Trong c¸c phương tr×nh sau đ©y, phương tr×nh nµo lµ phương tr×nh của một đường trßn.[r]
(1)PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG. Chuyên đề : Véc tơ v tà ọa độ véc tơ.
A Tãm t¾t lÝ thuyÕt.
I Ta véc t. Định nghĩa
( ; ) . .
u x y u x i y j
C¸c tÝnh chất.
Trong mặt phẳng Oxy cho u( ; );x y v( '; ')x y , ta cã : a u v (x x y'; y ') ;
b k u (k x. ; k y. ) ;
c u v. x x. ' y y. '
;
d u2 x2 x'2 u x2 x'2 e u v u v. 0 x x ' y y ' 0
;
f u v , cïng phương
' '
x y
x y
;
g '
'
x x
u v
y y
VÝ d ụ
VÝ dụ Cho ;
2
u i j v k i j
T×m k để u v , cïng phương Lêi gi¶i
Ta cã u v , cïng phương
4
1
2
k
k=2
5 .VËy k=
III Toạ độ điểm. 1.Định nghĩa.
( ; ) ( ; )
M x y OM x y OM x i y j Mối liên hệ toạ độ điểm toạ độ véc tơ.
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A x y B x y C x y( ; ); ( ; ); ( ; )A A B B C C Khi đó:
a ( ; ) ( )2 ( )2
B A B A B A B A
AB x x y y AB x x y y
(2)b Toạ độ trung điểm I đoạn AB lµà : ( ; )
2
A B A B
x x y y
I .
c To trng tâm G ca ABC : ( ; )
3
A B C A B C
x x x y y y
G .
d Ba điểm A B C, , thẳng hµng AB AC, cïng phương
Chó ý:Trong tam gi¸c ABC :
a) Trọng tâm G giao điểm đờng trung tuyến tam giác b) Trực tâm H giao điểm đờng cao tam giác
c) Tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác giao đờng trung trực
d) Tâm đờng tròn nội tiếp tam giác giao đờng phân giác góc +) Trung tuyến AM: ĐI qua đỉnh A trung điểm M cạnh đối diện BC
+) đờng cao AH : ĐI qua đỉnh A vng góc với cạnh đối diện BC
+) đờng trung trực cạnh BC: Vng góc với BC trung điểm BC( đờng trung trực BC khơng đI qua A)
+) đờng phân giác góc ABC: chia góc ABC thành góc ( xem lại kiến thức cũ học tính chất đờng này-SGK tốn 7) Ví d ụ
VÝ dụ Cho ba điểm A( 4;1), B(2; 4),C(2; 2)
a Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.(hay ABC đỉnh tam giác, hay hai véc tơ AB AC, không phơng)
b TÝnh chu vi ABC
VÝ dụ Cho ba điểm A( 3;4), (1;1), (9; 5) B C .
a Chứng minh A B C, , thẳng hàng ( hay AB AC,
cïng phương) b T×m toạ độ D cho A lµ trung điểm BD
c T×m toạ độ điĨm E Ox cho A B E, , thẳng hàng VÝ dụ Cho ba điểm A( 4;1), (2; 4), (2; 2) B C .
a Chứng minh ba điểm A B C, , tạo thµnh tam giác b Tìm to trng tâm ABC.
c Tìm toạ độ điểm E cho ABCE hình bình hành Chuyên đề 1: phơng trình đờng thẳng.
A kiến thức bản. Véc tơ ph ¬ng
Định nghĩa: Véc tơ u đợc gọi véc tơ phơng( vtcp) đờng thẳng 0
u giá u song song trùng với đờng thẳng
Chúý: Nếu véc tơ ulà vtcp véc tơ k.u (với k#0) vtcp NÕu cã vtcp lµ u (u1;u2)
với u1#0 có hệ số góc K=
2
u u Nếu đờng thẳng có hệ số góc k có vtcp l u ( k1; )
2.Ph ơng trình tham số đ ờng thẳng
Trong mặt phẳng Oxy, cho đờng thẳng qua M0(x0;y0) có véc tơ
ph¬ng u (u1;u2)
(3)
t u y y
t u x x
2
1
(1) ( t R.) 3) Véc tơ pháp tuyến:
n: Vộc tơ n đợc gọi véc tơ pháp tuyến ( vtpt ) đờng thẳng nếun 0 và n vng góc với véc tơ phơng
* Chó ý:
- Nếu n véc tơ pháp tuyến đờng thẳng véc tơ k n. ( với k#0) véc tơ pháp tuyến đờng thẳng
- Nếu n ( ; )a b véc tơ pháp tuyến đờng thẳng thì véc tơ phơng u( ;b a ) u ( b a; )
- Nếu u( ;u u1 2) véc tơ phơng đờng thẳng thì véc tơ pháp tuyến
2
( ; )
n u u hc n ( u u2; 1)
Ph ơng trình tổng quát đ ờng thẳng
Trong mặt phẳng Oxy, cho đờng thẳng qua M0(x0;y0) có véc tơ pháp
tuyến n ( ba; ) Khi phơng trình tổng qt đợc xác định phơng
tr×nh : a(x x0)b(y y0)0 (2) ( a2b2 0.)
Hay: a.x+b.y+c=0 ( 2’ ) (a2 b2 0.)
* Chú ý: Chuyển đổi ph ơng trình tổng quát ph ơng trình tham số
a1 Nếu đờng thẳng có phơng trình dạng (1) vtcp u (u1;u2)
Từ đờng thẳng có vtpt n (u2;u1)
hc n (u2;u1)
Và phơng trình tổng quát đợc xác định :
u2(x x0) u1(y y0)0
a2 Nếu đờng thẳng có phơng trình dạng (2) n ( ba; )
Từ đờng thẳng có vtcp u (b;a)
hc u (b;a)
Cho x x0 thay vào phơng trình (2) y y0.Khi ptts :
at y y
bt x x
0
(t R ).
a3 Có thể chuyển từ PTTS sang PTTQ cách khử tham số Chuyển từ PTTQ sang PTTS cách đặt x(hoặc y) theo tham số
5.Bæ sung số dạng tập. -Các toán tam gi¸c.
