Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 226 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
226
Dung lượng
4,23 MB
Nội dung
CHƯƠNG CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – VECTO V VECTƠ BÀI KHÁI NIỆM VECTƠ I LÝ THUYẾT KHÁI NIỆM VECTƠ Cho đoạn thẳng AB Nếu chọn điểm A làm điểm đầu, điểm B làm điểm cuối đoạn thẳng AB có hướng từ A đến B Khi ta nói AB đoạn thẳng có hướng 1.1 Định nghĩa: Vectơ đoạn thẳng có hướng, nghĩa là, hai điểm mút đoạn thẳng, rỏ điểm đầu, điểm cuối 1.2 Kí hiệu Vectơ có điểm đầu A điểm cuối B kí hiệu AB , đọc “vectơ AB ” Vectơ cịn kí hiệu a , b , x , y , … không cần rõ điểm đầu điểm cuối 1.3 Độ dài vectơ: Độ dài vectơ khoảng cách điểm đầu điểm cuối vectơ Độ dài vectơ AB kí hiệu AB , AB = AB Độ dài vectơ a kí hiệu a Vectơ có độ dài gọi vectơ đơn vị HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG, CÙNG HƯỚNG 2.1 Giá vectơ: Đường thẳng qua điểm đầu điểm cuối vectơ gọi giá vectơ 2.2 Vectơ phương, vectơ hướng: Hai vectơ gọi phương giá chúng song song trùng Hai vectơ phương chúng hướng ngược hướng 2.3 Nhận xét Ba điểm phân biệt A , B , C thẳng hàng hai vectơ AB AC phương HAI VECTO BẰNG NHAU, HAI VECTO ĐỐI: Hai vectơ a b gọi chúng hướng có độ dài Page CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – VECTO Kí hiệu a = b Hai vectơ a b gọi đối chúng ngược hướng có độ dài Chú ý Khi cho trước vectơ a điểm O , ta ln tìm điểm A cho OA = a VECTƠ – KHÔNG Vectơ – khơng vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng nhau, ta kí hiệu Ta quy ước vectơ – không phương, hướng với vectơ có độ dài Như vậy= AA = BB = MN = ⇔ M ≡ N II HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN DẠNG 1: XÁC ĐỊNH MỘT VECTƠ; PHƯƠNG, HƯỚNG CỦA VECTƠ; ĐỘ DÀI CỦA VECTƠ PHƯƠNG PHÁP + Xác định vectơ xác định phương, hướng hai vectơ theo định nghĩa + Dựa vào tình chất hình học hình cho biết để tính độ dài vectơ Câu 1: Câu 2: Câu 3: Câu 4: Câu 5: Câu 6: Câu 7: Câu 8: BÀI TẬP TỰ LUẬN Với hai điểm phân biệt A, B xác định vectơ khác vectơ-khơng có điểm đầu điểm cuối lấy từ hai điểm trên? Cho tam giác ABC, xác định vectơ khác vectơ-khơng có điểm đầu điểm cuối đỉnh A, B, C? Cho hình lục giác ABCDEF tâm O Tìm số vectơ khác vectơ - không, phương với vectơ OB có điểm đầu điểm cuối đỉnh lục giác? Cho lục giác ABCDEF tâm O Tìm số vectơ OC có điểm đầu điểm cuối đỉnh lục giác? Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi P, Q, R trung điểm AB, BC, AD Lấy điểm gốc vectơ Tìm số vectơ với vectơ AR Cho tứ giác ABCD Có vectơ khác vectơ khơng có điểm đầu cuối đỉnh tứ giác? Số vectơ (khác vectơ ) có điểm đầu điểm cuối lấy từ điểm phân biệt cho trước? Trên mặt phẳng cho điểm phân biệt A, B, C , D, E; F Hỏi có vectơ khác vectơ – khơng, mà có điểm đầu điểm cuối điểm cho? Cho n điểm phân biệt Hãy xác định số vectơ khác vectơ có điểm đầu điểm cuối thuộc n điểm trên? Câu 10: Cho lục giác ABCDEF tâm O Số vectơ OC có điểm cuối đỉnh lục giác bao nhiêu? Câu 11: Cho ba điểm M , N , P thẳng hàng, điểm N nằm hai điểm M P Tìm cặp Câu 9: vectơ hướng? Câu 12: Cho hình bình hành ABCD Tìm vectơ khác , phương với vectơ AB có điểm đầu, điểm cuối đỉnh hình bình hành ABCD Câu 13: Cho lục giác ABCDEF tâm O Tìm số vectơ khác vectơ khơng, phương với OC có điểm đầu điểm cuối đỉnh lục giác là: Page CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – VECTO Câu 14: Cho điểm A véctơ a khác Tìm điểm M cho: a) AM phương với a b) AM hướng với a Câu 15: Cho tam giác ABC có trực tâm H Gọi D điểm đối xứng với B qua tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh HA CD AD HC Câu 16: Cho tam giác ABC vng cân A, có AB = AC = Tính BC Câu 17: Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh Giá trị AC bao nhiêu? Câu 18: Cho tam giác ABC cạnh a Tính CB Câu 19: Gọi G trọng tâm tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC = 12 Tính GM (với M trung điểm BC) Câu 20: Cho hình chữ nhật ABCD, có AB = AC = Tìm độ dài vectơ AC Câu 1: Câu 2: Câu 3: Câu 4: Câu 5: Câu 6: