Hệ thống bài tập chương chuyển động trường có tâm đối xứng

LỜI CẢM ƠN Sau thời gian thực đề tài này, em học hỏi tích lũy thêm nhiều kiến thức quý báu lĩnh vực mà nghiên cứu, để đạt thành này, em nhận giúp đỡ nhiệt tình thầy gia đình, bạn bè Do em xin dành trang luận văn tốt nghiệp để gửi lời cảm ơn chân thành đến người giúp đỡ em Đầu tiên, em xin trân trọng cảm ơn Th.s Nguyễn Thị Thảo tận tình hướng dẫn, đóng góp ý kiến quý báu để em hồn thành luận văn tốt nghiệp Kế đến, em xin cảm ơn tất quý thầy cô thuộc môn Vật Lý, khoa sư phạm, trường đại học Hồng Đức giúp đỡ, hướng dẫn giúp đề tài em hoàn thiện Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, tập thể lớp K16 ĐHSP Vật Lý trường ĐH Hồng Đức giúp đỡ em hoàn thành luận văn Em xin chân thành cảm ơn! Thanh hóa, tháng 05 năm 2017 Sinh viên thực Võ Thị Bích A PHẦN MỞ ĐẦU I.Lí chọn đề tài Trong giới có nhiều tượng, nhiều câu hỏi mà vật lý khơng thể giải thích hết mà mơn khoa học khác đời giống đời học lượng tử để hoàn thiện thêm tò mò người giới Cơ học lượng tử hình thành vào nửa đầu kỉ XX Max Planck, Albert Einstein, Niels Bohr, Werner Heisenberg, Erwin Schrodiger, Max Born, Jon von Neumann, Paul Dirac, Wolfgang Pauli số người khác tạo nên Cơ học lượng tử khoa học nghiên cứu chuyển động vật chất thang nguyên tử hạt nguyên tử Nó lời giải đáp cho nhà khoa họctrong đầu kỉ XX cho hàng loạt mâu thuẫn lên vật lý học kỉ XIX Từ giới học lượng tử bùng nổ Cơ học lượng tử lý thuyết vật lý học Cơ học lượng tử phần mở rộng bổ sung học newton (còn gọi học cổ điển) Cơ học lượng tử thuyết học, nghiên cứu chuyển động đại lượng vật lý liên quan đến chuyển động lượng xung lượng vật thể bé nhỏ, lưỡng tính sóng hạt thể rõ Lưỡng tính sóng hạt giả định tính chất vật chất học lượng tử coi học newton cho phép mơ tả xác đắn nhiều tượng vật lý mà học newton khơng thể giải thích được.Chính mà đời học lượng tử giúp giải khó khăn mà học cổ điển bế tắc.Như 21 vậy, học lượng tử có tầm quan trọng lớn nên việc nghiên cứu môn học lượng tử cịn giúp cho sinh viên có sở để nghiên cứu chuyên ngành khác vật lý Tuy nhiên lượng kiến thức lý thuyết tập phần học lượng tử nhiều khó Bản thân em cảm thấy bỡ ngỡ, khó khăn nghiên cứu vấn đề Nhằm tạo điều kiện thuận lợi cho sinh viên trình nghiên cứu môn học lượng tử, em xin chọn đề tài “ Chuyển động hạt trường có tâm đối xứng” để làm đề tài nghiên cứu cho khóa luận tốt nghiệp Với mong muốn, làm tài liệu tham khảo cho sinh viên thầy cô q trình nghiên cứu học lượng tử nói riêng Vật lý nói chung II Mục đích nghiên cứu - Hệ thống hóa sở lí thuyết - Xây dựng tập chương “Chuyển động hạt trường có tâm đối xứng” rèn luyện phương pháp giải tập nghiên cứu khoa học III Phạm vi nghiên cứu Chương “Chuyển động trường có tâm đối xứng” IV Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu lí thuyết số tập liên quan đến “Chuyển động trường có tâm đối xứng” V.Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu chủ yếu phương pháp lí thuyết 21 VI Bố cục Phần A: Phần mở đầu Phần B: Phần nội dung Phần C: Phần kết luận 21 B.PHẦN NỘI DUNG I Cơ sở lí thuyết 1.1 Trường có tâm đối xứng [1] 1.1.1Phương trình Schrodinger [1] Trường có tâm đối xứng trường phụ thuộc vào khoảng cách r tới tâm trường, không phụ thuộc vào định hướng bán kính vectơ r khơng gian Có nhiều toán CHLT đưa toán chuyển động trường có tâm đối xứng: chuyển động điện tử nguyên tử hydro, hạt giếng cầu Chuyển động điện tử nguyên tử kim loại kiềm xem gần chuyển động trường có tâm đối xứng Xét chuyển động hạt có khối lượng m0 trường U r Phương trình Schrodinger cho trạng thái dừng hạt chuyển động trường có tâm đối xứng có dạng: 2m0 E U r  (1.1) Hạt chuyển động trường có tâm đối xứng có ba bậc tự do, để xác định trạng thái cần biết ba giá trị riêng ba tốn tử giao hốn với đơi một, cách tích phân chuyển động hạt Các tốn tử thường chọn Hamiltonian Hˆ , bình phương mơmen động lượng hình chiếu mơmen trục tùy ý (thường chọn trục z ) lˆ2 , lˆz Dễ nhận thấy điều kiện giao hoán toán tử thỏa mãn Viết lại phương trình (1.1) tọa độ cầu: r2 r2 r r r2 , 2m0 E U r 2 21 (1.2) Ở đây: , sin sin sin 2 phần chứa đạo hàm theo góc tốn tử Laplace Trong hệ tọa độ cầu tốn tử bình phương mơmen xung lượng có dạng: Lˆ2 2 (1.3) , Với (1.3) phương trình (1.2) viết thành: r2 r r ˆ2 L r 2 r 2m0 E U r 2 (1.4) Từ (1.4) ta nhận toán tử Hamilton hạt tọa độ cầu: Hˆ 2 r2 2m0 r r r Lˆ2 U r (1.5) 2m0 r Vì Hˆ chứa Lˆ2 số hạng đạo hàm theo r nên ta có hệ thức giao hố ˆ ˆ2 HL Lˆ2 Hˆ (1.6) Mặt khác từ chương III ta có: Lˆ2lˆz lˆz Lˆ2 , suy ra: ˆˆ HL z Lˆz Hˆ (1.7) Từ hệ thức giao hoán (1.6) (1.7) ta đến kết luận: Với hạt chuyển động trường có tâm đối xứng lượng E , bình phương mơmen động lượng L2 , hình chiếu mơmen trục tùy ý Lz hạt bảo tồn Điều có nghĩa lượng, bình phương mơmen động lượng hình chiếu mơmen trục tùy ý làm thành tập đầy đủ E , l , m xác định trạng thái hạt trường có tâm đối xứng Tuy nhiên Lˆz khơng có mặt Hamiltonian nên mức lượng E hệ, l z có trị riêng khác m Ứng với trị riêng E tất 21 trạng thái E , l , m với l m l , tất có 2l trạng thái Sự suy biến theo các số lượng tử từ m đặc trưng trường có tâm đối xứng Sự suy biến lý giải cách hình thức sau: Các tốn tử Lˆx , Lˆ y Lˆz giao hoán với Lˆ2 khơng giao hốn với Gỉa sử riêng lˆ2 Lˆz , Lˆ x hàm hàm riêng Lˆ2 khác điều dẫn đến suy biến nói Vì tốn tử Hˆ tách thành hai phần riêng biệt, phần phụ thuộc bán kính phần phụ thuộc góc, ta giải phương trình Schrodinger phương pháp tách biến số, nghĩa viết hàm sóng cần tìm dạng tích: r, , R r Ylm (1.8) , Phần phụ thuộc góc hàm sóng Ylm , trùng với hàm riêng tốn tử Lˆ2 hàm cầu mà ta thu trước đây, coi xác định Thay Lˆ2Ylm 2l l Ylm vào phương trình (2.4), ta loại bỏ thừa số phụ thuộc góc ta nhận phương trình xác định hàm tia, hay hàm xuyên tâm R r : d dR r r dr dr 2m E U r   l l 2m r R (1.9) Dạng hàm tia R r định U r phụ thuộc vào l Các hàm cầu Ylm , xác định số lượng tử l , m cho, nghĩa giá trị mômen xung lượng ( cho số lượng tử l ) hình chiếu trục z ( cho m ) Người ta đặt l : l Trạng thái: s p d f g h 21 2.1.2Phân bố xác suất theo góc [1] Một thành cơng hàm góc phản ánh phân bố mặt nút hàm sóng khơng gian Xác suất tìm thấy hạt yếu tố theo phương xác định góc góc khối d dw lm , Ylm , d d sin d d là: (1.10) Biểu thức (1.10) khơng phụ thuộc vào góc , xác suất tìm thấy hạt hồn tồn đối xứng mặt phẳng vng góc với trục z Ta có: dwlm ~ plm cos Với plm cos d (1.11) đa thức Legendre liên đới Trạngtháivới l (trạng thái s ) có đối xứng cầu l m ,hàm p00 const d dw 00 Trong trạng thái p , phân bố cho bằng: dw l , l dw l ,0 sin d , cos d Sự phụ thuộc mật độ xác suất vào l m thể đồ thị hình ( H2.1) l l 1; m 0; m 21 l 1; m H 2.1 l 1; m Do tính chất trường cótâm đối xứng, hàm tia R r khơng thay đổi thay r nên tính chẵn lẻ trạng thái xác định hàm phụ thuộc góc r Ylm Trong biến đổi nghịch đảo, hàm cầu thỏa mãn điều kiện: , r, , 1 r, , (2.12) tính chẵn lẻ trạng thái định số lượng tử quỹ đạo l 2.1.3 Hàm tia [1] Các hàm góc Ylm , có đối xứng xuyên tâm U r , hàm tia R r phụ thuộc vào dạng cụ thể hàm toán Ở khảo sát tính chất hàm tia Đặt R r r r vào phương trình (2.9) ta nhận phương trình xác định hàm r : d2 dr 2m0 E U r  2 l l 2m0 r Để hàm sóng hữu hạn r 0, 0 (1.13) r phải thỏa mãn điều kiện biên: (1.14) Như phương trình xác định hàm tia đưa phương trình chuyển động thứ nguyên trường hiệu dụng: U eff Số hạng U r 2 l l (1.15) 2m0 r 2 l l gọi lượng li tâm Xét tính chất 2m0 r chung hàm xuyên tâm trường hợp giới hạn: r nhỏ 21 Giả sử r tăng chậm lim r 2U r 0, U r r Khi ấy, phương trình (2.13) số hạng E 2 l l 2m0 r thể bỏ qua so với Như vậy, r 0, r U r r có phương trình xác định r có dạng: d2 dr Tìm l l (1.16) r2 r dạng hàm lũy thừa: const.r (1.17) r biểu thức vào phương trình (2.14) ta nhận được: Thay l l (1.18) Phươngtrình (1.18) có nghiệm: l Nghiệm 2 l (1.19) l bị loại khơng thỏa mãn điều kiện r Nghiệm phương trình có dạng: r const.r l (1.20) Như r R r hàm tia phụ thuộc vào r theo qui luật: const.r l (1.21) Với r nhỏ, mật độ xác suất tìm thấy hạt khoảng cách r tỉ lệ với r 2l Xác suất giảm l tăng, lực li tâm có xu hướng đưa hạt rời xa tâm r lớn Ở khoảng cách lớn, lực tác dụng lên hạt tiến đến không, U r tiến đến số Chọn số làm gốc tính ta có: 21 Nghiệm u s để hàm R r hữu hạn hàm Betxen p u s J s p s p! p 2p A J r Hàm bán kính R r có dạng: R r với e r 2a Trong A hệ số chuẩn hóa Từ điều kiện hữu hạn hàm R r r ta phương trình xác định mức lượng hạt J Sử dụng bảng hàm Betxen biết giá trị trình Do ta xác định E cơng thức E thỏa mãn phương 2 8ma 2 Bài 11[6]: Xác định mức lượng hạt trạng thái s l giếng đối xứng tâm: V r V0 r r a, a Hướng dẫn: Phương trình Schrodinger hàm bán kính R r l có dạng: R r R R u r ta có phương trình: r Đặt R r 2m E V r u r  u Đặt 2m E V r 2 E 0, k 2m V0  2mE , ta có :  , 21 k 2u r u u u r r a, r a Nghiệm u1 r u2 r phương trình có dạng: u1 r A sin kr B cos kr , u2 r Ce r De r Để hàm R r hữu hạn r khơng r ta phải có B 0, D Khi ta có hàm bán kính: R1 r R2 r C A sin kr r a , r r e r r a Áp dụng điều