*Dạng 1: Tam giác ABC biết đỉnh A,biết hai trung tuyến xuất phát từ đỉnh lại BM,CN.Hãy viết pt cạnh,tìm toạ độ B,C
Phơng pháp: -(Bài toán thứ tam giác.)
b1:Tìm toạ độ trọng tâm G(xG;yG) ABC
b2:Tham số hoá toạ độ B(xB;yB); C(xC;yC) theo ptrình BM,CN
b3:Tìm toạ độ B,C:áp dụng cthức:
3
A B C G
x x x x ;
3
A B C G
y y y
y
b4:Viết pt cạnh v
d1 :cho tam giác ABC có A(-2;3) hai đờng trung tuyến BM: 2x-y+1=0 Và CN: x+y-4=0
ViÕt ph¬ng trình AB;BC;CA
Lời giải
(4)2 1
4
x y x
x y y
vËy G(1;3)
Vì B thuộc đờng thẳng BM nên giả sử B(xB;yB) :2xB-yB+1=0 yB=2xB+1
VËy B(xB;2xB+1)
T¬ng tù, C(xC;yC ) víi xC+yC-4=0. yC=4-xC.VËy C(xC;4-xC)
Mặt khác , G(1;3) trọng tâm tam giác ABC nên ta có:
2
1 5 2
3
3
3 (2 1) (4 )
3
3
B C
B C B C B C B C
x x
x x x
x
x x x x
.VËy B(2;5) C(3;1)
+>Phơng trình cạnh AB,BC,CA: Tù viÕt
*Dạng 2:Tam giác ABC ,biết đỉnh A đờng cao BH,CK.Lập phơng trình AB.BC,CA.Tìm toạ độ B,C
Phơng pháp: -( Bài toán thứ hai tam giác)
b1: Lập pt cạnh AB:-ĐI qua A
-AB vuông góc với CK Lập pt cạnh AC: -ĐI qua A
-AC vng góc với BH b2:Tìm toạ độ điểm B,C
b3:LËp pt c¹nh BC
ví dụ2:Tam giác ABC có A(1;2) hai đờng cao BH:x+y+1=0 ; CK: 2x+y-2=0 Lập phơng trình cạnh AB.BC.CA
Lêi gi¶i
Theo bài, đờng thẳng AB đI qua A(1;2) vng góc với CK:2x+y-2=0 Vậy AB có pttq là: 1.(x-1)-2.(y-2)=0 hay AB : x-2y+3=0
Tơng tự, AC đI qua A(1;2) vng góc với BH : x+y+1=0 Vậy AC có pttq là: 1.(x-1)-1.(y-2)=0 hay AC : x-y+1=0 Do đó, toạ độ điểm B nghiệm hệ ptrình:
5
x-2y+3=0 3
x+y+1=0
3
x y
vËy B(-5/3; 2/3)
Tơng tự, Toạ độ C nghiệm hệ pt:
1
x-y+1=0 3
2x+y-2=0
3
x y
vËy C(1/3; 4/3)
Do đó, phơng trình cạnh BC là:………
*Dạng 3:Tam giác ABC,biết đỉnh A,đờng cao BH,trung tuyến CK.Lập pt cạnh
Phơng pháp: -( Bài toán thứ ba tam gi¸c)
b1:lập đợc pt cạnh AC đI qua A vng góc với BH.Từ tìm đợc C b2:Tham số hố toạ độ B(xB;yB); K(xK;yK) theo phơng trình BH,CK
Tìm toạ độ B nhờ:
2
A B K
A B K
x x x
y y y
(5)v
í dụ3 :Viết phơng trình cạnh ABC biết A(4; 1) đờng cao (BH) : 2x 3y0; trung tuyến (CK) : 2x3y0
Lêi gi¶i
Theo bài,AC đI qua A(4;-1) vng góc với (BH) : 2x 3y0 nên AC:3x+2y-10=0 Suy toạ độ C nghiệm hệ:
3x+2y-10=0 2x+3y=0 x y
vËy C(6;-4)
Gi¶ sư B(xB;yB) ta ph¶I cã: 2xB-3yB=0 vËy yB=
2
3xB vËy B(xB; 3xB)
Tơng tự toạ độ K(xK;-2
3xK).Theo , K trung điểm AB nªn:
2 A B K A B K x x x y y y hay 11
2 2 4
8
2 4 2 3
5
1 ( )
2 3 B K K K B K B B K B x x x x x x x x x x vËy B(-5/4;-5/6)
+)LËp pt AB.BC:
*Dạng 4:Tam giác ABC,biết hai cạnh AB,ACvà biết trọng tâm G.Lập ptcạnh lại
Phơng pháp: ( Bài toán thứ t tam giác)
( Trọng tâm giao đờng trung tuyến tam giác)
b1:tìm đợc toạ độ điểm A
Suy toạ độ điểm M trung điểm BC nhờ : AG2.GM
b2:Tham số hoá toạ độ B(xB;yB); C(xC;yC) theo phơng trình AB,AC
b3:Tìm toạ độ B.C nhờ:
2 B C M B C M x x x y y y
b4:lËp pt cña BC
ví dụ 4:Tam giác ABC,biết AB:x+y-1=0;AC: x-y+3=0 trọng tâm G(1;2).Lập BC lời giải
theo bi to A nghiệm hệ pt:
x+y+1=0
x-y+3=0
x y
vËy A(-2;1)
Gäi M(x;y) trung điểm BC ,vì G trọng tâm nªn: AG2.GM
5
3 2.( 1) 2
1 2.( 2)
2 x x y y
vËy M(5/2; 5/2)
Vì B thuộc AB nên toạ B(xB;yB) vi xB+yB+1=0 hay B(xB;-1-xB)
Tơng tự điểm C cã d¹ng C(xC;xC+3)
(6)2
B C M
B C M
x x x
y y y
hay
5
5
2
4
1 3
5
2
B C
B C B C B C B C
x x
x x x
x
x x x x
vËy B(1;-2) ; C(4;7)
+)phơng trình BC
*Dạng 5:Tam giác ABc,biết hai cạnh AB,AC trực tâm H.Lập pttq BC
Phơng pháp: -( Bài toán thứ năm tam gi¸c )
((Trực tâm giao đờng cao tam giác)
b1:tìm toạ độ điểm A
b2: Tham số hoá toạ độ B(xB;yB) theo AB
b3:Tìm toạ độ B:
Vì H trực tâm nên HB VTPT AC.Vậy HB uAC =0 b4:Phơng trình cạnh BC : Qua B
Cã HA véc tơ pháp tuyến
ví dụ 5:Tam giác ABC biÕt AB:5x-2y+6=0 vµ AC: 4x+7y-21=0 vµ H(0;0) lµ trùc tâm tam giác.Lập pt cạnh BC
LG: To độ A nghiệm hệ pt: 0
4 21
x y x
x y y
vËy A(0;3)
Vì B(a;b) thuộc AB nên 5a-2b+6=0 suy b=5
2
a
hay B(a;5
2
a ) Mặt khác, H trực tâm nên HB AC.suy HB
lµ VTPT cđa AC suy :
HB
.uAC =0 7.a-4.5
2
a
=0 a=-4.VËy B(-4;-7) Tơng tự,HA VTPT BC Vậy PTTQ BC lµ:
0.(x+4)-3.(y+7)=0 hay : -3(y+7)=0 hay y+7=0
*Dạng 6:Tam giác ABC,biết hai cạnh AB,AC I tâm ng trũng ngoi tip tam
giác.Lập pt cạnh BC
Phơng pháp: -( Bài toán thứ sáu tam gi¸c)
( Tâm đờng trịn ngoại tiếp tam giác giao đờng trung trực cạnh ).
