Hình chiếu vuông góc của một vectơ lên một không gian con

GVHD: Lê Xuân Dũng Khóa luận tốt nghiệp LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Lê Xuân Dũng –người trực tiếp tận tình hướng dẫn giúp đỡ em hồn thành khóa luận Đồng thời em xin chân thành cảm ơn thầy khoa Tốn-Trường đại học Hồng Đức, ban chủ nhiệm khoa Toán tạo điều kiện cho em hồn thành tốt khóa luận Trong khn khổ có hạn khóa luận, điều kiện thời gian, trình độ có hạn lần em nghiên cứu khoa học không tránh khỏi hạn chế định Vì vậy, em kính mong nhận góp ý thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn! SV: Vũ Thị Minh Phương i Lớp: K16 – ĐHSP Tốn GVHD: Lê Xn Dũng Khóa luận tốt nghiệp MỤC LỤC Trang LỜI MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích chọn đề tài CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tích vơ hướng khơng gian vectơ khơng gian có tích vơ hướng 1.2 Độ dài vectơ 1.3 Khoảng cách 1.4 Hai vectơ trực giao 1.5 Họ vectơ trực giao 1.6 Q trình trực giao hóa Gram-Smidt 1.7 Tính độc lập tuyến tính họ vectơ trực giao 1.8 Sự tồn sở trực chuẩn không gian Euclid n chiều 1.9 Hình chiếu vectơ lên không gian CHƢƠNG II TÍCH VƠ HƢỚNG VÀ THUẬT TỐN GRAM-SMIDT 10 2.1 Tích vơ hướng 10 2.2 Bài tập thuật toán Gram – Smidt 21 CHƢƠNG III HÌNH CHIẾU CỦA MỘT VECTƠ LÊN MỘT KHÔNG GIAN CON 33 3.1 Bài tốn hình học giải tích phẳng 33 3.2 Bài toán không gian vectơ Euclid 2 35 3.3 Bài tốn hình học giải tích khơng gian 37 3.4 Bài tốn khơng gian vectơ Euclid 41 3.5 Trong không gian 4 47 SV: Vũ Thị Minh Phương ii Lớp: K16 – ĐHSP Tốn GVHD: Lê Xn Dũng Khóa luận tốt nghiệp LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Tốn học mơn khoa học có nhiều ứng dụng với ngành học thực tiễn Toán học giúp cho người học phát triển lực phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho người học óc tư trừu tượng, tư xác, hợp logic, phương pháp khoa học suy luận, học tập Nhưng mơn học mang tính trừu tượng cao khơ khan Trong q trình học mơn “Tốn cao cấp” trường đại học, điều kiện mặt thời gian hạn chế nên số nội dung môn chưa tìm hiểu nghiên cứu sâu “Hình chiếu vng góc vectơ lên không gian con” nội dung hay nguồn gốc dạng toán hình tọa độ mặt phẳng lớp 10 hình không gian lớp 12 Ở chủ đề trình bày rõ nguồn gốc ứng dụng hình tọa độ mặt phẳng lớp 10 hình khơng gian