Câu 7: Câu 8: BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Cho tứ giác ABCD Có vectơ khác vectơ - khơng có điểm đầu cuối đỉnh tứ giác? B C D 12 A Cho điểm A, B, C, D, E có vectơ khác vectơ-khơng có điểm đầu A điểm cuối điểm cho? A B 20 C 10 D 12 Cho lục giác ABCDEF tâm O Hãy tìm vectơ khác vectơ-khơng có điểm đầu, điểm cuối đỉnh lục giác tâm O cho với AB ? A FO, OC , FD B FO, AC , ED C BO, OC , ED D FO, OC , ED Cho lục giác ABCDEF tâm O Số vectơ khác vectơ - không, phương với OC có điểm đầu điểm cuối đỉnh lục giác A B C D Cho tam giác ABC Gọi M, N, P trung điểm AB, BC, CA Xác định vectơ phương với MN A AC , CA, AP, PA, PC , CP B NM , BC , CB, PA, AP C NM , AC , CA, AP, PA, PC , CP D NM , BC , CA, AM , MA, PN , CP Cho hai vectơ khác vectơ - khơng, khơng phương Có vectơ khác phương với hai vectơ đó? A B C khơng có D vơ số Cho hình bình hành ABCD Số vectơ khác , phương với vectơ AB có điểm đầu, điểm cuối đỉnh hình bình hành ABCD A B C D Cho lục giác ABCDEF tâm O Số vectơ khác , có điểm đầu điểm cuối đỉnh lục giác tâm O phương với vectơ OC A B C D Page CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – VECTO Cho tứ giác ABCD Số véctơ khác véctơ-khơng có điểm đầu điểm cuối đỉnh tứ giác A B C D 12 Câu 10: Cho tam giác ABC , xác định vectơ khác vectơ khơng có điểm đầu điểm cuối đỉnh A, B, C ? A B C D Câu 9: Câu 11: Cho tứ giác ABCD có AD = BC Mệnh đề mệnh đề sau sai? A Tứ giác ABCD hình bình hành B DA = BC C AC = BD D AB = DC Câu 12: Cho tam giác ABC Gọi M , N trung điểm cạnh AB, AC Hỏi cặp véctơ sau hướng? B MN CB C MA MB D AN CA A AB MB Câu 13: Cho tứ giác ABCD Điều kiện điều kiện cần đủ để AB CD ? B ABDC hình bình hành A ABCD vng C AD BC có trung điểm D AB CD Câu 14: Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD hình bình hành ABCD Đẳng thức sau đẳng thức sai? B AB = DC A OB = DO Câu 15: Chọn mệnh đề sai mệnh đề sau đây: A hướng với vectơ C AA = D AB > C OA = OC D CB = DA B phương với vectơ Câu 16: Cho hình chữ nhật ABCD, có AB = AC = Tìm độ dài vectơ BC D ±3 Câu 17: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3, BC = Tính độ dài vectơ CA CA = CA = CA = 25 CA = A B C D Câu 18: Cho tam giác ABC cạnh Gọi H trung điểm BC Tính AH A A B 41 B C C D Câu 19: Cho tam giác ABC cạnh 2a Gọi M trung điểm BC Khi AM bằng: A 2a B 2a C 4a Câu 20: Cho hình vng ABCD cạnh a, tâm O Tính OD 2 B 1 − a Câu 21: Mệnh đề đúng? A a C a D a D a2 A Hai vectơ phương với vectơ thứ ba khác phương B Hai vectơ ngược hướng với vectơ thứ ba hướng C Hai vectơ phương với vectơ thứ ba phương D Hai vectơ phương với vectơ thứ ba hướng Page CHUN ĐỀ V – TỐN 10 – CHƯƠNG V – VECTO Câu 22: Cho điểm A, B, C khơng thẳng hàng Có vectơ khác vectơ khơng, có điểm đầu điểm cuối A, B C ? A B C Câu 23: Vectơ có điểm đầu A , điểm cuối B kí hiệu là: A AB B AB C AB D D BA Câu 24: Cho tam giác ABC Có thể xác định vectơ (khác vectơ khơng) có điểm đầu điểm cuối đỉnh A, B, C ? A B C D Câu 25: Từ hai điểm phân biệt A, B xác định vectơ khác ? B C D A Câu 26: Khẳng định sau đúng? 2 A Hai vectơ a b gọi a = b B Hai vectơ a b gọi chúng phương độ dài C Hai vectơ a b gọi chúng độ dài D Hai vectơ a b gọi chúng hướng độ dài Câu 27: Cho bốn điểm A, B, C , D phân biệt Số véctơ (khác ) có điểm đầu điểm cuối lấy từ điểm A, B, C , D A 10 B 14 C D 12 Câu 28: Khẳng định sau đúng? A Hai véc tơ gọi đối chúng có độ dài B Hai véc tơ gọi đối chúng ngược hướng có độ dài C Hai véc tơ gọi đối chúng ngược hướng D Hai véc tơ gọi đối chúng phương độ dài Câu 29: Phát biểu sau đúng? A Hai vectơ có giá trùng song song B Hai vectơ có độ dài khơng khơng hướng C Hai vectơ khơng chúng khơng hướng D Hai vectơ khơng độ dài chúng khơng Câu 30: Hai vectơ có độ dài ngược hướng gọi A Hai vectơ hướng B Hai vectơ phương C Hai vectơ đối D Hai vectơ Câu 31: Cho tứ diện ABCD Hỏi có vectơ khác vectơ mà vectơ có điểm đầu, điểm cuối hai đỉnh tứ diện ABCD ? A 12 B C 10 D Câu 32: Phát biểu sau sai? A Hai vectơ hướng phương B Độ dài vec tơ khoảng cách điểm