b1:Tìm đợc toạ độ A
Gọi M trung điểm cạnh AB.Vì I trực tâm nên IM vng góc với AB. M Tìm toạ độ B nhờ M trung điểm AB
b2:Gọi N trung điểm AC.Vì I trực tâm nên IN AC. N Tìm toạ độ C nhờ N trung điểm AC
b3:LËp pttq cña BC biÕt B,C
ví dụ 6:tam giác ABc,biết AB:x+y-1=0 ; AC: 2x-y-2=0 I(1;1) tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác.Lập pttq BC
LG: theo có A(1;0)
Gọi M(xM;yM) trung điểm AB.Ta có xM+yM-1=0 vây M(xM;1-xM)
Vì IM vuông góc víi AB nªn IM uAB=0
Hay: (xM-1).(-1)+(-xM).1=0 hay xM=1/2.VËy M(1/2;1/2)
Tơng tự,trung điểm N(xN;2xN-2) AC có toạ độ thoả mãn IN
.uAC =0 N(7/5;9/5) Mặt khác,vì M trung điểm AB nên suy B(0;1)
Tơng tự , N trung điểm cuủa AC nên suy C(9/5;18/5) Vây pttq BC lµ :………
*Dạng 7:Tìm điểm đối xứng M’ M qua đờng thẳng
(7)b2:Gọi I giao điểm d với .Tìm đợc i
b3:Gọi M’ điểm đối xứng với M qua .Khi I trung điểm MM’
tìm đợc M’ nhờ:
'
'
2
M M I
M M I
x x x
y y y
ví dụ 7:Cho : x+3y+2=0 M(-1;3).Tìm điểm M’ đối xứng với M qua lời giải
gọi d đờng thẳng qua M vng góc với .Ta có nd u (3; 1)
vËy pttq cña d: 3.(x+1)-1.(y-3)=0 hay 3x-y+6=0
gọi I giao điểm d với .Ta có toạ độ I nghiệm hệ ptrình:
x+3y+2=0
3x-y+6=0
x y
hay I(-2;0)
Giả sử M’(x’;y’) điểm đối xứng với M qua .Ta có:
'
'
2
M M I
M M I
x x x
y y y
hay
1 '
2 ' 3
2
3 ' '
0
x
x
y y
.VËy M’(-3;-3)
b LuyÖn tËp.
B i 1.à Viết phương trình tổng quát PT tham số đởng thẳng: a) Đi qua hai điểm M(1;-1) v N(3;2)
b) Đi qua A(1;-2) v song song ới ®ường thẳng 2x - 3y - = c) Đi qua ®iểm P(2;1) v vuông góc v i đng thng x y + = d) §i qua A(1;1) vµ cã hƯ sè gãc k 2
B i 2.à Cho tam gi¸c ABC ,A(3;-5), B(1;-3), C(2;-2).ViÕt PT tổng quát : a)các cạnh AB, AC, BC
b)Đờng cao AH Trung tuyến AM c)Đờng thẳng qua A song song với BC d)§êng trung trùc cđa AC
e)§êng trung bình tam giác song song với cạnh BC Bài 3.Cho hình chữ nhật ABCD biết: A(1,3) ,B(2;-1)
cạnh DC có ptrình: 2x+y-2=0 a) lập pt cạnh AB,BC,AD b) Tìm toạ độ C,D
Bài 4:Xem lại ví dụ Làm tơng tù
Chuyên đề 2: vị trí tơng đối hai đờng thẳng. A Tóm tắt lí thuyết.
I Bài toán: Trong mặt phẳng Oxy cho hai đờng thẳng 1; có phơng trình
2 1 1 1
2 2 2 2
( ) : 0, 0
( ) : 0, 0
a x b y c a b
a x b y c a b
(8)1.Cách 1:
Xét hệ phơng trình 1
2 2
0
a x b y c a x b y c
(1)
+) Nếu hệ (1) có nghiệm (x0; y0) hai đờng thẳng cắt điểm
M(x0; y0)
+) Nếu hệ (1) vơ nghiệm hai đờng thẳng song song
+) Nếu hệ (1) nghiệm với x y; hai đờng thẳng trùng 2.Cách 2:
NÕu
1
a a
b b hai đờng thẳng cắt
NÕu
1 2
a a c
b b c hai đờng thẳng song song
NÕu
1 2
a a c
b b c hai đờng thẳng trùng
Chú ý :Nếu không quan tâm đến toạ độ giao điểm nên dùng cách 2
b Các dạng tập bản. Dạng Xét vị trí tơng đối hai đờng thẳng.
