Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 56 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
56
Dung lượng
1,13 MB
Nội dung
LỜI CẢM ƠN Trong trình nghiên cứu đề tài “Tọa độ không gian vectơ số tập vận dụng ” trường Đại học Hồng Đức, em nhận nhiều giúp đỡ, bảo tận tình thầy Với tình cảm trân thành, em xin bày tỏ lòng biết ơn với Ban giám hiệu trường Đại học Hồng Đức, khoa KHTN, tổ môn Đại số trường Đặc biệt em xin cảm ơn giảng viên trực tiếp hướng dẫn khóa luận cho em, Tiến sĩ Lê Xuân Dũng Cảm ơn thầy tận tình hướng dẫn, bảo em q trình nghiên cứu đề tài làm khóa luận Do thời gian nghiên cứu nhiều hạn chế nên đề tài khơng thể tránh khỏi thiếu sót định Em mong góp ý thầy cơ! Thanh hóa, tháng năm 2021 Sinh viên Trần Duy Nguyên MỤC LỤC Trang Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Chương I TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN VECTƠ 1.1 ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH – PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH 1.1.1 Định nghĩa hệ sinh 1.1.2 Ví dụ 1.1.3 Bổ đề 1.1.4 Hệ 1.1.5 Định lí 1.1.6 Hệ 1.1.7 Định lí 1.2 SỐ CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VECTƠ 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Hệ 1.2.3 Số chiều không gian 1.3 TỌA ĐỘ CỦA MỘT VECTƠ 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 Định lí 1.3.3 Định nghĩa 1.3.4 Định lí 1.4 HẠNG CỦA HỆ VECTƠ- HẠNG CỦA MA TRẬN 10 1.4.1 Định nghĩa 11 1.4.2 Hệ 11 1.4.3 Mệnh đề 11 1.4.4 Định nghĩa 11 1.4.5 Định lí 13 1.4.6 Hệ 15 1.4.7 Hệ 15 Chương II BÀI TẬP VẬN DỤNG 17 1.1 Chứng minh họ vectơ sở không gian vectơ 17 1.1.1 Phương pháp 17 1.1.2 Bài tập 17 1.2 Tìm sở khơng gian vec tơ 26 1.2.1 Phương pháp 26 1.2.2 Bài tập 26 1.3 Tìm chiều khơng gian vectơ 36 1.3.1 Phương pháp 36 1.3.2 Bài tập 36 1.4 Tìm tọa độ vectơ 43 1.4.1 Phương pháp 44 1.4.2 Bài tập 44 KẾT LUẬN 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO 53 Lý chọn đề tài Đại số tuyến tính học phần quan trọng chương trình đại học sư phạm tốn Trong toán liên quan đến tọa độ vectơ giúp cho sinh viên hiểu sâu sắc khái niệm tọa độ học chương trình tốn phổ thơng Qua củng cố kiến thức làm phong phú thêm tảng tốn phổ thơng cho sinh viên học vấn đề Chính em chọn đề tài “ Tọa độ không gian vectơ số tập vận dụng” Mục đích nghiên cứu Mục tiêu đề tài mà em chọn tọa độ không gian vectơ số tập vận dụng Nhiệm vụ nghiên cứu Tọa độ không gian vectơ số tập vận dụng Đối tượng nghiên cứu Trong đề tài em xây dựng xung quanh vấn đề tọa độ vectơ Theo đó, em đưa số tập vận dụng Phương pháp nghiên cứu Tìm tham khảo tài liệu, phân tích tổng hợp tập minh họa, tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn Nội dung Ngoài phần mở đầu , kết luận Khóa luận chia thành nội dung: Chương I: Tọa độ không gian vectơ Trong chương này, khóa luận trình bày biểu thức hệ độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính; Số chiều không gian vectơ; Tọa độ vectơ; Hạng hệ vectơ Các kiến thức tham khảo dựa tài liệu [2],[3],[4],[5] Chương II: Bài tập vận dụng Trong chương này, khóa luận đưa tập vận dụng dựa tài liệu tham khảo [1], [2], [4].Các tập phân thành dạng bao gồm: Chứng minh họ vectơ sở; Tìm sở khơng gian vectơ; Tìm chiều khơng gian vectơ tìm tọa độ vectơ Nội dung tập lý thuyết khóa luận tham khảo dựa vào tài liệu [1], [2], [3], [4], [5] Chương I TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN VECTƠ Trong chương này, khóa luận trình bày biểu thức hệ độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính; Số chiều khơng gian vectơ; Tọa độ vectơ; Hạng hệ vectơ Các kiến thức tham khảo dựa tài liệu [2],[3],[4],[5] Trong khóa luận ln giả sử V ℝ- không gian vec tơ hữu hạn sinh 1.1 ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH – PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH Mục khóa luận trình bày vấn đề hệ độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính 1.1.1 Định nghĩa hệ sinh Một hệ sinh đọc lập tuyến tính không gian vectơ khác 0 gọi sở Khơng gian vectơ 0 khơng có sở; hay nói, số vectơ sở khơng gian 0 1.1.2 Ví dụ Trong không gian vectơ Pn x gồm đa thức đa thức thuộc R[x] với n bậc bé hay n, hệ vectơ 1, x, x , , x sở Thật vậy, đa thức f ( x ) Pn có dạng f ( x ) = a0 + a1 x + a2 x2 + + an xn , K , với i 0, 1, 2, , n Điều chứng tỏ 1, x, x , , x n hệ sinh Pn Mặt khác, a0 + a1 x + a2 x + + an x n = từ định nghĩa đa thức suy a0 = a1 = a2 = = an = nghĩa {1, x, x2, , xn) hệ vectơ độc lập tuyến tính Vậy sở Pn x Một câu hỏi đặt khơng gian vectơ có sở hay không? Để trả lời cho câu hỏi ta xét mối liên hệ hệ sinh sở 1.1.3 Bổ đề Nếu khơng gian vectơ có hệ sinh gồm m vectơ sốvectơ hệ vectơ độc lập tuyến tính khơng vượt m Chứng minh Giả sử K-không gian vectơ V có hệ sinh A = 1 , , , m , với i 1, 2, , m = 1 , , , n hệ vectơ độc lập tuyến tính V với n > m Vì A hệ sinh nên 1 = a111 + a12 2 + + a1mm nên có a1 j khác 0, chẳng hạn a11 Do 1 = a a 1 − 12 − − 1m m a11 a11 a11 Thay hệ A ta hệ A1 = 1 , , , n Giả sử V V = b11 + b2 + + bm m Thế = b1 ( = a a 1 − 12 − − 1m m ) + b2 + + bm m a11 a11 a11 a b1 a + (b2 − 12 ) + + (bm − 1m ) m a11 a11 a11 Như V biểu thị tuyến tính qua hệ A1; A1 hệ sinh V Nói riêng, có dạng: = a211 + a22 + + a2m m Nếu tất hệ số α i = a21 Suy hệ e phụ thuộc tuyến tính; trái với giả thiết Vì có a 2j ≠ 0, Với j Nếu cần ta đánh số