Mở đầu về không gian vectơ tôpô và một số vấn đề chọn lọc của giải tích hàm

NGUYÊN VĂN KHUÊ - LỆ MẬU HAI Mỏ đầu VE KHONG GIAN VECTO TOPO VA MOT SO VAN BE CHON LOC CUA GIAI TÍCH HÀM NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Muc luc Trang Lời nói đầu Phần I MỞ ĐẦU VỀ KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ VÀ KHÔNG Chương GIAN LOI DIA PHUONG Đại cương không gian vectơ tôpô không gian lồi địa phương "1.1 Khong gian vecto 1.2 Không gian vectơ tôpô 1.3 Không gian lồi địa phương 1.4 Bài tập ' Chương Ba nguyên lý giải tích hàm 2.1 Không gian thùng nguyên lý đồng liên tục 2.2 Nguyên lý ánh xạ mở 2.3 Nguyén ly Hahn-Banach 2.4 Bài tập Chương Lý thuyết đối ngẫu 3.1 Cặp đối ngẫu :3.2 Pôla số định lý pôla 3.3 Mô tả tôpô cặp đối ngẫu 3.4 Tính phản xạ 7 21 43 60 65 65 71 | 75 86 91 91 94 99 10 3.5 Ánh xạ đối ngẫu 10 3.6 Bài tập — 107 PhầnII MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH HÀM HIỆN ĐẠI Bài Giới hạn quy nạp giới hạn xạ ảnh không gian lồi địa phương 1.1 Giới hạn quy nạp 111 1.2 Không gian chặn nội (không gian Mackey) 115 không gian lồi địa phương 1.3 Giới hạn quy nạp chặt 1.4 Giới hạn xạ ảnh ‘ Bài Tích tenxơ khơng gian lồi địa phương 111 118 121 127 2.1 Tích tensor xạ ảnh 2.2 Tích e-tensor 2.3 Một số ví dụ 127 138 140 Bài Bao đầy không gian lồi địa phương định lý ánh xạ mở đồ thị đóng 143 3.1 Bao đầy khơng gian lồi địa phương 3.2 Định lý ánh xạ mở đồ thị đóng cho lớp khơng gian hồn tồn đầy 144 155 3.3 Định lý ánh xạ mở đồ thị đóng cho lớp khơng gian loại (Ø) 166 Bai F-khéng gian DF-không 4.1 F-Không gian 4.2 DE-không gian gian 4.3 Đặc trưng đối ngẫu F'-không gian DF-không gian Tài liệu tham khảo 174 174 186 192 195 Phần VE KHONG MỞ ĐẦU I GIAN VECTO TOPO VÀ KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG CHƯƠNG Đại cương không gian vectơ tôpô không gian lồi địa phương Mục đích chương trình bày khái niệm số kết đại cương không gian vectơ tôpô khơng gian lồi địa phương Ngồi chúng tơi đề cập tới số ví dụ quan trọng lớp không gian 1.1 Không 1.1.1 gian vectơ Định nghĩa không gian vectơ Trong sách ta dùng ký hiệu K để trường số thực R hay trường số phức Œ Một không gian vectơ trường K tập hợp V với hai ánh xạ, mà chúng gọi phép cộng phép nhân với lượng vô hướng: +:VxVoV (r1) + : ŸNxVV (A.#) Àr thỏa mãn tiên đề sau: a)z+=u++z b)z+(u+z) cho Va,€V =(r+)+z Va,u,z€V e) Trong V tồn phần tử không, ký hiệu 0, œ+0=#, Vaev đ) Với z € V tồn phần tử —z € V, gọi phần tử đối x, dé: z+(—z)=0 e) (A-/)z = A(yur) VÀ,eK,zeV ø) À(# +) =AÀr+Au VA EK, Vay eV f) (A+ pa = Ar + pea h)1-z=z Vze€V (1 VA MEK, Vane V phần tử đơn vị trường K) Từ tiên đề suy phần tử phần tử —z với moi x € V Ngoài ra: —z=(—l)-+ V+z€V Dịnh Cơ sở Hamel Hệ độc lập tuyến tính 1.1.2 nghĩa 1.1.2.1 Giả sử V không gian vectơ Tập M CV, M # Ú, gọi độc lập tuyến tính với hệ hữu hạn {z\, ,z„} C M hệ {ơ, ,œ„} C K, từ đẳng thức $) œ;z¿ = suy œ; = với ¿ = 1,7 iat Rõ ràng tập khác rỗng tập độc lập tuyến tính độc lập tuyến tính Định lý 1.1.2.2 Giả sử M tập độc lập tuyến tính Nếu y = yr +3 + Ont (1.1) y € V tổ hợp tuyến tính phần tử M: : tổ hợp tuyến tính Chứng minh dang: ˆ Giả sử (1.1) y cịn viết y = Ưuui Ð - + nam; Xét hệ hợp {0\, ,0z} (1.1) (1.2) ta có: y= ỔI, ,Ổm € K; tị, , tạ € ÀM (1.2) = {Zi, ,Zn} U {u, ,ưm} » = So i=l Từ mini i=1 với {œ, ,œ„} C {Ài, , À„} {Ø, /m} C {mì, , tr} Tính độc lập tuyến tính {uị, ,0;} suy À¡ = tị Vi=1,r Dịnh Vay thlin=m via; = 8¡, Vì = 1,n nghĩa 1.1.2.3 n Mọi tập V khơng độc lập tuyến tính gọi phụ thuộc tuyến tính Dịnh lý 1.1.2.4 Để tập MỸ V phụ thuộc tuyến tính cần uà đủ tồn phần tử \M tổ hợp tuyến tinh phần tử cờn lại M Chứng minh Nếu AM hợp tuyến tính khơng: G17 phụ thuộc tuyến tính tồn tổ + G272 + : + da#a = dé 2; € M, i = jn œ,œa, ,œ„ thời khơng khơng đồng Có thể coi œ¡ # Khi đó: m= (-2)m4 -+(-=)z, a a, ay Vậy zụ tổ hợp tuyến tính #¿, ,#„ € À Ngược lại, giả sử tồn = € A⁄/ để: Ài#t + À¿Z¿ + : +Àn#a z¡ € M, ¿ = 1,1 Hay — + Ài#t + À¿2 + - - - + Àn#n = Ô Điều suy phụ thuộc tuyến tính Dinh nghia 1.1.2.5 Hamel cia V nếu: Tap B C V duoc Oo goi 1a sở a) B độc lập tuyến tính b) Mọi phần tử V tổ hợp tuyến tính phần tử Ư Dinh lý 1.1.2.6 Để tộp B C V sở Hamel V cần tà đủ lò B tập độc lập tuyến tính tối đại, nghĩa B độc lập tuyến tính uà M độc lập tuyến tính V mà BCM 10 th M = Ư Chứng minh a) Can Giả sử B sở Hamel W Theo định nghĩa, Ø độc lập tuyến tính Giả sử C M với tồn M độc lập tuyến tính V Nếu M4 # z€ Mĩ \ B không tổ hợp tuyến tính phần tử B Điều trái giả thiết Vậy M = B độc lập tuyến tính tối đại V b) Đủ Giả sử Với z € V xét tap BY = BU{z} Nếu z € B z tổ hợp tuyến tính phần tử B Khi x ¢ B, vi B la độc lập tuyến tính tối đại nên Ư' phụ thuộc tuyến tính Suy z tổ hợp tuyến tính phần tử B Vậy B sở ñ V Dinh ly 1.1.2.7 Trong không gian 0ectơ V bat ky moi tập độc lập tuyến tính bao hàm sé Hamel cia V Ngoài ra, SŠ uà T hai sở Hamel V chứng tương đương hai tập hợp Chứng minh Cho tập độc lập tuyến tính M4 C V Ký hiệu J la ho tat tập độc lập tuyến tính Š chứa M Do M € Z nên # Ú Trong ta đưa vào thứ tự theo bao hàm: Ø < $ C Dễ dàng thấy với quan hệ thứ tu J thỏa mãn điều kiện bổ dé Zorn: moi tap thứ tự có cận Vì theo bổ đề Zorn, J có phần tử tối đại B, va từ định lý 1.1.2.6 suy B la co sd Hamel V Bây giả sử T' hai sở Hamel V Để chứng minh S va T 1a twong đương, tính đối xứng theo định lý Schréder-Bernstein, cần chứng tỏ Š tương đương với tập 7' Ký hiệu ® họ tất ánh xạ y thỏa mãn: a) Miền xác định ¿ D¿ C ¿ đơn ánh b) Miền giá trị ¿ R„ C c) R, U(S \ Dy) déc lap tuyén tinh 11 Ngoai W, C Va voi moi n > Nhu vay néu We= ñ Wry n=1 W lồi, cn, o(E’, E)-déng bao ham V Do EB’ = U Ba, ta suy W 1a hut cdc tập bị chặn O n>1 Dinh lý 4.1.8 Giả sử E không gian lồi địa phương khả mêtric Khả đối ngẫu mạnh Ez la DF-khéng giam Ỏ đâu, DF-không gian (xem định nghĩa 4.9.1) khơng gian lồi địu phương có dấu uét cạn tập b‡ chặn va moi tap bi chdn Ea hợp đếm tập đồng liên tục đồng liên tục Chứng minh Trước hết định lý 2.1.1.4, đa có dãy vét cạn tập bi chin Chinh 1a day {U2} ,, day {Un} sử, lân cận € # Còn kiểm lại tập bị chặn EZ = (E", 6(E", E')) mà hợp đếm tập đồng liên tục đà đồng liên tục A= Cho A4 C #2 tập Viết Ũ An, An tập đồng liên tục Khi Vi = 4§ lân cận E; thỏa mãn giao chúng V = ia =1 V, hut moi tap bj chan Ey giả sử B C E, la tap bi chan That Khi dé B® 1a lan can cla € E2 giả thiết A C Ej bi chan nén cd A > cho At Cc AB Từ Va A= n=1 na n=1 =(U4) =4°> 58 182 paaaaeammáäặấnammpm eeeeeee EU, eeegHN nè Mệnh đề 4.1.7 suy V lân cận € Ey Thanh thử AC AC V9 đồng liên tục ñ Định lý 4.1.9 Đối ngẫu mạnh thú hai E không gian lồi địa phương kha métric E không giưn Frechel Chứng minh | Thật vậy, # không gian lồi địa phương khả mêtric với {Ư„} sở lân cận € # {US} sở lân cận € E E5 khả mêtric Giả sử (z/) C_E/ dãy Cauchy Khi {z7} đ(E”, E’)- bị chặn Do có lân cận Ư € E2 cho {2%} Cc U® Nhung U® 1a ơ(#“, E')-compact Do đó, ơ(E“, E’)-day Vậy 6(E"”, E')-đầy Vậy dãy {z„} hội tụ Ez Điều chứng tỏ #⁄Z không gian Frechet Oo Nhớ lại không gian lồi địa phương # gọi tựa thùng thùng # hút tập bị chặn lân cận không Định lý 4.1.10 mêtric Giá sử E khơng gian lồi địa phương khả Khả khẳng định sơu tương đương: (a) 1e không gian chặn nội (b) Ey tựa thùng (c) Es lò không gian thùng Chứng minh (a) => (b) rõ ràng A thùng EZ hut moi tap bi chặn E2 chặn nội nên -1 lân cận không (b) = (c) suy từ định lý 2.1.1.5 Bây chứng minh (c) => (a) Giả sử Œ tập IN cân # hút tập bị chặn tôpỏ 3(E',E) € cần chứng tỏ Ở chứa thùng (E’, 3(E", E)) {Ba} dãy tập ơ(E", E)-compaect, lồi cân, đồng vét can cdc tap bi chin (E’, 3(E’, EY) \ Ww n C6 pn > cho 2ø„B„ bao lồi cân Co = |J øÖ¿ k=1 C Ơ Đặt Ca bao đóng Khi Œ„ C Œa+¡ với mø Nếu LUJ Ca Co lồi cân hút 2Œạ C ŒC n> Néu ta chitng td Co C 2Co, Co bao đóng Co lay (E’, 8, E)), thi Co 1a thing (,6(,E)) ` với Ớẹ C Œ va gia thiét (c) nén C 1a lan can cua Giả sử z' ế 2Œc Khi với n tìm lân cận lồi, cân Vị (#, (7, E)) cho (z'+V,)n 2Œ„ = 2Œ„ đóng Ø(E”, E)-tơpơ Đặt Wn = Vạ + Cn Ta có PrBn C Ca C Wr va PnBn Nhu vay prB, C C Ca C Cau AW isn C Wass Mặt khác ñ W; Đ nv i=l day 1a lân cận (E’, B(E’, )) nên hút va VÉ W = đ W;, hut moi B, Do W