Ví dụ 1: Xét vị trí tơng đối cặp đờng thẳng sau tìm toạ độ giao điểm trờng hợp cắt nhau:
a) 1:x y 2 0; 2: 2x y 3 0
b)
1
: 10 0; : ( )
2
x t
x y t R
y t
c)
1 '
: ( ) : ( ' )
2 2 '
x t x t
t t R
y t y t
Dạng Biện luận theo tham số vị trí tơng đối hai đờng thẳng.
Ví dụ 1: Cho hai đờng thẳng
2
1: (m 3)x 2y m 0; 2: x my (m 1)
Tìm m để hai đờng thẳng cắt Ví dụ 2: Cho hai đờng thẳng
1:mx y m 0; : x my
Biện luận theo m vị trí tơng đối hai đờng thẳng Chuyên đề 3: góc hai đờng thẳng.
A tãm t¾t lÝ thuyÕt.
1.Định nghĩa:- hai đờng thẳng 1;2 cắt tạo thành góc.Nếu 1 1
khơng vng góc với góc nhọn góc đợc gọi góc hai đ-ờng thẳng 1 1, kí hiệu là: 1,2 Nếu 1 2 góc 1
vµ 1 lµ 900
NÕu 1 // 2 hc 1 2 th× ta quy íc 1, 2
o
NhËn xÐt: 00 ≤ 1,2 ≤ 900
(9)
2 1 1 1
2 2 2 2
( ) : 0,
( ) : 0,
a x b y c a b
a x b y c a b
Khi góc hai đờng thẳng 1, 2 đợc xác định theo công thức:
2 2 22 22 2
1 2
cos , a a b b
a b a b
* Nhận xét: Để xác định góc hai đờng thẳng ta cần biết véc tơ ph-ơng( véc tơ pháp tuyến ) chúng
b Các dạng tập. Dạng Xác định góc hai đờng thẳng.
Ví dụ1: Xác định góc hai đờng thẳng trờng hợp sau:
1: 0; 2:
7
x t
x y t R
y t
1
'
: 1 3 : 9 1 '
' 5 2
x t x t
t R t R
y t
y t
ví dụ 2: Cho hai đờng thẳng 1: 3x y 7 0; 2:mx y 1 0 Tìm m để 1, 2 30
o
Lg:góc hai đờng thẳng đợc xác định theo
2 2
3 ( , )
( 3) ( 1)
m cos
m
Theo bµi cã:
2
3 3
30 3( 1)
2
2
m m
cos m m
m m
2 2
3( 1) ( 1) 3 3
3
m m m m m m m
Dạng Viết phơng trình đờng thẳng qua điểm cho trớc tạo với
đ-ờng thẳng cho trớc góc đó.
Ví dụ 1: Cho ABC cân đỉnh A Biết AB x y: 1 0; BC : 2x 3y 0 Viết phơng trình cạnh AC biết qua M1;1
Lêi gi¶i: Gi¶ sư AC qua M(1;1) có véc tơ pháp tuyến là: n
=(a;b), đk:a2 b2 0(*) Khi pt AC: a(x-1)+b(y-1)=0 hay : ax+by-a-b=0
Theo bài,tam giác ABC cân đỉnh A nên ta có góc B=C hay:
2 2 2 2 2
1.2 1.( 3) ( 3)
( , ) ( , )
2 13
1 ( 3) ( 3) 13
a b a b
AB BC AC BC
a b a b
2 2 2 3 2 2.(2 3 )2 2 8 24 18
a b a b a b a b a b a ab b
2
7a 24ab 17b
(10)Víi a=1,b=1 ta có AC: x+y-2=0 ( loại AC//AB) Với a=1,b=7/17 ta cã: AC: x+7/17y-24/17=0 tho¶ m·n KÕt luËn : AC: x+7/17y-24/17=0
ví dụ 2*: Cho ABCđều, biết: A2;6 BC : 3x 3y60 Viết phơng trình cạnh cịn lại
Lêi gi¶i: Gi¶ sư AB qua A(2;6) có véc tơ pháp tuyến là: n
=(a;b), đk:a2 b2 0(*) Khi pt AB: a(x-2)+b(y-6)=0 hay : ax+by-2a-6b=0
Gi¶ sư AC qua A(2;6) có véc tơ pháp tuyến là: n
=(c;d), k:c2d2# 0(**) Phơng trình AC: cx+dy-2c-6b=0
(AB,BC)=600
2 2 2
3 1 3
60
2 12
( 3) ( 3)
a b a b
cos
a b a b
2
12(a b ) 2.a 3b
(1)
(AC,BC)=600
0
2 2 2
3 1 3
60
2 12
( 3) ( 3)
c d c d
cos
c d c d
2
12(c d ) 2.c 3d
(2)
(AB.AC)=600
2 2 2 2
1
2 .