đầu điểm cuối vec tơ C Hai vec tơ phương hướng D Vec tơ đoạn thẳng có hướng Câu 33: Cho điểm M , N , P thẳng hàng N nằm M P cặp véc tơ sau hướng? A MN MP B MN PN C NM NP D MP PN Page CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – VECTO Câu 34: Cho ba điểm M , N , P thẳng hàng, điểm N nằm hai điểm M P Khi cặp vectơ sau hướng? B MN PN C NM NP D MN MP A MP PN DẠNG 2: CHỨNG MINH HAI VECTƠ BẰNG NHAU PHƯƠNG PHÁP + Để chứng minh hai vectơ ta chứng minh chúng có độ dài hướng dựa vào nhận xét tứ giác ABCD hình bình hành AB = DC AD = BC Câu 1: Câu 2: Câu 3: Câu 4: Câu 5: BÀI TẬP TỰ LUẬN Cho hình vng ABCD tâm O Hãy liệt kê tất vectơ nhận đỉnh tâm hình vng làm điểm đầu điểm cuối Cho vectơ AB điểm C Có điểm D thỏa mãn AB = CD Cho tứ giác ABCD Gọi M , N , P, Q trung điểm AB, BC , CD, DA Chứng minh MN = QP Cho tứ giác ABCD Điều kiện điều kiện cần đủ để AB CD ? Cho hai điểm phân biệt A, B Xác định điều kiện để điểm I trung điểm AB Cho tam giác ABC Gọi D, E , F trung điểm cạnh BC , CA, AB Chứng minh EF = CD Câu 7: Cho hình bình hành ABCD Gọi E điểm đối xứng C qua D Chứng minh AE = BD Câu 8: Cho ∆ABC có M , N , P trung điểm cạnh AB , BC , CA Tìm điểm I cho NP = MI Câu 9: Cho tứ giác ABCD Gọi M , N , P, Q trung điểm AB, BC , CD, DA Chứng minh = MN QP = ; NP MQ Câu 6: Câu 10: Cho hình bình hành ABCD Goi M , N trung điểm AB, DC AN CM cắt BD E , F Chứng minh DE = EF = FB Câu 1: Câu 2: Câu 3: BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Hai vectơ gọi khi: A Giá chúng trùng độ dài chúng B Chúng trùng với cặp cạnh đối hình bình hành C Chúng trùng với cặp cạnh đối tam giác D Chúng hướng độ dài chúng Cho lục giác ABCDEF tâm O Hãy tìm vectơ khác vectơ-khơng có điểm đầu, điểm cuối đỉnh lục giác tâm O cho với AB ? A FO, OC , FD B FO, AC , ED C BO, OC , ED D FO, OC , ED Cho ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng Mệnh đề sau đúng? Page CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – VECTO Câu 4: Câu 5: Câu 6: A AB = BC B BA BC phương C AB AC ngược hướng D CA CB hướng Cho tam giác cạnh 2a Đẳng thức sau đúng? A AB = AC B AB = 2a C AB = 2a D AB = AB Cho hình bình hành ABCD với O giao điểm hai đường chéo Câu sau sai? A AB = CD B AD = BC C AO = OC D OD = BO Cho vectơ AB ≠ điểm C Có điểm D thỏa mãn AB = CD A Câu 7: Câu 8: Câu 9: B C D Vô số Chọn câu để mệnh đề sau mệnh đề đúng: Nếu có AB = AC A Tam giác ABC cân B Tam giác ABC D Điểm B trùng với điểm C C A trung điểm đoạn BC Cho tứ giác ABCD Điều kiện cần đủ để AB = CD là? A ABCD hình vng B ABDC hình bình hành D AB = CD C AD BC có trung điểm Cho ∆ABC với điểm M nằm tam giác Gọi A ', B ', C ' trung điểm BC, CA, AB N, P, Q điểm đối xứng với M qua A ', B ', C ' Câu sau đúng? A AM = PC QB = NC B AC = QN AM = PC D AB ' = BN MN = BC C AB = CN AP = QN Câu 10: Cho lục giác ABCDEF có tâm O Đẳng thức sau sai? A AB = ED B AB = AF C OD = BC D OB = OE Câu 11: Cho tam giác ABC Gọi M , N , P trung điểm AB, AC BC Có véctơ Câu 12: Câu 13: Câu 14: Câu 15: Câu 16: khác véctơ khơng có điểm đầu điểm cuối điểm điểm A, B, C , M , N , P véctơ MN (không kể véctơ MN )? A B C D Cho hình thoi ABCD Khẳng định sau đúng? A AD = CB B AB = BC C AB = AD D AB = DC Hai vectơ gọi A Chúng phương có độ dài B Giá chúng trùng với cặp cạnh đối hình bình hành C Giá chúng trùng độ dài chúng D Chúng hướng độ dài chúng Gọi O giao điểm hai đường chéo hình bình hành ABCD Đẳng thức sau sai? A AB = DC B OA = CO C OB = DO D CB = AD Cho lục giác ABCDEF tâm O Ba vectơ với BA A OF , ED, OC B OF , DE , CO C CA, OF , DE D OF , DE , OC Cho lục giác ABCEF tâm O Số vectơ OC có điểm đầu điểm cuối đỉnh lục giác A B C Câu 17: Cho lục giác ABCDEF tâm O Ba vectơ vectơ BA là: A OF , ED, OC B CA, OF , DE C OF , DE , CO D D OF , DE , OC Page CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – VECTO Câu 18: Cho tam giác ABC Gọi M , N , P trung điểm AB, AC BC Có véctơ khác véctơ khơng có điểm đầu điểm cuối điểm điểm A, B, C , M , N , P véctơ MN ? B C D A Câu 19: Cho hình bình