kiện liên tục hàm bán kính đạo hàm bậc r a ta tìm được: k cot gka hay Trong đường y sin ka 2mV0 2 2 ka 2ma 2V0  Đặt x a 2mV0 x miền cot gx k2 ka, ka giao điểm đường y sinx xác định giá trị k Từ ta xác định mức lượng hạt E 21 k 2 V0 2m Bài 12[5]: Tìm hàm sóng mức lượng hạt trường U r A r2 B A, B số r Hướng dẫn: Phương trình Schrodinger hàm bán kính R r d R dr A r2 f r Đặt R r  2l l B r 2m E 2 A r2 B r 2mA l l 2 s f r 2mr Hình 3.11 2mE  2l 8mA 2 ,x r 0, B  m 2E Ta có: d2 f dx s s x x2 f Nghiệm f x tìm dạng: f x 21 B r s s với A r2 r  2l l Xét trường hợp E Đặt R 2mr ta có phương trình: r d2 f dr U r dR r dr 2m E 2 ( h.3.11 ) e x xs y x Hàm y x thỏa mãn phương trình: x d2y dx 2 s dy dx x s y Tìm nghiệm y x dạng chuỗi: y x ak x k k Thay vào biểu thức y vào phương trình vi phân ta có: xk k k s ak k s ak k Từ ta có hệ thức truy tốn: ak k s ak k k 2s Để hàm R r N 0,1, 2,3 Khi aN N EN ,1 hay hữu hạn k phải dừng giá trị kmax Từ điều kiện ta có: B  s mB 2 N 2mB 2 s 1 m 2E 2N 2l 8mA 2 ,N 0,1, Hàm sóng RNl r có dạng : f r e r r s yNl r N ak x k y Nl x k 21 N ak k N ak k k 2s Ghi chú: Phương trình vi phân hàm y x có dạng: d2y dx x dy ay dx c x Trong đó: c 2s 2, a s y a, c, x Hàm siêu bội a x a a x2 c 1! c c 2! nghiệm phương trình Nghiệm trở thành đa thức bậc N a N Vậy hàm RNl x viết: RNl x x ANl e x s yNl N , 2s 2, x , với x r Bài 13[5]: Tìm hàm sóng mức lượng hạt trường U r A r2 Br ( A, B số) Hướng dẫn: Ta xét trường hợp phổ lượng gián đoạn Phương trình Schrodinger hàm bán kính ( h.3.12 ) d 2R dr E dR r dr A r2 Br 2m 2  2l l 2mr R Đặt 21 s ( hay 2s 2s 1 2l Br 8mA 2 2mA 2m E 2 B  1l A r2 U r 2mB r , 2 n s ) Và ý rằng: r Hình 3.12 ta tìm được: dR r dr 2mB dR ,  d d 2R dr 2 2mB d 2R  d 2 d R d dR 2d n s dR d s s 4 Tìm nghiệm tiệm cận Khi ta có: Khi ta có: d R dr d 2R d 2 d R d s s R s s có dạng R e ( nghiệm R phương trình có dạng: ) Khi dR 2d R 4W Nghiệm hữu hạn R không hữu hạn n s dR d R R 21 e Nghiệm phương trình dạng tiệm cận tìm dạng R0 q với q Đặt biểu thức R0 vào phương trình dạng tiệm cận ta có q q 2 s s Từ suy q s Nghiệm R R e s Khi hàm y d2y d tìm dạng : y , thỏa mãn phương trình: 2s dy d ny tìm dạng chuỗi: y Hàm y ak k k Khi ta có : k ak k k 2s k k n ak Từ suy : ak k n k k 2s ak Cho hệ số a0 ta xác định hệ số cịn lại Để hàm R r hữu hạn y phải trở thành đa thức bậc kmax Khi ak max cịn ak max Từ suy kmax n Vì kmax số nguyên không âm nên n 0,1, 2,3 Hàm sóng Rnl viết lại sau: Rnl e n s ak k k 21 Trong biểu diễn qua r , s phụ thuộc vào l ak phụ thuộc vào l n xác định Năng lượng hạt xác định từ hệ thức: Hay Enl  B 4n 2m 2l 2m Enl B  n 8mA ; n 0,1, 2 biểu diễn qua hàm siêu bội ynl Ghi chú: Hàm R n, 2s , sau: Rnl e s ynl n, 2s , Bài 14[5]: Tìm hàm sóng lượng dao động tử diều hòa ba chiều đồng Hướng dẫn: Thế dao động tử diều hòa ba chiều đồng có dạng : U x, y, z m 2 x2 y2 z2 m 2 r Phương trình Schrodinger dao động tử tọa độ cầu có dạng : 2 2m r, , m 2 r r, , E r, , Trong : r2 r r r 1 r sin sin 21 sin 2 Nghiệm tìm dạng : r, , r, , R