V ] ∩ gph∂f , ta có f (x ) f (x) + v, x − x + σ x −x 2 ∀x ∈ X (2.55) Không tính tổng qt ta giả sử thêm X × V tập mở bị chặn Rõ ràng từ (2.55) suy (x, v) ∈ [X × V ] ∩ gph∂f x ∈ M (v) Giả sử x ∈ M (v) với v ∈ V Khi đó, X mở nên x ∈ M (v) v ∈ ∂f (x) Hơn nữa, x¯ ∈ X x ∈ M (v) nên từ định 33 nghĩa M (v) suy f (x) − v, x − x¯ ≤ f (¯ x) Kết hợp x, x ¯ ∈ X X bị chặn, ta có f (x) < f (¯ x) + ε v đủ gần Do đó, lân cận V chọn đủ nhỏ (theo quan hệ bao hàm) (v, x) ∈ gphM ∩ [V × Xε ] ⇔ (x, v) ∈ [X × V ] ∩ gph∂f (2.56) Mặt khác, theo (i ) Định lí 2.2.2, ánh xạ vi phân ∂f đơn điệu mạnh f -địa phương quanh (¯ x, v¯) với môđun σ > Do đó, ta suy M (·) đơn điệu cực đại địa phương Lipschitz với số σ −1 x¯ điểm cực tiểu địa phương ổn định xiên f Thuật toán điểm gần kề: Cho T : Rn ⇒ Rn ánh xạ đơn điệu cực đại Xét tốn: Tìm x ∈ Rn cho ∈ T (x) (2.57) Thuật toán điểm gần kề giải toán (2.57) Rockafellar giới thiệu [4] Thuật toán gần kề thuật toán tối ưu số, thực thông qua dãy lặp: xk+1 := (I + ck T )−1 (xk ), (2.58) I : Rn → Rn ánh xạ đồng nhất, tức I(x) = x với x ∈ Rn , {ck } dãy số dương cho trước, điểm ban đầu x0 ∈ Rn lấy tùy ý Trong trường hợp T = ∂f với f : Rn → R hàm lồi thường nửa liên tục dưới, theo [7, Theorem 12.17], T ánh xạ đơn điệu cực đại Khi đó, xk+1 := (I + ck T )−1 (xk ) = argmin {f (x) + x∈Rn x − xk } 2ck (2.59) Vì f lồi nên (2.59) tương đương với ∈ ∂fk (xk ), 34 (2.60) fk (x) = f (x) + 2ck x − xk Năm 2002, Pennanen ([2]) chứng minh tính chất hội tụ dãy lặp (2.58) địa phương, miễn điểm xk đủ gần nghiệm đồ thị T đơn điệu cực đại địa phương quanh điểm Điều kiện Pennanen tồn tâp mở X × V δ > cho: ∈ V X ∩ T −1 (0) đóng, khác rỗng, [X ∩ T −1 (0)] + δ B ⊂ X, T đơn điệu cực đại X × V (2.61) Giả sử inf ck > 0, inf λk ≥ sup λk < Khi đó, x0 đủ gần k X ∩T −1 k k (0), tồn ε > x¯ ∈ X ∩ T −1 (0) cho với k ∈ N tồn xk+1 thỏa mãn xk+1 ∈ [¯ x + εB] ∩ [(1 − λk )I + λk (I + ck T )−1 ](xk ) (2.62) Hơn nữa, dãy {xk } hội tụ đến x ¯ Áp dụng cho trường hợp T = ∂f λk = 1, ta có xk+1 ∈ [¯ x + εB] ∩ {x|0 ∈ ∂fk (x)}, fk (x) := f (x) + 2ck (2.63) x − xk Từ đó, sử dụng kết Pennanen ([2]) định lý 2.2.1, 2.2.2 2.3.3, ta thu kết quả: Định lý 2.3.4 ([5, Theorem 4]) Giả sử f : Rn → R hàm lồi biến phân x ¯ ∈ ∂f (¯ x), điều kiện Pennanen (2.61) thỏa mãn Khi đó, xk đủ gần x ¯ xk+1 = argmin{f (x) + x ∈¯ x+εB x − xk }, 2ck (2.64) xk+1 thuộc phần tập x ¯ + εB Hơn nữa, dãy {xk } hội tụ x¯ x ¯ cực tiểu địa phương f Nếu thêm giả thiết f lồi biến phân mạnh x ¯ ∈ ∂f (¯ x) x¯ cực tiểu địa phương ổn định xiên f 35 Kết luận Dựa việc tổng hợp tài liệu tham khảo, luận văn thu kết như: Trình bày khái niệm ví dụ hội tụ đồ thị, tính chất mức bị chặn, tính lồi vi phân Trình bày khái niệm vi phân, hàm lồi, ánh xạ đơn điệu số tính chất chúng Trình bày khái niệm số ví dụ hàm lồi biến phân Trình bày tính chất, chứng minh đặc trưng tính lồi biến phân tính lồi biến phân mạnh Trình bày số ứng dụng tính lồi biến phân lí thuyết tối ưu Theo hướng này, khảo sát bảo tồn tính chất lồi biến phân qua phép tốn cộng, hợp, nhân với số 36 Tài liệu tham khảo [1] B S Mordukhovich (2018), “Variational Analysis and Application”, Springer, New York [2] T Pennanen (2002), "Local convergence of the proximal point algorithm and multiplier methods without monotonicity", Math Oper Res 27, 170-191 [3] R A Poliquin and R T Rockafellar (1998), "Tilt stability of a local minimum", SIAM J Optim 8, 287-299 [4] R T Rockafellar (1976), "Monotone operators and the proximal point algorithm", SIAM J Control Optim 14, 877-898 [5] R T Rockafellar (2019), “Variational convexity and the loal monotonicity of subgradient mappings”, Vietnam Journal of Mathematics, online first, https://doi.org/10.1007/s10013-019-00339-5 [6] R T Rockafellar (2019), “Progressive decoupling of linkages in optimization and variational inequalities with elicitable convexity or monotonicity”, Set-Valued and Variational Analysis, online first, https://doi.org/10.1007/s11228-018-0496-1 [7] R.T Rockafellar and R J.-B Wets (1998), “Variational Analysis”, Springer, New York 37 ... lớp hàm lồi biến phân lớp hàm đáng ý góc độ lý thuyết lẫn ứng dụng Với mong muốn tìm hiểu sâu lớp hàm lồi biến phân, chọn đề tài nghiên cứu là: "Hàm lồi biến phân số ứng dụng lí thuyết tối ưu" ... cho hàm fσ ta có điều phải chứng minh 2.3 Ứng dụng lí thuyết tối ưu Mục trình bày số ứng dụng tính lồi biến phân lí thuyết tối ưu ¯ đối Mệnh đề 2.3.1 ([5]) Giả sử f : Rn → R hàm lồi biến phân. .. phân, tính lồi ánh xạ đơn điệu Chương trình bày hàm lồi biến phân số ứng dụng tính lồi biến phân Mục 2.1 trình bày khái niệm ví dụ hàm lồi biến phân Mục 2.2 trình bày đặc trưng hàm lồi biến phân