Ebook Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 9: Phần 1

0, ta có: X?< A? © |XÌ V89 gi 30-826 30-325 15 _+_ (3 „ Vĩ Với giá trị x thức sau có nghĩa : b) a) V8x+6 e) x2? +9x+9 = -2x Giải a) V8x+6 c) c6 nghia @ 3x+ Ips có nghĩa© | 6202 3x 2-6 ox 2-2 3~-2x #0 -8 xọ S3-2x (5 - 2V6)? đ) 29a +19a +4 với a < Giải a)3— 245 bì5~ 2/6 e) 8la - 9] = 8(a — 2) a > nên a~ >0 d) — 2(8a + 2) Tìm x, biết : a) J4x? =8 = |-20{ b) J16x? c) Jx2+4x+4 =9 a) V25x" ~10x+1 = 4x-9 2: Gông ty TNHH MTV DVVH Khang Việt Giải a) {áx? =8 ©|2x| =8 - Khi 2x >0 © x >0 ta có : 2x = © x = (nhận) - Khi 2x < © x< ta có : 2x — œ x = -4 (nhận) Vậy giá trị cân tìm xị = Xạ = ~4 ©) xị = Ư Xạ = —4 b) x) = va xg = —ỗ, ,„ Giải phương trình sau : a) 2x°-6=0 b) x? ~ 2v5 +5 =0 Giai 2X? = ca x” =8 a) 2x2 — =0 b)(x— Vð}? =0 ©x~ d)xeØ xe +8 vẽ =0 ©œx= X5 Chung minh rằng: a) (V3 — 2)" = 7-48 = 3~2V2 b) V17 -12V Giải 4/8 +4=7~ a) (V3 — 9)? = (V3)? — 9.V8.9+220) = jJ-9/2) = V17 ~12/ £Œ BÀI TẬP NÂNG CAO a) Chứng x3, (với n e Ñ”) số tự nhiên b) + + + + + + + + es ah + hs 00401 + 102 c= Ñx) —fx— 1) = 4a) ~ 3(2a — b)w + (4a — 3b + 2x)xS— (a— b + e— đ) Do fix) Vay Ñx) = fix ~ 1) =33, Vacoase= xt xì tpt x? E Z,b= vad=0 x2 (x 41)? Ta cho x giá trị 1, 2, 3, n Ta : 1? = 1) ~ Ñ0) 2° = f2) - (1) nŸ = fn) - fín ~ 1), Cộng vế với vế đẳng thức rút gọn ta : Béi đường học sinh giỏi Toán ~ Nhiều Tác giả nẦ(n +1)? 12+22+ + n” = Ẩn) ~ Ñ0) = = VPs sane = te ị (tích hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2) i Cách Áp dụng đẳng thức : (1 + x} = + 4x + 6x + 4x + xế, Lần lượt gán cho x giá trị 0, 1, , n ta : Với x=0: x=l: x=8: 12 =1 2!=1+41+612+412+12 8° =1+42+622+422+2t x=n:ín+1J”=1+ 4n + 6n” + 4n” + ní Suy ra:(n + 1) =(n+1)+4(1+2+ +n)+ +6(?+9°+ + nổ + 41 + 92+ + nổ) =(n+i1)+4 —g nứt + Vậy: 4.(12 + 23 + = 194234 b) Với mọin ig + DQn a a +1) +42 v +98 + + " nổ) + nŸ) = (n + L[(n + L} ~ Øn ~ n(2n + 1) ~ 1] =(n + 1n? ¢n%s 5| Từ có điều phải chứng minh ,nz 38 m2 3, ta có : nín 1+— +1)+ | 1 0 “s" x4y 4x+1>z0 yetso © z3~x+x+10) Vậy A=0 - D2- 1) Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán ~ Nhiều Tác giả 19, Giải phương trình : a) Jx+8—4Njx~1+jx+8-6/x~1 =1 b) vdx+vx—11 + x~Mx-11 ị =4 ị Giải a) Điều kiện x > Phương trình cho trở thành : j@(áVx—1— 2)? + dVQVx~1~ 8? =1 = |dx-1-2|+|Wx~=1-8|=1 Ấp dụng : LAI > A Đẳng thức xây «œ Á > x-1-2|>Vx=1-2 = |x=1=9|+|Wx =1 = 3| >1 |/x=1-3|=|R- dx-1|>8- vx=1 Từ suy tập nghiệm phương trình = [B ; 10] b) Điều kiện x > Phương trình trở thành : Vx + Vx~11 =4—vdx—Jx—11 => X= = doại x > 11) Vậy = Ø 20 Cho x, y, z số dương thoả mãn : x+ ÿy + 2+ [xyz = Tinh gid trị biểu thức P= J2(4~y\4~2) + Jy(4-~ z4 ~x) + j24 ~ x)(4~ y) - Jxyz Giải Từ giá thiết: jxyz+x+y+z=4 œ 4G + y + 2) + 4-/Xyz = 16 Ta có : x(4 — yX4 — 2) = x[16 - 4x + y) + yz] = x[ÁŒ + y + z) + Á-jxyz — 4(y + z) + y2] = x(3 4% + -Jyz)? = (2x + fxyz) Từ suy : x4 - y\(4 - + jJyŒ — x)(4 - z) + (2(4—x)(4—y) - £2 BÀI THỊ CHỌN HỌC SINH GIO! TOAN Jxyz =8, 122 Ø1 Giải phương trình : (Đã thi uào lớp 10 chuyên Toán, trường THPT' chuyên Lê Hồng Phong, TP Hỗ Chỉ Minh, năm học 2002 - 2003) bì V2x+1 + Vi7—2x = x4 - 8x3 417x? — 8x +22 (Đà thị chọn học sinh giỏi Tốn lớp 9, trường THĨS TP Hơ Chỉ Minh, năm hạc 8008 — 2009) 10 Tĩaa Lư, Quận 9, | Công ly TNHH MTV DVVH Khang Việt d) Cho BC cổ định, A điểm động (O ; R) thoả tam giác ABC vuông Á Kẻ đường cao AH Gọi rụ, rạ bán kính đường tròn nội tiếp tam giác AHB tam giác AHC Tìm vị trí A để tổng r + rị + rạ đạt giá trị lớn Giải a) Dé dàng chứng minh ABIF hình vng Ta có : 2r = 2AB = AB + AC ~- BC A =b+e-2R => E b+e=2R+r) P b)S = 2Rr + r? ©)1O = vỗ em B HE —ư c đ)r tri ty = (AB + AC~ BC + AH + HB~- AB + AH + HC ~ AC) = 2AH = AH = ——~ “RN Lại có Giai TAN AB’ = p-a; AB=p., Dodo 2278 R, Tương tự Suy RB p =~ = P= { 173 ~ Nhiều Tác giả ï dưỡng hoc sinh gidi Toan ĐC, CA, giác ABC tiếp xúc với cạnh 0, Đường tròn () nội tiếp tam NP chiéu vuéng géc cla M xuống AB tai M,N, P Goi Q 1a hinh a) Chứng 52 phân giác góc BQC QM Chứng minh ring AEC = 90" b) Gọi E giao điểm AI PML Giải u B, Ở xuống NP a) Gọi H, T hình chiế AANP cân tai A nén BPH = CNT ABPH œ ACNT (gø): (DB _ BM _ HQ BH _ BP TQ CM CN CT CQT Vậy ABHQ @ ACTQ (cøc) = BQH = Do QM phân giác BQC ta có : b) Goi d 14 giao diém IB va BC, ie - 180 + 1A = BACEACE " - SBE2 , Dods => wy EMC = BMP = 90°- age iC = EMC AJIC œ AJME (gø) aJM aSJE Nên có AJMI s2 AJRO (e.g.e) = JM vay JimC = 90° = JEC lượt A, đường cao AH Gọi Ôi, O2 lân 51 Cho tam gidc ABC vu6ng tai 0,02 g than g giác ABH, ACH Duon tâm đường tròn nội tiếp tam rằng: AM = AN cắt AB, AC M,N Chứng Giải E ; F AO; ; AO; cắt BƠ lân lượt tai AF Đã dàng chứng : BƠi L Tương tự OOa AB, Gọi O tâm đường tròn nội tiếp AABC O trực tam AAO¡O; > AO L MN đường cao nên tam giác AMN AO via la duting phan gidc, vừa cân A Công ty TNHH g BÀI THỊ CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN gạ, a) Cho giác tròn lượt tứ giác ABCD Hai đường tròn ADC tiếp xúc với AC nội tiếp tam giác BAD tam hai điểm P, Q Chứng minh MTV DVVH Khang Việt nội tiếp tam giác ABC tam hai điểm M,N Hai đường giác BCD tiếp xúc với BD lần : MN = PQ (pé thi chon hoc sinh giỏi Toán lớp 9, TP.Hỗ Chí Minh, năm hoc 1999 ~ 2000) b) Cho tử giác lỗi ABCD Biết đường tròn nội tiếp tam giác ABC đường tròn nội tiếp tam giác ACD tiếp xúc đường tròn nội tiếp tam giác ABD BCD tiếp xúc Chứng minh nội