hành tâm O Hãy chọn phát biểu sai B AB = DC C AD = BC D BO = OD A OC = OA Câu 20: Cho lục giác ABCDEF tâm O Số vecto vecto OC có điểm đầu điểm cuối đỉnh lục giác B C D A Câu 21: Cho tam giác ABC có trực tâm H tâm đường trịn ngoại tiếp O Gọi D điểm đối xứng với A qua O ; E điểm đối xứng với O qua BC Khẳng định sau đúng? B OH = DE C AH = OE D BH = CD A OA = HE DẠNG 3: XÁC ĐỊNH ĐIỂM THOẢ ĐẲNG THỨC VECTƠ PHƯƠNG PHÁP Sử dụng: Hai véc tơ chúng độ dài hướng Câu 1: Câu 2: BÀI TẬP TỰ LUẬN Cho tam giác ABC Gọi M , P , Q trung điểm cạnh AB , BC , CA N điểm thỏa mãn MP = CN Hãy xác định vị trí điểm N Cho hình thang ABCD với đáy BC = AD Gọi M , N , P , Q trung điểm BC , MC , CD , AB Câu 3: Câu 4: E điểm thỏa mãn BN = QE Xác định vị trí điểm E Cho tam giác ABC có trọng tâm G N điểm thỏa mãn AN = GC Hãy xác định vị trí điểm N Cho hình chữ nhật ABCD , N , P trung điểm cạnh AD , AB điểm M thỏa mãn AP = NM Xác định vị trí điểm M Câu 5: Câu 6: Cho hình bình hành ABCD tâm O điểm M thỏa mãn AO = OM Xác định vị trí điểm M Cho AB khác cho điểm C Xác định điểm D thỏa AB = AD − AC ? Câu 7: Cho tam giác ABC Xác định vị trí điểm M cho MA − MB + MC = Câu 1: Câu 2: BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Cho tam giác ABC Gọi M , P trung điểm cạnh AB , BC N điểm thỏa mãn MN = BP Chọn khẳng định A N trung điểm cạnh MC B N trung điểm cạnh BP C N trung điểm cạnh AC D N trung điểm cạnh PC Cho tam giác ABC D điểm thỏa mãn AB = CD Khẳng định sau đúng? A D đỉnh thứ tư hình bình hành ABDC B D đỉnh thứ tư hình bình hành ABCD C D đỉnh thứ tư hình bình hành ADBC D D đỉnh thứ tư hình bình hành ACBD Page CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – VECTO Câu 3: Câu 4: Cho lục giác ABCDEF O điểm thỏa mãn AB = FO Mệnh đề sau sai? B O trung điểm đoạn FC A O tâm lục giác ABCDEF C EDCO hình bình hành D O trung điểm đoạn ED Cho bốn điểm A , B , C , D thỏa mãn AB = DC mệnh đề (I) ABCD hình bình hành (II) D nằm B C (III) C nằm đường thẳng qua điểm D song song trùng với đường thẳng AB (IV) Bốn điểm A , B , C , D thẳng hàng Câu 5: Số mệnh đề đúng? A B C D Cho hình thang ABCD với đáy AB = 2CD Gọi N , P , Q trung điểm cạnh BC , CD , DA M điểm thỏa mãn DC = MB Khẳng định sau đúng? B M trung điểm AN A M trung điểm PN C M trung điểm AB D M trung điểm QN Câu 6: Câu 7: Câu 8: Cho tam giác ABC Để điểm M thoả mãn điều kiện MA − MB + MC = M phải thỏa mãn mệnh đề nào? A M điểm cho tứ giác ABMC hình bình hành B M trọng tâm tam giác ABC C M điểm cho tứ giác BAMC hình bình hành D M thuộc trung trực AB Cho hình bình hành ABCD Tập hợp điểm M thỏa mãn MA + MB − MC = MD là? A tập rỗng B đoạn thẳng C đường tròn D đường thẳng Cho tam giác ABC Tập hợp điểm M thỏa mãn MB − MC = BM − BA là? A trung trực đoạn BC B đường tròn tâm A, bán kính BC C đường thẳng qua A song song với BC D đường thẳng AB Câu 9: Cho hình bình hành ABCD , điểm M thõa mãn AM = AB + AD + AC Khi điểm M là: A Trung điểm AD B Trung diểm AC C Điểm C D Trung điểm AB Câu 10: Cho tứ giác ABCD Tứ giác ABCD hình bình hành A AB = DC B AB = CD C AC = BD D AB = CD Câu 11: Cho tam giác ABC cạnh 2a Gọi M trung điểm BC Khẳng định sau đúng? a A AM = a B AM = a C MB = MC D AM = Câu 12: Cho AB khác cho điểm C Có điểm D thỏa mãn AB = CD ? A Vô số B điểm C điểm Câu 13: Cho hình bình hành ABCD Đẳng thức sau sai? A AC = BD B BC = DA C AD = BC D Khơng có điểm D AB = CD Page CHƯƠNG CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – VECTO V VECTƠ BÀI KHÁI NIỆM VECTƠ I LÝ THUYẾT KHÁI NIỆM VECTƠ Cho đoạn thẳng AB Nếu chọn điểm A làm điểm đầu, điểm B làm điểm cuối đoạn thẳng AB có hướng từ A đến B Khi ta nói AB đoạn thẳng có hướng 1.1 Định nghĩa: Vectơ đoạn thẳng có hướng, nghĩa là, hai điểm mút đoạn thẳng, rỏ điểm đầu, điểm cuối 1.2 Kí hiệu Vectơ có điểm đầu A điểm cuối B kí hiệu AB , đọc “vectơ AB ” Vectơ cịn kí hiệu a , b , x , y , … không cần rõ điểm đầu điểm cuối 1.3 Độ dài vectơ: Độ dài vectơ khoảng cách điểm đầu điểm cuối vectơ Độ dài vectơ AB kí hiệu AB , AB = AB Độ dài vectơ a kí hiệu a Vectơ có độ dài gọi vectơ đơn vị HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG, CÙNG HƯỚNG 2.1 Giá vectơ: Đường thẳng qua điểm đầu điểm cuối vectơ gọi giá vectơ 2.2 Vectơ phương, vectơ hướng: Hai vectơ gọi phương giá chúng song song trùng Hai vectơ phương chúng hướng ngược hướng 2.3 Nhận xét Ba điểm phân biệt A , B , C thẳng hàng hai vectơ AB AC phương HAI VECTO BẰNG NHAU, HAI VECTO ĐỐI: Hai vectơ a b gọi chúng hướng có độ dài Page CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – VECTO C M 30° A B Ta có: P = AM BM =+ ( AB BM ) BM = AB BM + BM AC = 4;= AB AC.cot= 30° 3;= BM sin 30° −2 ⇒ Chọn A ⇒ BM = 4; AB BM = 3.2.cos150° = −6 ⇒ P = = BC = 60° Điểm K thuộc AD thỏa mãn Câu 25: Cho hình bình hành ABCD có AB= 2a, AD= 3a, BAD AK = −2 DK Tính tích vơ hướng BK AC A 3a B 6a C D a Lời giải Chọn D B C O A K D Ta có BK = = AB + AD − AB + AD ; AC Khi BK AC = − AB + AD − AB AD (− AB + AD)( AB + AD) = 3 BK AC = −4a + 9a − 2a.3a.cos 60° = a 3 Câu 26: Cho tam giác ABC có AB=5, AC=8, BC=7 AB AC bằng: A -20 B 40 C 10 Lời giải D 20 Chọn D 82 + 52 − cos= AB, AC = 2.5.8 ( ) AC AB AC.cos AB, = AB= AC 5.8 = 20 ( ) Câu 27: Cho hình chữ nhật ABCD có= AB 8,= AD Tích AB.BD Page CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – VECTO B AB.BD = −64 A AB.BD = 62 C AB.BD = −62 Lời giải D AB.BD = 64 Chọn B B A E C D Giả sử E điểm đối xứng với A qua B ta có AB = BE Xét ∆ABD có BD = AB + AD = Xét ∆ABD có cos = ABD AB = BD 89 8 = suy cos AB; BD = cosDBE −cos ABD = − 89 89 ( ) −8 Ta có AB.BD = AB BD cos AB; BD = 89 = −64 89 ( ) DẠNG XÁC ĐỊNH GÓC CỦA HAI VÉCTƠ α a b a b hai vectơ biết a.b = − a b Câu 28: Cho hai vectơ khác Xác định góc A α = 900 B α = 00 C α = 450 Lời giải D α = 1800 Chọn D Ta có: a.b = a b cosα Mà a.b = − a b nên cosα = −1 Suy ra, α = 1800 tam giác ABC gần với giá trị Câu 29: Tam giác ABC có A (1; ) , B ( 0; ) , C ( 3;1) Góc BAC đây? A 90° B 36°52′ C 143°7′ Lời giải D 53°7′ Chọn C Ta có AB = ( −1; ) ; AC = ( 2; −1) cos= BAC AB AC −2 − −4 = ⇒ BAC 143°7′ = = 5 AB AC Câu 30: Cho hai véctơ a, b khác véctơ-không thỏa mãn a.b = − a b Khi góc hai vectơ a, b bằng: A a; b = 450 ( ) B a; b = 00 ( ) C a; b = 1800 ( ) D a; b = 900 ( ) Lời giải Chọn C Page CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – VECTO a.b = − a b Ta có: ⇒ cos a; b =−1 ⇔ a; b =180 a.b = − a b cos a, b ( ) ( ) ( ) Câu 31: Cho hai véctơ a , b thỏa mãn: a 4; b 3; a b Gọi α góc hai véctơ a , b Chọn phát biểu A α 600 C cos α B α 300 D cos α Lời giải Chọn D Ta có a b a b 16 a 2a.b b 16 42 2.4.3.cos α 32 16 cos α Câu 32: Cho hai vectơ a = ( 4;3) b = (1;7 ) Số đo góc A 450 B 900 α hai vectơ a b C 600 Lời giải D 300 Chọn A 25 4.1 + 3.7 a.b = = Ta có cos α = = nên α = 450 2 2 25 2 a.b +3 +7 b Câu 33: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho a = ( 2;5 ) , = b A α= 60° ( 3; −7 ) Tính góc α C α= 45° Lời giải α 120° B = hai véctơ a α 135° D = Chọn D a.b Ta có cos α = = a b 2.3 + ( −7 ) + 25 + 49 = −1 ⇒ α = 135° b Câu 34: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho a = ( 2;1) = A 0° B 90° ( 3; −6 ) Góc hai vectơ a b C 180° D 60° Lời giải Chọn B 2.3 + ( −6 ) a.b = cos a, b = ⇒ a, b = 90° = a.b 22 + 12 32 + ( −6 ) ( ) ( ) Câu 35: Cho hai vectơ a ; b khác vectơ thỏa mãn a.b= −a b Khi góc hai vectơ a ; b Page 10 CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – VECTO A 60° B 120° C 150° Lời giải D 30° Chọn A Ta có a = −a Vậy a.b = a b cos ( a, b )= −a b ⇒ cos a, b = ⇒ ( a, b ) =° 60 ( ) 2 Câu 36: Cho véc tơ a (1; −2 ) Với giá trị y véc tơ b = ( 3; y ) tạo với véctơ a góc 45 y = −1 B y = A y = −9 y =1 C y = −9 Lời giải D y = −1 Chọn D a.b = a.b a, b Ta có: cos = ( ) 3− 2y + y ( ) cos a, b Góc hai véc tơ a b 45 suy ra= (1) ⇔ 3− 2y = + y 2 (1) 6 − y ≥ 90 + 10 y =6 − y ⇔ 2 (6 − y ) 90 + 10 y = y ≤ ⇔ ⇔ y= −1 2 y − 8y − = Câu 37: Cho hai vecto a , b cho a = , b = hai véc tơ x= a + b , Tính góc hai véc tơ a b B 60° A 120° Chọn C = y 2a − b vng góc với C 90° Lời giải D 