lớp 12, để hiểu rõ vận dụng tốt cho em học sinh phổ thơng trung học Chính tính hấp dẫn vấn đề với việc mong muốn tìm hiểu nghiên cứu giới thiệu nội dung tới bạn sinh viên ngành tốn trường Vì thế, em có động lực để nghiên cứu đề tài chọn đề tài khóa luận “Hình chiếu vng góc vectơ lên khơng gian con” hướng dẫn thầy Lê Xuân Dũng Mục đích chọn đề tài Mục đích em nghiên cứu đề tài để bạn hiểu rõ nguồn gốc phương pháp tọa độ hình học phẳng phương pháp tọa độ khơng gian tìm hình chiếu điểm, Vectơ đường thẳng hay mặt phẳng SV: Vũ Thị Minh Phương Lớp: K16 – ĐHSP Toán GVHD: Lê Xuân Dũng Khóa luận tốt nghiệp CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương em trình bày lại số kiến thức không gian Euclide thuật toán đưa họ vectơ họ trực chuẩn Gram-Smidt 1.1 Tích vơ hƣớng khơng gian vectơ khơng gian có tích vơ hƣớng Định nghĩa 1.1 Giả sử V không gian vectơ, lấy u v vectơ V Tích vơ hướng u v số thực, ký hiệu u, v , thỏa mãn tính chất sau gọi tiên đề tích vô hướng: xác định với cặp u, v V TVH1: u, v TVH2: u, v TVH3: u v,w TVH4: ku, v k u, v TVH5: u, u v, u u,w v,w u, u u Không gian vectơ V có trang bị tích vơ hướng gọi khơng gian có tích vơ hướng Khơng gian vectơ hữu hạn chiều có tích vơ hướng gọi khơng gian Euclid (Ta xem V khơng gian có tích vơ hướng) Định nghĩa 1.2 Tích vơ hướng u, v : u1v1 u2v2 unvn gọi tích vơ hướng Euclid n 1.2 Độ dài vectơ 1.2.1 Định nghĩa 1.3 Cho V không gian có tích vơ hướng u V Số (khơng âm) u xác định u : u, u 1/2 gọi độ dài vectơ u 1.2.2 VD Trong n , u (u1, u2 , , un ) ta có u u12 u22 un2 gọi độ dài Euclid u n 1.2.3 VD f ,g SV: Vũ Thị Minh Phương a0b0 2a1b1 3a3b3 P2 x Cho Lớp: K16 – ĐHSP Toán GVHD: Lê Xuân Dũng Khóa luận tốt nghiệp f a0 a1x a2 x2 , g b0 b1x b2 x2 Khi f a02 2a12 3a12 1.2.4 Một số tính chất khác độ dài Độ dài vectơ có tính chất sau: L1 u L2 u L3 ku L4 u v u k u u v 1.3 Khoảng cách Nếu ta xem phần tử không gian vectơ điểm ta đưa khái niệm khoảng cách điểm u, v sau: d (u, v) : u v Khoảng cách d (u, v) có tính chất D1 d (u, v) D2 d (u, v) D3 d (u, v) d (v, u ) D4 d (u, v) d (u, w) d (w, v) u v Bất đẳng D4 thường gọi bất đẳng thức tam giác Các tính chất D1, D2, D3, D4 suy từ L1, L2, L3 1.4 Hai vectơ trực giao 1.4.1 Định nghĩa 1.4 Trong khơng gian có tích vơ hướng hai vectơ u v gọi trực giao u, v Hơn nữa, u