tiếp tam giác (Dé thi chon học sinh giỏi Tốn lớp 9, tỉnh Thái Bình, năm: học 2005 ~ 2006) c) Cho tam gidc ABC Trên cạnh BC lây điểm D cho bán kính đường trịn nội tiếp hai tam giác ABD ACD Chứng minh đường trịn bàng tiếp góc A hai tam giác ABD ACD (Dé thi tuyén sinh vao lớp 10 chuyên Toán, trường THPT Thực hành su phạm - ĐHSP TP Hà Chí Minh, năm học 2008 ~ 2009) Giải A a) Dễ dàng chứng minh : am = AC#AB-BC AN = AD+AC-DC ` D , ĐI KI RZ = MN = |AM- ANI = S|AB+DC - BC-AD), Lập luận tương tự : PQ = gIAP +DC-BC- AD| = MN = PQ | b) Giả sử đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AC M, đường tròn nội tiếp tam giác ACD tiếp xúc với AC N, đường tròn nội tiếp tam giác ABD tiếp xúc với BD P, đường trịn nội tiếp góc BCD tiếp xúc với BD Q Hai đường tròn nội tiếp tam giác ABC tam giác ACD tiếp xỳc âôMs=NeMN=0 = AB + DC - BC - AD =0 ©PQ=0e>P=Q hai đường trịn nội tiếp tam giác ABD tam giác BCD tiếp xúc 175 Bối đưỡng học sình giỏi Tốn ~- Nhiều Tác giả e) Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABD tiếp xúc với BƠ, AB lân lượt tạiN,E A Đường tròn (Œ) nội tiếp tam giác AOD tiếp xúc với BC P, Đường tròn (O) bàng tiếp tam A F giác A tam giác ABD tiếp xúc với BƠ, AB H, G Đường tròn (S) bàng tiếp góc oC FINN A cia tam giác ACD tiếp xúc E PB G với BC E Vã đường kính MN đường trịn (D, đường kính PQ o9 đường tròn (K) Tứ giác MNPQ hình bình hành TF L AB OG L AB = IF / OG Ta có AAOG c6 MN iM IF // OG = Al 1BC,OH OH AQ = MN// OH LBC Ma A, I, O thang hang AIM = AOH; AAIM % AAOH (c.g.c) Do dé Tit dé A, M, H thang hang Ching minh tuong ty c6 A, Q, EB thẳng hàng et SEB oe AE = AE OH i duge a Cha dng minh IM _KQ_AQ_ AM Ma IM = KQ Vay OH = SE tiếp xúc với 53 a) Cho tam giác ABC, dutng trdn (O) nội tiếp tam giác nằm tiếp nội tròn BC D Chứng minh tâm đường đường thẳng qua trung điểm BŨ AD (Đề học sinh giải Toán Anh năm 1977) cạnh AB, AO với b) Cho tam giác ABC có đường tròn tiếp xúc với hai tam giác ABC cân hai đường trung tuyến BM CN Chứng minh (Dé thi chon học sinh giỏi Toán nam học 2001 - 2002) ¢) Cho đường tròn ( ; lớp 9, Quận 1, TP Hé Chi Minh, r) nội tiếp tam giác ABC (Ê < 90°) k@ đường theo thứ tự M thẳng qua I cắt hai cạnh CA, CB cda tam giác giá trị nhỏ N Xác định vị tri cia MIN cho Senn đạt (Đề chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán lớp 9, trường THPT hoc 2010 - 2011) chuyên Trần Đại Nghĩa, TP Hệ Chỉ Minh, ndm 176 Công ty TNHH MTV DVVH Khang Việt _” Giải a) Gọi L điểm đổi xứng với D qua © tia AL, cắt BC T Qua P kế đường vng góc AB, cắt tia AO P Gọi E, F tiếp điểm (O) vai AB, AC Ta cé6 : AO _OL BE_OF ma AP PT PI PK OF = OF = OL => OT = Pl = PK Điều chứng tỏ P tâm đường trịn tiếp góc A