30° y 2a − b vng góc với nên Vì hai véc tơ x= a + b , = ( 2 2 a ⇔ − ⇔ a − b + a b = a + b 2a − b = ⇔ )( ( 2) ) 2 b + a b cos a, b = ( ) − 22 + 2.2.cos a, b = ⇔ cos ( a, b ) = ⇔ ( a, b ) = 90° ( ) DẠNG ỨNG DỤNG TÍCH VƠ HƯỚNG CHỨNG MINH VNG GĨC b (2; −3) có giá vng góc với Câu 38: Tìm x để hai vectơ a = ( x; 2) = A B C −3 D Page 11 CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – VECTO Lời giải Chọn A b (2; −3) có giá vng góc với Vectơ a = ( x; 2) = ⇔ a.b = ⇔ x − = ⇔ x = Vậy x = Câu 39: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai vectơ u = ( 3; ) v = A u = −v C u = v B u vng góc với v D u v phương ( −8;6 ) Khẳng định đúng? Lời giải Chọn B Ta có: u.v = ( −8 ) + 4.6 = Do đó, u ⊥ v Câu 40: Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm A (1;2 ) , B ( −3;1) Tìm tọa độ điểm C trục Oy cho tam giác ABC vuông A A C ( 6;0 ) B C ( 0;6 ) C C ( −6;0 ) D C ( 0; −6 ) Lời giải Chọn B C ∈ Oy ⇔ C ( 0; y ) AB =( −4; −1) , AC = ( −1; y − ) AB ≠ Ba điểm A , B , C tạo thành tam giác vuông A ⇔ AC ≠ ⇔ AB AC = AB ⊥ AC ⇔ y= Vậy C ( 0;6 ) Câu 41: Cho tam giác ABC có A ( −1; ) , B ( 0;3) , C ( 5; − ) Tìm tọa độ chân đường cao hạ từ đỉnh A tam giác ABC A ( 0;3) B ( 0; − 3) C ( 3;0 ) D ( −3;0 ) Lời giải Chọn A Page 12 CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – VECTO A C B Ta có AB = (1;1) ; AC = ( 6; − ) ; BC = ( 5; − 5) Nhận thấy AB BC = 1.5 + 1.(−5) = nên tam giác ABC vuông B Vậy chân đường cao hạ từ đỉnh A tam giác ABC trùng với đỉnh B ( 0;3) Câu13 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai vectơ u = (1; 2= ) v vectơ u vng góc với v A m = B m = − 2 ( 4m ; 2m − ) Tìm m C m = để D m = −1 Lời giải Chọn A Hai vectơ u ⊥ v ⇔ u.v = ⇔ 4m + ( 2m − ) = ⇔ 8m − = ⇔ m = Câu 42: Cho tam giác ABC có A ( −1;0 ) , B ( 4;0 ) , C ( 0; m ) , m ≠ Gọi G trọng tâm tam giác ABC Xác định A m để tam giác GAB vuông G m= − B m = ±3 C m = Lời giải D m= ± Chọn B m 3 Gọi G trọng tâm tam giác ABC , suy G 1; Ta có GA = −2; − m m ; GB = 3; − 3 3 m2 = ⇔ m = ±3 Để tam giác GAB vng G GA.GB = ⇔ −6 + Câu 43: Cho tam giác ABC có A (1; −1) , B ( 3; −3) , C ( 6;0 ) Diện tích DABC A B Chọn A C 12 Lời giải D = (2; −2) , BC = ( 3;3) Ta có AB Page 13 CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – VECTO Ta thấy AB.BC = = Vậy S ABC nên tam giác ABC vuông B 2.3 = AB BC = 2 Câu 44: Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm B ( −1;3) C ( 3;1) Tìm tọa độ điểm A cho tam giác ABC vuông cân A A A ( 0;0 ) A ( 2; − ) B A ( 0;0 ) A ( 2;4 ) C A ( 0;0 ) A ( −2; − ) D A ( 0;0 ) A ( −2;4 ) Lời giải Chọn B Tìm tọa độ điểm A cho tam giác ABC vuông cân A AB = AC AB = AC ⇔ Gọi A ( x ; y ) Tam giác ABC vuông cân A ⇔ AB ⊥ AC AB AC = 2 ( −1 − x )2 + ( − y )2 =( −= x ) + (1 − y ) 2 x y= 2 x y ⇔ ⇔ ⇔ 2 y x − 2x = x + y − x −= ( −1 − x )( − x ) + ( − y )(1 − y ) =0 2 x = y = y x 0,= ⇔ x = ⇔ y x 2,= x = = Vậy A ( 0;0 ) A ( 2;4 ) Câu 45: Tìm bán kính đường trịn qua ba điểm A ( 0; ) , B ( 3; ) , C ( 3;0 ) A B 10 C D Lời giải Chọn A Tính được= AC nên tam giác ABC vuông AB 3,= BC AC = Suy AB + BC = B Vậy bán kính đường trịn ngoại tiếp = R = AC 2 Câu 46: Trong mặt phẳng tọa độ ( Oxy ) cho tam giác ABC có A (1;0 ) ; B ( −1;1) ; C ( 5; − 1) Tọa độ trực tâm H tam giác ABC A H ( −1; − ) B H ( −8; − 27 ) C H ( −2;5 ) D H ( 3;14 ) Lời giải Chọn B AH ⊥ BC BC = Gọi H ( x; y ) trực tâm tam giác ABC ⇔ ⇔ AH () BH ⊥ AC BH AC = { Page 14 CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – VECTO Ta có: = AH= ( x − 1; y ) ; BC ( 6; − ) ; BH =( x + 1; y − 1) , AC= ( 4; − 1) { { 6 ( x − 1) − y = ⇔ x = −8 Suy ra: (1) ⇔ ⇔ 6x − y = − = − x y y = −27 1 x y + − − = ( ) ( ) Vậy H ( −8; − 27 ) Câu 47: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy ; cho tam giác ABC có A(−1;1), B (1;3) trọng tâm 2 3 G −2; Tìm tọa độ điểm M tia Oy cho tam giác MBC vuông M A M ( 0; −3) B M ( 0;3) C M ( 0; ) D M ( 0; −4 ) Lời giải Chọn A A G B C I Ta có G trọng tâm ∆ABC x + xB + xC xC =3 ( −2 ) − ( −1) − =−6 xG = A xC = xG − x A − xB ⇒ ⇒ ⇒ yC = yG − y A − yB y = y A + yB + yC yC =3 − − =−2 G ⇒ C ( −6; −2 ) Ta có M ∈ Oy ⇒ M ( 0; m ) Gọi I trung điểm đoạn BC ta có: x + xC xI = B xI = − 2 ⇒ I − 5; ⇒ 2 y = yB + yC y = I I Ta có 1 BM = = ( 6; m + ) ; CB = ( 7;5 )= ; IM ; m − ( −1; m − 3) ; CM 2 2 ( m − 3)( m + ) − = BM CM = ⇔ ∆MBC vuông cân M khi: 1 5 m − + = IM CB = 2 m − m − 12 = ⇔ ⇔m= −3 ⇒ M ( 0; −3) m = − Page 15 CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – VECTO Câu 48: Trên hệ trục tọa độ xOy , cho tam giác ABC có A ( 4;3) , B ( 2;7 ) , C ( −3; − ) Tọa độ chân đường cao kẻ từ đỉnh A xuống cạnh BC A (1; −4 ) B ( −1; ) C (1; ) D ( 4;1) Lời giải Chọn C Gọi D ( x ; y ) chân đường cao kẻ từ A xuống cạnh BC ta có AD.BC = D , B , C thẳng hàng Mà AD =( x − 4; y − 3) ; BC =( −5; −15 ) ; BD =( x − 2; y − ) nên ta có hệ x − + ( y − 3) = ⇔ 3 ( x − ) − y + = x =1 y = Câu 49: Cho tam giác ABC cạnh a Lấy M , N , P nằm ba cạnh BC , CA, AB cho = MC , AC = AN , AP = x, x > Tìm BM A x = 5a x để AM C x = 4a B x = a 12 vng góc với NP D x = a Lời giải 12 Chọn A AB = b a2 a.cos60 Đặt , ta có b= c= = a b.c a= AC = c Ta có AM =AB + BM =b + BC =b + c − b =1 b + 2c ( ( ) ) x x 1 PN = AN − AP =AC − AB = − b + c = −3 xb + ac a a 3a Theo u cầu tốn ta có AM ⊥ PN ⇔ AM PN =0 ⇔ b + 2c −3 xb + ac =0 ( ) ( )( ) Page 16 CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – VECTO 2 2 a3 ⇔ −3xb + a b.c − x b.c + 2ac = ⇔ −3xa + − 3xa + 2a = ( ) ( ) 5a ⇔x= 12 Câu 50: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC Biết A ( 3; −1) , B ( −1; ) I (1; −1) trọng tâm tam giác ABC Trực tâm H tam giác ABC có tọa độ ( a; b ) Tính a + 3b A a + 3b = B a + 3b = − Chọn A C a + 3b = D a + 3b = −2 Lời giải A H B C Giả sử C ( xC ; yC ) H ( xH ; y H ) Có I trọng tâm tam giác ABC nên ta có x A + xB + xC = xI x =1 ⇒ C (1; −4 ) ⇒ C y = − y + y + y C A B C = yI Ta có AH = ( xH − 3; yH + 1) ; BC =( 2; −6 ) BH =( xH + 1; yH − ) ; AC =( −2; −3) H trực tâm tam giác ABC nên 10 xH = AH BC = 0 ( xH − 3) − ( yH + 1) = ⇔ ⇔ x y − + − − = ( ) ( ) BH AC = H H y = − H ⇒a= 10 ; b = − ⇒ S = 3 Câu 51: Cho hình thang vng ABCD có đường cao AB = 2a , cạnh đáy AD = a BC = 3a Gọi M điểm đoạn AC cho AM = k AC Tìm k để BM ⊥ CD A B C Lời giải D Chọn D Page 17 CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – VECTO Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho gốc tọa độ trùng với điểm B , điểm A thuộc trục Oy điểm C thuộc trục Ox Theo ta có B(0;0), A(0; 2), C (3;0), D(1; 2) x = 3t Khi AC = (3; −2) Phương trình tham số đthẳng AC y= − 2t Gọi M ∈ AC ⇒ M (3t ; − 2t ) Ta có BM = (3t ; − 2t ) DC = (2; −2) 6 6 Để BM ⊥ DC BM DC = ⇔ 6t − + 4t = ⇔ t = ⇒M ; 5 5 −4 Khi AM = ; ⇒ AM = 5 52 AC = ( 3; −2 ) ⇒ AC = 13 AM 52 Vì AM = k AC AM , AC chiều ⇒ = = = k AC 13 Câu 52: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A ( −3;0 ) , B ( 3;0 ) C ( 2;6 ) Gọi H ( a; b ) tọa độ trực tâm tam giác cho Tính a + 6b A a + 6b = B a + 6b = C a + 6b = Lời giải Chọn C Ta có AH= ( a + 3; b ) , BC = ( −1;6 ) , BH= ( a − 3; b ) , AC = ( 5;6 ) D a + 6b = a = AH BC = AH ⊥ BC −a + 6b = ⇔ Vì H trực tâm ∆ABC nên ⇔ ⇔ 15 BH ⊥ AC 5a + 6b = b = BH AC = ⇒ a + 6b = Câu 53: Cho hai điểm B, C phân biệt Tập hợp điểm M thỏa mãn CM CB = CM : B Đường tròn ( B; BC ) A Đường trịn đường kính BC C Đường tròn ( C ; CB ) D Một đường khác Lời giải Page 18 CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – VECTO Chọn A CM CB = CM ⇔ CM CB − CM = ⇔ CM MB = Tập hợp điểm M đường trịn đường kính BC Câu 54: Cho ba điểm A, B, C phân biệt Tập hợp điểm M mà CM CB = CA.CB : A Đường trịn đường kính AB B Đường thẳng qua A vng góc với BC C Đường thẳng qua B vuông góc với AC D Đường thẳng qua C vng góc với AB Lời giải Chọn B CM CB = CA.CB ⇔ CM CB − CA.CB = ⇔ CM − CA CB = ⇔ AM CB = ( ) Tập hợp điểm M đường thẳng qua A vuông góc với BC Câu 55: Cho tam giác ABC , điểm J thỏa mãn AK = 3KJ , I trung điểm cạnh AB ,điểm K thỏa mãn KA + KB + KC = Một điểm M thay đổi thỏa mãn 3MK + AK MA + MB + MC = ( )( ) Tập hợp điểm M