r Y , Khi hàm bán kính R r thỏa mãn phương trình : d 2R dr 2 dR r dr  2l l 2m E 2 2mr m 2 r R ý toán (13) đặt A B m ta có tốn dao động tử diều hòa ba chiều đồng Dùng kết toán (13) với A B m ta thu : m r ,s  Rnl e l l n k ak k ak k n ak , n 0,1, k k Enl  2n EN  N ; n, l 0,1, hay : Hàm Rn a n, c l : ,N l 2n 0,1, 2,3 biểu diễn qua hàm siêu bội ynl a, c, Rnl e l ynl n, l 21 , với Bài 15[5]: Tìm trị riêng tốn tử Lˆ2 tương ứng với hàm riêng: Y , A cos 2sin cos , A const Hướng dẫn: Ta có: Lˆ2Y Cho Y 2 , , A cos Y Y ctg sin Y L2Y , cần xác định L2 2sin cos Chú ý : Y A sin cos cos Y 2 A cos 2sin cos Ta tìm : Lˆ2Y , 22Y , Y L2Y , A sin cos , Từ ta có: L2 22 ( ứng với l ) Bài 16[5]: Rơtato phẳng mơ hình hạt chuyển động quay mặt phẳng có mơmen xung lượng Lz Tìm giá trị mơmen Lz , xác suất chúng trị trung bình mơmen Lz trạng thái rơtato phẳng mơ tả hàm sóng : A cos A hệ số chuẩn hóa quay xung quanh trục Oz Hướng dẫn: Trạng thái rôtato phẳng mơ tả hàm sóng: 21 góc A cos Từ điều kiện chuẩn hóa hàm sóng: 2 A2 cos d d Ta xác định hệ số chuẩn hóa A cos i e cos cos 2 cos d i e , cos 2i e e e 4i e 4i e 4i 4i e 2i 4e 2i 4e 2i 4e 2i 4e 2i d Chú ý 2 ei d k k 0 Ta có : cos d A Các giá trị có mơmen Lz xác định số hạng khai triển khác không hàm sóng cho theo hàm riêng tốn tử Lˆz A cos2 Cm m m Hệ số Cm xác định từ côngthức: 21 m im e m 2 Cm e d m 0 A e 2i e im 2i A cos d d 2 e im ei m i m e 2eim d 2 m ,2 m ,2 m, 2 m, 2.2 m ,0 m ,0 Từ ta có : ,C C2 W m Cm C2 , C0 6 xác suất tìm thấy hạt có Lz m C 2 C0 Các giá trị Lz m có ứng với m 2, m tức : Lz 2, Lz 2, Lz Các xác suất tương ứng : W C2 W C0 2 ,W 6 C2 Trị trung bình Lz : mW m Lz 2W 2W m 2 1 2 0 6 21 0.w m , Có thể tính trực tiếp Lz cách sau : Lz Lˆz d iA cos iA2 cos 2iA2 cos3 d cos 21 d cos d 0 d C PHẦN KẾT LUẬN Trong thời gian vừa qua với giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cô giáo Th.s Nguyễn Thị Thảo góp ý kiến bạn sinh viên lớp giúp đỡ em hồn thành khóa luận tốt nghiệp Qua đề tài “Chuyển động trường xuyên tâm” giúp cho người học hiểu sâu chất nắm lí thuyết phần này; qua việc thực khóa luận tốt nghiệp em hiểu rõ hơn, rèn luyện kĩ phân loại giải tập, bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học Tuy nhiên mặt dù cố gắng nghiên cứu tìm tịi chắn khơng tránh khỏi sai sót Vì mong góp ý bảo thầy để khóa luận để đề tài hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! 21 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Cơ học lượng tử - Nguyễn Huyền Tụng – NXB Khoa học kĩ thuật Hà Nội – Năm 2007 [2] Vật lí lí thuyết – Tập II – Nguyễn Hữu Mình- NXB Đại học quốc gia Hà Nội – Năm 1998 [3] Cơ học lượng tử - Vũ Văn Hùng – NXB Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2009 [4]Bài tập học lượng tử - Nguyễn Huyền Tụng – NXB Khoa học kĩ thuật Hà Nội – Năm 2007 [5] Bài tập vật lí lí thuyết – Tập II – Nguyễn Hữu Mình- NXB Đại học quốc gia Hà Nội – Năm 1998 [6] Bàitập học lượng tử -Vũ Văn Hùng – NXB Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2008 21