ac bd
a b c d ac bd
a b c d
(3)
Tõ (1),(2),(3) cã hƯ ptr×nh:
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2
12( ) 4.( 3 ) ( ) 0;(1')
12( ) 4.( 3 ) ( ) 0;(2')
( ).( ) 4( ) ( ).( ) 4( );(3')
a b a b b b a
c d c d d d c
a b c d ac bd a b c d a c abcd b d
Tõ hÖ trên,ta tìm a,b thoả mÃn (*).Tìm c,d thoả mÃn (**)
Từ pt (1’) chọn b=0 suy a=1.Thế vào pt (3’) ta đợc 3c2-d2=0.Từ pt chọn d=
3 suy c2=1.ThÕ d vµo pt (2’) suy c=1
VËy cã a=1,b=0,c=1,d=
KÕt luËn: AB: x-2=0 AC: x+ 3y-2-6 3=0
Ví dụ 3: Cho hình vng ABCD biết A 3; 2 BD: 7x y 27 0 Viết phơng trình cạnh đờng chéo cịn lại
Li gii +)PT ng chộo AC
Vì ABCD hình vuông nên AC BD.Vậy ACBD uAC nBD (7;1) nAC (1; 7)
Vậy pttq AC: x-7y-11=0 +)Tìm toạ độ đỉnh C
Gọi I giao hai đờng chéo,ta có toạ độ C nghiệm hệ:
7 27
7 11
x y x
x y y
VËy I(4;-1)
Vì ABCD hình vuông nên I trung điểm AC.suy C(11;0) +)Tìm toạ độ điểm B
(11)Mµ ABCD hình vuông nên ABCB. AB CB . 0 (xB 3).(xB 11) (29 xB).(27 xB)
x2B 8xB15 0
5
B B
x x
.Vậy B(5,-8).Và D(3;6) +)phơng trình cạnh AB 3x+4y+17=0 +)phơng trình cạnh BC: 4x-3y-44=0 +)phơng trình cạnh CD: 3x+4y-33=0 +)phơng trình cạnh AD: 4x-3y+6=0
vớ d 4: Cho hình vng tâm I2;3 AB :x 2y 10 Viết phơng trình cạnh cịn lại , cỏc ng chộo
Lời giải +)phơng trình cạnh DC:
Vì ABCD hình vuông nên AB song song với DC.suy nDC nAB (1; 2)
VËy DC: x-2y+c=0 ( điều kiện c-1)
Hơn ta có: ( , ) ( , ) 12 2 62 2
1 ( 2) ( 2)
c
d I AB d I CD c
1( )
c loai c
VËy DC: x-2y+9=0 +)ph¬ng trình BC,AD
Vì ABCD hình vuông nên BC AB.Vậy pt BC: 2x+y+a=0 Mặt kh¸c, ( , ) ( , ) 12 2 32 2
1 ( 2) ( 2)
a
d I AB d I CB a
2 12
a a
VËy BC: 2x+y-2=0 AD: 2x+y-12=0 +)Phơng trình AC
To ca A l nghiệm hệ:
2 12
x y x
x y y
Vậy A(5;2).Vậy AC: x+3y-11=0
+)phơng trình BD:
To độ B nghiệm hệ: 1
2 0
x y x
x y y
VËy B(1;0)VËy BD: 3x-y-3=0
Ví dụ 5: Cho đờng thẳng d: 3x 2y 1 M1; 2
Viết phơng trình đờng thẳng qua M tạo với d gúc 45o Li gii
Giả sử đI qua M vµ cã vtpt lµ: n
=(a;b), k:a2 b2 0(*) Ta có : ax+by-a-2b=0 Theo bài, tạo víi d mét gãc 450 nªn:
0
2 2 2
3 ( )
45
2
3 ( 2) 13
a b a b
cos
a b a b
2 2
26(a b ) 3 a 2b 5a 24ab 5b 0.Chän a=1 suy b=-5 b=1/5
Vậy có pt thoả m·n: x-5y+9=0 vµ 5x+y-7=0
(12)A: Tãm t¾t lý thuyÕt SGK.
Trong mặt phẳng Oxy, cho đờng thẳng : ax+by+c=0 điểm MO(x0;y0).Khoảng
cách từ M0 đến ,kí hiệu d(M0, ) đợc tính theo công thức:
0 0 2 2
( , ) ax by c
d M
a b
B: Các ý liên quan: (Bổ sung)
Chú ý 1: Nếu đờng thẳng : ax+by+c=0 chia mặt phẳng Oxy thành hai nửa mặt phẳng có bờ ,ta luụn cú:
-Một nửa mặt phẳng chứa điểm M1(x1;y1) thoả mÃn
ax1+by1+c>0
-Một nửa mặt phẳng lại chứa điểm M2(x2;y2) thoả mÃn
ax2+by2+c<0
Chú ý 2:Cho hai đờng thẳng cắt 1,2 có phơng trình :
1: a x b y c1 10 vµ 2 : a x b y c2 0
®iĨm M(x;y) t ý thuộc phân giác góc tạo 2 d M( , )1 d M( ,2) 1 2
2 2 1 2
a x b y c a x b y c
a b a b
Vậy phơng trình hai đờng phân giác tạo 1 2 là: 1 2
2 2 1 2
a x b y c a x b y c
a b a b
Chú ý: xem lại tính chất đờng phân giác góc-sgk tốn lớp
C -C¸c vÝ dơ
v
í dụ :a) Tính khoảng cách từ điểm A(3;5) đến đờng thẳng : 4x+3y+1=0 b)Tính bán kính đờng trịn (C) biết có tâm I(1;2) tiếp xúc với : 2x-3y+1=0
Lêi gi¶i
a)áp dụng cơng thức tính khoảng cách từ điểm tới đờng thẳng ta có:
2
4.3 3.5 28 28 ( , )
5 25
4
d A
b)V× (c) tiÕp xóc víi : 2x-3y+1=0 nªn 2 2
2.1 3.2
( , )
13 ( 3)
d I R R R
v
í dụ 2:Cho đờng thẳng : x-y+2=0 điểm 0(0;0) ; A(2;0);C(-1,3) ;D(-3;2) a)Chứng tỏ hai điểm A O nằm phía đờng thẳng b)CMR:A C nằm hai phía đờng thẳng
c)CMR: hai điểm C D nằm phía đờng thẳng d)Tìm điểm O’ đối xứng O qua
lêi gi¶i
a)thay toạ độ điểm O A vào vế trái ta có: (O)=0-0+2=2>0
(A)=2-0+2=4>0
Vậy (0).(A)=2.4=8>0 A O nằm phía đ-ờng thẳng
b)T¬ng t: (C)=-1-3+2=-2<0
vËy (A).(C)=4.(-2)=-8 <0
(13)vËy (C).(D)=-2.(-3)=6 >
vậy hai điểm C D nằn phía đờng thẳng d)Tìm điểm O’ đối xứng O qua : Tự làm
v
í dụ :Lập phơng trình đờng phân giác góc hai đờng thẳng 1: 2x+4y+7=0 2 : x-2y-3=0
Lêi gi¶i
Phơng trình hai đờng phân giác góc 1 2
2 2
2 7
20
2 ( 2)
x y x y x y x y
2 2( 3) 13
2 2( 3)
x y x y y
x y x y x
Kết luận: Có đờng phân giác thoả mãn toán: 8y+13=0 4x+1=0 v
í dụ :Tìm phơng trình tập hợp điểm cách hai đờng thẳng 1: 5x+3y-3=0 2 : 5x+3y+7=0
Lêi gi¶i Cách làm tơng tự ví dụ
*
v Ý dơ :Cho tam gi¸c ABC cã A(-6;-3); B(-4;3) ; C(9;2)
viết phơng trình đờng thẳng d chứa đờng phân giác góc A tam giác ABC
Lời giải +)Phơng trình đờng thẳng AB là: 3x-y+15=0 +)Phơng trình đờng thẳng AC : x-3y-3=0
Phơng trình hai đờng phân giác góc tạo AB AC là:
1 2 2
2
9 0;( )
3 15 3
3 15 3
3 15 ( 3) 0;( )
3 ( 1) ( 3)
x y
x y x y
x y x y
x y x y x y
Ta thấy hai điểm B C phải nằm hai phía đờng phân giác của góc A.