trực giao với vectơ họ W nói u trực giao với W SV: Vũ Thị Minh Phương Lớp: K16 – ĐHSP Tốn GVHD: Lê Xn Dũng Khóa luận tốt nghiệp Chú ý trực giao hai vectơ định nghĩa phụ thuộc định nghĩa tích vơ hướng Hai vectơ cho trước trực giao theo tích vơ hướng mà khơng trực giao theo tích vơ hướng khác 1.4.2 Ví dụ: Xét tích vô hướng p, q p( x)q( x)dx Xét p x2 x, q 1/2 p Thì 1/2 p, p x.xdx 1/2 q 1/2 q, q 2 x x dx 1 p, q x3dx x.x dx 1 Vậy vectơ p x q x2 hai vectơ trực giao theo tích vơ hướng định nghĩa 1.5 Họ vectơ trực giao 1.5.1 Định nghĩa 1.5 Một họ vectơ khơng gian có tích vơ hướng gọi họ trực giao hai vectơ khác họ trực giao Một họ vectơ trực giao vectơ có chuẩn gọi họ trực chuẩn 1.5.2 Cho vectơ 3 v1 (0,1,0); v2 1 ,0, ; v3 2 ,0, 2 Họ S v1, v2 , v3 3 với tích vơ hướng Euclid họ trực chuẩn v1, v2 0, v2 , v3 v1 1, v2 1, v3 SV: Vũ Thị Minh Phương 0, v3 , v1 Lớp: K16 – ĐHSP Toán GVHD: Lê Xuân Dũng Khóa luận tốt nghiệp 1.5.3 Chuẩn hóa vectơ Nếu v vectơ khác khơng khơng gian có tích vơ hướng v có chuẩn v Thật v v v v 1.6 Q trình trực giao hóa Gram-Smidt 1.6.1 Định lý 1.6 (Định lý Gram-Smidt) Cho V khơng gian có tích vơ hướng S u1, u2 , um họ vectơ độc lập tuyến tính V Ta thay S họ trực chuẩn S' cho kí hiệu v1, v2 , vm Sk v1, v2 , vk spanSk u1, u2 , uk , S 'k spanS 'k , k 1,2, , m Chứng minh: Bước 1: Trước hết ta đặt Như v1 v1 spanS1 u1 u1 spanS '1 Bước 2: Tìm v2 cho họ v1, v2 trực chuẩn Muốn ta đặt v2 u2 tv1 Và chọn t cho v2 , v1 t v1, v1 Vậy t u2 , v1 Do v2 u2 , v1 Sau đặt v2 u2 v1 u2 v2 v2 u2 ,v1 v1 SV: Vũ Thị Minh Phương , tức u2 tv1, v1 Suy u2 , v1 u2 , v1 v1 u2 u2 u2 u2 , v1 v1 Đương nhiên u2 u2 , v1 v1 u2 , v1 v1 u2 , v1 v1 u2 , v1 u1 u1 Lớp: K16 – ĐHSP Tốn GVHD: Lê Xn Dũng Khóa luận tốt nghiệp Nghĩa u2 u1 không độc lập tuyến tính, điều trái với giả thiết Vậy S ' trực chuẩn spanS '2 v1, v2 spanS2 Bước 3: Giả sử xây dựng họ trực chuẩn S 'k v1, v2 , , vk 1 Mà spanS1 spanS '1 l k Ta xây dựng tiếp vk họ S 'k spanSk Muốn ta đặt Là họ trực chuẩn spanS 'k vk uk v1, v2 , , vk 1, vk t1v1 t2v2 tk 1vk Và chọn t j , j 1,2, , k 1, cho Điều kiện viết lại sau: Ta suy vk , v j uk , v j 0, j 1,2, , k t jv j , v j uk , v j , j 1,2, , k tj Do vk xác định vk uk uk ,v1 v1 Sau đó, bước 2, vk Đặt vk vk vk 0, j 1,2, , k uk uk uk , v1 uk , v1 v1 v1 Tiếp tục trình k Gồm m