Ø(#', E)-lan cận Mặt khác từ (2! +V,)N2C,= J với n suy (z'+ W+)nŒ„= với n Tir day suy (c' +W)NCy Vậy z' ø Ca 184 = a Hệ 4.1.11 Đối ngẫu mạnh không gian lồi địa phương khả mêtric phản xạ E khơng giơn chặn nội Thật #¿ khơng gian phản xạ khơng gian thùng Từ #¿ khơng gian chặn nội Hệ 4.1.12 Nếu đối ngẫu mựợnh tới không giơn lồi địu phương khả mêtric không gian khả lụ, nghĩa có tập đếm trù mật khắp nơi, khơng gian chặn nội Chứng minh Chỉ cần chứng tỏ Eÿ; tựa thùng Giả sử D thùng #¿ hút tập bị chặn mạnh {z/,} tập trù mật E'\ D Dùng kết tách tập lồi định lý Hahn-Banach cho D z, ta tìm phiếm hàm tuyến tính liên tục ƒ„ € EB” = (E', B(E’, E))' cho D bao hàm phần Hạ = {z' € E' : Re ƒn(2) < ra} Re f,(z/,) > r', Vậy DC (1 Hạ U = nH„ạ hút tập bị chặn mạnh n>1 Do mệnh đề 4.1.7 lân cận Mặt khác phần bù IntU chứa {z;„} đóng, chứa phần bù D Vậy IntU C D D lân cận € EG o Để kết thúc phần F-khơng gian ta có kết sau Dinh lý 4.1.13 Giả sử Š ánh sạ tuyến tính liên tục từ F-khéng gian E o F`-khơng gian F Khi hai điều kiện sau la tương đương: (i) ImS$ đóng F (ii) Im S" la ơ(E', E)-déng E', dé S': F' > E' la ánh xạ đối ngẫu S Chứng minh (¡) = (ii) Giả sử Im C Ƒ đóng Khi ImS$ la F-khéng gian va T := S : E + ImS 1a anh xa mé, 185 Vậy Im 6S % E/Ker7 Từ (Ker T)° & (=) KerT = (ImS) = (ImTY Gia st e: ImT — F 1a phép nhing chinh tac thi dinh ly Hahn-Banach ánh xạ e' : F" — (Im7 lên Vậy Im S’ = Im(eT)’ = Im(T"e’) = (ImT) = (Ker S)0 ơ(E', E)-đóng (ii) => () Ta có Im S’ c S’(ImS) C (Ker 8)° = Clo e',z)Im Ss’ = Im Ss’ Từ S'(Im 8ÿ = (Ker S) = (E/Ker 8)/ Điều chứng tỏ ánh xạ 7': E/KerS — Im® đẳng cấu tơpơ yếu Bởi hai không gian lồi địa phương khả mêtric nên đẳng cấu Vậy ImS đóng 4.2 = T(E/Ker 8) F-không gian DF-không Do dé ImS n gian Lý thuyết D.F-khơng gian có liên hệ chặt chẽ với lý thuyết #-khơng gian, đối ngẫu mạnh #-khơng gian DF-khơng gian ngược lại trình bày mối quan hệ 186 Trong phần Dinh nghia 4.2.1 Không gian lồi địa phương E gọi DF- khơng gian a) E có dãy vét cạn tập bị chặn Nghĩa tồn dãy tập bị chặn {B„} E cho với moi B € B(E) tìm » > để C Bạ b) Mọi hợp đếm bị chặn tập đồng liên tục Ey 1a đồng liên tục Dé dang thay b) thay b’) Giao dãy lân cận € E lân cận € # giao hút tập bị chặn E Mệnh đề 4.2.2 Giả sử E DF-không gian, {B„}a>v dãy tăng vét can cia B(E) W(#), tập Khả uới dấu {Ua}a>i C W= (e+ nời Un) lân cận không E Ỏ U(E) họ tất 0-lân cận lồi cân E Chứng minh Với œ > 1, chọn W„ € (E) để V„ + Vạ C Ủn Khi giao V tập Bạ + Vạ bao ham W Chi cần chứng tỏ V hút B, hút tập bị chặn E Do W hút tập bị chặn E nên W lân cận không E Cố định ø >1 Tập V'= chứa ƒ(\ M¿ nên lân cận € E 11 Còn chứng minh V C 2W {0} viết Do E = - Dat B, nên có k cho z € Ö¿ nel # = 0a ĐỦa by 0z¿i