Ta cã 1( )B =-4+3+9=8>0
1( )C =9+2+9=20>0 vËy =8.20=160 > suy B,C n»m vÒ cïng phÝa
đối với (1)
Ta cã: 2(B)=-4+3-3=-4<0
2( )C =9+2-3=8>0 vËy 2( ) ( )B 2 C =-4.8=-32 <
Vậy hai điểm B C nằm hai phía đối 2
Kết luận: Phơng trình đờng phân giác góc A : x+y-3=0
D Các dạng toán tam giác -Tiếp
*Dạng 8:Tam giác ABC biết đỉnh A,hai đờng phân giác góc B góc
C.LËp ph¬ng trình cạnh
Phơng pháp: ( Bài toán thø tam gi¸c)
+)b1:Tìm điểm A1 điểm đối xứng A qua đờng phân giác góc
B.suy A1 thuộc đờng thẳng BC
+)b2:Tìm điểm A2 điểm đối xứng A qua đờng phân giác góc
C.suy A2 thuéc BC
+)b3:Lập pt đờng thẳng BC: biết B,C +)b4: Lập pt cạnh AC,AB:
v í dụ8 :Tam giác ABC biết A(2;-1) pt hai đờng phân giác góc B góc
C lần lợt là:
(dB ) : x-2y+1=0
(14)Lập phơng trình cạnh tam giác Lời giải
Gi A1l điểm đối xứng A qua (dB ) : x-2y+1=0.do A A1 vng góc với dB nên
AA1 có ptrình: 2x+y-3=0.Khi giao điểm dB A A1 I(1;1) trung điểm
của A A1 Từ suy A1(0;3)
Goi A2 làđiểm đối xứng A qua (dC ) : x-3y+5=0.Suy A A2 : 3x+2y-4=0
Khi toạ độ A2(0;2)
Khi A1và A2 thuộc BC
VËy pt cạnh BC: (A1A2) : x=0
Suy To độ B giao điểm BC dB Vậy B(0;1/2).Tng t C(0;5/3)
+)Phơng trình AB,AC :
*Dạng 9::Tam giác ABC biết A,đờng cao BH,đờng phân giác ca gúc C.Lp
phơng trình cạnh cuả tam giác
Ph
ơng pháp: ( Bài toán thứ tam giác)
+) b1:Lp pt cạnh AC : vng góc với BH qua A.suy toạ độ điểm C +) b2: Tìm điểm đối xứng A’ A qua đờng phân giác góc C Suy A’ thuộc BC
+) b3: Lập pt cạnh BC qua điểm C,A +)b4: lập pt cạnh AB: Tìm B
v
í dụ 9:Cho tam giác ABC,biết A(-1;3), đờng cao BH: x-y=0.Đờng phân giác góc C nằm đờng thẳng : x+3y+2=0.Tìm phơng trình cạnh
Lời giải ( Đề thi ĐH kiến trúc 1998) Theo bài,AC vng góc với BH.Vậy pt cạnh AC: x+y-2=0 Từ toạ độ C nghiệm hệ:
2
x y x
x y y
vËy C(4;-2)
Gọi A’là điểm đối xứng A qua đờng phân giác :x+3y+2=0.cóAA’:3x-y+6=0 Có trung điểm I AA’ giao AA’ với x+3y+2=0.Vậy I(-2;0).Vậy A’(-3;-3) Khi A’ thuộc BC.Vậy pt BC pt CA’: x-7y-18=0
Suy toạ độ B nghiệm hệ
7 18
x y x
x y y
B(-3;-3) (trïng víi A’) Phơng trình cạnh AB: 3x-y+6=0
*Dng 10:Tam giỏc ABC,bit đỉnh A,đờng trung tuyến hạ từ đỉnh B,đờng phân giác
trong góc C.Tìm phơng trình cạnh Phơng pháp: ( Bài toán thứ tam giác)
+) b1:Tìm toạ độ A’ điểm đối xứng A qua đờng phân giác góc C +) b2: Tham số hoá toạ độ C(xC;yC) theo đờng phân giác góc C
Tham số hoá toạ độ B1(x1;y1) theo đờng trung tuyến hạ từ B
+)b3:Tìm toạ độ C nhờ B trung điểm AC
ví dụ 10:Tam giác ABC biết A(4;4),trung tuyến BB1: x-3y-2=0, đờng phân giác
trong cña gãc C cã phơng trình: : x-2y-1=0.Lập phơng trình cạnh Lời giải
Gọi A’ điểm đối xứng A qua : x-2y-1=0.Ta có A’(6;0) Gọi C(xC;yC) C thuộc nên : xC-2yC-1=0 suy C(2yC+1;yC)
Tỵng tù ®iĨm B1(x1;y1) thc BB1: x-3y-2=0.VËy B1(3y1+2;y1)
Mµ B1 lµ trung điểm AC nên:
1
1
1
4 7
3
2 2
4
11
2
A C C
A C C
C
x x y
x y y
y y y
y
y y
(15)Bài : Phơng trình đờng trịn A Tóm t ắ t lý thuy ế t 1 Phương trình đờng trịn có tâm bán kính cho trớc.
Trong m t ph ng ặ ẳ Oxy cho đường tròn tâm I a b( ; ) bán kính R Khi ó ph ng trình c a ng tròn lµà :
2 2
(x a ) (y b ) R
2.Nhận xét : ( Điều kiện để Phơng trình bậc hai PT đờng trịn) Phơng trình
2
2
x y ax by C
Là phơng trình đờng trịn a2 b2 c 0
Khi tâm I a b( ; ), bán kính R a2 b2 c
Chú ý: Hệ số x2 hệ số y2 pt đờng tròn phải nhau
3.Phơng trình tiếp tuyến đờng trịn.