vectơ trực chuẩn, spanSk uk , vk uk , vk u k ,v k vk 1 vk vk m ta họ S ' v1, v2 , , vm spanS 'k , k 1,2, , m Ta nói S’ có từ S trực chuẩn hóa Gram-Smidt 1.7 Tính độc lập tuyến tính họ vectơ trực giao 1.7.1 Định lý 1.7 Nếu S v1, v2 , , vm họ trực giao vectơ khác không không gian có tích vơ hướng S độc lập tuyến tính 1.7.2 Định lý 1.8 Trong khơng gian Euclid n chiều họ S v1, v2 , , gồm n vectơ khác không mà trực giao sở khơng gian SV: Vũ Thị Minh Phương Lớp: K16 – ĐHSP Toán GVHD: Lê Xuân Dũng Khóa luận tốt nghiệp 1.7.3 Định nghĩa 1.9 Cơ sở gọi sở trực giao không gian Euclid Nếu đồng thời độ dài vectơ vi sở trực chuẩn không gian Euclid 1.8 Sự tồn sở trực chuẩn không gian Euclid n chiều 1.8.1 Định lý 1.10 Trong không gian Euclid n chiều khác tồn cở sở trực chuẩn Chứng minh Giả sử V không gian Euclid n chiều khác rỗng S u1, u2 , , un sở V Áp dụng q trình trực giao hóa Gram-Smidt ta họ trực chuẩn gồm n vectơ S v1, v2 , , theo Định lý 1.7.2, S’ sở V Vậy tồn sở trực chuẩn V 1.8.2 Định lý 1.11 Nếu S v1, v2 , , sở trực chuẩn không gian Euclid V n chiều với u V ta có: u u, v1 v1 u, v2 v2 u, vn Chứng minh Vì S sở V nên u có dạng u c1v1 c2v2 cnvn Nhân vô hướng vế với vi ,i 1,2, , n ta u, vi c1v1 cnvn , vi Vì S trực chuẩn nên c1 v1, vi v j , vi cn 0, j i , Do phương trình đơn giản cịn vi , vi u, vi , vi ci Vậy u có dạng cần chứng minh 1.8.3 Ví dụ:Cho v1 Dễ thấy S ,0, ; v3 5 0,1,0 ; v2 ,0, 5 v1, v2 , v3 họ trực chuẩn 3 với tích vơ hướng Euclid Do sở trực chuẩn 3 Hãy biểu diễn u 1,1,1 thành tổ hợp tuyến tính vectơ họ S SV: Vũ Thị Minh Phương Lớp: K16 – ĐHSP Toán GVHD: Lê Xuân Dũng Khóa luận tốt nghiệp Bài làm Ta có: u, v1 , u, v3 1, u, v2 Vậy theo định lý 9.2 u v1 Nghĩa 1,1,1 0,1,0 v2 ,0, 5 v3 ,0, 5 1.9 Hình chiếu vectơ lên không gian 1.9.1 Định lý 1.12 Giả sử V khơng gian có tích vô hướng, S v1, v2 , , vm họ trực chuẩn vectơ V, W không gian sinh S Xét u vectơ V Ta đặt w1 w2 u, v1 v1 u, v2 v2 u, vm vm , u w1 i w1 W span S ii w trực giao với W, nghĩa trực giao với vectơ W Chứng minh i Ta có Span S x Span S Suy w1 x , , m :x w1 span S ii Ta có Tính Span v1, v2 , , vm w , vi w1, vi v 1 W v v 2 v m m với v | m m i i  u, vi , i 1, , m  u w1, vi 1 v 1 u, vi w1, vi v , vi m m v , vi , i 1,2, , m i i i vi , vi u, vi w , vi (với u, vi u, vi SV: Vũ Thị Minh Phương vi , vi 1) w1, vi Lớp: K16 – ĐHSP Toán GVHD: Lê Xn Dũng Khóa luận tốt nghiệp a Xét tích vơ hướng Euclid b Xét tích vơ hướng 3u1v1 2u 2v2 u, v Bài làm Chọn đường thẳng d: x y W Chọn A 1; , B 2;8 thuộc đường thẳng d  AB 3;12 a Xét tích vơ hướng Euclid  122 Trực chuẩn hóa vectơ AB  AB 1 v  3;12 1;4 17 AB 17 Khi hình chiếu u hchwu 17 u, v v b Xét tích vơ hướng  Trực chuẩn hóa vectơ AB v  AB  AB 35 3;12 Khi hình chiếu u hchwu u, v v 17 15;9 W 15 9.4 u, v 17 1;4 1;4 3u1v1 2u 2v2 3 35 2.12.12 35 1;4 15;9 W 15 35 Bài 3.2.3 Cho không gian W 2.9.4 35 x y | x, y Tìm hình chiếu trực giao u 1;4 117 35 1;4 2 3; W a Xét tích vơ hướng Euclid b Xét tích vơ hướng SV: Vũ Thị Minh Phương u, v 2u1v1 u2 v2 36 Lớp: K16 – ĐHSP Tốn GVHD: Lê Xn Dũng Khóa luận tốt nghiệp Bài làm Chọn đường thẳng d: x y W Chọn A 2; , B 0;0 thuộc đường thẳng d  AB 2;1 a Xét tích vơ hướng Euclid  Trực chuẩn hóa vectơ AB v  AB  AB 2;1 Khi hình chiếu u hchwu u, v v b Xét tích vơ hướng  Trực chuẩn hóa vectơ AB v  AB  AB 12 2; 3; W u, v 1 2;1 11 2;1 2;1 2u1v1 u2 v2 2 1.1 2;1 Khi hình chiếu u hchwu u, v v 3; W 1 2;1 3.3 Bài toán hình học giải tích khơng gian : x y 3z Và cho điểm  M 1;6; , N 1;5; Tìm hình chiếu vectơ MN mặt phẳng Bài 3.3.1 Cho mặt phẳng Mặt phẳng Bài làm  có vectơ pháp tuyến n 1;2; Gọi A, B điểm hình chiếu vng góc M, N lên mặt phẳng   Suy hình chiếu vng góc vectơ MN lên mặt phẳng vectơ AB SV: Vũ Thị Minh Phương 37 Lớp: K16 – ĐHSP Tốn GVHD: Lê Xn Dũng Khóa luận tốt nghiệp Khi A, B A xA ; yA ; z A , B xB ; yB ; zB   Suy ta có MA xA 1; yA 6; z A , NB xB 1; yB 5; zB   Khi tọa độ A thỏa mãn hai sau: MA, n A xA y A z A Hay xA y A 3z A t1 yA 2t1 zA 3t1 t1 2t1 3t1 3t2 xA yA x A t1 A 1;2;1 zA   : NB , n Tương tự tọa độ B thỏ B xB y B z B Hay xB y B z B t2 xB yB zB B xB t yB 2t2 zB t2 3t2 2t2 0;3;2   Khi hình chiếu vectơ MN vectơ AB 1;1;1 :4 x y z Và cho điểm  2;4; , N 4; 1;7 Tìm hình chiếu vectơ MN mặt phẳng Bài 3.3.2 Cho mặt phẳng M SV: Vũ Thị Minh Phương 38 Lớp: K16 – ĐHSP Tốn GVHD: Lê Xn Dũng Khóa luận tốt nghiệp Bài làm  có vectơ pháp tuyến n 4; 3;1 Mặt phẳng Gọi A, B điểm hình chiếu vng góc M, N lên   Suy hình chiếu vng góc vectơ MN lên vectơ AB Khi A, B A xA ; yA ; z A , B xB ; yB ; zB   Suy ta có MA xA 2; yA 4; z A , NB xB 4; yB 1; zB   Khi tọa độ A thỏa mãn hai : MA, n A xA yA