AABC Dat BC = a, AC = b, AB = ¢, ta cé BD=p-~b;CT=CK=AK~AC=p-b Suy BD = CT Vậy N trung điểm BC N trung điểm DT ADLT cé ON // LT va AADT có MN /AT=M,O,N thang hang (M trung diém AD) b) Đường tròn cho tiếp xúc với AB, AC, BM, ƠN E, F, H, K Theo tính chất hai tiếp tiếp cắt nhau, ta có : A AE = AF, NE = NK, GK Do dé : GM + AN = GN + AM Ma G nên y a = GH, MH = MF, trọng tâm tam giác ABC GM= SBM, GN = 5ON AC AN= AB 22 ame So 2 Vậy có BM + ÁP =CN+ SẠC qd) Mặt khác gọi r bán kính đường trịn, ta chứng minh : Satap = 1(AB + AM ĐNAC Mà = SHAC+ + BM); AN+CN) Sas = Swac (- 28m) 177 dưỡng học sinh giỏi Toán - Nhiều Tác giả = AC + AN + BM AB + AM + CN @) ONG SAC = BM + SAB => LAB Lac = 2ac+ tir (1) va (2) 06 2aAB+ 2 2 A AB = AC => M c) Vé MK LCN taiK MK = CMsinG Scant = > MK.CN = LCMCN.sinC sin Semn = Sicm + Sicn = 510M =r CM +CN + i CN >rVCMCN 28, 25cm = “sinc Do 46 Say eee 28, SCMN c K BON “3 & Scum eS SOMN = sin Ơ ar in ‘at không không đểđổi 88 VI TRI TUONG 001 CUA HAI DUGNG TRON ¡ KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG CÂN NHG Vị trí tương đối hai đường trịn (O ; R) (O';r) Hai đường tròn cắt HH Hai đường tròn tiếp xúc (R > r) Số điểm | Hệ thức OO' chung : anexúc ~ Tiếp Hai đường trịn khơng giao : > ` với R r R~-r ADEF déu 181 ond học sinh giỏi Tốn ~ Nhiều Tác giả ho trịn (O) (O) cắt hai đường A B ® trung Gọi A qua K Vé cat tuyén CAD ' OO', gọi E điểm đối xứng voi tam giác CBD cân e (O) va D e (O’)) Chiing minh Giải ; KI; ƠN vuông Xét hình thang OMNO' , OM c CD đường thẳng KI ta có IM = IN AMKN can tai K ï ý MK, KN đường trung ah AACE ; AADE can dé suy ACDE C (c.ge) ¡ch khác : Chứng ADO'E = AEO At TAP NANG CAO A B Vẽ dây AC ?ho hai đường tròn (O) cắt (Ở) cắt dây tiếp tuyến đường tròn (O') Vẽ ¡a đường tròn (O) đồng thời tuyến (O), Gọi E điểm D đường tròn (O) đồng thời tiếp bốn điểm A, C, D, Ð ýi xứng với A qua B Chứng wdc mot đường trịn Giải gi trung điểm OO, dựng K = SA) › OAO“K hình bình hành (6 dang thay OK i CA > OK 1& dutng trung tryc ctia AC > KA = KC 'ương tự KA = KD ‘a c6 KB L AE tai B, AB = BE (gt) = KE > KB dudng trung trie cla AE = KA ‘uy KA = KE = KC = KD Vẽ tiếp tuyển Cho hai đường tròn (O) (Ở') nằm AB CD, vẽ tiếp tuyến 1) MN = AB va ME chung EF (A, C, E thuộc tròn tâm O') Gọi giao điểm lường tròn tâm O ; B, D, T thuộc đường Chứng minh : da EF voi AB, CD theo thứ tự M N 1) AB ~ Lại = => = z MA + MB = NF = ME b) ME Giải + ME CD = NE + NF có : AB = CD ME + MF + NE + NF = 2AB (ME + NE) + (MF + NF) = 2AB 2MN = 2AB = MN = AB vng góc BE Cơng ty TNHH Ta có: => ME MTV DVVH Khang Việt 2MEB+EF=AB 2NF + EF = CD = NF b) Gọi H giao điểm AE BF, AMAE cân, AMBE cân nên BAH + ABH = MAE + MBF „ 180° - AME | 180°- BMF _ 360° - (AME + BMF) 2 _ 360° ~ 180° s = 90° Suy ra: AE L BF 64 Cho đường tròn (O) dây AB Vẽ tiếp tuyén Ax Tu B BC L Ax Tính AB biết AB + BC « a OA = R Giải Đặt AB = x Gọi M trung điểm AB B => AMAO ~ ACBA AB BC AB+BC AO” MA “ABS MA = x = R+< * c A 2aR =0 ° x= VR? +2aR - R (x> 0) E BÀI THỊ CHỌN HỌC SINH GIỎI TỐN 65 Cho đường trịn (O ; R) đựng đường tròn (O' ; R') cho O thuộc đường tròn (O' ; R) Dây AB đường tròn (O ; R) động tiếp xúc với đường trịn (O' ; R') C Xác định vị trí dây AB để AC? + BC” đạt giá trị lớn (Đề thị chọn học sinh giỏi Toán lớp 9, Quận 1, TP Hồ Chí Minh, năm học 2004 - 2005) Ké OH L AB Giải H ; OK L OC K, ta có act + Bo? = (AB, +He) +(S°-me] -=- A TỰ” + 2HC? = 2(R? — OH?) + 2(R? ~ O'H’) ~ (R' - OH} = 2R? ~ 4OH” + 4OH.R/ = 2R’ +R? — (20H ~ R)” < OR? R? 183 o (O'; R) AB tiếp tuyến chung OH = x Dau “=” xay rao nn giả dưỡng học sinh giơi Tốn ~ Nhiều Tác h =): R¿, R tiếp xúc lẫn đơi Cho ba đường trịn có bán kính Rị, R bán kính có độ đài tiếp xúc với đường thẳng RyR; theo độ đài R cho trước nhỏ Tìm giá trị nhỏ , năm học học (Đề thí chọn 1993 - 1994) sinh giỏi R¡Rzmin © + 9, TP Chí Hộ Minh Giải Dã đàng chứng : + Ma _- lớp Toán i Ry Re max = i JRe JRiRe max đổi nên —1 —Ì_ max œ không i cà JR, Vk awe trị nhỏ 16R? o> R, = Re = 4R Vay RịR¿ đạt giá Gn TAP CHUONG II Gọi A điểm đường (O) Tia L Cho đường tròn (O) đường kính BC =2R đường trịn (Q) tai M phân giác góc BAC cắt BƠ D cắt theo R a) Chứng MB = MC tính MB AB, AO b) Gọi E, F hình chiếu D Tứ giác AEDF có dạng đặc biệt ? Vì ? R e) Cho góc ABC = 60° Tinh DB, DC theo tam giác ABO đ) Gọi r bán kính đường trịn nội tiếp ABC) rang R+r2 v35 (8 diện tích tam giác Chứng minh Giải a) Ké đường kính AA' BOM = BOA’ - MOA’ = 2BAG - 2MAÖ = (BAO - MAO)= 2A1= 90° = ABMC vuông cân M MB = R2 bp) AEDF hình vng e) BD = R(V3- 1); CD = RG - V3) are AB+ AC" BO =R+r- BƠ, ÀB+A7—BØ „ BEES > JABAG =V55 - Công ty TNHH MTV DVVH Khang Việt Cho đường tròn (O ; r) nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với BƠ, AC, AB M,N, „ ÁP” BP? Biét BMỸ BC? + scr —~ P Gọi P nửa chu vi tam giác ABC CN! NA? ty =p P Tinh cdc Giải géc A, B, C cia tam giác ABC Ap dụng bất đẳng thức Cô-sỉ cho hai sổ đương, ta có : Apt BP?” = ng BP° AP° BP? BP 2,/— BP = + BP + 2BP o[ AP?=|" B AP?— BP AP? BP 24/4" 24/55BBP = AP 4AP (1)1 cảng LƠMC >4BM (2); ƠNG MC NA Lí luận tương tự : +3NA 4CN (3) Từ (1) ; (2) (3) cho ta : AP + BM ee 4 + NA MC BP + SN CN MC BPY = AD Bp MC+NA) > 4(AP+ MB + ON) > BP + MÔ + NÀ =p, Dau "="xdy rac» A= B= = 60° Cho tam giác ABO cạnh a Hai điểm M, N động AM AN hai cạnh h AB, AC cho ho ——+— MB + Ne — =1,1 DatĐặt AM = =x, AN ==Y.y a) Chứng minh MN? = x? + y?