Trong oxy cho đờng trịn (C) có tâm I a b( ; ), bán kính R a) Điều kiện tiếp xúc đờng thẳng đờng tròn.
Đường thẳng tiếp xúc vi ng tròn v ch khoảng cách t tâm ng tròn n ng thng bng bán kÝnh đường trßn
tiÕp xóc (C) d(I, )=R
b)Tiếp tuyến điểm M0(x0; y0) thuộc (C).
Phuơng trình tiếp tuyến (C) điểm M0(x0; y0) lµ:
(x0-a).(x-x0)+(y0-b).(y-y0) =0
c) Tiếp tuyến đờng tròn qua điểm A(xa; ya).
PP1: - Gọi ttuyến qua A, cã VTPT n
=(a;b), đk:a2 b2 0(*) Dạng : a( x-xa)+b(y-ya)=0
- Đktx v (C) lµ : d(I, à )=R - Giải đktx, chọn a,b thỏa đk(*)
* PP2: :- Gọi ttuyếnqua A, cã hệ số gãc k Dạng : y= k(x-xa)+ya - Đktx v (C ) lµ : d(I, à )=R
- Giải ktx, tìm k Nu có giá tr k -> dng Nu ch có giá tr k kim tra dạng qua A kh«ng cã hƯ sè gãc: x=xA cã thỏa m·n đktx -> nhận.
d) Vi ế t pttt c ủ a đ êng trßn bi ế t ph ươ ng cña tiÕp tuyÕn * PP: KiÓu 1: // (d): ax+by+c=0
(16)- Dạng : bx-ay+m=0 - ktx: d(I, )=R -> m
B.Các dạng tập.
Dạng Bài toán vi t ph ng trình ng tròn
Víd 1.Vit phng trình ng tròn ng kính AB,vi A(1;1), (7; 5)B Đáp s : (x 4)2(y 3)2 13 hay x2 y2 8x 6y120
ví dụ 2: viết phơng trình đờng trịn Có tâm I(-2;3) qua M(2;-3)
Vídụ3.viết phơng trình đờng trịn ngoại tiếp ABC, với A( 2;4), (5;5), (6; 2) B C .
Đáp s : x2 y2 4x 2y 20 0
Ví dụ 4.Viết phương trình đờng trịn có tâm I ( 1;2)và tiếp xúc với đường thẳng
:x 2y 7 0
Đáp s : ( 1)2 ( 2)2
x y .
VÝ dụ 5.Viết phương tr×nh ng tròn quaA ( 4;2) tip xúc vi hai trc to Đáp s : (x2)2 (y 2)2 4 (x10)2 (y 10)2 100.
Dạng2: B à i tốn tìm tham số để ph ơng trình d ng x2 y2 2ax 2by C l0 ph
ơng trình đ ờng tròn. Ph
ơng pháp : PT phơng trình đờng tròn a2 b2 c 0
Ví d Trong phng trình sau ây, phng trình phng trình ca mt ng tròn Xác nh tâm tính bán kính
a x2 y2 4x2y 6 c x2 y2 6x 8y 16 0
b x2 y24x 5y 1 d 2x2 2y2 3x 2 0 Đáp s : c ) ( 3; 4),I R d) ( ; 0),3
4
I R
VÝ dụ Cho phương tr×nh : x2 y2 6mx 2(m 1)y11m22m 0 a T×m điều kin ca m pt pt ng tròn
b Tìm quỹ tích tâm ng tròn
Lời gi¶i
Giả sử pt đờng trịn có dạng:x2+y2-2ax-2by+c=0 (điều kiện: a2+b2-c>0 )
a)Theo bµi ta cã:
2
2
2 2( 1)
11 11
a m a m
b m b m
c m m c m m
vËy a2+b2-c=-m2-4m+5
pt cho pt đờng tròn a2 b2 c 0
m2 4m 5 0 5m1 b)với điều kiện: -5<m<1, pt cho pt đờng trịn , có tâm I(-3m;m-1)
vậy toạ độ I
1
3 1
1
1 1
I I
I I I
I
x m m x
y x
y m y m
vậy quỹ tích tâm đờng trịn đờng thẳng: 1
(17)VÝ dụ Cho phương tr×nh (Cm): x2 y2 2(m1)x 2(m 3)y
a)Tìm m (Cm) phng trình ca mt ng tròn
b)Tìm m (Cm) ng tròn tâm I(1; 3). Vit phng trình ng tròn
c)Tỡm m(Cm)lng trũn cú bỏn kớnh R 5 2.Viết phương trình đường trịn
d)T×m hp tâm ng tròn (Cm)
Lời giải
Giả sử pt đờng trịn có dạng:x2+y2-2ax-2by+c=0 (điều kiện: a2+b2-c>0 )
a) theo bµi cã:
2 2( 1) ( 1)
2 2( 3)
2
a m a m
b m b m
c c
vËy a2+b2-c=2(m2-4m+4)
pt cho pt đờng tròn 2
0
a b c
2(m2 4m4) m2
b)Để (Cm) ng tròn t©m I(1; 3).
2
( 1) 0
3
m m
m m m
m m
khi pt đờng trịn l: x2+y2-2x+6y+2=0
c)(Cm)làng tròn có bán kính
5
R 2
2
2 2 7
3
3
4 21
2( 4) 7
m
m m m
m
m
m m
m m m
vậy có pt thoả mÃn: x2+y2+12x-8y+2=0 x2+y2-8x+12y+2=0
d)với điều kiện: m#2 pt cho pt đờng trịn , có tâm I(-(m-1);m-3)
vậy toạ độ I ( 1)
3
I I
I I
I I
x m m x
y x
y m y m
vậy quỹ tích tâm đờng tròn đờng thẳng: yx hay: x+y+2=0
Dạng 3:Phơng trình tiếp tuyến đờng trịn.