zA Hay 4 xA y A z A xA 4t1 yA 3t1 zA t1 4t1 3t1 t1 t1 xA A yA zA 2;1; 5   : NB , n Tương tự tọa độ B thỏa mãn B xB yB z B Hay 4 xB y B z B t2 xB yB zB B xB yB zB 4t2 3t2 t2 4 4t2 t2 0;2;6   Khi hình chiếu vectơ MN vectơ AB SV: Vũ Thị Minh Phương 3t2 39 2;1;11 Lớp: K16 – ĐHSP Toán GVHD: Lê Xuân Dũng Khóa luận tốt nghiệp : x y z Và cho điểm  M 3;3; , N 2;9; Tìm hình chiếu vectơ MN mặt phẳng Bài 3.3.3 Cho mặt phẳng Bài làm  có vectơ pháp tuyến n 2;4; Mặt phẳng Gọi A, B điểm hình chiếu vng góc M, N lên mf   Suy hình chiếu vng góc vectơ MN lên mf vectơ AB Khi A, B mf  Suy ta có MA A xA ; yA ; z A , B xB ; yB ; zB  xA 3; yA 3; z A , NB xB 2; yB 9; zB   Khi tọa độ A thỏa mãn : MA, n A xA y A z A Hay xA y A z A t1 xA 2t1 yA 4t1 zA t1 2t1 4t1 t1 xA yA zA A 1; 1;   : NB , n Tương tự tọa độ B thỏa mãn B xB yB z B Hay xB y B z B SV: Vũ Thị Minh Phương xB 2t2 yB 4t2 zB t2 2 2t2 40 t2 t2 Lớp: K16 – ĐHSP Toán GVHD: Lê Xuân Dũng Khóa luận tốt nghiệp t2 xB B yB zB 2;1;0   Khi hình chiếu vectơ MN vectơ AB 3;2;2 3.4 Bài toán không gian vectơ Euclid Bài 3.4.1 Cho không gian W x y 3z | x, y, z Tìm hình chiếu trực giao u 3 0; 1;4 W a Xét tích vơ hướng Euclid b Xét tích vơ hướng u, v u1v1 2u2 v2 u3 v3 Bài làm a Xét mặt phẳng x y 3z Và vectơ u1 1;2;1 , u2 W 0;3;2 Trực giao hóa hai vectơ u1, u2 u1 Ta có: v1 v2 u2 22 12 u1 u1 u2 , v1 v1 0;3;2 v2 v2 v2 1;2;1 0;3;2 22 1.0 2.3 1.2 1;2;1 21 3 4;1;2 21 SV: Vũ Thị Minh Phương 4;1;2 1;2;1 2 v2 4;1;2 21 41 Lớp: K16 – ĐHSP Tốn GVHD: Lê Xn Dũng Khóa luận tốt nghiệp v1 4;1;2 trực giao với 21 1;2;1 , v2 Hình chiếu trực giao u hchwu u, v1 v1 u, v2 v2 1.0 2.1 1.4 0; 1;4 lên W 4.0 1.1 2.4 21 1;2;1 4;1;2 21 4;1;2 1;2;1 1;1;1 Vậy hình chiếu trực giao u b Xét tích vơ hướng Với vectơ u1 0; 1;4 lên W hchwu u, v 1;2;1 , u2 u1v1 2u2 v2 1;1;1 u3 v3 0;3;2 Trực giao hóa hai vectơ u1, u2 u1 u2 10 u2 , v1 v1 0;3;2 v2 2.22 12 u1 u1 Ta có: v1 v2 10 1;2;1 10 0;3;2 2.12 32 7;1;3 15 v1 10 1;2;1 , v2 7;1;3 15 7;1;3 trực giao với 15 Hình chiếu trực giao u SV: Vũ Thị Minh Phương 1;2;1 15 v2 v2 u, v1 v1 10 7;1;3 1;2;1 v2 hchwu 1.0 2.2.3 1.2 u, v2 0; 1;4 lên W v2 42 Lớp: K16 – ĐHSP Toán GVHD: Lê Xuân Dũng Khóa luận tốt nghiệp 1.0 2.2 10 7;1;3 10 1.4 1;2;1 7.0 2.2 15 3.4 7;1;3 15 7;1;3 Vậy hình chiếu trực giao u 0; 1;4 lên W hchw u Bài 3.4.2 Cho không