lại α i để giả thiết a22 ≠ Khi 2 = − a a a21 1 + − 23 − − m m a22 a22 a22 a22 Thay A1 ta hệ A2 = 1 , , , m Lập luận trên, A2 hệ sinh V Cứ tiếp tục thế, ta thay m vectơ hệ A m vectơ hệ e hệ sinh Am = 1 , , , m v Theo giả thiết, n > m nên m+1 Am Nhưng Am hệ sinh V nên m+1 biểu thị tuyến tính qua hệ vectơ này; trái với giả thiết độc lập tuyến tính hệ e Vậy n m 1.1.4 Hệ Số vectơ hai sở không gian vectơ Chứng minh Suy từ định lí Bây ta trả lời cho câu hỏi đặt trước mục 1.1.3 1.1.5 Định lí Mỗi K - không gian vectơ V {0} có sở Chứng minh Giả sử vectơ thuộc V Theo ví dụ 1, mục 3.1, hệ { 1} độc lập tuyến tính Nếu vectơ V biểu thị tuyến tính qua hệ sở V Nếu trái lại, V có khơng biểu thị tuyến qua Theo tính chất 4, mục 3.2, hệ vectơ { , } độc lập tuyến tính Nếu hệ khơng phải sở V có khơng biểu thị tuyến tính qua hệ { , } Lại theo tính chất 4, mục 3.2, hệ vectơ { , , } độc lập tuyến tính Tiếp tục, bổ sung ta hệ vectơ độc lập tuyến tính V Vì V có hệ sinh gồm m vectơ (có thể ta hệ sinh ấy) nên theo bổ đề, trình phải kết thúc vectơ n với n m Lúc ta hệ vectơ E = , , , , n mà vectơ V biểu thị tuyến tính qua hệ e Vậy e = { , , , , n } sở V 1.1.6 Hệ Trong không gian vectơ, hệ vectơ độc lập tuyến tính bổ sung thành sở Ý nghĩa định lí trước hệ sinh không gian vectơ ta dựng sở Song biết hệ sinh khơng gian vectơ định lí sau cho thấy chọn sở hệ sinh Đó trả lời cho câu hỏi đặt trước §3 1.1.7 Định lí Từ hệ sinh khơng gian vectơ khác { } chọn sở Chứng minh Cách chứng minh định lí giống cách chứng minh định lí trên; khác chỗ ta chọn vectơ ẽ; V ta phải chọn chúng hệ sinh cho 1.2 SỐ CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VECTƠ Hệ bổ đề, mục 1.2, cho thấy số vectơ hai sở khác khơng gian vectơ Điều cho phép ta đưa khái niệm chiều không gian vectơ 1.2.1 Định nghĩa Số vectơ sở K-không gian vectơ V gọi số chiều V Kí hiệu: dimKV Nếu khơng cần rõ trường K cụ thể, ta có viết đơn giản dimV Ví dụ Khơng gian Pn gồm đa thức đa thức bậc bé hay n có số chiều n + 1; tức dim K Pn = n + Ví dụ Khơng gian V vectơ hình học khơng gian có dim R V = 1.2.2 Hệ Trong không gian vectơ n chiều hệ vectơ độc lập tuyến tính gồm n vectơ sở Chứng minh Giả sử dimk V = n a = {a1 , a2 , , an } hệ vectơ độc lập tuyến tính V Theo hệ định lí 1, mục 4.2, bổ sung vào a để sở V Vì dimV = n , sở gồm n vectơ không cần bổ sung vectơ vào a Vậy a hệ sinh độc lập tuyến tính, sở V Ta tìm hiểu mối liên hệ số chiều không gian vectơ với số chiều không gian 1.2.3 Số chiều khơng gian 1.2.3.1 Định lí Giả sử W khơng gian K-khơng gian vectơ V Thế thì: 1) dimKW dimKV 2) dimKW = dimKV W = V Chứng minh 1) Nếu W = {0} dimK W = dimkV Bây giả sử dimKV = n, dimKW = m Khi W có sở, chẳng hạn, (ε) gồm m vectơ Vì (ε) hệ vectơ độc lập tuyến tính W W V nên (ε) độc lập tuyến tính V Theo bổ đề, mục 1.2, dimKW m n = dimKV 2) Suy từ hệ quả, mục 2.1 1.2.3.2 Định lí Nếu U, W khơng gian K-khơng gian vectơ V thì: dim (U + W ) = dimU + dimW − dim (U W ) Chứng minh Giả sử dim U = p, dimW = q, dim (U W ) = r {1 , 2 , , r } (1) sở U W Vì sở hệ vectơ độc lập tuyến tính U W nên, theo hệ định lí 1, mục 1.2, bổ sung thành sở: , , (2) , , , , , (3) p −r , 1 , , r U thành sở q −r W Ta chứng minh , , p −r , 1 , , r , 1 , , q −r (4) sở U + W Muốn thế, trước hết, ta chứng minh hệ sinh U + W Vì { , , p −r , , , r } U , , W q −r nên hệ (4) nằm U + W Giả sử = + , với = a11 + + a p −r p −r + b11 + + br r U , = c1 + + cr r + d1 + + dq −r q −r W Thế = a11 + + a p −r p −r + (b1 + c1 ) + + (br + cr ) r + c11 + + cq −r q −r ; nghĩa hệ (4) hệ sinh U + W Hơn nữa, hệ (4) độc lập tuyến tính Thật vậy, giả sử x11 + + x p−r p −r + y1 + + yr r + z11 + + zq −r q −r = Thế x11 + + x p −r p−r + y1 + + yr r = − z1 − − zq −r q−r U W Vì vế trái vectơ U vế phải vectơ W Cơ sở U W hệ (1) nên viết − z11 − − zq q = t11 + + tr r hay t1 + + tr r + z1 + + zq −r q −r = Vì hệ (3) độc lập tuyến tính nên từ đẳng thức suy t1 = = tr = z1 = = zq-r = 0; (6) Thay giá trị zi vào đẳng thức (5) ta x1 + + x p−r p −r + y1 + + yr r = Vì hệ (2) độc lập tuyến tính nên x1 = = x p = y1 = = yr = ( 7) Từ (6) (7) suy hệ (4) độc lập tuyến tính Do sở U + W Vậy dim ( u + W ) = p − r + r + q − r : p + q – r = dimU + dimW − dim (U W ) 1.3 TỌA ĐỘ CỦA MỘT VECTƠ Do sở hệ sinh độc lập tuyến tính không gian vectơ, nên vectơ không gian có cách biểu thị tuyến tính qua sở Từ đó, ta đưa khái niệm Bảng số cuối có hàng khác không Vậy hạng vectơ cho Bốn vectơ sinh không gian có số chiều nhận ba vectơ (1, 0,1, −2), (0,1, 2, 0), (0, 0,1,3) làm sở Bài 1) Chứng minh tập hàm khả vi a, b thỏa mãn f '+ f = tạo thành không gian C a, b 2) Tìm số chiều sở Lời giải 1) Gọi W tập hàm f C a, b khả vi a, b thỏa mãn phương trình vi phân f '+ f = Rõ ràng W C a, b : giả sử f W, g W Tức f '+ f = 0, g '+ g = Khi ( f + g ') + 4( f + g ) = f '+ f + g '+ g = + = (kf ) '+ 4(kf ) = k ( f '+ f ) = k = Vậy f + g W, kf W Do W không gian C a, b 2) Nghiệm tổng quát phương trình vi phân f '+ f = f = ce−4x , c = tùy ý Nghĩa W = f f = ce −4 x , c tùy ý 39 −4 x Vậy u = e sinh W đọc lập tuyến tính Cho nên khơng gian W có số −4 x chiều nhận u = e làm sở Bài Tìm số chiều không gian vectơ V sinh hệ vectơ sau: 1) = (3, −2, 0), = (4, 0, −5), = (−2, 4, −5); 2) = (4, −2,1), = (0,6,5), = (1,5, −7) Lời giải 1) Xét phương trình: x1 + x2 + x3 = 3x1 + x2 − x3 = 3x1 + x2 − x3 = −2 x1 + x2 + x3 = −2 x1 + x3 = x − 5x − 5x = −5 x − x = 3 3x1 − x3 − x3 = x = x3 x1 = x3 x2 = − x3 x2 = − x3 x1 = Do hệ cóc nghiệm x2 = −1 x =1 Nên hệ vectơ , , phụ thuộc tuyến tính Xét phương trình: x1 + x2 = 3x1 + x2 = −2 x1 = x1 = x2 = −5 x = Do Hệ , độc lập tuyến tính Do dimV = 2) Xét phương trình: x1 + x2 + x3 = x1 + x3 = x2 + x3 = x1 = x2 = x3 = x + 5x − x = Do Hệ , , 3 hệ độc lập tuyến tính nên dimV = Bài Giả sử U, W hai không gian không gian vectơ V 40 V = U +W dimV = dimU + dimW Chứng minh U W = Lời giải Theo định lí số chiều khơng gian ta có: dim(U + W)=dimU+dimW-dim(U W) mà V = U + W nên dim V = dim U + dim W − dim(U W) dim(U V ) = , U W hai không gian vectơ nên điều xảy U W = Bài Giả sử U, W hai không gian thực không gian vectơ V, U W 1) Nếu dimV = 3, dimU = dimW = dim (U W ) bao nhiêu? 2) Nếu dimV = 6, dimU = dimW = dim (U W ) bao nhiêu? Lời giải 1) Theo định lí số chiều khơng gian ta có: dim(U + W)=dimU+dimW-dim(U W) Suy dim(U W) = dim U + dim W − dim(U + W) (1) Ta có: = dim U dim(U + V ) dim V Nếu dim(U + W) dimV = dim(U + W) = dim U Vì U U + V nên ⇒ U = U + W U = W ( trái với giả thiết) Do dim (U + W ) = Từ (1) ⇒ dim(U W) = + − 2) Nếu dim (U + W ) = trái với giả thiết dim U = dim W = dim (U + W ) = dim (U + W ) = U V Bài Trong , không = (−1,1,1,1), = (1, 2,1, 0), không gian gian con U W sinh sinh = (2, −1, 0,1), = (0, −5, 6, 0) Tìm dim(U + W) dim(U W) 41 hai vectơ hai vectơ Lời giải +) Xét phương trình: x1 + x2 = − x1 + x2 = x + 2x = x1 = x2 = x1 + x2 = x1 = Do , độc lập tuyến tính nên dimU = +) Xét phương trình: x1 + x2 = x1 + x2 = − x + x = x1 = x2 = x2 = x1 = Do , độc lập tuyến tính nên dimW = +) Xét phương trình: x1 + x2 + x3 + x4 = − x1 + x2 + x3 = (1) x + x − x = (2) x1 + x2 + x3 = (3) x1 + x3 = (4) x1 + x2 − x3 − 10 x3 11 = − x3 x4 = = 5 x2 = −6 x3 − x1 = −5 x3 x1 = − x3 x3 − x3 + x3 = x1 = x2 = x3 = x4 = Do hệ , , , độc lập tuyến tính nên dim (U + W ) = +) Theo định lí số chiều khơng gian ta có: dim (U W ) = dimU + dimV – dim (U + V ) = + – = Bài Cho hệ , , , sở không gian vectơ V U không 42 1) Chứng minh , sở U W gian sinh , , , W không gian sinh , , 2) Tìm sở số chiều U + W Lời giải 1) +) Do , ⊂ , , , sở không gian vectơ V nên , độc lập tuyến tính (1) +) Xét U W U x1 ; x2 ; x3 ; a2 ; a3 ; a4 cho V = x1 + x2 + x3 = a2 + a3 + a4 Do x1 + ( x2 − a2 ) + ( x3 − a3 ) + a4 = x1 = x = a = x1 + x2 x = a a4 = Do clà hệ sinh U W (2) Từ (1) (2) ⇒ , sở U W 2) Theo định lí số chiều khơng gian ta có: dim(U + W) = dim(U ) + dim(W)-dim(U W) dim(U ) = dim(W) = dim(U W) = Ta có: Do dim(U + W) = + − = = dim(V ) Ta suy U + W = V nên , , , cở sở U + W 1.4 Tìm tọa độ vectơ 43 