đường đường sau A Đường trịn đường kính IJ C Đường trịn đường kính JK B Đường trịn đường kính IK D Đường trung trực đoạn JK Lời giải A I K B C J Chọn C Ta có: MA + MB + MC= MK + KA + KB + KC= MK AB AC , mà AK = 3KJ nên Lấy điểm J thỏa mãn AK = 3KJ Ta có AK = AI + AC = + AJ = AK + KJ = AK + AK = AK = AB + AC 3 3 ( ) AJ − AB =AB + AC − AB = − AB + AC =BC Lại có BJ = 3 3 Suy J điểm cố định nằm đoạn thẳng BC xác định hệ thức BJ = BC Ta có 3MK + AK = 3MK + 3KJ = 3MJ 3MJ MK =⇔ MJ MK = Như 3MK + AK MA + MB + MC =⇔ ( )( ) ( )( ) Page 19 CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – VECTO Từ suy điểm M thuộc đường trịn đường kính JK Vì J , K điểm cố định nên điểm M ln thuộc đường trịn đường kính JK đường trịn cố định DẠNG MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỘ DÀI VÉCTƠ Câu 56: Trong mặt phẳng tọa độ ( Oxy ) , cho AB = ( 6; ) Tính AB ? A AB = 10 B AB = 20 C AB = 10 D AB = 10 Lời giải Chọn A AB = 62 + 22 = 40 = 10 Câu 57: Cho hai điểm A (1;0 ) B ( −3;3) Tính độ dài đoạn thẳng AB A AB = 13 B AB = C AB = Lời giải D AB = Chọn D AB = ( −3 − 1) + ( − ) 2 = Câu 58: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A (1; ) ; B ( −1;1) Điểm M thuộc trục Oy thỏa mãn tam giác MAB cân M Khi độ dài đoạn OM A B C 2 Lời giải D Chọn B Điểm M thuộc trục Oy ⇒ M ( 0; y ) Ta có tam giác MAB cân M ⇔ MA = MB ⇔ 12 + ( − y ) = ( −1) + (1 − y ) 3 ⇔ − y =1 − y ⇔ y = Vậy OM = 2 Câu 59: Trong hệ tọa độ Oxy, cho bốn điểm ( I ) ABCD ( II ) ABCD ( III ) AC A ( 2;1) B ( 2; −1) C ( −2; −3) D ( −2; −1) , , , Xét ba mệnh đề: hình thoi hình bình hành cắt BD M ( 0; −1) Chọn khẳng định A Chỉ ( I ) B Chỉ ( II ) C Chỉ ( II ) ( III ) D Cả (I), (II), (III) Page 20 CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – VECTO Lời giải Chọn C Ta có AB = ( 0; −2 ) ; DC = ( 0; −2 ) ; AC =( −4; −4 ) Suy AB , AC không phương AB = DC Nên ABCD hình bình hành Vậy mệnh đề Suy AC cắt BD trung điểm đường điểm có tọa độ M= (0; −1) , suy Ta có AB = ( 0; −2 ) , suy AB =−2 =2 ; AD =( −4; −2 ) , suy AD = 20 , nên AB ≠ AD , suy ABCD khơng hình thoi Mệnh đề sai Câu 60: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ∆ABC có A ( −1; ) , B ( 2;5 ) , C ( −2;7 ) Hỏi tọa độ điểm I tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC cặp số nào? A ( −2;6 ) B ( 0;6 ) C ( 0;12 ) D ( 2;6 ) Lời giải Chọn B Ta có: AB = ( 3;1) ⇒ AB = 10 AC = ( −1;3) ⇒ AC =10 BC = ( −4; ) ⇒ BC =20 Nhận thấy AB + AC = BC AB = AC nên ∆ABC tam giác vuông cân A , suy tâm I trung điểm cạnh huyền BC Vậy I ( 0;6 ) Câu 61: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A (1; −17 ) ; B ( −11; −25 ) Tìm tọa độ điểm C thuộc tia BA cho BC = 13 A C ( −14; −27 ) B C ( −8; −23) C C ( −14; −27 ) C ( −8; −23) D C (14; 27 ) C ( 8; 23) Lời giải Chọn B Giả sử C ( xC ; yC ) Theo ta có C thuộc tia BA nên BC ; BA hướng x + 11 yC + 25 = = k Với BC = ( xC + 11; yC + 25) ; BA = (12;8) ta có: BC = k BA ( k > ) ⇔ C 12 8 x − 212 x − 53 ⇔ yC =C (1) ⇔ xC − 12 yC − 212 = ⇔ yC =C 12 +) BC = 13 ⇔ ( xC + 11) + ( yC + 25) 2 = 13 ⇔ ( xC + 11) + ( yC + 25 ) = 13 (2) 2 Page 21 CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – VECTO Thế (1) vào (2) ta được: 2 x − 53 13 2 x + 22 13 13 ⇔ ( xC + 11) = 13 ⇔ ( xC + 11) + C + 25 = ( xC + 11) + C = 3 xC = −14 ⇔ ( xC + 11) =⇔ x = −8 C 2.(−14) − 53 = −27 Với xC = −14 vào (1) ta được: yC = k Khi = −14 + 11 −3 −1 = = < 12 12 Với xC = −8 vào (1) ta được: yC = Khi k= 2.(−8) − 53 = −23 −8 + 11 = = > 12 12 Vậy C ( −8; −23) Câu 62: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M ( 3;1) Giả sử A ( a ;0 ) B ( 0; b ) hai điểm cho tam giác MAB vuông M có diện tích nhỏ Tính giá trị biểu thức T= a + b2 A T = 10 B T = C T = D T = 17 Lời giải Chọn A Ta có MA =( a − 3; − 1) , MB =( −3; b − 1) MAB tam giác vuông M MA.MB = ⇔ −3 ( a − 3) − ( b − 1) = ⇔ b = 10 − 3a (*) Với a ≥ 0, b ≥ suy ≤ a ≤ S MAB = 1 MA.MB = 2 Do S MAB = ( a − 3) 10 (**) + + ( b − 1) = 3 3 a − 6a + 10 ) = ( a − 3) + ≥ ( 2 2 đạt a = , b = Vậy T = a + b2 = 10 Page 22