gian W x y z | x, y, z Tìm hình chiếu trực giao u 7;1;3 3 6; 5;13 W a Xét tích vơ hướng Euclid b Xét tích vơ hướng u, v 2u1v1 u2 v2 u3 v3 Bài làm a Xét mặt phẳng x y z Và vectơ u1 2;1; , u2 W 0;2;6 Trực giao hóa hai vectơ u1, u2 22 12 u1 Ta có: v1 v2 u2 u1 u1 2;1; 30 u2 , v1 v1 14 2;1; 15 0;2;6 72 112 52 15 v2 v2 v2 v2 30 0.2 2.1 6.5 30 0;2;6 7;11;5 15 195 15 15 7;11;5 195 15 SV: Vũ Thị Minh Phương 2;1; 30 7;11;5 195 43 Lớp: K16 – ĐHSP Tốn GVHD: Lê Xn Dũng Khóa luận tốt nghiệp 2;1; , v2 30 v1 7;11;5 trực giao với 195 Hình chiếu trực giao u hchwu u, v1 v1 u, v2 6; 5;13 lên W v2 1 2.6 1.5 5.13 2;1; 30 30 29 2;1; 7;11;5 15 15 7.6 11.5 5.13 195 7;11;5 195 2;1;11 Vậy hình chiếu trực giao u b Xét tích vơ hướng Với vectơ u1 6; 5;13 lên W hchwu u, v 2;1; , u2 2u1v1 u2 v2 2;1;11 u3 v3 0;2;6 Trực giao hóa hai vectơ u1, u2 2.22 12 u1 u1 u1 Ta có: v1 v2 u2 2.0.2 2.1 6.5 34 0;2;6 14 2;1; 17 2;1; 34 7;12;8 17 2.72 122 82 17 v2 34 2;1; 34 u2 , v1 v1 0;26 12 34 17 17 7;12;8 7;12;8 12 34 17 34 1 2;1; , v2 7;12;8 trực giao với 34 34 v2 v1 v2 v2 Hình chiếu trực giao u hchwu u, v1 v1 SV: Vũ Thị Minh Phương u, v2 6; 5;13 lên W v2 44 Lớp: K16 – ĐHSP Toán GVHD: Lê Xuân Dũng Khóa luận tốt nghiệp 1 2.2.6 1.5 5.13 2;1; 34 34 23 64 2;1; 7;12;8 17 153 1 2.7.6 12.5 8.13 7;12;8 34 34 11 91 ; ; 9 Vậy hình chiếu trực giao u 6; 5;13 lên W hchwu Bài 3.4.3 Cho không gian W x y z | x, y, z Tìm hình chiếu trực giao u 11 91 ; ; 9 3 1;6;1 W a Xét tích vơ hướng Euclid b Xét tích vơ hướng u, v u1v1 2u2 v2 u3 v3 Bài làm a Xét mặt phẳng x y z Và vectơ u1 1; 1; , u2 W 2;1;0 Trực giao hóa hai vectơ u1, u2 12 Ta có: v1 u1 u1 u1 v2 u2 v2 12 14 SV: Vũ Thị Minh Phương 2;1;0 1; 1; 2 v2 v2 1; 1; u2 , v1 v1 2;1;0 v2 2 2 3;1; 2.1 1.1 0.2 1; 1; 3;1; 14 14 45 3;1; Lớp: K16 – ĐHSP Toán GVHD: Lê Xuân Dũng Khóa luận tốt nghiệp 1; 1; , v2 v1 14 Hình chiếu trực giao u hchwu u, v1 v1 u, v2 1;6;1 lên W v2 1; 1; 1.1 6.1 1.2 1; 1; 2 3;1; trực giao với 1.3 6.1 1.2 14 14 3;1; 3;1; 3;2;2 Vậy hình chiếu trực giao u 1;6;1 lên W hchwu b Xét tích vơ hướng u1v1 2u2 v2 Và vectơ u1 u, v 1; 1; , u2 3;2;2 u3 v3 2;1;0 Trực giao hóa hai vectơ u1, u2 12 u1 u2 2 1; 1; u2 , v1 v1 10 2;1;0 1; 1; 2;1;0 v2 u1 u1 Ta có: v1 v2 1 2.12 182 v2 v2 v2 v1 1; 1; , v2 hchwu u, v1 v1 SV: Vũ Thị Minh Phương 182 182 10;3; u, v2 1; 1; 