ví dụ1 :cho đờng trịn (c) có ptrình: x2+y2-4x+8y-5=0
a) Tìm toạ độ tâm bán kính ( c)
b) ViÕt pt tiếp tuyến ( c) điểm A(-1;0) (c)
c) viết pt tiếp tuyến với (c) biết ttuyến vng góc với đờng thẳng 3x-4y+5=0 lời giải
giả sử Pt đờng trịn có dạng: x2+y2-2ax-2by+c=0 với điều kiện: a2+b2-c>0
ta cã: -2a=-4; -2b=8; c=-5.VËy a=2, b=-4, c=-5 a2+b2-c=25
a) Tâm I(2;-4) bán kính R=5
b) gi s l tiếp tuyến đờng trịn điểm A(-1;0).Thì có vtpt IA=(-3;4) pttq : -3.(x+1)+4.(y-0)=0 hay -3x+4y-3=0
c)Giả sử tiếp tuyến cần tìm.Vì 3x-4y+5=0 nên : 4x+3y+c=0 mặt khác tiếp tuyến (c) nên d(I,)=R
2
4.2 3.( 4)
5 25
5
4
c c
c
29 21
c c
VËy cã pt tiếp tuyến thoả mÃn toán:
: 4x+3y+29=0 ’ : 4x+3y-21=0 ví dụ 2:Viết phơng trình tiếp tuyến với đờng tròn
(18)biết song song với đơng thẳng d’ : 3x-y+2006=0 li gii
Đờng tròn (c ) có tâm I(2;-3) bán kính R= 10
Phng trỡnh ca đờng thẳng song song với d’ có dạng: 3x-y+c=0 tiếp xúc với (c ) d(I,)=R
3.2 1.( 3)2 2 10 10
19 ( 1)
c c
c
c
VËy cã ph¬ng trình tiếp tuyến thoả mÃn toán: 3x-y+1=0 3x-y-19=0
ví dụ 3:Lập phơng trình tiếp tuyến với đờng tròn (c ): x2+y2-4x-2y=0
biÕt r»ng tiÕp tuyÕn đI qua điểm A(3;-2) lời giải
theo ( c) có tâm I(2;1) bán kính R= a2 b2 c 4 0 5
Gọi tiÕp tuyến qua A, cã VTPT n
=(a;b), đk:a2 b2 0(*) Dạng : a( x-3)+b(y+2)=0 hay ax+by-3a+2b=0 tiÕp xóc víi (c ) d I( , ) R 2a b2 3a2 2b
a b
(3b a)2 5.(a2 b2) 4a2 4b2 6ab 0
2
2a 2b 3ab
Chän a=1 suy b=-1/2 hc b=2
VËy cã phơng trình tiếp tuyến thoả mÃn toán là: x-1
2y-4=0 vµ x+2y+1=0
C B I TÀ P. Tìm phng trình ng tròn ( )C bit :
a)( )C tiếp xóc với hai trc to có bán kính R 3 b) ( )C tiếp xóc với Ox A(5;0) có bán kính R 3 c) Tiếp xóc với Oy B(0;5) vµà qua C(5;2)
Tìm phng trình ng tròn ( )C bit rng : a)Tâm I(1; 5) qua gốc toạ độ.
b) Ngoại tiếp OAB với A(4;0), (0; 2)B . c) Tiếp xúc vi Ox ti A(6;0) qua B(9;3)
3 Cho hai điểm A( 1;6), ( 5;2) B Lp phng trình ng tròn ( )C , biết : a) Đường kÝnh AB b) ( )C ngoại tiếp OAB
4 Viết phương tr×nh đường trßn qua ba điểm :
a) A(8;0) , (9;3) , (0;6)B C b) A(1; 2) , (5;2) , (1; 3)B C
5 Cho đường trßn ( )C qua điểm A( 1; 2) , ( 2;3) B có tâm trªn đường thẳng
: 3x y 10
Viết phương trình ca ( )C
Lời giải
Gi sử pt đờng trịn có dạng:x2+y2-2ax-2by+c=0 (điều kiện: a2+b2-c>0 )
theo ,vì A(-1;2) thuộc (C ) nên: (-1)2+2+2a-4b+c=0 hay: 2a-4b+c=-5 (1)
(19)mặt khác, tâm I(a,b) n»m trªn : 3x y 10 0 nªn: 3a-b+10=0 (3) từ (1),(2),(3) ta có hệ phơng trình
2
4 13
3 10
a b c a
a b c b
a b c
.Thử lại a2+b2-c=(-3)2+12-5=5>0 thoả mÃn điều kiện.
Vậy pt đờng trịn cần tìm là: x2+y2+6x-2y+5=0
6 Vit phng trình ng tròn ( )C tip xúc vi trc to :
a)i qua A(2; 1). b) Cã t©m thuộc đường th¼ng : 3x 5y 0 .
7.Cho ba ®iĨm A(4;3), B(2;7) vµ C(-3;-8)
a)Tìm toạ độ trọng tâm G trực tâm H tam giác ABC b)Viết phơng trình đờng trịn ngoại tiếp tam giác ABC
c)gọi T tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.chứng minh T,G,H thẳng hàng
lêi giải a)Gọi G(xG;yG) trọng tâm tâm giác ABC ta cã:
3
A B C G
A B C G
x x x x
y y y y
hay
4 ( 3) 3 ( 8)
3
G
G
x y
hay G(1;2/3)
Gọi H(xH;yH) trực tâm tam giác ABC, ta cã:
( H 4; H 3)
AH x y
; BC ( 5; 15); BH (xH 2;yH 7)
; AC ( 7; 11)
Ta cã H trực tâm tam giác ABC AH BC BH AC
5( 4) 15( 3) 13 13
7 11 91
7( 2) 11( 7)
H h H H H
H H H H H
x y x y x
x y y
x y
toạ độ H(13;0) b)Giả sử phơng trình đờng trịn có dạng x2+y2-2ax-2by+c=0
ta cã A,B,C thu«c ( c)
16 8 25
4 49 14 14 53
9 64 16 16 73 59
a b c a b c a
a b c a b c b
a b c a b c c
vây phơng trình đờng trịn cần tìm: x2+y2+10x-2y-59=0
c)Theo tâm đờng trịn ngoại tiếp tam giác ABC T(-5;1) ta có: TH (18; 1)
; (6; 1)
TG