~ xy, MN=a-x— y b) Ching minh giác ABC ring MN luén tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam tt a) Ké MH J AC tai M; AH MH = v3 —-x,NHsey- =,x 2°° y Ta cé : MN? = MH? + NH? = x? 4-y?— xy AM MB AN NC x a-x => 8xy = 2a(x + y)~ a? +— a-y =i MN? = (x + y)? - Bxy = (x + y ~ a? => MN=a-x~— y b) Ké IP AB tai P; IK AC tai K = P, K lan MP + NK lugt trung điểm AB, AC = AP - AM + AK- AN =a-x—y =» AP = AK = =MN 185 si Nhiều Tác giá , dưỡng học sinh giỏi Toản - D (c.c.c) =» IM = ID Dung KD = MP > APIM = AKI c) = 1Q = IK Suy ra: AMNI = ADNI (c.c n (Q) kính (O) = MN tiếp tuyế Vay MN IQ tai Q, 1@ bán điểm AO Trên đoạn thắng OC lấy kinh - Cho đường tròn (O ; R) đường điểm g kinh BC Goi M trung đườn có B vẽ đường trịn (Ơ) tai D va (O) trịn góc với AB cắt đường AB, qua M kế vuông tail E Nối CD cắt đường tròn (C) ? Vì ? hình 1a B a) Ti gidc DAE (O') MI tiếp tuyến đường tròn b) Chứng minh : MĨ = MD MC BH = MB CH h BC Chứng e) Gọi H hình chiếu I Giải a) ADBE hình thoi hang b) Dé dang thay E, B, thang € ng ADIE vng ï có IM đườ MD = trung tuyển = MĨ MID + OFC = Mpi+{CO' = 90° = 90° => MIL OT tail, OT 1a MI la bán kinh dutng tron (O") => MIO’ = tiếp tuyển (Ĩ') ¢) Chitng minh g, phân giác ngồi IB ; IC đường phân giác tron chứng minh định L AMIH Từ có điều phải 5, Cho tam giác ABC (AB (O¡) nội tiếp AABM E, E Đường < AC) có đường trung tuyển AM Đường tròn CM, MA, Ð, tiếp xúc với cạnh BM, MA, AB tròn (O;) nội tiếp AACM tiếp xúc với canh h rang: AC lan lugt tail, J, K Ching a) MO, // DE va MO, // IJ b) MLMD = 0,D.Oul AB «) AR = ABAAM=BM ya py = ACW điểm, a) IJ, DE, 0102 cdt Giải n cắt nhau, ta có : tuyế tiếp a) Ấp dụng tính chất hai n giác hai góc kể bù) DE O\M, MOz O,M (hai tia phâ => MO: // DE, Lập luận tương tự : MỐI / DMO, = MGI] (cùng b) Xét ADMO; AIO¿M có : Ư = = 90°; phụ với IMO, ) 186 d) Gông ty TNHH MTV DVVH Khang Việt => ADMO,; AlO¿M (gg) 0,D_ MDP MD | IM.MD = 0,D.10,, =i? ” TM “TO; ue B D Kì M o) AB = SB* AM EM va ny = AC-AB I c Ấp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có : AE = AF, BF Vậy = BD EM = MD = AM - EM : AE = AM -MD SỞ ' lAP = AB - BF = AB ~BD => AE + AF = AB + AM - (MD + BD) > 2AE = AB +AM-BM = AE = AB +AM-BM MC Lập luận tương tự, ta có : ÀJ = AM+AC~ Suy ra: Ed = [A7 ~ AB] = > |AM + AC- MC-(AB + AM - MB)| il IÁC - ARÍ (do MB = MC (gt) AC - AB (do AC > AB) da) Goi O 1a giao diém DE va WJ, ta cần ching minh O¡; O ; O, thang hang Hoi H la giao diém efia O,M va DE, N giao điểm OzM 1J Vi ADMO, © AIO2M (g.g) => = = L— = 0,M? O¿MỸ MD? _ MILO|M O¿ O;NOM =» OM _MH _ ON ` O¿M 0,N O¿N Đo AOIMO¿ œ AONO; (ege) Vậy Õ;O,M = 00,N Nên O¡; O ; O; thẳng hàng Vậy đường thẳng IJ, DE O;O; cắt điểm 187