10;3; 182 Hình chiếu trực giao u 2.1 2.1.1 0.2 10;3; 10;3; trực giao với 1;6;1 lên W v2 46 Lớp: K16 – ĐHSP Tốn GVHD: Lê Xn Dũng Khóa luận tốt nghiệp 1 1.1 2.6.1 1.2 1; 1; 7 15 19 1; 1; 10;3; 91 1.10 2.6.1 1.8 182 182 10;3; 55 36 34 ; ; 13 13 13 Vậy hình chiếu trực giao u 1;6;1 lên W hchwu 55 36 34 ; ; 13 13 13 3.5 Trong không gian 4 Bài 3.5.1 Cho không gian W x y z 3t Tìm hình chiếu trực giao u | x, y, z, t 4 0,1,3,2 W a Xét tích vơ hướng Euclid b Xét tích vơ hướng u, v u1v1 2u2 v2 u3 v3 u4 v4 Bài làm c Xét tích vô hướng Euclid u1 0,1,1,1 , u2 2,1,0,1 , u3 2,0,2,0 Trực giao hóa hai vectơ u1, u2 , u3 02 12 12 12 u1 Ta có: v1 v2 u2 u1 u1 0,1,1,1 u2 , v1 v1 2,1,0,1 v2 v2 v2 2,1,0,1 0,1,1,1 2 v2 6,1, 2,1 12 6,1, 2,1 42 SV: Vũ Thị Minh Phương 1 2.0 1.1 0.1 1.1 0,1,1,1 3 42 6,1, 2,1 42 47 Lớp: K16 – ĐHSP Tốn GVHD: Lê Xn Dũng Khóa luận tốt nghiệp v3 u3 u3 , v1 v1 u3 2,0,2,0 u3 , v2 v2 1 2.0 0.1 2.1 0.1 0,1,1,1 3 0,1,1,1 2,0,2,0 1 2.6 0.1 2.2 0.1 6,1, 2,1 42 42 6,1, 2,1 21 1, 1,2, 2 v3 22 v3 v3 v3 v1 0,1,1,1 , v2 7 2 1, 1,2, 7 1, 1,2, 6,1, 2,1 , v3 42 1, 1,2, trực giao với Hình chiếu trực giao u hchwu u, v1 v1 u, v2 0,1,3,2 lên W v2 u, v3 v3 1 0.0 1.1 1.3 1.2 0,1,1,1 3 1 6.0 1.1 2.3 1.2 6,1, 2,1 42 42 1 1.0 1.1 2.3 1.2 1, 1,2, 7 0,1,1,1 6,1, 2,1 14 1, 1,2, 3 0, ,3, 2 Vậy hình chiếu trực giao u a Xét tích vơ hướng SV: Vũ Thị Minh Phương u, v 0,1,3,2 lên W hchwu u1v1 2u2 v2 48 u3 v3 3 0, ,3, 2 u4 v4 Lớp: K16 – ĐHSP Tốn GVHD: Lê Xn Dũng Khóa luận tốt nghiệp u1 0,1,1,1 , u2 2,1,0,1 , u3 2,0,2,0 Trực giao hóa hai vectơ u1, u2 , u3 02 u1 2.12 12 12 u1 u1 Ta có: v1 v2 u2 v2 v2 v3 u3 2.12 1 2.0 2.1.1 0.1 1.1 0,1,1,1 2 2,1,0,1 0,1,1,1 4 v2 0,1,1,1 u2 , v1 v1 2,1,0,1 v2 4,1, 3,1 12 4,1, 3,1 u3 , v1 v1 u3 4,1, 3,1 u3 , v2 v2 1 2.0 2.0.1 2.1 0.1 0,1,1,1 2 1 2,0,2,0 0,1,1,1 4,1, 3,1 2 2,0,2,0 2.4 2.0.1 2.3 0.1 4,1, 3,1 0,0,0,0 v3 v1 0,0,0,0 0,1,1,1 , v2 2 4,1, 3,1 , v3 Hình chiếu trực giao u hchwu u, v1 v1 u, v2 v2 1 0.0 2.1.1 1.3 1.2 0,1,1,1 2 0,1,1,1 24 0,0,0,0 trực giao với 0,1,3,2 lên W u, v3 v3 6.0 2.1.1 3.3 1.2 4,1, 3,1 (0,0,0,0) 4,1, 3,1 28 SV: Vũ Thị Minh Phương 49 Lớp: K16 – ĐHSP Toán GVHD: Lê Xuân Dũng Khóa luận tốt nghiệp 11 16 11 , , , 7 7 Vậy hình chiếu trực giao u SV: Vũ Thị Minh Phương 0,1,3,2 lên W hchwu 50 11 16 11 , , , 7 7 Lớp: K16 – ĐHSP Toán