1.4.1 Phương pháp Cho V khơng gian vectơ Tìm tọa độ x ứng với sở 1 , , , n V Bước Xét hệ 11 + + n n = x Bước Giải hệ 1.4.2 Bài tập Bài Cho F = f1 = (1,1) , f = (1,0) sở x = (5,3) Tìm tọa độ x sở tắc E F Lời giải Ta có: x = (5,3) = 3(1,1) + 2(1,0) = f1 + f Vậy ( x )/ F = (3, 2) Bài Tìm tọa độ của vectơ sau sở , , , ; = 3 − 5 + 7 + 2 ; = −9 − 4 + 5 ; = 12 − 8 + ; = 5 Lời giải 3 −5 Tọa độ sở là: = 2 −9 0 Tọa độ sở là: = −4 −5 0 12 Tọa độ sở là: = −8 1 44 0 0 Tọa độ sở là: = 0 Bài Tìm tọa độ vectơ = (5, −2, 4,1) sở: 1) = (1, 0, 0, 0), = (0,1, 0, 0), = (0, 0,1, 0), = (0, 0, 0,1); 2) = (0,0,0,1), = (0,0,1,0), = (0,1,0,0), = (1,0,0,0) Lời giải 1) Ta có: xét = 1 + + 3 + 1 (1,0,0,0) + (0,1,0,0) + 3 (0,0,1,0) + (0,0,0,1) = (5, −2, 4,1) Do 1 = = −2 3 = = 5 −2 Vậy tọa độ vectơ α sở = 1 2) Ta có: xét = 1 + 2 + 3 + 1 (0,0,0,1) + (0,0,1,0) + 3 (0,1,0,0) + (1,0,0,0) = (5, −2, 4,1) Do 1 = = −2 3 = = 5 −2 Vậy tọa độ vectơ α sở = 1 45 Bài Hãy tìm ma trận tọa độ vectơ tọa độ w sở S = u1 , u2 , u3 1) w = ( 2, −1,3) , u1 = (1,0,0), u2 = ( 2, 2,0 ) , u3 = (3,3,3) 2) w = ( 5, −12,3) , u1 = (1, 2,3), u2 = ( −4,5,6 ) , u3 = (7, −8,9) Lời giải (2, −1,3) = (1, 0, 0) + (2, 2, 0) + (3,3,3) 1) = ( + 2 + 3 , 2 + 3 ,3 ) Do + 2 + 3 = 2 + 3 = −1 3 = Vậy có = 1, = −2, = Cho nên có w = 3u1 − 2u2 + u3 ( w )s 2) 3 = ( 3, −2,1) , w s = −2 (5, −12,3) = (1, 2,3) + (−4,5, 6) + (7, −8,9) = ( − 4 + 7 , 2 + 5 − 8 ,3 + 6 + 9 Do − 4 + 7 = 2 + 5 − 8 = −12 3 + 6 + 9 = Ta suy = −2, = 0, = nghĩa 46 w = −2u1 + u3 Vậy có ( w )s Bài −2 = ( −2, 0,1) , w s = Hãy tìm vectơ tọa độ ma trận tọa độ A sở B = A1 , A2 , A3 , A4 : A= , −1 0 A3 = , A1 = −1 , 0 A2 = 1 , 0 0 A4 = Lời giải −1 1 0 0 = + + + −1 0 0 0 − + = + Ta suy − + = + =0 = − = Do = 3, = −1, = 1, = −1 Vậy có ( A) B = (−1,1, −1,3), AB 47 −1 1 = −1 3 Bài Hãy tìm vectơ tọa độ ma trận tọa độ đa thức p sở B = p1 , p2 , p3 p = − 3x + x , p1 = 1, p2 = x, p3 = x Lời giải − 3x + x = p1 − p2 + p3 Vậy có ( p )B = (4, −3,1), p B 4 = −3 Bài Cho v1 = (1, 2,3), v2 = (1, 2, 0), v3 = (1, 0, 0) 1) chứng minh v1 , v2 , v3 thành sở khơng gian 2) tìm tọa độ v = (−1, 2,3) sở nói Lời Giải 1 + + = 1v1 + 2v2 + 3v3 = 21 + 2 = 31 = = = = Do v1 , v2 , v3 hệ vectơ đọc lập tuyến tính Vì v1 , v2 , v3 gồm ba vectơ độc lập tuyến tính sở 2) 3 nên v1 , v2 , v3 (−1, 2, −3) = 1 = (1, 2,3) + (1, 2, 0) + 3 = (1, 0, 0) 1 + + = −1 21 + 2 = 3 = −3 Vậy (−1, 2, −3) = −1(1, 2,3) + 2(1, 2, 0) − 2(1, 0, 0) 48 Bài Trong không gian vectơ T sở 3 cho T = ( 0,1,1) ; (1,0,1) ; (1,1,0) Chứng minh Tìm tọa độ vectơ x = (1, 2,3) cở sở T Lời Giải Với ( x, y, z ) ta có k1 (0,1,1) + k2 (1,0,1) + k3 (1,1,0) = ( x, y, z ) k + k3 = x k1 + k3 = y k + k = z 1 Ta có D = 1 = hệ có nghiệm T sở 1 x1 (0,1,1) + x2 (1, 0,1) + x3 (1,1, 0) = x Ta có x2 + x3 = x1 = x1 + x3 = x2 = x + x = x = Vậy x1 = (2,1, 0) Bài Cho F = f1 ( t ) = t + 2t; f ( t ) = 3t − 1; f ( t ) = t + 5 sở 2 t x ( t ) = 7t + 3t + 21 Tìm tọa độ x sở F Lời giải x ( t ) = x1 f1 (t ) + x2 f (t ) + x3 f3 (t ) Ta có: Hay 7t + 3t + 21 = x1 (t + 2t ) + x2 (3t − 1) + x3 (t + 5) x1 + x3 = x1 = x1 + 3x2 = x2 = −1 − x + x = 21 x = Vậy ( x )/ F = (3, −1, 4) Bài 10 Hãy tìm ma trận tọa độ vectơ tọa độ của w sở S = u1 , u2 49 1) u1 = (1,0), u2 = (0,1), u3 = (3, −7) 2) u1 = (2, −4), u2 = (3,8), u3 = (1,1) Lời giải (3, −7) = (3,0) + ( 0, −7 ) = 3(1,0) + (−7)(0,1) 1) = 3u1 − 7u2 3 Vậy (w) S = (3, −7), w S = −7 2) Ta viết w = u1 + u2 = ( 2, −4) + ( 3,8) = (2 + 3 , −4 + 8 ) Do 2 + 3 = −4 + 8 = Ta suy = 5 / 28 3 , , w S = 28 14 /14 ( w )S = Do Bài 11 Trong , = 28 14 xét tích vơ hướng Euclid sở trực chuẩn tìm vectơ tọa độ ma trận tọa độ w w = (3, 7), u1 = ( 1 1 ,− ), u2 = ( , ) 2 2 Lời giải Ta có: u1 u2 trực giao chuẩn hóa, w, u1 = w, u2 = − =− = −2 2 2 10 + = =5 2 2 Theo định lí 5.6.5 trang 234 tài liệu tham khảo [2] ta có ( w )S = (−2 −2 2,5 2), w S = 50 Bài 12 Trong xét tích vơ hướng Euclid sở trực chuẩn tìm vectơ tọa độ ma trận tọa độ w 2 u1 = ( , − , ) 3 w = ( −1, 0, 2), 2 u3 = ( , , ) 3 2 u2 = ( , , − ) 3 Lời giải Ba vectơ u1 , u2 , u3 cho đầu trực giao chuẩn hóa w, u1 = w, u2 = −2 w, u3 = Theo định lí 5.6.5 trang 234 tài liệu tham khảo [2] ta có w = w, u1 u1 + w,u u2 + w, u3 u3 w = −2u2 + u3 Vậy có (w) S = (0, −2,1), w S Bài 13 Trong 0 = −2 cho hệ vectơ Tìm tọa độ vectơ u = (a, b, c) sở = u1 = (1,1,1), u2 = (1,1, 2), u3 = (1, 2,3) Lời giải Ta xét k1 − k2 + k3 = k1u1 + k2u2 + k3u3 = u 2k1 + k2 − 2k2 = k + 2k + 3k = k1 = a + b − c k2 = a − 2b + c k =b−a Ta suy ( u ) = (a + b − c, a − 2b + c, b − c) 51 KẾT LUẬN Đề tài: “ Tọa độ không gian vec tơ số tập vận dụng ” trình bày kết sau: Trình bày biểu thức hệ độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính; Số chiều khơng gian vectơ; Tọa độ vectơ; Hạng hệ vectơ Các tập giải phân thành dạng bao gồm: Chứng minh họ vectơ sở; Tìm sở khơng gian vectơ; Tìm chiều khơng gian vectơ tìm tọa độ vectơ 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Tiến Quang ( Chủ biên), Phạm THỊ Cúc, Bài tập đại số tuyến tính, NXB 2000 [2] Nguyễn Tiến Quang, Lê Đình Nam, Cơ sở Đại số tuyến tính, NXB Giáo dục Việt Nam 2014 [3] Nguyễn Duy Thuận ( Chủ biên), Đại số tuyến tính, NXB Đại học sư phạm,2003 [4] Nguyễn Đình Trí (Chủ biên), Bài tập toán cao cấp, NXB Giáo dục,2009 [5] Nguyễn Đình Trí ( Chủ biên), Tốn cao cấp, NXB Giáo dục Việt Nam, 2012 53